大學(xué)物理力學(xué)篇_01運動的描述

1、1 第一章第一章 運動的描述運動的描述1-1 1-1 參考系參考系 坐標系坐標系 物理模型物理模型1-2 1-2 運動的描述運動的描述1-3 1-3 相對運動相對運動21.1.1 運動的絕對性和相對性運動的絕對性和相對性例如例如,觀察表明：觀察表明：v地日地日30kms-1, 這說明，一切運動都是絕對的，因此只有討論相對意義上這說明，一切運動都是絕對的，因此只有討論相對意義上的運動才有意義。的運動才有意義。v日銀日銀25kms-1, 英國大主教貝克萊：英國大主教貝克萊：“讓我們設(shè)想有兩個球，除此之外空讓我們設(shè)想有兩個球，除此之外空無一物，說它們圍繞共同中心作圓周運動，是不能想象的。無一物，說它

2、們圍繞共同中心作圓周運動，是不能想象的。但是，若天空上突然產(chǎn)生恒星，我們就能夠從兩球與天空不但是，若天空上突然產(chǎn)生恒星，我們就能夠從兩球與天空不同部分的想對位置想象出它們的運動了同部分的想對位置想象出它們的運動了”。v銀銀銀銀600kms-13運動描述的相對性：運動描述的相對性：即選不同的參考系，運動的描述是不即選不同的參考系，運動的描述是不同的。同的。V例如，在勻速直線運動的火車上所作的自由落體運動，例如，在勻速直線運動的火車上所作的自由落體運動，火車上的觀察者：物體作勻變速直線運動；火車上的觀察者：物體作勻變速直線運動；地面上的觀察者：物體作平拋運動。地面上的觀察者：物體作平拋運動。 描述

3、物體運動時被選作參考（標準）的物體或物體群描述物體運動時被選作參考（標準）的物體或物體群稱為參考系。稱為參考系。1.1.2 參考系參考系4日心系日心系ZXY地心系地心系o地面系地面系地球地球衛(wèi)星地球地球51.1.3 坐標系坐標系 z k r 0 j y i x zyxp、prx極軸極軸0r0o 為定量地描述物體位置而引入。為定量地描述物體位置而引入。YOX0ss 0rxyzP 常用的有直角坐標系、極坐標系、自然坐標系、球面坐標常用的有直角坐標系、極坐標系、自然坐標系、球面坐標系或柱面坐標系等。系或柱面坐標系等。 61.1.4 物理模型物理模型 對真實的物理過程和對象，根據(jù)所討論的問題的基本要對

4、真實的物理過程和對象，根據(jù)所討論的問題的基本要求對其進行理想化的簡化，抽象為可以用數(shù)學(xué)方法描述的理求對其進行理想化的簡化，抽象為可以用數(shù)學(xué)方法描述的理想模型。想模型。*關(guān)于物理模型的提出關(guān)于物理模型的提出（）明確所提問題；（）明確所提問題；（）突出主要因素，提出理想模型；（）突出主要因素，提出理想模型； “理想模型理想模型”是對所考察的問題來說的，不具有絕對意義。是對所考察的問題來說的，不具有絕對意義。（）分析各種因素在所提問題中的主次；（）分析各種因素在所提問題中的主次；（）實驗驗證。（）實驗驗證。7 1、 理想質(zhì)點模型理想質(zhì)點模型 真實的物體不滿足上述條件時，則可將其視為滿足第一個真實的物

5、體不滿足上述條件時，則可將其視為滿足第一個條件的質(zhì)點系。條件的質(zhì)點系。選用質(zhì)點模型的前提條件是：選用質(zhì)點模型的前提條件是： 物體自身線度物體自身線度l與所研究的物體運動的空間范圍與所研究的物體運動的空間范圍r相比可以忽略；相比可以忽略；兩個條件中，具一即可。兩個條件中，具一即可?；蛘呶矬w只作平動?；蛘呶矬w只作平動。82、理想剛體模型、理想剛體模型 剛體是指在任何情況下，都沒有形變的物體。剛體是指在任何情況下，都沒有形變的物體。 當物體自身線度當物體自身線度l與所研究的物體運動的空間范圍與所研究的物體運動的空間范圍r比不可比不可以忽略；物體又不作平動時，即必須考慮物體的空間方位，以忽略；物體又不

