第9章勒讓德多項式

1、江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院第第9章章 勒讓德多項式勒讓德多項式 本章我們來討論在第本章我們來討論在第7章所建立的勒讓德方程的章所建立的勒讓德方程的解法，以及解的性質(zhì)，這個解構(gòu)成了另一類特殊函數(shù)解法，以及解的性質(zhì)，這個解構(gòu)成了另一類特殊函數(shù).9.1 勒讓德方程的求勒讓德方程的求解解把把7.2中的勒讓德方程寫成如下的形式中的勒讓德方程寫成如下的形式 222(1)2(1)0,d ydyxxn nydxdx (9.1)其中其中n為任意實數(shù)為任意實數(shù).江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院22012()nnyxaa xa xa x如同求貝塞爾方程的解一樣，設(shè)如同求貝塞爾方程的解一樣，設(shè)(9.1)

2、的解為的解為 0.k ckka x （9.2）求上式的導(dǎo)數(shù)，并與求上式的導(dǎo)數(shù)，并與(9.2)一起代入一起代入(9.1)得：得：0()(1)(1)k ckkkc kcn na x 20()(1)0.k ckkkc kca x （9.3） 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院0k 上式是上式是的各乘冪的系數(shù)必全為零，的各乘冪的系數(shù)必全為零，然后令它等于零，然后令它等于零，x的恒等式，所以的恒等式，所以x在上式第二個和式中令在上式第二個和式中令0,k 便得到便得到2cx的系數(shù)，的系數(shù)，0(1)0.c ca由此得由此得 或0,1.cc 為了得到一般項系數(shù)的表達式，為了得到一般項系數(shù)的表達式，我們把我們

3、把(9.3)寫成如下形式：寫成如下形式： 20()(1)(1)kkkkckcn na x 20(2)(1)0,kckkkckca x 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院于是由一般項于是由一般項 k cx 的系數(shù)等于零，得到遞推公式的系數(shù)等于零，得到遞推公式 2()(1)(1)(0,1,2,),(1)(2)kkkc kcn naakkckc 這便是級數(shù)這便是級數(shù)(9.2)的系數(shù)間應(yīng)滿足的遞推公式的系數(shù)間應(yīng)滿足的遞推公式. 令0 , 2 , 4 , 2,ki 即有即有取 0c 2()(1)(0,1,2,).(2)(1)kkkn knaakkk 則有則有 （9.4） 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)

4、理學(xué)院20(1),2!n naa 240(2)(1)(3)(1),4!n nnnaa 2(2)(22)(1)(3)(21)( 1),0(2 ) !ain nninnniiai 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院令1 , 3 , 5 , 21 ,ki 則有則有 31(1)(2),3!n nnaa 251(1)(3)(2)(4)(1),5 !nnnnaa 121(1)(3)(21)(2)(4)(2 )( 1).(21) !iainnninnniai 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院240(1)(2)(1)(3)12!4!n nn nnnyaxx 351(1)(2)(1)(3)(2)(4),3

5、!5!n nnnnnnaxxx (9.5)其中其中01,a a是兩個任意常數(shù)，由于方程是齊次的，是兩個任意常數(shù)，由于方程是齊次的，所以函數(shù)所以函數(shù)241(1)(2)(1)(3)12!4!n nn nnnyxx 352(1)(2)(1)(3)(2)(4),3!5!n nnnnnnyxxx (9.6) (9.7)江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院也都是方程也都是方程(9.1)的解，顯然在的解，顯然在 010,0aa 的情況下，的情況下， 它們是線性無關(guān)的它們是線性無關(guān)的.如果開始時取如果開始時取 1c ，重復(fù)前面的做法，所得的，重復(fù)前面的做法，所得的級數(shù)解就是級數(shù)解就是 2y從系數(shù)的遞推公式從系

6、數(shù)的遞推公式(9.4)容易證明這兩個組數(shù)的容易證明這兩個組數(shù)的( 1,1) 內(nèi)內(nèi)(9.5)式即為方程式即為方程(9.1)收斂半徑都為收斂半徑都為1，故在，故在的通解的通解.江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院上節(jié)我們求出了方程上節(jié)我們求出了方程(9.1)的解，并且從的解，并且從(9.6)與與(9.7)可以看出，當(dāng)可以看出，當(dāng)n不是整數(shù)時，不是整數(shù)時， 12,yy都是無窮級數(shù)，在都是無窮級數(shù)，在 1x 內(nèi)它們都絕對收斂。內(nèi)它們都絕對收斂。 當(dāng)當(dāng) n是整數(shù)時，則是整數(shù)時，則 1y或者或者 2y便成為多項式，便成為多項式， 系數(shù)的表達式為：系數(shù)的表達式為： 2(2)(1)(2),()(1)kkkka

