四邊形和多邊形內(nèi)角和講義

1、李老師輔導(dǎo)四邊形，多邊形的內(nèi)角和重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理難點(diǎn)：多邊形內(nèi)角和定理的證明；多邊形內(nèi)角和定理和外角和定理的靈活運(yùn)用一、 知識(shí)講解1. 多邊形（包括四邊形）的定義：在同一平面內(nèi)，不在同一直線上的一些線段首尾順次相 接組成的圖形叫做多邊形。 這里所說的多邊形都是凸多邊形，即該多邊形完全處在其任何一邊所在直線的同側(cè)。反之就稱為凹多邊形。各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2. 多邊形（包括四邊形）的對(duì)角線：在多邊形中，連結(jié)不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。n邊形共有條對(duì)角線。連結(jié)多邊形的對(duì)角線是一種常見的輔助線3. 多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n2）

2、83;180°。定理證明的基本思路是要把問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和問題。4. 多邊形外角和定理：n邊形的外角和為360°。5. n邊形的內(nèi)角中最多有3個(gè)是銳角二、 例題分析例1已知：四邊形的四個(gè)內(nèi)角度數(shù)為1：2：3：4，求各內(nèi)角的度數(shù)。解：設(shè)四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為x， 2x， 3x，4 x，根據(jù)題意得：x+2 x+3x+4 x=360°解得：x=36，2x=72，3x=108，4x=144答：四邊形各內(nèi)角度數(shù)分別為36°，72°，108°，144°例2如圖：四邊形ABCD中，B=90°，AB：BC：CD：DA=2：2：

3、3：1，求BAD的度數(shù)。解：連結(jié)ACAB：BC：CD：DA=2：2：3：1設(shè)AB=BC=2K，CD=3K，DA=KB=90°，AB=BC=2KAC2=AB2+BC2=8K2（勾股定理）BAC=BCA=45°（等邊對(duì)等角）AC2+AD2=9K2，CD2=9K2AC2+AD2=CD2CAD=90°（勾股定理的逆定理）CAD=90°BAD=BAC+CAD=135°例3一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)內(nèi)角和定理可得：（n2）·180°=720°解得：n=6例4一個(gè)多邊

4、形的每一個(gè)外角都是45°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)外角和定理可得：45n=360°解得：n=8例5一個(gè)多邊形的外角和等于內(nèi)角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)內(nèi)角和、外角和定理可得：2·（n2）·180=360°解得：n=3例6一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角與外角的比都是7：2，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。解法1：多邊形的每個(gè)內(nèi)角與外角的比都是7：2多邊形的每個(gè)內(nèi)角和與外角和的比是7：2多邊形的外角和為360°多邊形的內(nèi)角和為=7×180設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理：（n2）

5、3;180=7×180解得：n=9解法2：多邊形的內(nèi)角與外角分別為7x、2x，根據(jù)題意得：7x+2x=180°x=20°多邊形的外角為2×20=40°多邊形的邊數(shù)為360÷40=9(這個(gè)方法用外角與內(nèi)角的關(guān)系來求，使解題過程變得簡(jiǎn)單)例7已知：一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)是第二個(gè)多邊形對(duì)角線條數(shù)的6倍，其內(nèi)角和是第二個(gè)多邊形內(nèi)角和的2.5倍，求兩個(gè)多邊形的邊數(shù)。解：設(shè)第一個(gè)多邊形的邊數(shù)為n1，第二個(gè)多邊形邊數(shù)為n2，由題意得：解得：例8一個(gè)多邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為2750°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。解：設(shè)多邊形邊數(shù)為n（

6、n3），一個(gè)內(nèi)角為x，根據(jù)題意有：（n2）·180x=2750x=（n2）·18027500<x<180 （利用多邊形內(nèi)角大于0°小于180°這個(gè)隱含條件列不等式組）0<（n2）·1802750<180解得：n是自然數(shù)，n=18例9多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°，求多邊形的邊數(shù)。解：設(shè)多邊形邊數(shù)為n（n3），這個(gè)外角為x，根據(jù)題意有：（n2）·180+x=1350x=1350（n2）·1800<x<180 （利用多邊形外角大于0°小于180°

7、這個(gè)隱含條件列不等式組）0<1350（n2）·180<180解得：n是自然數(shù)，n=9三、 基礎(chǔ)練習(xí)1、 已知：四邊形四個(gè)內(nèi)角之比為3：3：5：4，求它的四個(gè)內(nèi)角。2、 如圖：AB=BC，BD平分ABC，A=70°，ABC=80°，求C和ADC的度數(shù)。3、 如果n邊形的邊數(shù)每增加一條，則它的內(nèi)角和增加多少？4、 過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成8個(gè)三角形，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。5、 一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和為2750°，求這個(gè)內(nèi)角。6、 如果各角都相等的多邊形的一個(gè)內(nèi)角是它的外角的n倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。7、 如果一個(gè)

8、多邊形的邊數(shù)增加1倍，它的內(nèi)角和是2160°，求多邊形原來的邊數(shù)。8、 一個(gè)多邊形的每個(gè)一個(gè)外角都相等，且小于45°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)至少有多少？9、 四邊形ABCD中，B=90°，AB=2，BC=2,CD=5，DA=3，求四邊形的面積。10、 如圖，在四邊形ABCD中，B=D=90°，AB=2，CD=1，A：C=1：2，求BC和AD的長(zhǎng)?；A(chǔ)練習(xí)答案：1、 四邊形的四個(gè)內(nèi)角分別為：72°，72°，120°和96°。2、 C=70°，ADC=140°3、 180°4、 105、 13

