菲涅耳半波帶

1、1 u菲涅耳半波帶菲涅耳半波帶: :菲涅耳圓孔和圓屏衍射菲涅耳圓孔和圓屏衍射（Fresnel Half-wave Zone）在衍射屏具有對(duì)稱性的一些簡(jiǎn)單情況下，用代數(shù)加法或在衍射屏具有對(duì)稱性的一些簡(jiǎn)單情況下，用代數(shù)加法或矢量加法代替積分運(yùn)算，可以十分方便地對(duì)衍射現(xiàn)象作矢量加法代替積分運(yùn)算，可以十分方便地對(duì)衍射現(xiàn)象作定性或半定量定性或半定量的解釋。的解釋。菲涅爾衍射可直接在衍射孔徑后方有限距離上進(jìn)行觀察，菲涅爾衍射可直接在衍射孔徑后方有限距離上進(jìn)行觀察，而無(wú)需夫瑯禾費(fèi)那樣借助成像透鏡。而無(wú)需夫瑯禾費(fèi)那樣借助成像透鏡。使用菲涅耳使用菲涅耳基耳霍伏衍射積分公式計(jì)算基耳霍伏衍射積分公式計(jì)算菲涅耳衍射場(chǎng)

2、菲涅耳衍射場(chǎng)十分復(fù)雜不易嚴(yán)格求解。十分復(fù)雜不易嚴(yán)格求解。 2 SOR r0 PB0 B1 B B3 3 B B2 2 r1=r0+/2r2=r1+/2r3=r2+/2一、一、菲涅耳半波帶菲涅耳半波帶將波面將波面 S S 分成許多以分成許多以 B B0 0 為圓心的環(huán)形波帶，并使：為圓心的環(huán)形波帶，并使：00rPBPBPB01PBPB12PBPB23 21PBPBKK 這樣分成的環(huán)形波帶稱為這樣分成的環(huán)形波帶稱為菲涅耳半波帶，菲涅耳半波帶，任何相任何相鄰兩波帶以相反的位相同時(shí)到達(dá)鄰兩波帶以相反的位相同時(shí)到達(dá) PP點(diǎn)點(diǎn)( (光程差光程差/2/2）。3 二、二、合振幅的計(jì)算合振幅的計(jì)算用用 a a1

3、 1、a a2 2、a ak k分別表示各波帶在分別表示各波帶在 PP點(diǎn)的振幅，則點(diǎn)的振幅，則： KKkaaaaaaA154321)1( 比較比較 a a1 1、a a2 2、a ak k各振幅的大小各振幅的大?。?設(shè)設(shè) SS上的上的振幅均勻分布振幅均勻分布即即A A（QQ） 為常量，為常量，任取任取第第 K K 個(gè)半波帶：個(gè)半波帶：面積面積 SSk k傾斜因子傾斜因子 K K（ k k） kkkkrsKa )( 計(jì)算：計(jì)算： kkrs 由由惠惠菲原理菲原理Bk Rk k rk hPOB0 取如圖的取如圖的球冠球冠，其面積，其面積 )cos1(22 Rs dRdssin22 r0 在在OPBO

4、PBk k中有：中有： )(2)(cos02202rRRrrRRk 兩邊微分兩邊微分 )(sin0rRRdrrdkk )(202rRRdrRrdskk 代入代入dsds , kr可將可將drdrk k視為相鄰兩波帶間視為相鄰兩波帶間r r的差值的差值/2/2，則，則ds=sds=sk k 0rRRrskk 結(jié)論：結(jié)論：ssk k/r/rk k 與與 K K 無(wú)關(guān)，對(duì)無(wú)關(guān)，對(duì) 每個(gè)半波帶都相同每個(gè)半波帶都相同。 5 影響影響 a ak k 的只剩下傾斜因子的只剩下傾斜因子 K K（ k k）：）：K K， ， a ak k 緩慢減少。緩慢減少。用如下上下交替的矢量來(lái)表示用如下上下交替的矢量來(lái)表示