7、aknn k kn 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院于是可以通過多項式的最高次項系數(shù)于是可以通過多項式的最高次項系數(shù) na來表示其他來表示其他各次項的系數(shù)各次項的系數(shù).2(1),2(21)nnn naan 42(2)(3)(1)(2)(3),4(23)2 4(21)(23)nnnnnnnnnaaannn 64(4)(5)6(23)nnnnaan (1)(2)(3)(4)(5),2 4 6(21)(23)(25)nn nnnnnannn 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院1x 為了使這些表達式能夠?qū)懗杀容^簡潔的形式，并且為了使這些表達式能夠?qū)懗杀容^簡潔的形式，并且為：為：使所得的多項式在使

8、所得的多項式在處取的值等于處取的值等于1我們?nèi)∥覀內(nèi)a2(2 )!1 3 5(21)(1,2, ).2( !)!nnnnannn 從而相應(yīng)地有從而相應(yīng)地有22(1)(2 )!,2(21) 2 ( !)nnnn nnaann 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院(1)2(21)(22)2(21)2(1)!(1)(2)nn nnnnnn nn nn (22)!,2 (1)!(2)!nnnn 4(2)(3)(22)!4(23)2 (1)!(2)!nnnnnannn (2)(3)(22)(23)(24)4 2 (23)(1)(2)!(2)(3)(4)!nnnnnnnnnnnn (24)!,2 2!(

9、2)!(4)!nnnn 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院一般言之，當(dāng)一般言之，當(dāng) 20nm 時，我們有：時，我們有：2(22 )!( 1).2!()!(2 )!mnmnnmam n mnm 如果如果n是正偶數(shù)時，將這些系數(shù)代入是正偶數(shù)時，將這些系數(shù)代入(9.6)得到得到212(2 )!(22)!2 ( !)2 (1)!(2)!nnnnnnyxxnnn 220(22 )!( 1).2!()!(2 )!nmnmnmnmxm n mnm 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院如果如果n是正奇數(shù)時，則有是正奇數(shù)時，則有12220(22)!( 1).2!()!(2)!nmnmnmnmyxmnmnm 把

10、這兩個多項式寫成統(tǒng)一的形式，得把這兩個多項式寫成統(tǒng)一的形式，得20(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!MknkMlknkxxknknk (9.8)當(dāng)為偶數(shù)時當(dāng)為奇數(shù)時,21,.2nnMnn 這個多項式稱為次的勒讓德多項式。次的勒讓德多項式。n江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院式（式（9.8）即為）即為勒讓德多項式的級數(shù)表示勒讓德多項式的級數(shù)表示注意到注意到cosx, 故可方便地得出前幾個勒讓德多項式故可方便地得出前幾個勒讓德多項式: 0P ( )1x 1P ( )cosxx2211P ( )(31)(3cos 21)24xx3311P ( )(53 )(5cos33cos )2

11、8xxx42411P ( )(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P ( )(637015 )(63cos535cos330cos )8128xxxx642611P ( )(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院勒讓德多項式的圖形可通過計算機仿真勒讓德多項式的圖形可通過計算機仿真(如如MATLAB仿真仿真)得到得到 圖 9.1 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院勒讓德多項式的微分表示勒讓德多項式的微分表示 21dP ( )(1)2! dlllllxxlx（9.9） 上式通常又稱

12、為上式通常又稱為勒讓德多項式的羅德里格斯（勒讓德多項式的羅德里格斯（Rodrigues）表示式表示式下面證明表達式下面證明表達式(9.9)和（和（9.8）是相同的）是相同的【證明證明】用二項式定理把用二項式定理把lx) 1(2展開展開lkkllklkkkllllxklkxkklllxl022022)!( !21) 1() 1()(!)!(!21) 1(!21江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院把上式對把上式對x求導(dǎo)求導(dǎo)l次凡是冪次次凡是冪次(22 )lkl的項在的項在l次求導(dǎo)過程中成為零，所以只需保留冪次次求導(dǎo)過程中成為零，所以只需保留冪次(22 )lkl的項，即的項，即2lk 的項，應(yīng)取的項