6、作平動時，即必須考慮物體的空間方位，我們可以引入剛體模型。我們可以引入剛體模型。 剛體也是一個各質(zhì)點之間無相對位置變化且質(zhì)量連續(xù)分布剛體也是一個各質(zhì)點之間無相對位置變化且質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系。的質(zhì)點系。91)位置坐標位置坐標 1、位置矢量位置矢量 r 質(zhì)點質(zhì)點P在直角坐標系中的位置可由在直角坐標系中的位置可由P所在點的三個坐標所在點的三個坐標（x，y，z）來確定）來確定 1.2.1位矢、位移、速度和加速度在直角坐標系中的表示式位矢、位移、速度和加速度在直角坐標系中的表示式參照系參照系rYZXoP(x,y,z)102)位置矢量位置矢量 r z k r 0 j y i x 其在直角坐標系中為其在直

7、角坐標系中為 xyzrijk222xyzr 由坐標原點引向考察點的矢由坐標原點引向考察點的矢量，簡稱位矢。量，簡稱位矢。 r的方向余弦是的方向余弦是 rx cosry cosrz cos1222coscoscos在極坐標系中在極坐標系中 0rrr 在自然坐標系中在自然坐標系中 ( ) srr113）運動方程和軌道方程）運動方程和軌道方程表示為：表示為： ).(,)(,)(tzztyytxx或或 ( ) trr運動方程是時間運動方程是時間t的顯函數(shù)。的顯函數(shù)。 a、質(zhì)點在運動過程中，空間位置隨時間變化的函數(shù)式稱為運、質(zhì)點在運動過程中，空間位置隨時間變化的函數(shù)式稱為運動方程。動方程。 b、質(zhì)點在空

8、間所經(jīng)過的路徑稱為軌道（軌跡）。、質(zhì)點在空間所經(jīng)過的路徑稱為軌道（軌跡）。 從上式中消去從上式中消去t即可得到軌道方程。即可得到軌道方程。軌道方程不是時間軌道方程不是時間t顯函數(shù)。顯函數(shù)。122 2、位移和路程、位移和路程1 1）位移）位移 ra、定義、定義 ：由起始位置指向終了位置的有向線段；：由起始位置指向終了位置的有向線段；21rrrt 時間內(nèi)位置矢量的增量時間內(nèi)位置矢量的增量rr 位移的模位移的模 與矢量模的增量與矢量模的增量 不是同一個量不是同一個量21| |rrr|12rrrXYZ1r2rrABS1r2rrAB1r221r rrr212212212zzyyxx21212122222

9、2zyxzyx13b b、位移在直角坐標系中的表示式、位移在直角坐標系中的表示式 kzj yi xr2）路程）路程S位移和路程的比較與聯(lián)系位移和路程的比較與聯(lián)系聯(lián)系：聯(lián)系： 在在t 0時，時， dsrddrrdt 時間內(nèi)質(zhì)點在空間實際運行的路徑。時間內(nèi)質(zhì)點在空間實際運行的路徑。不同處：不同處：r 只與始末位置有關(guān)；只與始末位置有關(guān)；S S與軌道形狀和往返次數(shù)有關(guān)；與軌道形狀和往返次數(shù)有關(guān)；sr 因此，一般情況下因此，一般情況下r是矢量，是矢量， S S是是標量；標量；但仍是但仍是 dr ddr143、速、速 度度1）平均速度與平均速率）平均速度與平均速率 trvtsv讀成讀成t時刻附近時刻附近

10、t時間內(nèi)的平均速度（或速率）時間內(nèi)的平均速度（或速率） z A 0 0vv B 1r 2r 3r 0 y x 1r2r描述質(zhì)點位置變化和方向變化快慢的物理量描述質(zhì)點位置變化和方向變化快慢的物理量 152）瞬時速度與瞬時速率）瞬時速度與瞬時速率 dtrdtrtv0limdtdststv0limvdtdsdtrdv0vv vv 在一般情況下在一般情況下ktzjtyitxv在直角坐標系中在直角坐標系中0是軌道切線方向上的單位矢。是軌道切線方向上的單位矢。可見速度是位矢對時間的變化率?？梢娝俣仁俏皇笇r間的變化率?？梢娝俾适撬俣鹊哪??？梢娝俾适撬俣鹊哪??？梢娝俾适锹烦虒r間的變化率。可見速率是路程對時

