論數(shù)學大廈的基礎(chǔ)：歐幾里得——希爾伯特公理化思想方法的發(fā)展

1、論數(shù)學大廈的基礎(chǔ)：歐幾里得希爾伯特公理化思想方法的發(fā)展班級：13級626數(shù)學班 姓名：徐影紅 學號：11607262616摘要：公理化思想方法是數(shù)學研究的一種基本方法，在近代數(shù)學的發(fā)展及中起過巨大的作用，對各門現(xiàn)代數(shù)學理論系統(tǒng)形成有著深刻的影響。數(shù)學是一門演繹的科學，其體系是一種演繹的體系。那么，這個演繹體系的基礎(chǔ)是什么？整個數(shù)學大廈的基礎(chǔ)是怎樣建立起來的？這個基礎(chǔ)就是數(shù)學公理系統(tǒng)，整個數(shù)學知識的大廈就是按照公理化體系建立起來的。沒有公理化，就沒有數(shù)學體系的嚴謹性。本文將從公理化思想方法的產(chǎn)生、發(fā)展和完善三方面來闡述公理化思想的發(fā)展進程。關(guān)鍵字：公理化思想方法、演繹體系、公理化系統(tǒng)一、公理化思

2、想方法的含義公理化是一種數(shù)學方法，最早出現(xiàn)在2000多年前的歐幾里得幾何學中，當時認為“公理”是一種不需要證明的自明之理，18世紀，德國哲學家康德認為，歐幾里得幾何的公理使人們生來就有的先驗知識，19世紀末，德國數(shù)學家希爾伯特在他的幾何基礎(chǔ)上系統(tǒng)地提出數(shù)學的形式公理化方法。他認為每一種數(shù)學理論都應以“基本概念-公理-定理”的模式來建立：這里的公里時作為理論出發(fā)點的科學假設(shè)，它們要求具有完備性、獨立性和相容性。20世紀以來，整個數(shù)學幾乎都已按希爾伯特的模式都到公理化處理。在一個數(shù)學理論系統(tǒng)中，公理化方法就是從原始概念和公理出發(fā)，按照一定的規(guī)定定義出其他所有的概念，推導出其他一切命題的一種演繹方法

3、。二、公理化思想方法的發(fā)展歷程公理化思想方法的歷史發(fā)展大致可分成如下三個階段：（一）公理化方法的產(chǎn)生階段1、亞里士多德和邏輯公理化方法眾所周知，在長達一千多年的光輝燦爛的希臘文化中，哲學、邏輯學、幾何學得到了很大的發(fā)展。大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里士多德總結(jié)了前任所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的邏輯知識，以完全三段論作為出發(fā)點，用演繹的方法推導出其余十九個不同格式的所有三段論，創(chuàng)立了人類歷史上第一個公理化方法，即邏輯公理化方法，從而為數(shù)學公理化方法創(chuàng)造了條件。2、歐幾里得和幾何原本亞里士多德的思想方法深深影響了公元前3世紀的希臘數(shù)學家歐幾里得。歐幾里得以亞里士多德演繹邏輯為工具，總結(jié)了人類長期以

4、來所積累的大量幾何知識，于公元前300年完成了他的名著幾何原本。歐幾里得從古代的量地術(shù)和關(guān)于幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理。其中包括14個基本命題，5個公設(shè)和9條公理。歐幾里得的幾何原本是有史以來用公理化思想方法建立起來的第一門演繹數(shù)學 ，在數(shù)學史上被稱為劃時代的里程碑。而且成為以后很長時期嚴格證明的典范，人們還把嚴密的邏輯推理和完善的邏輯結(jié)構(gòu)看成是古典幾何成熟的標志。當然，現(xiàn)在看來由于受當時整個科學水平的限制，這種功利化方法還是很原始的。所以后來稱它為公理化思想方法的初級階段。（二）、公理化方法的完善階段1、對第五公設(shè)的質(zhì)疑之聲歐式幾何的公理系統(tǒng)是不夠完善的，

5、其主要的不足之處可以概括為：（1）有些定義是不自足的，即往往使用一些未加定義的概念去對別的概念下定義。（2）有些定義是多余的，略去它毫不影響往后的演繹和發(fā)展。（3）有些定理的證明過程往往依賴于圖形的直觀。在公理化方法的初級階段，它的“嚴格性”也只是相對當時的情況而言的。事實上，原本的不足之處早已為古代學者所覺察，譬如，有學者就質(zhì)疑歐幾里得對有些基本概念的定義不夠妥當，有些證明只不過是借助于直觀，等等。特別是第五公設(shè)的陳述從字面上很不子明，所以人們從兩個方面對他產(chǎn)生了懷疑：第一：第五公設(shè)是否正確的反映了空間的性質(zhì)；第二：它本身很可能是一個定理。對于這兩個問題，人們從以下幾個方面進行了探討：一是他