5、 P P 點(diǎn)處振幅的疊加點(diǎn)處振幅的疊加a1 a2 a3 a4 ak Ak a1 a2 a3 a4 121aka21a1 a2 a3 a4 ak Ak k k 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí))(211kkaaA k k 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí))(211kkaaA 合成一式合成一式)(211kkaaA P P 點(diǎn)的振幅為點(diǎn)的振幅為第第一一個(gè)波帶個(gè)波帶和和最后一個(gè)波帶最后一個(gè)波帶所發(fā)出次波的所發(fā)出次波的振幅振幅相加（減）。相加（減）。6 當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)時(shí)，則2.)22()22(25433211kkaaaaaaaaA) 1 (221kkaaA當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)時(shí)，則2.)22()22(25433211kk

6、aaaaaaaaA)2(221kkaaA綜合（綜合（1）、（）、（2）兩式，有：）兩式，有：2) 1(211kkkaaA7 對(duì)自由空間傳播的球面波，波面為無(wú)限大，對(duì)自由空間傳播的球面波，波面為無(wú)限大，k k，a ak k 0 0，則對(duì)于給定軸線上的一點(diǎn)，則對(duì)于給定軸線上的一點(diǎn)P P的振幅為：的振幅為： 1210aA 即球面波自由傳播時(shí)，每各球面波上各此波即球面波自由傳播時(shí)，每各球面波上各此波波源在波源在P點(diǎn)產(chǎn)生的合振動(dòng)等于第一個(gè)半波帶在點(diǎn)產(chǎn)生的合振動(dòng)等于第一個(gè)半波帶在P點(diǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)產(chǎn)生的振動(dòng)振幅得一半振幅得一半，強(qiáng)度為，強(qiáng)度為它的它的4分之分之1。 21410aI 計(jì)算圓孔對(duì)稱軸上光振幅的基

7、本思想把波面微分成若干個(gè)環(huán)狀半波帶把波面微分成若干個(gè)環(huán)狀半波帶 環(huán)狀半波帶的數(shù)目，便可以判定場(chǎng)點(diǎn)的環(huán)狀半波帶的數(shù)目，便可以判定場(chǎng)點(diǎn)的光強(qiáng)和亮暗光強(qiáng)和亮暗 )(211kkaaA環(huán)狀半波帶的數(shù)目為奇數(shù)，則場(chǎng)點(diǎn)為亮點(diǎn)；環(huán)狀半波帶的數(shù)目為奇數(shù)，則場(chǎng)點(diǎn)為亮點(diǎn)；環(huán)狀半波帶的數(shù)目為偶數(shù)，則為暗點(diǎn)。環(huán)狀半波帶的數(shù)目為偶數(shù)，則為暗點(diǎn)。環(huán)狀半波帶的數(shù)目不是整數(shù)，則場(chǎng)點(diǎn)的強(qiáng)度介于上述兩種情環(huán)狀半波帶的數(shù)目不是整數(shù)，則場(chǎng)點(diǎn)的強(qiáng)度介于上述兩種情況之間況之間 。如何確定園孔波面如何確定園孔波面上的完整菲涅耳半上的完整菲涅耳半波帶數(shù)目上來(lái)波帶數(shù)目上來(lái) 圓孔衍射圓孔衍射菲涅爾圓孔衍射菲涅爾圓孔衍射菲涅爾圓屏衍射菲涅爾圓屏衍射