11、間的變化率。16dtrdvkvjvivzyx在直角坐標系中的表示式在直角坐標系中的表示式 v3 3）kdtdzjdtdyidtdxkzj yi xr設(shè)222zyxvvvvv222dtdzdtdydtdx174 4、加速度、加速度a描述質(zhì)點速度大小和方向變化快慢的物理量描述質(zhì)點速度大小和方向變化快慢的物理量 為描述機械運動的狀態(tài)參量為描述機械運動的狀態(tài)參量 v ,r 稱為機械運動狀態(tài)的變化率稱為機械運動狀態(tài)的變化率 a1）平均加速度與瞬時加速度）平均加速度與瞬時加速度 tva220dtrddtvdtvtalimAo BAvBvvBvAv18dtvda2 2）加速度在直角坐標系中）加速度在直角坐標

12、系中akdtdvjdtdvidtdvzyxkajaiazyxkdtzdjdtydidtxd222222222zyxaaaa222222222dtzddtyddtxd222dtdvdtdvdtdvzyx19例例1.1如圖如圖1.5，一人用繩子拉著小車前進，小車位于高出繩，一人用繩子拉著小車前進，小車位于高出繩端端h的平臺上，人的速率的平臺上，人的速率v0 不變，求小車的速度和加速度大小不變，求小車的速度和加速度大小. 解解小車沿直線運動，以小車前進方向為x軸正方向，以滑輪為坐標原點，小車的坐標為x，人的坐標為s，由速度的定義，小車和人的速度大小應(yīng)為0.dsvdt人由于定滑輪不改變繩長，所以小車坐

13、標的變化率等于拉小車的繩長的變化率，即dxdt車，圖圖1.5dxdldtdt車203222022dvv hadtxh車又由圖1.5可以看出有 ，兩邊對t求導(dǎo)得222hxl22dldslsdtdt或02222vsv ssvlshsh人人車同理可得小車的加速度大小為211.2.2 曲線運動的描述曲線運動的描述1）物體作拋體運動的運動學(xué)條件：）物體作拋體運動的運動學(xué)條件： 00000夾角且常量vaav與2）重力場中拋體運動的描述）重力場中拋體運動的描述 (1)(1)速度公式速度公式 gtvvvvyxsincos00(2)(2)坐標公式坐標公式 20021sincosgttvytvx1、平面曲線運動的

14、直角坐標系描述、平面曲線運動的直角坐標系描述以拋體運動為例以拋體運動為例XY0v22(3) 幾個重要問題幾個重要問題 (i)射高射高 :gvtvHysin, 00這時將將tH代入坐標公式代入坐標公式y(tǒng)中中 得得 gvH2sin220（或看成（或看成豎直上拋）豎直上拋）sin0v(ii)射程：射程： gvtTHsin220飛行總時間飛行總時間 代入坐標公式代入坐標公式x中中 得得 gvR2sin20討論：討論： 當當 時，時，射程最大射程最大 4gvR20 當當 時，時， 有最大射高有最大射高 2gvH22023）自然坐標系）自然坐標系 (1)(1)坐標架單位矢坐標架單位矢： 00, n方向通常

15、指向前進方向，方向通常指向前進方向， 0方向指向曲線凹側(cè)方向指向曲線凹側(cè) 0n/o/0/0n/r0s0s0r00nprd2、曲線運動的自然坐標系描述、曲線運動的自然坐標系描述 質(zhì)點作曲線運動，將質(zhì)點運動的軌跡曲線作為一維坐標的質(zhì)點作曲線運動，將質(zhì)點運動的軌跡曲線作為一維坐標的軸線軸線自然坐標。自然坐標。 從從O/點起，點起，p點的弧長為點的弧長為S 弧坐標弧坐標)(srr(2)位置表示法位置表示法242）切向加速度和法向加速度）切向加速度和法向加速度 tBCtvatt00limlimtvtvtnt00limlimvnvtvvnt0lim(3)(3)元位移元位移 0dsrd P1P2vvvABC

