數字邏輯電路基礎

1、2022-6-12北大資源學院1第二章第二章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎l 邏輯代數：邏輯代數： 1849年英國數學家喬治年英國數學家喬治.布爾布爾(George Boole)首先提出用來描述客觀事務首先提出用來描述客觀事務邏輯關系邏輯關系的數學方法的數學方法稱為稱為布爾代數布爾代數。后來。后來被廣泛用于開關電路和數字邏輯電路的分析與設計，所以也稱為被廣泛用于開關電路和數字邏輯電路的分析與設計，所以也稱為開關代數開關代數或或邏輯代數邏輯代數。l 與普通代數區(qū)別：與普通代數區(qū)別：與與2022-6-12北大資源學院2輸入輸入邏輯變邏輯變量量輸出輸出邏輯變量邏輯變量邏輯函數邏輯函數式式F= f (A1

2、,A2,An)2022-6-12北大資源學院32022-6-12北大資源學院4二、三種基本邏輯運算二、三種基本邏輯運算1.與運算與運算 a.定義定義：該圖代表的邏輯關系是：決定事件的全部條件：該圖代表的邏輯關系是：決定事件的全部條件都滿足時都滿足時，事件才，事件才發(fā)生發(fā)生這就是這就是與與邏輯關系。邏輯關系。b.真值表真值表l開關：開關：1表示表示閉合閉合，0表示表示斷開斷開l燈：燈：1表示燈亮，表示燈亮，0滅滅可得如下可得如下真值表真值表：只有輸入全為只有輸入全為1時，輸出才為時，輸出才為1ABF000010100111 表2-1-1 (a)狀態(tài)表開關開關A開關開關B燈燈斷斷斷斷滅滅斷斷合合滅

3、滅合合合合斷斷滅滅合合亮亮ABF圖2-2與門電路與門電路 表2-1-1 (b)真值表2022-6-12北大資源學院5 c.函數式函數式: 在函數式中，用在函數式中，用. 表示與運算，記做表示與運算，記做F=A.B 或或 F=AB 又稱為又稱為與運算與運算或或邏輯乘邏輯乘。d.邏輯符號：邏輯符號：ABF&ABFe.與邏輯運算與邏輯運算0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 12022-6-12北大資源學院62.或運算或運算a. a.定義：定義：該圖代表的邏輯關系是：決定事件的全部條件至少有一個滿足時，該圖代表的邏輯關系是：決定事件的全部條件至少有一個滿足時，事件就發(fā)生事件就發(fā)

4、生這就是這就是或或邏輯關系。邏輯關系。輸入有一個為輸入有一個為1時，輸出就為時，輸出就為1b.真值表真值表ABY000011101111 表2-1-2(a)狀態(tài)表開關開關A開關開關B燈燈斷斷斷斷滅滅斷斷合合亮亮合合合合斷斷亮亮合合亮亮 表2-1-2 (b)真值表ABF圖2-3或門電路或門電路2022-6-12北大資源學院7c. c.函數式函數式：在函數式中，用：在函數式中，用 表示或運算，記做表示或運算，記做F=AB 又稱為又稱為或運算或運算或或邏輯加邏輯加。d.邏輯符號邏輯符號：ABF1ABF+0+0=0； 0+1=1； 1+0=1； 1+1=1e. e.或邏輯運算或邏輯運算2022-6-1

5、2北大資源學院83.非門非門 a.定義：定義：該圖代表的邏輯關系是：決定事件的條件滿足時，事件不發(fā)該圖代表的邏輯關系是：決定事件的條件滿足時，事件不發(fā)生生這就是這就是非非邏輯關系。邏輯關系。b.真值表真值表AY0110表2-1-3(a) 狀態(tài)表開關開關A燈燈斷斷亮亮合合滅滅ARF圖2-4非門電路非門電路 表2-1-3 (b)真值表2022-6-12北大資源學院9d.邏輯符號：邏輯符號：A1FAF c.函數式函數式：在函數式中，用：在函數式中，用 表示非運算，記做表示非運算，記做F=A讀作讀作“A非非”e.非邏輯運算非邏輯運算0 = 1 1 = 02022-6-12北大資源學院10(1)(2)(