9、0°6、 2n+27、 78、 99、 連結(jié)AC，S=6+210、 延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于E，BC=22，AD=44、 提高練習(xí)一. 選擇題1.四邊形ABCD中,A,B,C,D的度數(shù)比為2:3:4:3,則D等于( ) A.60° B.75° C.90° D.120°2. 正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為36°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)( ) A.6 B.8 C.10 D.123.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的2倍還大180°, 這個(gè)多邊形的邊數(shù)( ) A.5 B.6 C.7 D.84.在下面四種正多邊形中，用同一種圖形不能平面鑲嵌

10、的是（ ）DABC5.四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直,這個(gè)四邊形是( )A.一定是矩形 B.一定是菱形 C.一定是正方形 D.形狀不確定7.如圖,在四邊形ABCD中,A=135°,B=D=90°,BC=,AD=2,則四邊形ABCD的面積是( ) A. B.4 C. 4 D.68.(17屆江蘇競(jìng)賽)在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其內(nèi)角之和為2002°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ） A.12 B.12或13 C.14 D.14或15二.填空題1.若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_.2.正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_.3.正n 邊形的每一

11、個(gè)內(nèi)角等于150°,則n=_.4.如果一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個(gè)多邊形是正_邊形.5.過四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形, 過五邊形或六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線,分別把它們分成_個(gè)三角形,過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成_個(gè)三角形.(用含n的代數(shù)式表示)6.(2007年全國(guó)預(yù)賽)如圖, A+B+C+D+E+F+G=n×90°,則n=_.7.(第7屆希望杯）一個(gè)凸多邊形有且僅有4個(gè)內(nèi)角是鈍角,這樣的多邊形的邊數(shù)最多是_.三.解答題1.在平面內(nèi)確定四個(gè)點(diǎn),連結(jié)每?jī)牲c(diǎn),使任意三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形(包括等邊三角形),且每?jī)牲c(diǎn)之

12、間的線段長(zhǎng)只有兩個(gè)數(shù)值.舉例如圖:相等的線段有: AB=BC=CD=DAAC=BD請(qǐng)你再畫出滿足題目條件的三個(gè)圖形,并指出每個(gè)圖形中相等的線段.2.凸n邊形除去一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為2570°，求n的值。3.如圖,試比較這兩個(gè)幾何圖形的異同,請(qǐng)分別寫出它們之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).例如: 相同點(diǎn):正方形的對(duì)角線相等, 正五邊形的對(duì)角線也相等,不同點(diǎn):正方形是中心對(duì)稱圖形, 正五邊形不是中心對(duì)稱圖形.相同點(diǎn):不同點(diǎn): 4.如圖,AB=AE,ABC=AED,BC=ED,點(diǎn)F是CD中點(diǎn)(1)求證:AFCD(2)在連結(jié)BE后,還能得出什么新的結(jié)論?請(qǐng)寫出三個(gè)(不要求證明)5.(1998年荊州競(jìng)

13、賽題)用正方形的地磚不重疊,無縫隙地鋪滿一塊地,選用邊長(zhǎng)x為規(guī)格的地磚,恰需n塊;若選用邊長(zhǎng)y為規(guī)格的地磚,則要比前一種剛好多用124塊.已知x,y,n都是整數(shù),且x,y互質(zhì),試問這塊地有多少平方米?6.(1994年北京競(jìng)賽)已知:六邊形ABCDEF中, A=B=C=D=E=F,且AB+BC=11,FA-CD=3.求BC+DE的長(zhǎng).一選擇1. C2.C3.C4.C5.D6.B7.C8.D2 填空1.9 2.120°3.12 4.7 5.3、4 N-261+G=2，B+C+E+F+2=540°，n=540°÷90°=6n=67設(shè)這個(gè)凸多邊形的邊數(shù)

14、為n，其中4個(gè)內(nèi)角為鈍角，n-4個(gè)內(nèi)角為直角或銳角（n-2）180°4180°+（n-4）90°n8，取n=7故答案為：78如圖，分別作直線AB、CD、EF的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線使它們交于點(diǎn)G、H、P六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120°，六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°APF、BGC、DHE、GHP都是等邊三角形GC=BC=3，DH=DE=2GH=3+3+2=8，F(xiàn)A=PA=PG-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-PF-EH=8-4-2=2六邊形的周長(zhǎng)為1+3+3+2+4+2=153、 解答題A題AB=BC=AC，AD=BD

15、=DCAB=BC=AC=AD，BD=CDAC=BD=BC，AB=DC2. n=173. 相同點(diǎn)有：對(duì)角線相等；外角和都是360°；都是軸對(duì)稱圖形 不同點(diǎn)有：正方形是中心對(duì)稱圖形，正五邊形不是中心對(duì)稱圖形；正方形的內(nèi)角和是360°，正五邊形的內(nèi)角和是540°；正方形有兩條對(duì)角線，正五邊形有五條對(duì)角線4.解：（1）證明：連接AC，AD在ABC和AED中，ABCAED（SAS）AC=ADACD為等腰三角形又F是CD中點(diǎn)，AFCD（2）解：AFBE，BECD，連接BE后交AF于點(diǎn)G，ABGAEG5.5、由題意，有：n*x2=(n+124)*y2得：n=124*y2/(x2-y2)由于x、y互質(zhì),所以x2、y2也互質(zhì)，同時(shí)y2和(x2-y2)也互質(zhì)。所以，要y是整數(shù)，124必須能整除(x2-y2).124只有124、62、31、4、2、1幾個(gè)因素，分別來看：1)x2-y2=124,（x+y)*(x-y)=124=2*2*31,x+y=62,x-y=2,x=32,y=30。這時(shí)xy不互質(zhì)數(shù)，不和題意。2）x2-y2=62，無整數(shù)解3）x2-y2=4，無整數(shù)解4）x2-y2=2，無整數(shù)解5）x2-y2=1，無整數(shù)解最