13、，應(yīng)取max 2lk，并且注意到，并且注意到 222d(22 )(221)22(1)dllklklxlklklklxx因此有因此有22 220 201d(22 )(221)(21)(1)( 1)2 !d2!()!(22 )!( 1)P ( ).2!()!(2 )!llllklklllkklkllklklklkxxlxk lklkxxk lklk江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院9.3 勒讓德多項式的性質(zhì)勒讓德多項式的性質(zhì)9.3.1 勒讓德多項式的性質(zhì)勒讓德多項式的性質(zhì) 1. 勒讓德多項式的零點勒讓德多項式的零點對于勒讓德多項式的零點，有如下結(jié)論：對于勒讓德多項式的零點，有如下結(jié)論：（i）P

14、( )nx的的n個零點都是實的，且在個零點都是實的，且在) 1 , 1(內(nèi)；內(nèi)；（ii）P ( )nx的零點與的零點與1P( )nx的零點互相分離的零點互相分離 2. 奇偶性奇偶性根據(jù)勒讓德多項式的定義式，作代換根據(jù)勒讓德多項式的定義式，作代換(),xx 容易得到容易得到P ()( 1) P ( )nnnxx （9.10） 即當(dāng)即當(dāng)n為偶數(shù)時，勒讓德多項式為偶數(shù)時，勒讓德多項式P ( )nx為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇數(shù)時為奇數(shù)時為奇函數(shù)為奇函數(shù) nP ( )nx江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院下面給出正交性及其模值的證明下面給出正交性及其模值的證明 【證明證明】 （1）正交性）正交性 勒讓德

15、多項式必然滿足勒讓德方程，故有勒讓德多項式必然滿足勒讓德方程，故有 22d(1)P ( )(1)P ( )0dd(1)P ( )(1)P ( )0dllnnxxl lxxxxn nxx兩式相減，并在兩式相減，并在-1,1 區(qū)間上對區(qū)間上對x積分，得積分，得122111ddP ( )(1)P ( )P ( )(1)P ( )ddd (1)(1)P ( )P ( )dnllnlnxxxxxxxxxn nl lxxx11P ( )P ( )d0lnxxx （9.11） 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院因為上面等式左邊的積分值為因為上面等式左邊的積分值為 211(1)P ( )P ( )P ( )

16、P ( ) |0nllnxxxxx所以當(dāng)所以當(dāng)nl時，必然有時，必然有 11P ( )P ( )d0lnxxx根據(jù)根據(jù) 成立成立 （2）模）模 （利用分部積分法證明）（利用分部積分法證明） 1221P ( ) dnnNxx為了分部積分的方便，把上式的為了分部積分的方便，把上式的)(xPl用微分表示給出，則有用微分表示給出，則有21212221112121221221221111d (1)dd(1)d2 ( !)ddd1d (1)d(1)1d(1)dd (1)d2 ( !)dd2 ( !)dddllllllllllllllllllllllxxNxlxxxxxxxxlxxlxxx （9.12） 江

17、西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院注意到注意到lllxxx) 1() 1() 1(2以以1x為為l級零點，級零點， 故其故其(1)l 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 121d(1)dlllxx必然以必然以1x為一級零點，從而上式已積出部分的值為零為一級零點，從而上式已積出部分的值為零 112121222111( 1)d(1) d(1)d2 ( !)ddllllllllxxNxlxx再進行再進行l(wèi)次分部積分，即得次分部積分，即得 221222221( 1)d (1)(1)d2 ( !)dlllllllxNxxlx江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院lx) 1(2是是l 2次多項式，其次多項式，其l 2階導(dǎo)數(shù)也就是

18、最高冪項階導(dǎo)數(shù)也就是最高冪項lx2的的l 2階導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)為)!2( l故故 12221(2 )!( 1)(1) (1) d2 ( !)llllllNxxxl 再對上式分部積分一次再對上式分部積分一次112112211111221(2 )!1( 1)(1) (1)(1)(1)d2 ( !)1(2 )!( 1)( 1)(1)(1)d2 ( !)1llllllllllllNxxlxxxllllxxxll 容易看出已積出部分以容易看出已積出部分以1x為零點為零點 至此，分部積分的結(jié)果是使至此，分部積分的結(jié)果是使) 1( x的冪次降低一次，的冪次降低一次，) 1( x的冪次升高一次，的冪次升高一次，