6、3)AB+FABF11AFABFABFAF&ABFAF與邏輯符號與邏輯符號或邏輯符號或邏輯符號非邏輯符號非邏輯符號ABF邏輯符號總結邏輯符號總結現行國家標準現行國家標準過去適用的符號過去適用的符號國外常用的符號國外常用的符號能實現基本邏輯關系的基本單元電路稱為能實現基本邏輯關系的基本單元電路稱為邏輯門電路邏輯門電路。如。如與門與門、或門或門、非門非門（反相器）等。（反相器）等。2022-6-12北大資源學院11三、三、 幾種最常見的復合邏輯運算幾種最常見的復合邏輯運算1 、 與非與非F = A B&ABFAB0 0 0 11 01 1 F1 1102 、 或非或非1ABFAB0 0 0 11

7、01 1 F1 000F = A + B2022-6-12北大資源學院123.3.同同或或邏輯邏輯 FABA BAB若兩個輸入變量的值若兩個輸入變量的值相同相同，輸出為，輸出為1，否則為，否則為0。(1)(2)(3)B=AFBAFABF運算規(guī)則：運算規(guī)則：0 0 = 10 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 0 = AA 1 = AA A = 0A A = 1AB0 0 0 11 01 1 F1 001同或邏輯同或邏輯2022-6-12北大資源學院134. 4.異或邏輯異或邏輯 FABA BA B若兩個輸入變量的值若兩個輸入變量的值相異相異，輸出為，輸出為1，否則為，

8、否則為0。運算規(guī)則：運算規(guī)則：0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 0+一般形式：一般形式：A 0 = AA 1 = AA A = 1A A = 0+B=1AFBAFABF異或邏輯異或邏輯(1)(2)(3)AB0 0 0 11 01 1 F0 1102022-6-12北大資源學院14同或同或與與異或異或邏輯的關系：邏輯的關系：+A B = A B A B = A B根據運算規(guī)則和真值表可知：根據運算規(guī)則和真值表可知：A B = A B A B = A B+若兩個變量的原變量相同，則取非后的反變量也相同；反之亦然。因此有：若兩個變量的原變量相同，則取非后的反變量也相同；反之亦然。

9、因此有：A B = A B = A B A B = A B = A B+若變量若變量A和變量和變量B相相同同，則，則A必與必與B相相異異或或A與與B相相異異；反之亦然。因此有：；反之亦然。因此有：2022-6-12北大資源學院155.與或非邏輯與或非邏輯 A B C DF 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0函數式形

10、如：函數式形如： F= AB + CD&1ABCDF邏輯符號邏輯符號： A與與B等于等于1，或者，或者C與與D等于等于1，Y等于等于0。真值表：真值表：2022-6-12北大資源學院16(1)關于變量和常量關系的公式關于變量和常量關系的公式.2 邏輯代數的運算法則邏輯代數的運算法則+A 1 = AA 0 = AA A = 1+A 0 = AA 1 = AA A = 1A 1 = AA 0 = 0A A = 0A + 0 = AA + 1 = 1A + A = 1(2)交換律、結合律、分配律交換律、結合律、分配律交換律：交換律：A + B = B + AA B = B AA B = B AA B

11、 = B A+A B C = (A B) C 結合律：結合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C A B C = (A B) C +一、基本公式一、基本公式2022-6-12北大資源學院17分配律：分配律：A ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C )分配律第二公式分配律第二公式A ( B C ) = AB AC +邏輯函數相等：邏輯函數相等：若兩個邏輯函數具有相同真值表，則兩者相等若兩個邏輯函數具有相同真值表，則兩者相等分配律第二公式真值表11111110111110111001111100001

12、00010000000(A+B)(A+C)A+BCCBA2022-6-12北大資源學院18(3)特殊規(guī)律特殊規(guī)律重疊律：重疊律：A + A = AA A = AA A = 1A A = 0+反演律反演律(摩根定理摩根定理)：A + B = A BAB = A + B A B = A B A B = A B +2022-6-12北大資源學院19二、基本定理二、基本定理代入定理代入定理任何一個含有變量任何一個含有變量A的等式，如果將的等式，如果將所有所有出現變量出現變量A的地方的地方都代之以一個邏輯函數都代之以一個邏輯函數F，則等式仍然成立。，則等式仍然成立。例2- -3已知等式已知等式A(B+E

