同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、1.2.2 同角同角三角函數(shù)三角函數(shù)的基本關(guān)系的基本關(guān)系一、問題導(dǎo)學(xué)一、問題導(dǎo)學(xué)函數(shù)是怎樣定義的？單位圓中任意角的三角. 1_sin_cos_tan嗎？關(guān)系對(duì)于任意角都成立之間有什么關(guān)系？這個(gè)和之間有什么關(guān)系？和終邊與單位圓的交點(diǎn)，）是角（設(shè)cossin,. 3yxyxP成立嗎？這個(gè)關(guān)系對(duì)于任意角都之間有什么關(guān)系？和tancos,sin. 2xyP(x,y)oA(1,0)角 的終邊M同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系平方關(guān)系:1cossin22商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系:cossintan),2(Zkk同一個(gè)角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切。二、探討新知二、探討新知基本

2、變形基本變形 思考思考1 1：對(duì)于平方關(guān)系：對(duì)于平方關(guān)系 可作哪些變形？可作哪些變形？ 22sincos122sin1cos, 22cos1 sin, 2(si ncos )12si ncos ,aaaa+=+2(si ncos )12si ncos ,aaaa-=-1cossi n,si n1cosaaaa+=-1si ncos.cos1si naaaa+=-思考思考2 2：對(duì)于商數(shù)關(guān)系對(duì)于商數(shù)關(guān)系 可作可作哪些變形？哪些變形？sintancossincostan,sincos.tan思考思考3 3：結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，可得到哪些新的恒等式？可得到哪些新的恒等式？

3、221cos,1tanaa=+222tansi n.1tanaaa=+三、應(yīng)用示例三、應(yīng)用示例的值。是第二象限角，求，并且、已知例tan,cos31sin198311sin1cos1cossin22222得解：由0cos是第二象限角，又322cos4232231cossintan從而從而解解:因?yàn)橐驗(yàn)?, 1sin, 0sin所以所以 是第三或第四象限角是第三或第四象限角.由由 得得1cossin22.2516531sin1cos222如果如果 是第三象限角是第三象限角,那么那么542516cos434553cossintan如果如果 是第四象限角是第四象限角,那么那么43tan,54cos的

4、值。求已知例tan,cos,53sin. 2三、應(yīng)用示例三、應(yīng)用示例例例3已知已知 ，求，求sin、tan的值的值. 178cos分析：分析：cos0是第二或第三象限是第二或第三象限角因此要對(duì)角因此要對(duì)所在象限分類討論所在象限分類討論. 解：當(dāng)解：當(dāng)是第二象限角時(shí)，是第二象限角時(shí)，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 當(dāng)當(dāng)是第三象限角時(shí)，是第三象限角時(shí)，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 練習(xí)練習(xí)12sin13cos ,tan,cot4cos5 sin,tan1（1）已知已知，并且并且是第二象

5、限角，求是第二象限角，求（2）已知，求cos05cos13 又是第二象限角，即有從而sin12tancos5 15cottan12 22sincos12222125cos1 sin1 ()()1313 解：（1）22sincos1222243sin1 cos1 ()( )55 （2）4cos05 又在第二或三象限角。sin03sin5sin3tancos4當(dāng)在第二象限時(shí)，即有，從而 sin03sin5 sin3tancos4當(dāng)在第四象限時(shí)，即有，從而n 已知， 求 的值。3tan4 sin,cos解：解：3tan04yx IIII或或（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí)I 0,0 xy3sin5yr 不妨設(shè)不妨

6、設(shè)x=4，y=3225rxy4cos5xr （2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí)III 0,0 xy3sin5yr 不妨設(shè)不妨設(shè)x=-4，y=-3225rxy4cos5xr 分分類類討討論論變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練：練習(xí)練習(xí)n P20 練習(xí)1n P20 練習(xí)2分類討論分類討論 1.1.已知已知 , ,2tancos,sin 求求 的值的值.三、應(yīng)用示例三、應(yīng)用示例cossincossin1, 2tan4）（求下面各式的值。、已知例 2cossintan1解：方法cos2sin3coscos3coscos2coscos2原式 cos0cos2原式分子分母同除以方法coscoscossincoscoscossin原式1ta

7、n1tan1212322cossincossin)2(22coscos4coscos2cos2sin:1代入原式將方法22cos3cos232222222coscoscossincoscossincos:2原式分子分母同除以方法1tantan21-22232，求下面各式的值。、已知例2tan422cossincossin)3(22coscos4coscos2cos2sin1代入原式將方法22cos5cos252222222coscoscossincoscossincos2原式分子分母同除以方法1tantan2122252，求下面各式的值。、已知例2tan452cossin) 4(，求下面各式的