6、能否從其他公理推出；二是換一個與它等價而本身卻又是很自明的公設(shè)；三十換一個與他相反的公設(shè)。通過很多第一流的數(shù)學家近兩千年的大量工作，第一個方案尚未成功。據(jù)說在歐幾里得以后得2000多年時間里幾乎難以發(fā)現(xiàn)一個沒有試證過第五公設(shè)的大數(shù)學家，其中特別著名的有勒讓得、塞開里和蘭伯特等，另外還有一位不得不提的著名數(shù)學家。18世紀中葉，意大利數(shù)學家薩克利吸取了前任正面直接證明而失敗的教訓，反其道而行之，該用反證法來證明，并于1733年公布了他的證明，但隨后不久數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)他的證明有問題。雖然薩克利的證明是錯誤的，但他提出的反證法及其所得的結(jié)果卻起了他始終所未料到的作用，即兩種幾何并存的可能性。也就是說，出

7、了歐幾里得幾何外，還有另外一種幾何的存在。2、非歐幾何的產(chǎn)生數(shù)學家從薩克利的錯誤中得到了啟發(fā)，19世紀，由高斯、羅巴切夫斯基、波爾約等許多杰出的數(shù)學家對第五公設(shè)作了大量的推導工作，其中，羅巴切夫斯基于1823年用以下命題代替第五公設(shè)：“過已知直線外一點至少可作兩條直線和已知直線不相交”。經(jīng)過對此命題進行嚴格的邏輯推理之后，證明他的論證之嚴謹并不亞于歐式幾何，于是，以羅巴切夫斯基為代表的羅巴切夫斯基集合系統(tǒng)就產(chǎn)生了。從此也就沖破了歐幾里得幾何“一統(tǒng)天下”的舊觀念對人們的束縛，使人們意識到邏輯上無矛盾并不限于一種幾何。接著德國數(shù)學家黎曼進一步對羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)進行完善成立了“黎曼幾何”系統(tǒng)，后

8、人稱這兩種幾何為非歐幾何，這是公理化方法的進一步發(fā)展。三、形式公理化方法的產(chǎn)生非歐幾何的創(chuàng)立大大提高了公理化方法的信譽。接著便有許多數(shù)學家致力于公理方法的研究。18711872年間德國數(shù)學家康托與戴德金不約而同地擬成了連續(xù)性公理。德國數(shù)學家帕施在1882年擬成了順序公理，在這些基礎(chǔ)上，希爾伯特于1899發(fā)表了幾何學基礎(chǔ)一書，解決了歐式幾何的欠缺問題，完善了幾何學的公理化方法，同時也將幾何公理化方法的研究推向了一個新的階段，即形式公理化階段。希爾伯特在他的幾何基礎(chǔ)中，放棄了歐幾里得幾何原本中公理的直觀顯然性，把那些在對空間直觀進行邏輯分析時無關(guān)緊要的內(nèi)容加以摒棄，著眼于對象之間的聯(lián)系，強調(diào)了邏輯

9、推理，第一次提出了一個簡明、完整、邏輯嚴謹?shù)男问交锵到y(tǒng)。從此公理化方法不僅僅只是數(shù)學中一個重要方法，而且一杯其他學科領(lǐng)域所采用。所以人們也稱它為公理化方法發(fā)展史上的一個里程碑。公理化思想從歐幾里得的“實體公理化”發(fā)展到希爾伯特的“形式公理化”，經(jīng)歷了相當長的時間，然而，公理化思想并沒有停止過它向前發(fā)展的腳步。在形式公理化方法產(chǎn)生的同時，集合論思想方法和數(shù)理邏輯學也在萌芽發(fā)展。也正是這兩種數(shù)學思想方法的產(chǎn)生，極大地推動了公理化方法的進一步發(fā)展。希爾伯特在后來從事“元數(shù)學”的研究中，又把公理化方法推向了一個新的階段，即純形式化階段。形式化公理方法不僅推動著數(shù)學基礎(chǔ)研究，而且在推動著現(xiàn)代算法論研

10、究，從而為數(shù)學應用于電子計算機等現(xiàn)代科學技術(shù)開辟了新的前景。三、數(shù)學之美的熏陶學習數(shù)學史的感受從中小學到大學，我個人學習數(shù)學也有十幾年的時間了，中小學學的大多是簡單的四則運算、平面幾何知識和簡單的函數(shù)，對于學習數(shù)學的感受還是很膚淺的，到進入大學之后，進一步系統(tǒng)的學習了數(shù)學專業(yè)課程，如：數(shù)學分析、高等代數(shù)。在學習數(shù)學基礎(chǔ)專業(yè)課程之后，我對于數(shù)學一種深刻感受是：維度豐富、推理巧妙、高度嚴謹、無懈可擊。與此同時，在學習數(shù)學史這門專業(yè)課程的過程當中，我更加感受到數(shù)學這門學科所蘊含的不僅僅是數(shù)學知識，更多的是獨創(chuàng)的數(shù)學精神，系統(tǒng)的思想體系，和勵志的批判和探索精神。對于勵志的批判和探索精神這一點的感受是源于對“幾何學的發(fā)展”這一章節(jié)內(nèi)容的學習。在了解了歐式幾何到非歐幾何的發(fā)展歷程之后。我對羅巴切夫斯基對于數(shù)學鍥而不舍、堅持真理的奮斗精神所深深折服。在眾多著名數(shù)學家的失敗中，他積極吸取經(jīng)驗教訓，不斷堅持對歐式幾何“第五公設(shè)”的論證，最后，不畏權(quán)威的打壓，堅持公開發(fā)表自己的觀點并深信真理。因此，他被后人稱為“幾何學上的哥白尼”。他的非歐幾何思想是與傳統(tǒng)觀點決