機械振動第二章ch2d

1、2022-6-8振動力學12022-6-8振動力學2 在線性多自由度系統(tǒng)振動中，振動問題歸結(jié)為剛度矩陣在線性多自由度系統(tǒng)振動中，振動問題歸結(jié)為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的廣義特征值問題和質(zhì)量矩陣的廣義特征值問題缺點之一：當系統(tǒng)自由度較大時，求解計算工作量非常大缺點之一：當系統(tǒng)自由度較大時，求解計算工作量非常大 本章介紹幾種近似計算方法，可作為實用的工程計算方本章介紹幾種近似計算方法，可作為實用的工程計算方法對系統(tǒng)的振動特性作近似計算法對系統(tǒng)的振動特性作近似計算 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法2022-6-8振動力學3 鄧克利法鄧克利法- 由鄧克利（由鄧克利（Dunkerley）在實驗確定

2、多圓盤的橫向振動固有頻率）在實驗確定多圓盤的橫向振動固有頻率時提出的時提出的- 便于作為系統(tǒng)基頻的計算公式便于作為系統(tǒng)基頻的計算公式 0KXXM 0XXFM 0XXD 自由振動作用力方程：自由振動作用力方程：左乘柔度矩陣左乘柔度矩陣F = K -1，位移方程：，位移方程：定義定義D=FM 為系統(tǒng)的動力矩陣為系統(tǒng)的動力矩陣nRX作用力方程的特征值問題：作用力方程的特征值問題：MK2位移方程的特征值問題：位移方程的特征值問題：D線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-6-8振動力學4作用力方程的特征值問題：作用力方程的特征值問題：MK2位移方程的特征值問題：位移

3、方程的特征值問題：D特征值：特征值：22221nn21關(guān)系：關(guān)系：2/1ii位移方程的最大特征根：位移方程的最大特征根：211/1對應(yīng)著系統(tǒng)的第一階固有頻率對應(yīng)著系統(tǒng)的第一階固有頻率（基頻）（基頻） 位移方程的特征方程：位移方程的特征方程：0 ID展開：展開：0)() 1(1111nnnnnaaa其中：其中：Dtrdddann)(22111例如：例如：022211211dddd0)()() 1(21122211221122dddddd線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法D=FM2022-6-8振動力學5特征方程：特征方程：0)() 1(1111nnnnnaaa其中

4、：其中：Dtrdddann)(22111當當 M 為對角陣時：為對角陣時：)(FMDtrtr 特征方程又可寫為：特征方程又可寫為：0)()(21n niia11有：有：niiiiniimf11柔度系數(shù)柔度系數(shù) fii 的物理意義：沿第的物理意義：沿第 i 個坐標施加單位力時所產(chǎn)生個坐標施加單位力時所產(chǎn)生的第的第 i 個坐標的位移個坐標的位移2/1ii niiiiniimf1121線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法D=FM niiiimf1trD niiiimf12022-6-8振動力學6如果只保留第如果只保留第 i 個質(zhì)量，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：個質(zhì)量

5、，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：niiiiniimf11iiiiiimfmk12例如：兩自由度系統(tǒng)例如：兩自由度系統(tǒng)（1）只保留）只保留 m1 時時柔度矩陣：柔度矩陣：2111111111kkkkkF1111kf1121mk（2）只保留）只保留 m2 時時122122111kkkf21222mkm1k1k2m2m1k1m2k1k2 niiiiniimf1121線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-6-8振動力學7如果只保留第如果只保留第 i 個質(zhì)量，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：個質(zhì)量，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：niiiiniimf11iiiii

6、imfmk12將將 代入：代入：2i22221121111nnii 對于梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，第二階及第二階以上的固有頻率通常遠大于對于梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，第二階及第二階以上的固有頻率通常遠大于基頻，因此左端可只保留基頻項，有：基頻，因此左端可只保留基頻項，有：)(11112222121FMtrtrDn鄧克利法鄧克利法得到的基頻是精確值的下限得到的基頻是精確值的下限 niiiiniimf1121線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-6-8振動力學822221121111nnii 解釋：解釋：22221211111n ba 21122322111na 22221111nbab

7、 121因在鄧克利法中忽略了因在鄧克利法中忽略了a，因此所得結(jié)果為基頻下限，因此所得結(jié)果為基頻下限得到的基頻是精確值的下限得到的基頻是精確值的下限線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-6-8振動力學9例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng)000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常規(guī)方法，采用常規(guī)方法，固有頻率：固有頻率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23鄧克利法：鄧克利法： 當當 m1 單獨存在時單獨存在時mk /21當當 m2 單獨存在時單獨存在時mk/1222kkkkkk2121211