13、)=AB+AE，試證明將所有出現試證明將所有出現E的的地方代之以地方代之以(C+D) ，等式仍成立。，等式仍成立。解解 原式左邊原式左邊AB+ (C+D) AB+A(C+D) AB+AC +AD原式右邊原式右邊 AB+A(C+D) AB+AC +AD所以等式仍然成立。所以等式仍然成立。2022-6-12北大資源學院20反演定理反演定理設設F是一個邏輯函數表達式，如果將是一個邏輯函數表達式，如果將F中所有的中所有的與運算和或與運算和或運算運算互換；互換；常量常量0和常量和常量1互換互換；原變量和反變量互換原變量和反變量互換，這樣得，這樣得到的新函數式就是到的新函數式就是F 。 F 稱為原函數稱為

14、原函數F的反函數。的反函數。該定理可簡單記為：該定理可簡單記為： + ， 0 1 , A A 。注意事項：注意事項：1.邏輯運算的優(yōu)先順序：邏輯運算的優(yōu)先順序：括號括號，與與，或或, 異或異或。 2.多個變量上的非號的處理：可保持不變；也可用代入法處理。多個變量上的非號的處理：可保持不變；也可用代入法處理。2022-6-12北大資源學院21。，求，求已知已知例例FEDCBAF 52解解由反演規(guī)則，可得由反演規(guī)則，可得) (EDCBAF 注意運算的先后順序注意運算的先后順序。，求，求已知已知例例FCDBAF 42解由反演定理，可得解由反演定理，可得 DCBAF DCBACDBACDBAF 若用若

15、用反演律反演律求解，則求解，則已知：已知：Y=A(B+C)+ CD例例26 =(A + B C) CD = A CDY=(A + B C) C+DY=(A + B C) C+D2022-6-12北大資源學院22對偶定理對偶定理設設F F是一個邏輯函數表達式，如果將是一個邏輯函數表達式，如果將F F中中所有所有的的與運算和或與運算和或運算互換運算互換；常量常量0 0和常量和常量1 1互換互換，則可得到一個新函數式，則可得到一個新函數式F F或或FF。F F稱為稱為F F的對偶式。的對偶式。 1* 0 * CABAFCABAFCBAFCBAF例如：例如：該定理可簡單記為：該定理可簡單記為： + ，

16、 0 12022-6-12北大資源學院23對偶定理對偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。例如證明例如證明 A+BC=(A+B)(A+C)Y=A(B+C) =A+BCYZ=AB+AC =(A+B)(A+C)Z左邊：左邊：右邊：右邊：2022-6-12北大資源學院24三、常用公式三、常用公式（吸收律）（吸收律） . 1ABAAB ABABA 對偶式：對偶式： . 2AABA ABAA 對偶式：對偶式： . 3BABAA A+B = A +A A+B = A+AB+AB = A+AB證明： ABBAA 對偶式：對偶式：2022-6-12北大資源學院25

17、CAABBCCAAB . 4 CAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAAB 證明：證明： CABACBCABA 對偶式：對偶式： BACACAAB . 5 BAACCABA 對偶式：對偶式：CAABBCDECAAB 推論：推論：冗余項公式冗余項公式2022-6-12北大資源學院262.3 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 事務間的因果關系是一種邏輯關系，可用事務間的因果關系是一種邏輯關系，可用邏輯函數邏輯函數表示。表示。如如舉重裁判舉重裁判的例子：的例子：設有三個裁判，分別用設有三個裁判，分別用A,B,CA,B,C表示，其中表示，其中A A是主裁判。是主裁判。規(guī)定至少有兩個

18、裁判確認（其中必須包含主裁判）時，運動員的試舉才算成功。規(guī)定至少有兩個裁判確認（其中必須包含主裁判）時，運動員的試舉才算成功。當用當用Y Y表示舉重結果時，表示舉重結果時，Y Y與與A,B,CA,B,C的邏輯關系可表示為：的邏輯關系可表示為：Y=A(B+C)這就是一個邏輯函數的例子。又如，三變量多數表決邏輯。也是邏輯函這就是一個邏輯函數的例子。又如，三變量多數表決邏輯。也是邏輯函數的例子。數的例子。一、邏輯函數一、邏輯函數2022-6-12北大資源學院27二、邏輯函數的表示方法二、邏輯函數的表示方法常用的有五種：常用的有五種：真值表真值表；邏輯函數式邏輯函數式；邏輯圖邏輯圖；波形圖波形圖；卡諾