16、vvvvvnv25a、切向加速度切向加速度 00vvt;tvat0limdtvdab、法向加速度法向加速度 00nvvtn;tvantn0limdtvdann0dtdv022dtsdtvt00lim0dtdv0limntv0ndtdv0ndtdv0ndtdsdsdv02ndsdv26dsdkddsk102nvan020nvdtdvaaatgan1的夾角與22222 vdtdvaaanxayaaxynaaa 將將a向不同的坐標軸中投影向不同的坐標軸中投影注意注意 的區(qū)別的區(qū)別dtdvdtvd與引入曲率、曲率半徑引入曲率、曲率半徑27例例1.2以速度以速度v0 平拋一小球，不計空氣阻力，求平拋一小

17、球，不計空氣阻力，求t時刻小球的時刻小球的切向加速度量值切向加速度量值a 、法向加速度量值、法向加速度量值an和軌道的曲率半徑和軌道的曲率半徑. 解：由圖可知解：由圖可知 singa xg2220tggtgygcosgan22200tgg22202tgtg2222 23/2200()xynnvvg tvaagv283、圓周運動、圓周運動位矢 ),(srr速度 ,00vdtdsv加速度 020nvdtdvaaan勻速率圓周運動：勻速率圓周運動： a 0常數(shù)Rvan2元位移 0dsrd 1）圓周運動的線量描述）圓周運動的線量描述292）圓周運動的角量描述）圓周運動的角量描述 t 角位置角位置12角

18、位移角位移 dtdtt0lim角速度角速度角加速度角加速度220limdtddtdtt2p 2r 1r 1p 0 1 2 （1）基本知識）基本知識30（2）勻角加速圓周運動）勻角加速圓周運動請與勻速率圓周運動區(qū)別。請與勻速率圓周運動區(qū)別。 當我們用平面極坐標描述圓周運動時，只有一個變量當我們用平面極坐標描述圓周運動時，只有一個變量，故其可與勻變速直線運動類比。故其可與勻變速直線運動類比。 勻變速直線運動勻變速直線運動1221222000221xxavvattvxxatvv勻角加速圓周運動勻角加速圓周運動1221222000221ttt常數(shù)即313）線量與角量的關(guān)系）線量與角量的關(guān)系 同一種運動

19、的兩種描述方法，二者必有聯(lián)系。同一種運動的兩種描述方法，二者必有聯(lián)系。 rv角速度矢量的方向：角速度矢量的方向：由右手螺旋法規(guī)確定。由右手螺旋法規(guī)確定。角速度矢量與線速度角速度矢量與線速度的關(guān)系。的關(guān)系。0rvRdds dtdsv dtdva Rvan2dtdRRdtdRR2R32例例1.3一飛輪以轉(zhuǎn)速一飛輪以轉(zhuǎn)速n1 500轉(zhuǎn)每分轉(zhuǎn)每分(rev/min)轉(zhuǎn)動，受制轉(zhuǎn)動，受制動后而均勻地減速，經(jīng)動后而均勻地減速，經(jīng)t50 s后靜止后靜止.(1)求角加速度求角加速度和從和從制動開始到靜止飛輪的轉(zhuǎn)數(shù)制動開始到靜止飛輪的轉(zhuǎn)數(shù)N；(2)求制動開始后求制動開始后t25 s時時飛輪的角速度飛輪的角速度；(

20、3)設(shè)飛輪的半徑設(shè)飛輪的半徑R1 m，求，求t25 s時飛時飛輪邊緣上任一點的速度和加速度輪邊緣上任一點的速度和加速度.22001=5050(50) =1250 rad 22tt解(1)由題知 ，當t50 s時0，故由式(1.26)可得： 0150022=50 rad/s60n050=3.14 rad/s50t 從開始制動到靜止，飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)分別為：1250625 rev2N33(2)t25 s時飛輪的角速度為：0t502525 rad/s(3)t25 s時飛輪邊緣上任一點的速度為vR1 2578.5 m/s 相應(yīng)的切向加速度和向心加速度為：2R3.14 m/sa 2232R1 (25

