第一節(jié)頻率特性的基本概念(第講)

1、2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering1自動控制原理自動控制原理 （第（第 16 講）講） 5. 5. 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正線性系統(tǒng)的頻域分析與校正 5.1 5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相頻率特性（幅相頻率特性（NyquistNyquist圖）圖） 5.3 5.3 對數(shù)頻率特性（對數(shù)頻率特性（BodeBode圖）圖） 5.4 5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù) 5.5 5.5 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 5.6 5.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能 5.7

2、5.7 閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering2自動控制原理自動控制原理 5. 5. 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正線性系統(tǒng)的頻域分析與校正5.1 5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering3 考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 有時也用正弦波輸入時系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個頻率正弦波輸入時的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由

3、低到高無數(shù)個正弦波輸入下所對應(yīng)的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。 頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計系統(tǒng)的一個既方便又有效的工具。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering4tsinA) t (rr 頻率特性的概念頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個給系統(tǒng)輸入一個幅值不變幅值不變頻率頻率不斷增大不斷增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=440不不結(jié)論結(jié)論給給穩(wěn)定穩(wěn)定的系

4、統(tǒng)輸入一個正弦，其的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入是與輸入同頻率同頻率的正弦，幅值隨的正弦，幅值隨而而變變，相角，相角也是也是的函數(shù)。的函數(shù)。輸入輸入輸出輸出輸入輸入輸出輸出決然不同的輸入，決然不同的輸入，為什么為什么盡會得到如此相似的輸出盡會得到如此相似的輸出! !？2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering5一、頻率特性的定義： 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。 對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

5、G(s)。).()()()()()(21npspspssNsRsCsG式中， 為極點。njpj,.,2 , 1,若：)()(,sin)(22jsjsRsRsRtRtrmmm則則：jskjskpskpskpskjsjsRpspspssNpspspssRsNsCccnnmnn2122112121.)().()()().()()()()(2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering6拉氏反變換為：tjctjctpntptpekekekekektcn2121.)(21若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當(dāng) ，即穩(wěn)態(tài)時：0,.,0,

6、021tptptpneeettjctjcsekektc21)(式中， 分別為：21,cckkjjGRjsjsjsRsGjssCkjjGRjsjsjsRsGjssCkmjsmjscmjsmjsc2)()()()(| )(2)()()()(| )(212022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering7而)()()()()(| )(| )()()(| )(| )()(jjGjjsjjGjjseAejGsGjGeAejGsGjG)(2)(1)(2,)(2jmcjmceAjRkeAjRk)(sin()(sin()(2)()()()(21

7、tCtRAjeeRAekektcmmtjtjmtjctjcs式中：Rm 、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移動了 。 和 都是頻率的函數(shù)。| )(|)(jGA)()(jG)(A)(2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering8頻率特性的推導(dǎo)頻率特性的推導(dǎo)時時輸輸出出為為：設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定，輸輸入入tsinA) t (rr )()()(sRsGsC2211*

8、)()(sAsszskrniimjjG)()(jsjsAsGr n1i21iijsBjsBssa n1in1itsiii1ieassaL0elimtsti 系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定， jsBjsB) s (C21s)(2)()(2)(jsjAjGjsjAjGrrniimjjGsjzjkjG11*)()()(niimjjGsjzjkjG11*)()()()()(jGjG)()(jGjGjejGejGAtctjtjrs2)()()(jeeeeAjGtctjjGjtjjGjrss2)()()()()(sin()()(jGtAjGtcrss2022年6月11日星期六Sichuan University of

9、 Science and Engineering9)j ( )j ( 幾點說明幾點說明(補充補充) ,) s (R) s (C) s ( ) t (c,ss則則若系統(tǒng)穩(wěn)定若系統(tǒng)穩(wěn)定 )j ()j ( )j ( )j ( ) t (c,ss則則若系統(tǒng)穩(wěn)定若系統(tǒng)穩(wěn)定)j ( sinAro25t tsinAr ) t (r)25tsin(Aor ) t ( rtsinAr ej ) t (c,ss則則若系統(tǒng)穩(wěn)定若系統(tǒng)穩(wěn)定 ) t (r)10tcos(Aor )j ( )j ( cosAro10t 輸出幅值與輸入幅值輸出幅值與輸入幅值之比之比為為幅頻幅頻特性特性稱為稱為頻率特性頻率特性)j ( 輸出相

10、角與輸入相角輸出相角與輸入相角之差之差)j ( 為為相頻相頻特性特性 )( )(A)j ( )j ()j ( ej, ,當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時 ) t (c) t ( r) t (essss或或tsinAr ) t ( r若若tsinAr ) t (ess則則tsinAr )j (er )( jer)j ( )j ( tsinAr 友友情情提提醒醒) s (sElim) t (e0sss 千萬別用千萬別用為為諧諧波波信信號號時時，) t (r)j (tcosA)j () t (ccnncnssn 則則, tcosA) t (nn 若若 ) t (essn而而)j (tcosA)j (cnnc

11、n E(s)R(s) ) s (er,1s1) s ( 若若, tcos) t (r ,e707. 0)135( jo )135tcos(707. 0) t (coss 友友情情提提醒醒耶耶！ ) t (css )1 j (則則單單位位反反饋饋時時2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering105.1 頻率特性的基本概念例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示, r(t)=3sin(2 2t+30), 求求 cs(t), es(t)。11)( ss解解. .511111)(22jj4 .63arctan)(2j53)(