19、圖卡諾圖。1.真值表真值表舉重裁判的真值表：舉重裁判的真值表：左側是左側是輸入變量輸入變量的所有取值，右側是的所有取值，右側是輸輸出變量出變量的值，即函數值。的值，即函數值。當輸入變量個數為當輸入變量個數為n時，真值表共有時，真值表共有2n行。行。特點：特點： 描述邏輯問題方便描述邏輯問題方便；直觀直觀；較繁瑣較繁瑣。A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 12022-6-12北大資源學院282.函數式函數式舉重裁判的函數式：舉重裁判的函數式：Y=A(B+C)特點：特點： 便于運算、化簡；便于運算、化簡；便于畫

20、邏輯圖；便于畫邏輯圖；不便從邏輯問題直接得到。不便從邏輯問題直接得到。3.邏輯圖邏輯圖舉重裁判函數的邏輯圖：舉重裁判函數的邏輯圖：特點：特點： 便于用電路實現。便于用電路實現。&1AYBC2022-6-12北大資源學院294.波形圖波形圖YABC舉重裁判函數的舉重裁判函數的波形圖：波形圖：特點：特點：便于調試電路。便于調試電路。5.卡諾圖卡諾圖卡諾圖后面重點介紹卡諾圖后面重點介紹2022-6-12北大資源學院306.表示方法間的相互轉換表示方法間的相互轉換真值表真值表函數式函數式邏輯圖邏輯圖 黑箭頭容易實現。紅籃箭頭不能直接實現，可借助函數式實現。下黑箭頭容易實現。紅籃箭頭不能直接實現，可借助

21、函數式實現。下面要重點介紹紅箭頭，即由面要重點介紹紅箭頭，即由真值表求函數式真值表求函數式。三、邏輯函數的兩種標準形式三、邏輯函數的兩種標準形式 邏輯函數的兩種標準形式分別是邏輯函數的兩種標準形式分別是與或式與或式和和或與式或與式，我們重點，我們重點介紹與或式。首先，介紹介紹與或式。首先，介紹最小項最小項和和最大項最大項。2022-6-12北大資源學院31(一）最小項和最大項最小項和最大項（1）定義最小項最小項(與項與項）最大項最大項(或項或項）定定義義注：注：在提到最小項和最大項時，一定要說明在提到最小項和最大項時，一定要說明變量的數目變量的數目，否則沒意義的。，否則沒意義的。例如：三變量最

22、小項例如：三變量最小項ABCABCABC四變量最小項四變量最小項ABCD ABCD ABCD三變量最大項三變量最大項A+B+C A+B+C四變量最大項四變量最大項A+B+C+Dl 一個一個n n變量的最小項，變量的最小項，就是一個包含所有就是一個包含所有n n變量的邏輯變量的邏輯“與與”項項，其中每個變量都以其中每個變量都以原原變量變量或或反變量反變量的形式的形式出現一次。出現一次。l 一個一個n n變量的最大項，變量的最大項，就是一個包含所有就是一個包含所有n n變變量的邏輯量的邏輯“或或“項項，其，其中每個變量都以中每個變量都以原變量原變量或反變量或反變量的形式出現一的形式出現一次，且僅出

23、現一次。次，且僅出現一次。2022-6-12北大資源學院32（2）表示方法表示方法最小項最小項(m(mi i) )最大項最大項(M(Mi i) )表表示示方方法法例如：三變量最小項例如：三變量最小項5)101(mmCBA； 四變量最小項四變量最小項10)1010(mmDCBA 三變量最大項三變量最大項2)010(MMCBA四變量最大項四變量最大項10)1010(MMD)CBA(注：注：將項號將項號i二進制代入，有二進制代入，有mi=1, Mi=0l 通常用通常用m mi i來表示最小項，來表示最小項，其中下標其中下標i i叫做項號，它的叫做項號，它的確定原則是：確定原則是：原變量用原變量用“1