21、)6.16 10 m/sna 34 1、已知運動方程，求速度、加速度、已知運動方程，求速度、加速度(用求導(dǎo)法用求導(dǎo)法 )2、已知加速度、已知加速度(速度速度)，初始條件，求速度，初始條件，求速度(運動方程運動方程)(用積分的用積分的方法方法) ddtrvddtvadtdva ttvvadtdv00ttadtvv00設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為 ：t = 0 時，時，x=x0，v = v0dtdxv ttxxvdtdx00ttvdtxx001.2.3 運動學(xué)中的兩類問題運動學(xué)中的兩類問題22ddtr35例例1.4已知一質(zhì)點的運動方程為已知一質(zhì)點的運動方程為r3ti 4t2 j，式中，式中r以以m計，

22、計，t以以s計，求質(zhì)點運動的軌道、速度、加速度計，求質(zhì)點運動的軌道、速度、加速度.x = 3t ，y = -4t2解將運動方程寫成分量式解將運動方程寫成分量式消去參變量消去參變量t，得軌道方程：，得軌道方程： 4x2 9y0，這是頂點在原，這是頂點在原點的拋物線點的拋物線.見圖見圖1.15.由速度定義得由速度定義得38drvitjdt其模為其模為 ，與，與x軸的夾角軸的夾角223(8 )vt8arctan.3t圖圖1.1536由加速度的定義得由加速度的定義得8dvajdt 即加速度的方向沿即加速度的方向沿y軸負方向，大小為軸負方向，大小為28/.m s37解由速率定義，有解由速率定義，有14d

23、svtdt 2281/nvam sR例例1.5一質(zhì)點沿半徑為一質(zhì)點沿半徑為1 m的圓周運動，它通過的弧長的圓周運動，它通過的弧長s按按st2 的規(guī)律變化的規(guī)律變化.問它在問它在2 s末的速率、切向加速度、末的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？法向加速度各是多少？2t將將t2代入，得代入，得2 s末的速率為末的速率為1 4 29/vm s 其法向加速度為其法向加速度為由切向加速度的定義，得由切向加速度的定義，得 2224/.d sam sdt38解：解：因為因為 23 1224dtdtdtdt 例例1.6一飛輪半徑為一飛輪半徑為2 m，其角量運動方程為，其角量運動方程為23t4 (SI)，求

24、距軸心求距軸心1 m處的點在處的點在2 s末的速率和切向加速度末的速率和切向加速度.3t將t2 代入，得2 s末的角速度為23 12 (2)45/rad s 2 s末的角加速度為224 248/rad s 在距軸心1 m處的速率為 vR45 m/s切向加速度為248/aRm s 39例例1.7 一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x軸運動，其加速度軸運動，其加速度 a= kv2，式中，式中k為正常為正常數(shù)，設(shè)數(shù)，設(shè)t=0時，時，x=0，v=v0； （1）求）求v和和x作為作為 t 的函數(shù)的表示的函數(shù)的表示式；式； （2）求）求v作為作為x函數(shù)的表示式。函數(shù)的表示式。 分離變量得2dvkdtv 11vktc積分得0

25、01vvvkt解解 (1)因為因為 2dvadtkv dt 因為t0時，v ， 所以 .代入，并整理得0v101cv 40再由dxvdt，將v的表示式代入，并取積分02020v1ln(1)1vdtxckv tcktk因為t0時，x0，所以 0.于是2c01ln(1)xkv tk413dvvkdxc-kx0vv e3lnkxvcdvdv dxdvavdtdx dtdx(2)因為 2vdvkvdx 所以有 分離變量，并取積分因為x0時，v ，所以 代入，并整理得0v30ln.cv 421-3 相對運動相對運動 引出：運動是絕對的，運動的描述具有相對性。引出：運動是絕對的，運動的描述具有相對性。以車