8、圓圓屏屏衍射衍射SPRrk10 菲涅耳圓孔衍射菲涅耳圓孔衍射 RSOPk B0 r0 rk BA 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)驗(yàn)裝置 計(jì)算計(jì)算P P點(diǎn)的光強(qiáng)點(diǎn)的光強(qiáng)首先考慮通過(guò)圓孔的首先考慮通過(guò)圓孔的K K個(gè)完整菲涅耳半波帶數(shù)：個(gè)完整菲涅耳半波帶數(shù)：K K個(gè)完整菲涅個(gè)完整菲涅耳半波帶數(shù)耳半波帶數(shù)hrrrhhrrrhrrkkkk020220202202222)( hBB 00rh,20 krrkhrkrhrrkkrrk0000220202224 422 k忽略忽略項(xiàng)在在BAPBAP中：中： 11 在在BAOBAO中中： RhhRhRRhRRk22)(222222 比較兩式：比較兩式： Rhhrkr2200 )(2

9、00rRkrh 0022rRRkrRhk Rrkk1102 對(duì)對(duì) P P 點(diǎn)的整點(diǎn)的整半波帶個(gè)數(shù)半波帶個(gè)數(shù) R（平行光入射）（平行光入射）,02rkk 0krk K K 與與P P在軸上的位置有關(guān)。在軸上的位置有關(guān)。 12 討論討論： 對(duì)對(duì) P P 點(diǎn)若點(diǎn)若 S S 恰好分成恰好分成 K K 個(gè)半波帶時(shí)：個(gè)半波帶時(shí)： )(211kkaaA K K 為偶數(shù)為偶數(shù) )(211kkaaA )(211kkaaA 最大K K 為奇數(shù)為奇數(shù) 最小 對(duì)對(duì) P P 點(diǎn)若點(diǎn)若 S S 中中還含有不完整的半波帶時(shí)還含有不完整的半波帶時(shí)： )(21)(2111kkkaaAaa 光強(qiáng)介于最大光強(qiáng)介于最大和最小之間和最

10、小之間實(shí)驗(yàn)證實(shí)實(shí)驗(yàn)證實(shí)：確定觀察點(diǎn)確定觀察點(diǎn)P P，改變，改變 ，P P點(diǎn)的光強(qiáng)發(fā)生變化點(diǎn)的光強(qiáng)發(fā)生變化確定圓孔半徑確定圓孔半徑 ，P P點(diǎn)在對(duì)稱軸上移動(dòng)，光點(diǎn)在對(duì)稱軸上移動(dòng)，光強(qiáng)發(fā)生變化強(qiáng)發(fā)生變化13 若若 不用光闌不用光闌（ k k）： ka 0 ka21aAkp 無(wú)遮攔的整個(gè)波面對(duì)無(wú)遮攔的整個(gè)波面對(duì)P P點(diǎn)的光強(qiáng)等于第一個(gè)波帶在點(diǎn)的光強(qiáng)等于第一個(gè)波帶在該點(diǎn)的光強(qiáng)的一半。該點(diǎn)的光強(qiáng)的一半。例：mmrRA15000 計(jì)算：2143mmds mm211 很小很小 1 1、對(duì)、對(duì) PP點(diǎn)而言，無(wú)遮攔的整個(gè)波面光能傳播，幾點(diǎn)而言，無(wú)遮攔的整個(gè)波面光能傳播，幾乎可認(rèn)為沿直線乎可認(rèn)為沿直線 OPOP進(jìn)

11、行進(jìn)行。 1 ks 10ar 2 2、沿、沿 OPOP改變改變 PP點(diǎn)的位置時(shí)，點(diǎn)的位置時(shí)，r r0 0， PP點(diǎn)的光強(qiáng)越來(lái)點(diǎn)的光強(qiáng)越來(lái)越小，而不會(huì)在越小，而不會(huì)在1/21/2（a a1 1+a+a2 2）和和1/21/2（a a1 1- -a a2 2）之間變化。之間變化。14 若若 對(duì)點(diǎn)，圓孔僅夠分成一個(gè)半波帶對(duì)點(diǎn)，圓孔僅夠分成一個(gè)半波帶 kpAaA 211 kpII 41 要發(fā)生衍射，光源要發(fā)生衍射，光源 O O 的線度要足夠小。的線度要足夠小。 二、二、圓屏衍射圓屏衍射 OB0 PP P點(diǎn)的振幅：點(diǎn)的振幅：圓屏遮蔽了個(gè)圓屏遮蔽了個(gè)K K半波帶半波帶從從K+1K+1個(gè)半波帶個(gè)半波帶從最后