24、”1”表示，反變量用表示，反變量用“0”0”表示表示。l 通常用通常用MMi i來表示最大項，來表示最大項，其中下標其中下標i i叫項號，它的叫項號，它的確定原則是：確定原則是：原變量用原變量用“0”0”表示，反變量用表示，反變量用“1”1”表示表示。2022-6-12北大資源學院33表2-3-1 3變量最小項與最大項AB00011000C0101100111110101對應最小項對應最小項(m i)A B C = m0A B C = m1A B C = m2A B C = m3A B C = m4A B C = m5A B C = m6A B C = m7對應最大項對應最大項(M i)A+B

25、+C=M0A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7可以看出：可以看出：項號相同的最小項和最大項具有互非的特性項號相同的最小項和最大項具有互非的特性。如：。如：4433 mMMm 2022-6-12北大資源學院34(3)性質性質最小項最小項最大項最大項性性質質全體最小項之和恒為全體最小項之和恒為1 1對于變量的任一組取對于變量的任一組取值，必有一個也只有值，必有一個也只有一個最大項的值為一個最大項的值為0 0對于變量的任一組取對于變量的任一組取值，必有一個也只有值，必有一個也只有一個最小項的值為一個最小項的值為1 1全體最大

26、項之積恒為全體最大項之積恒為0 0任意兩個最小項任意兩個最小項m mi i和和m mj(ijj(ij) )之積恒為之積恒為0 0任意兩個不同最大項任意兩個不同最大項之和恒為之和恒為1 1兩相鄰最小項可以合兩相鄰最小項可以合并成一項，并可消去并成一項，并可消去一個變量。一個變量。相鄰最大項之積可以相鄰最大項之積可以合并，消去一個以原合并，消去一個以原變量和反變量出現的變量和反變量出現的變量。變量。 2022-6-12北大資源學院35(二）最小項表達式和最大項表達式二）最小項表達式和最大項表達式最小項表達式的書寫形式：最小項表達式的書寫形式：(1) (1) 最小項表達式最小項表達式全部由最小項全部

27、由最小項相加相加而構成的而構成的與或表達式與或表達式稱為稱為最小項表達最小項表達式式，又稱為，又稱為標準與或式標準與或式，或，或標準積之和式標準積之和式。 mCBAF7 , 6 , 3 , 1,或寫成：或寫成： mmmmCBAF,1367可以簡寫成：可以簡寫成： CBABCACABABCF對于邏輯函數對于邏輯函數2022-6-12北大資源學院36邏輯函數展開成邏輯函數展開成最小項表達式最小項表達式方法：方法：先變換成先變換成與或表達式與或表達式，然后將各與項中所缺的變，然后將各與項中所缺的變量逐步補齊。任何邏輯函數都有惟量逐步補齊。任何邏輯函數都有惟一一的最小項表達式。的最小項表達式。27 F

28、ABCACDCD例將展開成最小項表達式。 DCBBAACDBBADDABCDCCDAABCF 解解DCBADCBADCBADCABCDBACDBADABCABCD 04812371415, mmmmmmmmDCBAF 或寫成：或寫成： mDCBA，2022-6-12北大資源學院37（2）真值表）真值表最小項表達式最小項表達式A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 方法：將函數值為方法：將函數值為1的行的行對應的對應的最小項最小項取取出相加。出相加。 以舉重裁判邏輯為例。以舉重裁判邏

29、輯為例。Y=1對應對應m5、m6、m7三個最小項，固有：三個最小項，固有：Y= ABC + ABC + ABC簡寫成簡寫成Y(A,B,C)=m5+m6+m7或或Y(A,B,C)=)7 , 6 , 5(m或或)7 ,6 , 5(Y(A,B,C)2022-6-12北大資源學院38最大項表達式的書寫形式：最大項表達式的書寫形式： 410,410，或寫成：或寫成：可以簡寫成：可以簡寫成：對于邏輯函數對于邏輯函數MCBAFMMMCBAFCBACBACBAF(3)最大項表達式最大項表達式全部由最大項全部由最大項相相與與而構成的而構成的或與或與表達式表達式稱為稱為最大項表達最大項表達式式，又稱為，又稱為標準

30、標準或與或與式式，或，或標準和之積式標準和之積式。2022-6-12北大資源學院39() 兩種標準形之間的相互轉換兩種標準形之間的相互轉換a. 最小項表達式最小項表達式最大項表達式最大項表達式 已知函數已知函數 imF 64375210,，例如：例如：MCBAFm210 1 , 1 njjkkk ik imFFFmFm由于則剩余最小項之和所以 ， ikkikkMmF利用反演律可得：利用反演律可得：2022-6-12北大資源學院40b最大項表達式最大項表達式最小項表達式最小項表達式 已知函數已知函數 iMF mMCBAF76354210,，例如：例如： ikkikkjjMFMFFFMn，所以所以