8、2當當 m3 單獨存在時單獨存在時kkkkk25111132112352123kkmk52322221211111nmk /3535. 01代入鄧克利法公式：代入鄧克利法公式：mmkk2m2k線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-6-8振動力學10 瑞利法瑞利法- 基于能量原理的一種近似方法基于能量原理的一種近似方法 - 可用于計算系統(tǒng)的基頻可用于計算系統(tǒng)的基頻 算出的近似值為實際基頻的上限算出的近似值為實際基頻的上限 - 配合鄧克利法算出的基頻下限，可以估計實際基頻的大致范圍配合鄧克利法算出的基頻下限，可以估計實際基頻的大致范圍 n 自由度保守系統(tǒng)：自由

9、度保守系統(tǒng)： 0KXXM nRX機械能守恒機械能守恒主振動主振動 ：)sin(tX動能與勢能：動能與勢能： XMXTT21 KXXTV21 最大值：最大值：MTT2max21KTV21maxmaxmaxVT2)(MKTTR瑞利商瑞利商線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-8振動力學11分析：分析：i1換為換為若將瑞利商右端分子內(nèi)的所有若將瑞利商右端分子內(nèi)的所有 21)(R 由瑞利商公式知，當由瑞利商公式知，當 確為第一階模態(tài)時，有：確為第一階模態(tài)時，有：)1(線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2)(MKTTR瑞利商瑞利商對于第對

10、于第 i 階模態(tài)：階模態(tài)：2)()()()()()(iiTiiTiiRMK第一階模態(tài)有何特點？如何估計第一階模態(tài)？第一階模態(tài)有何特點？如何估計第一階模態(tài)？愈接近系統(tǒng)的真實模態(tài)，算出的固有頻率愈準確愈接近系統(tǒng)的真實模態(tài)，算出的固有頻率愈準確利用瑞利商估計系統(tǒng)的基頻所得的結(jié)果必為實際基頻的上限利用瑞利商估計系統(tǒng)的基頻所得的結(jié)果必為實際基頻的上限2022-6-8振動力學12例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng)000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常規(guī)方法，固有頻率：采用常規(guī)方法，固有頻率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23采用鄧

11、克利法，基頻：采用鄧克利法，基頻：mk /3535. 01取在取在2m質(zhì)量上施加力質(zhì)量上施加力P所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的“靜變形曲線靜變形曲線”作為近似的第作為近似的第一階主振型，即：一階主振型，即：T5 . 2, 2, 1 MKTTR)(代入瑞利商公式：代入瑞利商公式：mkR142857. 0)(mk3780. 01與精確值相比，相對誤差與精確值相比，相對誤差1.34%mmkk2m2k線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-8振動力學13 里茨法里茨法 里茲法是瑞利法的改進里茲法是瑞利法的改進 里茲法將對近似振型給出更合理的假設(shè)，從而使算出的基里茲法將對近似振型給

12、出更合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進一步下降頻值進一步下降 用里茲法不僅可以計算系統(tǒng)的基頻，還可以算出系統(tǒng)的前用里茲法不僅可以計算系統(tǒng)的基頻，還可以算出系統(tǒng)的前幾階頻率和模態(tài)幾階頻率和模態(tài) 瑞利法算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對第一階主振瑞利法算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對第一階主振型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-6-8振動力學14 傳遞矩陣法（傳遞矩陣法（P166）- 傳遞矩陣法適用于計算傳遞矩陣法適用于計算鏈狀結(jié)構(gòu)鏈狀結(jié)構(gòu)的固有頻率和主振型的固有頻率和主振型多個圓盤的扭振，連續(xù)梁，氣輪機和發(fā)電機的轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)多個圓盤的扭振，連續(xù)梁，氣輪機和發(fā)電機的轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)- 特征：特征：可簡化為無質(zhì)量的梁上帶有若干個集中質(zhì)量的橫向振動可簡化為無質(zhì)量的梁上帶有若干個集中質(zhì)量的橫向振動- 特點：特點：將鏈狀結(jié)構(gòu)劃分為一系列單元，每對單元之間的傳遞矩將鏈狀結(jié)構(gòu)劃分為一系列單元，每對單元之間的傳遞矩陣的階數(shù)等于單元的運動微分方程的階數(shù)，因此傳遞矩陣法對陣