8、值。、已知例2tan32222cos5sincos3sin2)3(3cossin2sin4cos)2(cos9sin7cos3sin5) 1 (.5tan. ，求下列各式的值已知：練習(xí)21) 1 (321)2(1320) 3(9tan73tan5)cossin( 3133122的替換22cossin11看作分母為的替換練習(xí)練習(xí)2sin3costan3sin4cos (1)已知求(1)已知求221tan3sincos (2)已知求(2)已知求22tan3sin3cos(3)已知求2(3)已知求222cossin1換為1注意：注意：“1”的靈活代換，特別是關(guān)于的靈活代換，特別是關(guān)于sina 、co

9、sa齊次式齊次式4 4、已知已知tantan=2=2，求下列各式的值，求下列各式的值. .（1 1） ；（；（2 2）1si ncosaa111si n1si naa+-+3cossin2cossin練習(xí)：1、已知tan=4，求值：。求已知tan, 5cos5sin3cos2sin. 2。）；（）求（，、已知22cos52sin412sin3cos5cos2sin5131tan1tan132116232572121）；（）（102251），（）（例例5 5 求證求證xxxxcossin1sin1cos恒等式證明常用方法恒等式證明常用方法? ?基本思路基本思路: :由繁到簡由繁到簡可以從左邊往右

10、邊證，可以從左邊往右邊證，可以從右邊往左邊證，可以從右邊往左邊證，也可以證明等價(jià)式。也可以證明等價(jià)式。cossin1sin1cosp19例例5求證：求證：證明：證明：cossin1sin1coscos)sin1 ()sin1 (cos220cos)sin1 (coscos22因此因此cossin1sin1cos作差法作差法同角關(guān)系式的應(yīng)用同角關(guān)系式的應(yīng)用 （3）證明恒等式）證明恒等式比較法比較法證法二：證法二：2sin1)sin1)(sin1 (因?yàn)橐驗(yàn)?coscoscos因此因此cossin1sin1cos由原題知：由原題知：0cos, 0sin1恒等變形恒等變形的條件的條件分析法分析法證法

11、三：證法三： 由原題知：由原題知：0cos則則1sin原式左邊原式左邊=)sin1)(sin1 ()sin1 (cos2sin1)sin1 (cos2cos)sin1 (coscossin1=右邊右邊因此因此cossin1sin1cos恒等變形恒等變形的條件的條件練習(xí)練習(xí). 求證：求證：(1)sin4cos4=2sin21；(2)cossin1sin1cos證明：（證明：（1）原式左邊原式左邊=(sin2+cos2)(sin2cos2) =sin2cos2 =sin2(1sin2) =2sin21=右邊右邊. 所以原等式成立所以原等式成立.(3)cos1sin1sincos證明：左邊證明：左邊

12、coscos(1 sin )cosxxxx=右邊右邊 原等式成立原等式成立.1 sincosxx21 sin(1 sin ) cosxxx2.求證求證1coscossinsin)2(22242244cossincossin) 1 (tancos) 1 (22sin211cos2)2(1.化簡化簡13sincos(0)2xxxsin ,cosxx例例6 已知，求解：由13sincos(0)2xxx等式兩邊平方：22213sincos2sincos()2xxxx13sincos23sin cos4xxxx 3sincos4xx （*），即1213,22zz sin ,cosxx2133024zz可

13、看作方程的兩個(gè)根，解得0 xsin0 x cos0 x 又，又由（*）式知13sin,cos22xx 因此，構(gòu)造方程組的方法構(gòu)造方程組的方法例例3化簡化簡21 sin 4402cos 80cos80221 sin (360 80)1 sin 80解：原式解：原式例例4化簡化簡1 2sin40cos402(sin40cos40 )|cos40sin40 | cos40sin4022sin 40 cos 40 2sin40cos40解：原式同角關(guān)系式的應(yīng)用同角關(guān)系式的應(yīng)用 （2）化簡）化簡四、達(dá)標(biāo)測試四、達(dá)標(biāo)測試 2011cos2011sin122、的值為是第四象限角，則、已知tan,43sin2773、C47-、D47 、B773、A1、A2、B2011、C、不能確定DACcossin2sin1)2(cos5sin2cos2sin) 1 (, 4tan32求、已知1322417.sincos