31、由于由于 0 , 0 120 ikkikkmMF利用反演律可得：利用反演律可得：2022-6-12北大資源學院412.4 2.4 公式法化簡邏輯函數公式法化簡邏輯函數化簡意義：化簡意義：用化簡后的表達式構成邏輯電路，可用化簡后的表達式構成邏輯電路，可節(jié)省器件，降節(jié)省器件，降低成本，提高工作的可靠性低成本，提高工作的可靠性。乘積項的個數最少；乘積項的個數最少；每個乘積項中包含的變量數最少每個乘積項中包含的變量數最少。邏輯函數式有多種形式邏輯函數式有多種形式: :AB+AC 與或式與或式=AB AC 與非與非式與非與非式A(B+C) 或與式或與式=AB+C 或非或非式或非或非式與或式使用最多，因此

32、我們只討論與或式使用最多，因此我們只討論與或式與或式的最簡標準：的最簡標準：兩次取反兩次取反兩次取反兩次取反2022-6-12北大資源學院42公式化簡法就是運用邏輯代數的基本公式和常用公式化簡公式化簡法就是運用邏輯代數的基本公式和常用公式化簡邏輯函數。邏輯函數。合并項法：合并項法：利用公式利用公式 將兩項合并為一項。將兩項合并為一項。11 AABAAB、 。化簡化簡例例CBCBACBBCA 8-2 CBCBACBBCA 解解 CBACABCBAABCABAAB 2022-6-12北大資源學院43利用公式，消去多余項。利用公式，消去多余項。CAABBCCAABAABA 、?；喕喞鼳BDDC

33、ABCCDBAAC 9-2 ABDDCABCCDBAAC 解解DCACABDDCAC 消去法：消去法：利用公式利用公式 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAA ?；喕喞鼵BCAAB 10-2 CBAABCBCAAB 解解CABCABAB 吸收法：吸收法：2022-6-12北大資源學院44配項法：配項法：利用公式，利用公式，將某一乘積項展開為兩項，或添加某乘積項，再與其他乘積項將某一乘積項展開為兩項，或添加某乘積項，再與其他乘積項進行合并化簡。進行合并化簡。BCCAABCAABAAAA 0 1、?；喕喞鼴ACBCBBA 11-2 CCBAAACBCBBABACBCBBA 解解 C

34、BACBACBACBACBBACACBBA 2022-6-12北大資源學院45?；喕喞?(12-2GFADECBDBDBCBCAABF )(GFADECBDBDBCBCAABF解解 )()( GFADECBDBDBCBCBA（反演律）（反演律） )( GFADECBDBDBCBCBA（吸收）（吸收） )( GFADECBDBDBCBA（吸收、配項）（吸收、配項） DCCBDBDBCBA（吸收）（吸收） DCCBDBA 2022-6-12北大資源學院46方法：方法：將將或與或與表達式轉換成它的對偶表達式轉換成它的對偶與或與或式，先對式，先對與或與或對偶式進行化簡，再求化簡后的對偶式進行化簡

35、，再求化簡后的與或與或式的對偶式。式的對偶式。FBBDCAFBBDCAADEFFBCEFABDCAABAF )(FBDBACFF 的對偶式的對偶式求求。化化簡簡例例)( )()()(13-2FEDFBFECADBCABAAF 2022-6-12北大資源學院47F=(ABABCABC) (AD+BC)公式法化簡，并沒有一套成熟的方法和固定的步驟可遵循，只公式法化簡，并沒有一套成熟的方法和固定的步驟可遵循，只能多加練習才能生巧。能多加練習才能生巧。解：解：（利用（利用ABABABAB）F(AB+AB)C+ABC)(AD+BC)=(BC+AC)(AD+BC)=ABCD+ACD+ABC=ACD+ABC

