恰當(dāng)方程與積分因子

1、2.3 恰當(dāng)方程與積分因子恰當(dāng)方程與積分因子 一、恰當(dāng)方程的定義及條件一、恰當(dāng)方程的定義及條件則它的全微分為是一個連續(xù)可微的函數(shù)設(shè),),(yxuu dyyudxxudu如果我們恰好碰見了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以馬上寫出它的隱式解.),(cyxu定義1使得若有函數(shù)),(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(則稱微分方程) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM是恰當(dāng)方程.),() 1 (cyxu的通解為此時如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰當(dāng)方程.)(xyd)(23xyyxd)()(ydygxdxf

2、d1 恰當(dāng)方程的定義需考慮的問題(1) 方程(1)是否為恰當(dāng)方程?(2) 若(1)是恰當(dāng)方程,怎樣求解?(3) 若(1)不是恰當(dāng)方程,有無可能轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程求解?2 方程為恰當(dāng)方程的充要條件定理1則方程偏導(dǎo)數(shù)中連續(xù)且有連續(xù)的一階域在一個矩形區(qū)和設(shè)函數(shù),),(),(RyxNyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM為恰當(dāng)方程的充要條件是).2(,),(),(xyxNyyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM證明“必要性”設(shè)(1)是恰當(dāng)方程,使得則有函數(shù)),(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),(yxMxu),(yxNyu從而2,M

3、uyy x 2.Nuxx y 從而有都是連續(xù)的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM“充分性”，xyxNyyxM),(),(若解這個方程得看作參數(shù)把出發(fā)從,)5(y滿足則需構(gòu)造函數(shù)),(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即應(yīng)滿足)5(),(yxMxu)6(),(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu,)(的任意可微函數(shù)是這里yyyu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd,)7(無關(guān)的右端與下面證明x的偏導(dǎo)數(shù)常等于零即對x事實(shí)上),(dxyxMyNx),(dxyxMyxxN)6(),(yxNyu即同時滿足使下面選擇),6(

4、),(uydyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu),(dxyxMxyxNyMxN. 0積分之得右端的確只含有于是,)7( ,y,),()(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,),(dydxyxMyN(8)。yxu為恰當(dāng)方程從而存在即) 1 (,),()7(),()(dxyxMyNdyyd注:若(1)為恰當(dāng)方程,則其通解為為任常數(shù)ccdydxyxMyNdxyxM,),(),(二、恰當(dāng)方程的求解二、恰當(dāng)方程的求解1 不定積分法.,0),(),(10若是進(jìn)入下一步是否為恰當(dāng)方程判斷dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(

5、30yyxNyu求由例1 驗(yàn)證方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰當(dāng)方程,并求它的通解.解:( , ),( , )2sin .xM x yey N x yxy這里( , )1M x yy所以故所給方程是恰當(dāng)方程.滿足由于所求函數(shù)),(yxu, yexux,sin2yxyu積分得對將看作常數(shù)只要將由偏導(dǎo)數(shù)的定義xyeyx,)()(),(ydxyeyxux).(yyxex,),(xyxN).(),(yyxeyxux應(yīng)滿足的方程為得求偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于對)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(積分后得:,cos2)(yy 故.cos2),(yyxeyxux從而方程的通

6、解為.cos2cyyxex2 分組湊微法 采用“分項(xiàng)組合”的方法,把本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來,再把余的項(xiàng)湊成全微分.-應(yīng)熟記一些簡單二元函數(shù)的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd例2 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223( , )36,( , )64,M x yxxyN x yx yy這里( , )12M x yxyy所以故所給方程是恰當(dāng)方程. 把方程重新“分項(xiàng)組合”得0)66(

7、432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或?qū)懗?)3(2243yxyxd故通解為:。ccyxyx為任常數(shù),32243,),(xyxN例3 驗(yàn)證方程, 0)1 ()sin(cos22dyxydxxyxx是恰當(dāng)方程,并求它滿足初始條件y(0)=2的解.解:),1 (),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxM這里yyxM),(故所給方程是恰當(dāng)方程.把方程重新“分項(xiàng)組合”得, 0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd, 0 xy2,),(xyxN, 0)(sin2222yyxxd或?qū)懗晒释ń鉃?/p>

8、:,sin2222cyyxx得由初始條件, 2)0(y, 4c故所求的初值問題的解為:. 4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd3 線積分法定理1充分性的證明也可用如下方法:,),(),(xyxNyyxM由于由數(shù)學(xué)分析曲線積分與路徑無關(guān)的定理知:，yxudyyxNdxyxM的全微分為某函數(shù)),(),(),(使即有函數(shù)),(yxu,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu。為恰當(dāng)方程從而 ) 1 (則取這時,),(,00Ryx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxNdxyxMyxuxxdxyxM0),(0,),(0yydyyxN從而(1)的通解為。c

