導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-零點(diǎn)恒成立存在性的較簡(jiǎn)單問(wèn)題等

1、3.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（2）（文科）一、【教學(xué)目標(biāo)】重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)為主要工具解決圖象交點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、存在性、恒成立問(wèn)題.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)與恒成立問(wèn)題.教育點(diǎn)：提高學(xué)生的認(rèn)知水平，塑造良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法意識(shí)及應(yīng)用能力.自主探究點(diǎn):（1）函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化；（2）恒成立、存在性問(wèn)題的處理，一般是采用“分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化”的方法；（3）例題及變式的解題思路的探尋.易錯(cuò)點(diǎn)：不等式對(duì)“”恒成立，還是“”使之成立；不等式兩邊是同一個(gè)變量還是兩個(gè)獨(dú)立的變量.拓展點(diǎn): 利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，要注意分類

2、討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.能力點(diǎn)：以函數(shù)零點(diǎn)與恒成立、存在性為命題背景，考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.考試點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.二、【知識(shí)梳理】1.函數(shù)的零點(diǎn)方程的根方程的根函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：恒成立；.3.能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：能成立；.4.恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：在上恰成立的解集為另一轉(zhuǎn)化方法：若在上恰成立，等價(jià)于在上的最小值，若在上恰成立，則等價(jià)于在上的最大值.5.結(jié)論1：；結(jié)論2：；結(jié)論3：；結(jié)論4：；結(jié)論5：的值域和的值域交集不為空；結(jié)論6：若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；結(jié)論7：若不等式在區(qū)間D上恒成立，則

3、等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方.三、【范例導(dǎo)航】例1.（2013江蘇節(jié)選）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍【分析】將在上是單調(diào)減函數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而利用分離參數(shù)法求出最值即可.【解答】解法一 ，由題意得在上恒成立，則在上恒成立，故：在上是單調(diào)增函數(shù)，又在上有最小值，則必有，即綜上，可知的取值范圍是解法二 ，由題意得在上恒成立，則在上恒成立，故：在上有最小值，當(dāng)時(shí)，恒成立，在為單調(diào)增函數(shù)，故在上無(wú)最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得又，在為單調(diào)增函數(shù)，故在上也無(wú)最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得又，在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，此時(shí)有最小值為綜上，可

4、知的取值范圍是【點(diǎn)評(píng)】求解問(wèn)題的切入點(diǎn)不同，求解的難度就有差異，在恒成立問(wèn)題中有時(shí)需要取交集，有時(shí)需要取并集，本題解法一需要取交集，解法二需要求交集一般而言，在同一問(wèn)題中，都是對(duì)自變量做分類討論，其結(jié)果要取交集；若是對(duì)參數(shù)做分類討論，其結(jié)果就要取并集變式訓(xùn)練:（2008安徽文節(jié)選）設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)若對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解法一（變量分離法）：由題設(shè)知：對(duì)任意都成立，即對(duì)任意都成立.于是對(duì)任意都成立，即.解得的取值范圍是.解法二（變量轉(zhuǎn)換，最值控制法）：對(duì)任意都成立.即對(duì)任意都成立，設(shè)，則對(duì)任意，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以對(duì)任意，恒成立的充分必要條件是，即 ， 于是的取值范圍是.例2（20

5、13福建文）已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值；(2)求函數(shù)的極值；(3)當(dāng)?shù)闹禃r(shí),若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn),求的最大值.【分析】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí).【解答】(1)由，得. 又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，得，即，解得. (2)， 當(dāng)時(shí),，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無(wú)極值. 當(dāng)時(shí)，令，得，. ，；，. 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故在處取得極小值，且極小值為，無(wú)極大值. 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極小值；當(dāng)，在處取得極小值，無(wú)極大值. (3) 解法一當(dāng)時(shí)，. 直線:與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)， 等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方

6、程: (*)在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 當(dāng)時(shí)，方程(*)可化為，在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 當(dāng)時(shí)，方程(*)化為. 令，則有. 由，得， 當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表:當(dāng)時(shí)，同時(shí)當(dāng)趨于時(shí)，趨于， 所以的取值范圍為. 從而當(dāng)時(shí)，方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解，解得的取值范圍是. 綜上，得的最大值為.解法二 當(dāng)時(shí)， 令， 則直線:與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 假設(shè)，此時(shí)， 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故. 又時(shí)，知方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 所以的最大值為. 【點(diǎn)評(píng)】本題是函數(shù)零點(diǎn)存在性問(wèn)題的典型變式題，涉及圖象交點(diǎn)向函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，進(jìn)一步加深了利用導(dǎo)數(shù)研

7、究函數(shù)性質(zhì)的考查和對(duì)函數(shù)極值（最值）的認(rèn)識(shí).求解過(guò)程中通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，分離變量，求出極值（最值），較好的考查了學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力及其函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.變式訓(xùn)練:（2009陜西文節(jié)選）已知函數(shù)，若在處取得極值，直線與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍【解答】易求，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有.故當(dāng)或時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)根，解得或.例3 .已知兩個(gè)函數(shù)；（1）若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【分析】利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將恒成立