36、(利用分配律展開利用分配律展開)=(ABC+ABC+ABC)(AD+BC)=(ABC+AC)(AD+BC)(利用并項法）利用并項法）（利用消因子法）（利用消因子法）(利用分配律展開利用分配律展開)(利用吸收法利用吸收法)例例2142022-6-12北大資源學院48例2-15：用公式法化簡 F=ABC+AC+ABC+BCD=ABC+(A+AB)C+BCD=ABC+AC+BC+BCD=ABC+AC+B(C+CD)=ABC+AC+BC+BD=A(BC+C)+BC+BD=AB+AC+BC+BD=AB+BC+BD公式法化簡，并沒有一套成熟的方法和固定的步驟可遵循，只公式法化簡，并沒有一套成熟的方法和固定

37、的步驟可遵循，只能多加練習才能生巧。能多加練習才能生巧。2022-6-12北大資源學院49卡諾圖是一個方格圖，將邏輯變量分成兩組，每一組變量卡諾圖是一個方格圖，將邏輯變量分成兩組，每一組變量取值組合按取值組合按循環(huán)碼循環(huán)碼的規(guī)則排列，圖中的每一個方格對應著邏輯的規(guī)則排列，圖中的每一個方格對應著邏輯變量的一個最小項。由變量的一個最小項。由Karnaugh提出，又稱提出，又稱K圖。圖。循環(huán)碼循環(huán)碼: 是指相鄰兩組編碼之間只有一個變量值不同的編碼。是指相鄰兩組編碼之間只有一個變量值不同的編碼。 2.5 卡諾圖法化簡卡諾圖法化簡什么是卡諾圖什么是卡諾圖m000011110CDABm1m3m2m6m7m

38、5m4m12m13m15m14m10m11m9m800011110圖2-5-3 4變量卡諾圖圖2-5-2 3變量卡諾圖m00001111001BCAm1m3m2m6m7m5m4m0圖2-5-1 2變量卡諾圖0101BAm1m3m2循環(huán)碼循環(huán)碼循環(huán)碼循環(huán)碼循循環(huán)環(huán)碼碼2022-6-12北大資源學院50用卡諾圖表示邏輯函數的方法用卡諾圖表示邏輯函數的方法依據：依據：由于任意一個由于任意一個n n變量的邏輯函數都可以變換成變量的邏輯函數都可以變換成最小項表達式最小項表達式，而而n n變量變量的卡諾圖包含的卡諾圖包含n n個變量的所有最小項個變量的所有最小項，所以，所以n n變量的卡諾圖可以表示變量的

39、卡諾圖可以表示n n變量的任意一個邏輯函數。變量的任意一個邏輯函數。001001110001111001BCA圖2-5-4 卡諾圖標記法方法：方法：邏輯函數包含有哪幾個最小項，就在卡諾圖相對應邏輯函數包含有哪幾個最小項，就在卡諾圖相對應的方格內填的方格內填1 1，其余各方格填，其余各方格填0 0（注：（注：0 0可省略）可省略）。例如：例如：邏輯函數邏輯函數 ，可在變量卡，可在變量卡諾圖對應的諾圖對應的m3，m5，m6，m7方格內填方格內填1，其余方格填，其余方格填0。 mCBAF7 , 6 , 5 , 3),(填填1的方格表示當函數的變量取值與的方格表示當函數的變量取值與方格所對應的變量取值

40、相同時，邏輯函方格所對應的變量取值相同時，邏輯函數的值為數的值為1。2022-6-12北大資源學院5100000110000111100001ABCD111100111110圖2-5-5 函數F=m(12,13,5,7,10,11,14,15)的卡諾圖如果邏輯函數不是最小項表達式的形式，通常采用以下兩如果邏輯函數不是最小項表達式的形式，通常采用以下兩種方法填寫卡諾圖：種方法填寫卡諾圖：(1) (1) 將邏輯函數變換成最小項表達式的形式。將邏輯函數變換成最小項表達式的形式。 F = ABC+ABD+AC 例如：m= ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

41、= 5,7,10,11,12,13,14,152022-6-12北大資源學院52(2) (2) 觀察法：觀察法：對于某乘積項，找出所有使得對于某乘積項，找出所有使得該乘積項為該乘積項為1 1的的變量取值情況，則在這些變量取值所對應的方格內變量取值情況，則在這些變量取值所對應的方格內都填都填1 1，就，就是該乘積項的卡諾圖表示。是該乘積項的卡諾圖表示。1111111000111100001ABCD1110圖2-5-6 F=ABC+CD+BD的卡諾圖F=ABC+CD+BD例如：對于乘積項對于乘積項 ，只有當變量取值為，只有當變量取值為0100和和0101時，乘積時，乘積項的值為項的值為1，所以在卡