9、cdyyxNdxyxMyyxx為任常數(shù),),(),(000例4 求解方程. 0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:, 2sin),(,2cos),(2yyexxyxNxexyyxM由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所給方程是恰當(dāng)方程.,),(),(全平面上連續(xù)在由于yxNyxM則故取),0 , 0(),(00yxyxdyyxNdxxM00),()0 ,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2) 1(sin2yexxyy.,2sin2為任常數(shù)ccyexxyy故通解為:.2sin2yexxyy),()0, 0(),(),(),(yxdyyxNdxy

10、xMyxu, 2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM三、積分因子三、積分因子非恰當(dāng)方程如何求解?對變量分離方程:, 0)()(dxyxfdy不是恰當(dāng)方程.得方程兩邊同乘以,)(1y, 0)()(1dxxfdyy是恰當(dāng)方程.xyyxf)(10)(對一階線性方程:, 0)()(dxxQyxPdy不是恰當(dāng)方程.得方程兩邊同乘以,)(dxxPe, 0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP則或左邊( )( )( )P x dxP x dxd eyQ x edx, 0是恰當(dāng)方程.可見,對一些非恰當(dāng)方程,乘上一個因子后,可變?yōu)榍‘?dāng)方程.( )( )( )P x dxP

11、x dxep x ex ( )( ( )( )P x dxep x yQ xy1 定義使得如果存在連續(xù)可微函數(shù), 0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.) 1 (),(,的一個積分因子是方程則為恰當(dāng)方程yx例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一個積分因子是方程驗(yàn)證dyyxxdxxyyyxyx解:對方程有),(),(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx,),(后為恰當(dāng)方程故所給方程乘于yx.),(是其

12、積分因子所以yx后得對方程兩邊同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分項(xiàng)組合”得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所給方程的通解為:。ccyxyx為任常數(shù),34232 積分因子的確定:0),(),(),(充要條件是的積分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN)(xNyMyMxN.0),(),(),(,),(更困難方程一般來說比直接解微分要想從以上方程求出程為未知函數(shù)的偏微分方上面方程是以dyy

13、xNdxyxMyxyx盡管如此,方程)(xNyMyMxN還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑.則的積分因子有關(guān)存在僅與如果方程),(),(0),(),(xyxxyxNdxyxM這時方程, 0y)(xNyMyMxN變成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,有關(guān)由于上式左側(cè)僅與 x,的函數(shù)的微分所以上式右側(cè)只能是x是的積分因子的必要條件賴于有一個僅依從而微分方程xyxNdxyxM0),(),()10(,)(NxNyM此時求得積分因子NxNyMx)()(這里,)()(dxxex.),(無關(guān)而與的函數(shù)只是yxx.),()10(無關(guān)而與的函數(shù)只是若yxx,)()(dxxex則。dyyxNdxyxM

14、一個積分因子是方程0),(),(NxNyMx)()(這里dxxd)( )( , )x N x yx( )( , )( , )( )dxN x yN x yxdxx( )( , )( )x dxN x y ex( , )( )N x yxx( , )( , )() ( )M x yN x yxyx( , )( )N x yxx( , )( )M x yxy( )( , )x M x yy)( , )( , )0 xM x y dxN x y dy故 ( 是方程一個積分因子.3 定理微分方程) 1 (, 0),(),(yxNdxyxM是的積分因子的充要條件有一個僅依賴于x,)(NxNyM的積分因子

15、為這時有關(guān)僅與) 1 (,x,)()(dxxexNxNyMx)()(這里充要條件是的積分因子的有一個僅依賴于微分方程同理y) 1 (,)(MxNyM的積分因子為這時有關(guān)僅與) 1 (,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy這里例6 求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM這里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰當(dāng)方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有關(guān)的積分因子故方程有一個僅與無關(guān)它與xy,)(xdxxex)()(dxe1xe后得對方程兩邊同乘以xex )(0)()22(222dyeyedxyee

16、yxxxx利用恰當(dāng)方程求解法得通解為.,222為任意常數(shù)ccyeeyxx 積分因子是求解積分方程的一個極為重要的方法,絕大多數(shù)方程求解都可以通過尋找到一個合適的積分因子來解決,但求微分方程的積分因子十分困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法的技巧和經(jīng)驗(yàn).下面通過例子說明一些簡單積分因子的求法.1)()(NxNyMx例7 求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改寫為:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有積分因子,1),(22yxyx:),(乘改寫后的方程兩邊得以yx,2)(2222dxyxyxd即,2)(2222dxyxyxd,22dxyxd故方程的通解為:.,22為任常數(shù)ccxyx例8 求解方程. 0)(dyxyydx解:,),(,),(xyyxNyyxM這里1),(yyxM, 1),(xyxN故方程不是恰當(dāng)方程,方法1:MxNyM)(因?yàn)閥2,有關(guān)僅與y的積分因子故方程有一個僅依賴于ydyyey)()(dyye2,12y:12乘方程兩邊得以y. 02ydyyxdyydx即. 0112dyyxdyydxy故方程的通解為:.lncyyx)(y方法2:方程改寫為:,ydyxdyydx容易看出方程左側(cè)有積分因子:21y21x或xy1或221yx 或,有關(guān)但方程右側(cè)僅與y由此得為方程的積分因子故取,12y.2ydyyxdyydx