12、的半波帶（從最后的半波帶（a a00）在在 P P 點(diǎn)疊加，合振幅為：點(diǎn)疊加，合振幅為：21 kaA不管圓屏的位置和大小怎樣，不管圓屏的位置和大小怎樣，圓屏幾圓屏幾何影子的中心永遠(yuǎn)有光（泊松點(diǎn)）。何影子的中心永遠(yuǎn)有光（泊松點(diǎn)）。圓屏的面積圓屏的面積，a ak+1k+1，到達(dá)，到達(dá) PP點(diǎn)的光愈強(qiáng)。點(diǎn)的光愈強(qiáng)。15 菲涅耳衍射（圓孔和圓盤）菲涅耳衍射（圓孔和圓盤） （Fresnel Diffraction）一、菲涅耳圓孔衍射一、菲涅耳圓孔衍射將一束光（例激光）投射在一個(gè)圓孔上，并在距孔將一束光（例激光）投射在一個(gè)圓孔上，并在距孔12m處放置一接收屏，可觀察衍射圖樣。處放置一接收屏，可觀察衍射圖樣

13、。 根據(jù)前面的討論，如果圓孔很小，則從圓孔露出根據(jù)前面的討論，如果圓孔很小，則從圓孔露出半波帶的數(shù)量很少，即對(duì)圓孔后光強(qiáng)起作用的半波半波帶的數(shù)量很少，即對(duì)圓孔后光強(qiáng)起作用的半波帶數(shù)量很少，設(shè)有帶數(shù)量很少，設(shè)有k個(gè)半波帶。個(gè)半波帶。 16 則有則有 ak （ ）a1， 當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，1122aaaAkk2221)(41apaI所以所以P點(diǎn)為亮點(diǎn)點(diǎn)為亮點(diǎn)當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，0221kkaaA0pI所以所以P點(diǎn)為暗點(diǎn)點(diǎn)為暗點(diǎn)kBOR0BkhRkrlP0r17 由此可見(jiàn)，想知道圓孔衍射場(chǎng)軸線上某點(diǎn)是由此可見(jiàn)，想知道圓孔衍射場(chǎng)軸線上某點(diǎn)是亮點(diǎn)亮點(diǎn)還是還是暗點(diǎn)，暗點(diǎn)，必須知道圓孔所包含的

14、半波帶數(shù)目。必須知道圓孔所包含的半波帶數(shù)目。 如圖，如圖，O點(diǎn)為點(diǎn)光源，光通過(guò)光闌上的圓孔，圓孔點(diǎn)為點(diǎn)光源，光通過(guò)光闌上的圓孔，圓孔半徑為半徑為R Rh h，S為光通過(guò)圓孔時(shí)的波面。設(shè)圓孔包含有為光通過(guò)圓孔時(shí)的波面。設(shè)圓孔包含有k個(gè)整數(shù)半波帶。個(gè)整數(shù)半波帶。 hhkRR2022)(hrrRkhk202022hhrrrk由于由于h0，第三象限內(nèi)a0處透光，0處擋光，觀察屏距為d。這時(shí)(25)式變?yōu)椋?)()()2()()exp(22exp22exp2)exp(2222121FFxdFFjkdKdjddjdjkddKxddydkjdxdkjjkddKyxE)(2exp)(2exp)exp(),(20255)(2)(221ydxd(30) 因?yàn)?)4exp(225 . 05 . 0)()4exp(225 . 05 . 0)(jjFjjF(31) 所以 )4exp(22)2()e