26、站為參照系以車站為參照系以汽車為參照系以汽車為參照系車站車站車站車站43一、運動參照系，靜止參照系一、運動參照系，靜止參照系 、“靜止參照系靜止參照系”、“運動參照系運動參照系”都是相對的。都是相對的。 對于一個處于運動參照系中的物體，相對于靜止參照系的運動對于一個處于運動參照系中的物體，相對于靜止參照系的運動稱為稱為絕對運動絕對運動;相對于觀察者為靜止的相對于觀察者為靜止的參照系參照系,稱為稱為靜止參照系。靜止參照系。相對于觀察者為運動的相對于觀察者為運動的參照系參照系,稱為稱為運動參照系。運動參照系。Xva b srdragrr相運動參照系相對于靜止參照系的運動稱為運動參照系相對于靜止參照

27、系的運動稱為牽連運動牽連運動;物體相對于運動參照系的運動稱為物體相對于運動參照系的運動稱為相對運動。相對運動。44Xv0 rror二、參照系彼此之間有相對運動二、參照系彼此之間有相對運動 （非相對論效應(yīng)）（非相對論效應(yīng)） 設(shè)設(shè)系相對系以速度系相對系以速度v運動，運動，P為為S/系中的一個質(zhì)點，系中的一個質(zhì)點， P對于對于O點的位矢為絕對位矢點的位矢為絕對位矢r O/對于對于O點的位矢為牽連位矢點的位矢為牽連位矢r0 P對于對于O/點的位矢為相對位矢點的位矢為相對位矢r0rrr在牛頓的時、空觀中在牛頓的時、空觀中即絕對位矢即絕對位矢=牽連位矢牽連位矢+相對位矢相對位矢SSYYOOPX45將將 兩

28、邊對兩邊對t t求導(dǎo)，求導(dǎo)， 即得即得絕對速度絕對速度v絕絕，牽連速度，牽連速度v牽牽，相對速度，相對速度v相相 ，且有，且有0absvvv 將上式再對將上式再對t求導(dǎo)，即可得絕對加速度，牽連加速度，相加對求導(dǎo)，即可得絕對加速度，牽連加速度，相加對速度速度 之間的關(guān)系之間的關(guān)系0absaaa0rrr兩點說明：兩點說明：上述各式均只在上述各式均只在vc時成立；時成立；上述結(jié)論只適用于兩參考系間不存在轉(zhuǎn)動的情況。上述結(jié)論只適用于兩參考系間不存在轉(zhuǎn)動的情況。46三、同一參照系內(nèi)，質(zhì)點系各質(zhì)點之間的相對運動三、同一參照系內(nèi)，質(zhì)點系各質(zhì)點之間的相對運動 兩質(zhì)點間的相對位矢，即兩質(zhì)點間的相對位矢，即B對對

29、A的位矢為的位矢為 BABArrrB對對A的相對速度的相對速度 BABAvvvB對對A的相對加速度的相對加速度 BABAaaa 若一質(zhì)點系同在某一基本參若一質(zhì)點系同在某一基本參考系內(nèi)運動，如果我們討論的考系內(nèi)運動，如果我們討論的是質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點間的相對運是質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點間的相對運動，則有時運用下面的方法要動，則有時運用下面的方法要方便些。方便些。 設(shè)設(shè)A、B為質(zhì)點系內(nèi)的兩個質(zhì)為質(zhì)點系內(nèi)的兩個質(zhì)點，它們同在點，它們同在OXYZ系內(nèi)運動，系內(nèi)運動，rA、rB為對為對O點的位矢，則點的位矢，則ArBrBAr47 后一種描述相對運動的方法可以統(tǒng)一到前一種方法中。例后一種描述相對運動的方法可以統(tǒng)一到前一種方法中。例如，將如，將A質(zhì)點看成質(zhì)點看成S/系，則系，則rA為牽連位矢，為牽連位矢，rBA為相對位矢，為相對位矢，則則rB為絕對位矢，于是有為絕對位矢，于是有BABArrr48(船換向時間忽略不計船換向時間忽略不計).例例1.91.9如圖如圖1.18(a)1.18(a)所示，河寬為所示，河寬為L L，河水以恒定速度，河水以恒定速度u u流動，岸邊有流動，岸邊有A A，B B碼頭，碼頭，A A，B B連線與岸邊垂直，碼頭連線與岸邊垂直，碼頭A A處有船相對于水以恒定速率處有船相對于水以恒定速率 開動，開動，證明：船