12、tcs 4 .33304 .63)(tcs)4 .332sin(53)( ttcs1)( ssse5211)(22jjje6 .264 .6390arctan90)(2je56)( tes 6 .56306 .26)(tes)6 .562sin(56)( ttes2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering11頻率高低與頻率高低與輸出幅度輸出幅度的關(guān)系的關(guān)系=0.5=1.2b=2=5b=10=30ts=3T=0.3sts=3T=1.5s時間常數(shù)時間常數(shù)越小越小,復(fù)現(xiàn)性越好復(fù)現(xiàn)性越好！結(jié)論結(jié)論2022年6月11日星期六Sic

13、huan University of Science and Engineering12定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差 為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性； )()(jG| )(|)(jGARCmm定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號的幅值之比 為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性； 幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量 ，它也是 的函數(shù)。 稱為頻率特性。),(jG)()()(jeAjG)(jG這里 和 分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。 還可將 寫成復(fù)數(shù)形式，即 )(jG)()()(jQPjG)(Re)(jGP)(Im)(

14、jGQ2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering13由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學(xué)上是等價的。 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：jssGjG| )()( 幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：)(cos)()( AP)(sin)()( AQ)()()(22QPAniimjjptgztgPQtg11111)()()()()()()()(jQPjGjnmepjzjkjG)(2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Enginee

15、ring14結(jié)論：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用 代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。j 到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)jsdtdsdtdj )( tgL)(1sGL2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering15 從另一方面，若線性系統(tǒng)在正弦信號輸入作用下，在穩(wěn)態(tài)情況下，輸入輸出都是正弦函數(shù)，可用矢量表示：)()()()()()(,)(jjmmjmjmeAeRCjRjCeCjCeRjRxyyx可見，

16、頻率特性就是輸出、輸入正弦函數(shù)用矢量表示時之比。表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。是頻率域中的數(shù)學(xué)模型。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering16例子：設(shè)傳遞函數(shù)為：431)()()(2sssxsysG微分方程為：)()(4)(3)(,431)()(2222txtydttdydttyddtddtdtxty頻率特性為：4)( 3)(1)()()(2jjjxjyjG其余略。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering17 頻

17、率響應(yīng)法的優(yōu)點之一在于它可以通過實驗量測來獲得，而不必推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 事實上，當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時，常用的方法是利用對該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。 此外，在驗證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時，也往往用它所對應(yīng)的頻率特性同測試結(jié)果相比較來判斷。 頻率響應(yīng)法的優(yōu)點之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中有非常重要的作用。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering18 頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

18、cs(t)，當(dāng)然也就無法由實際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但從理論上動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實驗方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。jssGjG| )()(2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering19 頻率特性可以寫成復(fù)數(shù)形式： ，也可以寫成指數(shù)形式： 。其中， 為實頻特性， 為虛頻特性； 為幅頻特性， 為相頻

19、特性。)()()(jQPjG)(| )(|)(jGjGjG)(P)(Q| )(|jG)(jG 在控制工程中，頻率分析法常常是用圖解法進行分析和設(shè)計的，因此有必要介紹常用的頻率特性的三種圖解表示。q 極坐標(biāo)頻率特性曲線（又稱奈魁斯特曲線）q 對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）q 對數(shù)幅相特性曲線（又稱尼柯爾斯圖）二、頻率特性的表示方法：2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering200)(P)(Q)()(A11)(2ssssG一、極坐標(biāo)頻率特性曲線（又稱奈魁斯特曲線） 它是在復(fù)平面上用一條曲線表示 由 時的頻率特性。即用矢量 的

20、端點軌跡形成的圖形。 是參變量。在曲線的上的任意一點可以確定實頻、虛頻、幅頻和相頻特性。0)(jG由于 是偶函數(shù)，所以當(dāng) 從 和 變化時，奈魁斯特曲線對稱于實軸。| )(|jG00根據(jù)上面的說明，可知：頻率特性曲線是S平面上變量s沿正虛軸變化時在G(s)平面上的映射。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering21二、對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖） 它由兩條曲線組成：幅頻特性曲線和相頻特性曲線。波德圖坐標(biāo)（橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅值和相角）的分度：q 橫坐標(biāo)分度：它是以頻率 的對數(shù)值 進行分度的。所以橫坐標(biāo)（稱為頻率軸）上

21、每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程（或十倍頻），用Dec表示。如下圖所示：logDecDecDecDec12012.log0.0100.1110100由于 以對數(shù)分度，所以零頻率線在 處。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering22q 縱坐標(biāo)分度：幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)是以 或 表示。其單位分別為貝爾（Bl）和分貝（dB）。直接將 或 值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上。 )(logA)(log20A)(logA)(log20A 相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進行線性分度。 一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個

22、橫坐標(biāo)（頻率軸）。 當(dāng)幅制特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：)log(20幅值增益 20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值)(A二、對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering23優(yōu)點： 可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性。 可以將乘法運算轉(zhuǎn)化為加法運算?？v坐標(biāo)是以 所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進線）近似表示。 對實驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。)(log20wA二、對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering24對數(shù)坐標(biāo)系對數(shù)坐標(biāo)系橫軸沒有零橫軸沒有零從左到右從稀到密從左到右從稀到密一個單位長度中一個單位長度中粗線上粗線上一個單位長度一個單位長度每擴大十倍橫軸就增加每擴大十倍橫軸就增加標(biāo)值標(biāo)值刻度以刻度以以以關(guān)于