19、且積分乘上一個相應(yīng)的常數(shù)因子且積分乘上一個相應(yīng)的常數(shù)因子江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院繼續(xù)分部積分（計繼續(xù)分部積分（計l次），即得次），即得 120222112121(2 )!11( 1)( 1)(1) (1) d2 ( !)122112(1)22121llllllllllNxxxllllxll 故勒讓德多項式的模為故勒讓德多項式的模為 122lNl ), 2 , 1 , 0(l且有且有112P ( )P ( )d21llxxxl （9.13） 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院9.3.2.勒讓德多項式的應(yīng)用（廣義傅氏級數(shù)展開）勒讓德多項式的應(yīng)用（廣義傅氏級數(shù)展開） 例例9.3.1 將

20、函數(shù)函數(shù) 3( )f xx按勒讓德多項式形式展開按勒讓德多項式形式展開.【解解】 根據(jù)根據(jù) （9.9）設(shè)）設(shè)3001 12233P ( )P ( )P ( )P ( )xCxCxCxCx考慮到考慮到 P ()( 1) P ( )nnnxx ，由由(9.10)顯然有顯然有 020CC江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院11331111333P ( )dd225Cxxxxx x1133333117712P ( )d(5-3 )d2225Cxxxxxxx所以所以31332P ()P ()55xxx例例9.3.2 將函數(shù)將函數(shù) cos2 (0)展開為勒讓德多項式展開為勒讓德多項式P (cos )n形式

21、形式 【解】【解】 用直接展開法用直接展開法令令 cosx，則由，則由22cos22cos121x 我們知道：我們知道：20121P ( )1, P ( ), P ( )(31)2xxxxx江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院可設(shè)可設(shè)2001 12221P ( )P ( )P ( )xCxCxCx 考慮到勒讓德函數(shù)的奇偶性，顯然考慮到勒讓德函數(shù)的奇偶性，顯然10C 2202121(31)2xCCx由由20,xx項的系數(shù)，顯然得出項的系數(shù)，顯然得出2041, 33CC 故有故有 02021414cos(2 )P( )P( )P(cos )P(cos )3333xx江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理

22、學(xué)院下面我們給出一般性結(jié)論：下面我們給出一般性結(jié)論：結(jié)論結(jié)論1：設(shè)：設(shè) k為正整數(shù)，可以證明：為正整數(shù)，可以證明：22222220021212123231 1P ( )P( )P ( )P( )P( )P ( )kkkkkkkkkkxCxCxCxxCxCxCx結(jié)論結(jié)論2 ：根據(jù)勒讓德函數(shù)的奇偶性，若需展開的函數(shù)：根據(jù)勒讓德函數(shù)的奇偶性，若需展開的函數(shù)( )f x為奇函數(shù)，為奇函數(shù)， 則展開式（則展開式（9.8）系數(shù)）系數(shù)20nC若需展開的函數(shù)若需展開的函數(shù)( )f x為偶函數(shù)，則展開式（為偶函數(shù)，則展開式（9.8）系數(shù)）系數(shù)210nC 0,1,2,3,n 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院例

23、例9.3.3 以勒讓德多項式為基，在-1,1區(qū)間上把3( )234f xxx展開為廣義傅里葉級數(shù)展開為廣義傅里葉級數(shù)【解解】 本例不必應(yīng)用一般公式本例不必應(yīng)用一般公式 ，事實上，事實上，( )f x是三次多項式（注意是三次多項式（注意( )f x既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)），既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)），設(shè)它表示為設(shè)它表示為33023012323021323234P ( )111(31)(53 )221335()()2222nnnxxCxCCxCxCxxCCCC xC xC x 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院比較同次冪即得到比較同次冪即得到3210421, 0, , 455CCCC由此得到由此得

24、到30132142344P ( )P ( )P ( )55xxxxx江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院9.3.3 勒讓德多項式的遞推公式勒讓德多項式的遞推公式11(1)P( )(21) P ( )P( )nnnnxnxxnx(1)k （9.14）證明證明 為了證明公式為了證明公式(9.14)，我們將函數(shù)，我們將函數(shù)( )nxP x展成勒讓德多項式的級數(shù)展成勒讓德多項式的級數(shù).設(shè)設(shè) 0()(),nkkkxPxCPx 其中其中1121()().2knkkCxPx Px dx 江西理工大學(xué)理學(xué)院江西理工大學(xué)理學(xué)院( )nxP x1n 1kn 0kC 由于由于是是次多項式，所以它的展開式次多項式，所以它的展開式次的項，即當(dāng)次的項，即當(dāng)時，時，.同時，利用分部積分法，可得同時，利用分部積分法，可得中不可能包含高于中不可能包含高于1n 1121()()2knkkCxPx Px dx 121211( )(1)22!nnnnnkdxP xxdxndx 121121( 1)(1)( ).2!nnnknn