8、與存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大最小值的求解問(wèn)題【解答】（1）設(shè)，（1）中的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)， 恒成立，即易知 ；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況列表如下：增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)因?yàn)?，所以，由上表可知，故，得?）根據(jù)題意可知，問(wèn)題等價(jià)于 在時(shí)有解，故.由（1）可知，因此，即(3) 根據(jù)題意可知，問(wèn)題等價(jià)于，由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得， 時(shí)， ，仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得時(shí)， ，由得【點(diǎn)評(píng)】如果一個(gè)問(wèn)題的求解中既有存在性問(wèn)題又有恒成立問(wèn)題，這時(shí)需要深刻理解題意，對(duì)問(wèn)題做等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值（最值）相關(guān)的問(wèn)題去求解這里一定注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性、巧妙性，防止在轉(zhuǎn)化中出錯(cuò)導(dǎo)致問(wèn)題的求解出錯(cuò)變式訓(xùn)練: (2

9、010年山東理科節(jié)選) 已知函數(shù)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解答】若，則易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上的最小值為由于“對(duì)，使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值” 又，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)與矛盾；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑯优c矛盾；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，解不等式，可得綜上，的取值范圍是.四、【解法小結(jié)】1曲線的交點(diǎn)和函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）有關(guān)，導(dǎo)數(shù)是解決該類問(wèn)題的有效方法，解題時(shí)注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.2有關(guān)恒成立和存在性問(wèn)題，一直是高考命題的熱點(diǎn)試題往往以全稱命題和特稱命題的形式出現(xiàn)，同時(shí)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)進(jìn)行考

10、查求解時(shí)注意構(gòu)造函數(shù)結(jié)合分離變量（參數(shù)）法將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值（最值）問(wèn)題，是解決這類問(wèn)題的常用方法當(dāng)然也要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想準(zhǔn)確應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合思想的巧妙做法3恒成立和存在性問(wèn)題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系，即對(duì)于恒成立，應(yīng)求的最小值；若存在，使得成立，應(yīng)求的最大值在具體問(wèn)題中，究竟是求最大還是最小值，可以聯(lián)想恒成立問(wèn)題是求最大還是最小值，這樣就可以確定相應(yīng)的存在性問(wèn)題是求最大還是最小值五、【布置作業(yè)】必做題：1若函數(shù)的減區(qū)間為，則的值是（ ）.A B C D 2已知是上的單調(diào)增函數(shù),則的范圍是（ ）.A或B 或C D3已知三次函數(shù)在存在極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）. A  B

11、  C   D4（2013天津）設(shè)函數(shù). 若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）.A B C D 5（2013新課標(biāo)全國(guó)卷2）若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是（ ）.A B C D6（2013新課標(biāo)全國(guó)卷1）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）.A B C D7（2009江西文改編）設(shè)函數(shù).若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是 . 8（2013新課標(biāo)全國(guó)卷2改編）若對(duì)任意的正數(shù)使成立，則的取值范圍是 9已知函數(shù)，若有，求的取值范圍10（2013北京文）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn))處與直線相切，求與的值.(2)若曲線與直線 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.必做題答案：1-6 CDDC

12、DD 7 8 9. 10.(1) (2) 5解法一 不等式可變形為令，從而為增函數(shù)，又，故所以選D 解法二 因?yàn)?，所以由得，在同一坐?biāo)系中，如下圖作出函數(shù)，的圖象，當(dāng)時(shí)，所以如果存在，使，則有，即，所以選D . 6解法一 成立（1）由恒成立得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有在區(qū)間上恒成立，綜上可知，（2）由恒成立，可令，則當(dāng)時(shí)，故在上單增，恒成立當(dāng)時(shí)，故在上單減，恒成立，顯然不符合題意當(dāng)時(shí)，對(duì)于給定的一個(gè)確定的值，總可以至少找到一個(gè)，滿足成立如時(shí)，取，則成立，當(dāng)時(shí)，不符合題意所以由（1）（2）可知的取值范圍是，故選D解法二 （1） 當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立令若時(shí)，即時(shí)，顯然不符合題意若時(shí)，即時(shí)，符合題意（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)

13、恒成立令，則，設(shè)，則，記，則，在上為減函數(shù)，故，從而，所以在時(shí)為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，恒成立，由（1）（2）可知的取值范圍是，故選D解法三 由的圖像知，當(dāng)時(shí)，由于上任意一點(diǎn)的切線斜率都要大于，只有時(shí)，才能滿足，可排除B，C當(dāng)時(shí)，令，則，故只有時(shí)，才能滿足綜上可知的取值范圍是，故選D9由題可知，若有，則，即，解得.10由，得. (1)因?yàn)榍€在點(diǎn)處與直線相切，所以 ，解得，. (2)令，得. 與的情況如下: 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，是的最小值. 當(dāng)時(shí)，曲線與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，>， ， 所以存在，使得. 由于函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)，所以當(dāng)時(shí)曲線與直線有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn). 綜上可知，如果曲線與直線有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么的取值范圍是. 選做題（2102福建文）已知知函數(shù)，且在上的最大值為，(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.選做題答案：在上恒成立，且能取到等號(hào)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，.（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，當(dāng)上單調(diào)遞減，存在唯一使，得：在上單調(diào)遞增，得：在上單調(diào)遞減，得：時(shí)，時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，由得：函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)六、【教后反思】1.本教案的亮點(diǎn)是：首先較為全面透徹地講解與