42、諾圖對應的，所以在卡諾圖對應的m4、m5方格內填方格內填1。CBA對于乘積項對于乘積項BD，只有當變量，只有當變量B和和D都為都為1時，乘積項的值才為時，乘積項的值才為1，所以在滿足該條件的所以在滿足該條件的m5、m7 、m13 、m15四個方格內填四個方格內填1。其余。其余乘積項按相同方法處理。乘積項按相同方法處理。2022-6-12北大資源學院53(a)F=A B(b)F=A C(c)F=BC圖2-5-7 兩個相鄰項的合并舉例110001111001BCA1011110110001111001BCA10001BCA3 3利用卡諾圖合并最小項的規(guī)律利用卡諾圖合并最小項的規(guī)律依據：依據：在卡諾

43、圖中，處于相鄰位置的兩個最小項都只有一在卡諾圖中，處于相鄰位置的兩個最小項都只有一個變量表現出取值個變量表現出取值0 0和和1 1的差別，根據公式的差別，根據公式ABAB+ +ABAB= =A A，這兩個，這兩個最小項就可以合并為一項。最小項就可以合并為一項。 (1) (1) 個相鄰項的合并個相鄰項的合并個相鄰的個相鄰的1 1格圈在一起，產生的合并項由圈內沒有格圈在一起，產生的合并項由圈內沒有0 0、1 1變變化的那些變量組成，消去了一個變量。化的那些變量組成，消去了一個變量。2022-6-12北大資源學院54110001111001BCA圖2-5-8 4個相鄰項的合并舉例0111100001

44、111001BCA(a)F=B(b)F=A(c)F=C10001BCA111111111(2) (2) 個相鄰項的合并個相鄰項的合并個相鄰的個相鄰的1格圈在一起，有兩個變量表現出格圈在一起，有兩個變量表現出0、1的變化，的變化，因此合并項由因此合并項由n-2個變量組成。個變量組成。有變化，消去有變化，消去C有變化有變化, ,消去消去A沒有變化，沒有變化，0對應反變量，保留為對應反變量，保留為B2022-6-12北大資源學院551111000111100001ABCD1111111011111000111100001ABCD1111101111000111100001ABCD11111110(a

45、)F=BD+BD(c)F=AB+CD(b) F= BD+BD圖2-5-9 4個相鄰項的合并舉例變量變量A和和C有變化，消去。結果為有變化，消去。結果為BD循環(huán)相鄰循環(huán)相鄰:變量變量A和和C有變化，消去。結果為有變化，消去。結果為 BD BDBD ABCD2022-6-12北大資源學院561111000111100001ABCD1111111011111000111100001ABCD1111101111(a)F=D+B11111(b)F=D+A圖2-5-10 8個相鄰項的合并舉例(3) (3) 個相鄰項的合并個相鄰項的合并個相鄰的個相鄰的1 1格圈在一起，有三個變量表現出格圈在一起，有三個變量

46、表現出0 0、1 1的變化，的變化，因此合并項由因此合并項由n n-3 -3個變量組成。個變量組成。BDDA2022-6-12北大資源學院5700000CDEAB11001011010110111101100011110圖2-5-11 5變量卡諾圖(4) (4) 關于變量卡諾圖關于變量卡諾圖對于變量以上的卡諾對于變量以上的卡諾圖，某些相鄰圖，某些相鄰1 1格有時不是十格有時不是十分直觀地可以辨認，因此一分直觀地可以辨認，因此一般不采用卡諾圖進行化簡。般不采用卡諾圖進行化簡。歸納：歸納： 在卡諾圖中合并最小項，將圖中相鄰在卡諾圖中合并最小項，將圖中相鄰1 1格加圈標志，每格加圈標志，每個圈內必須

47、包含個圈內必須包含2 2i i個相鄰個相鄰1 1格。格。 在在n n變量的卡諾圖中，變量的卡諾圖中，2 2i i個相鄰個相鄰1 1格圈在一起時，圈內有格圈在一起時，圈內有i i個變量發(fā)生個變量發(fā)生0 0、1 1變化，合并后的乘積項由變化，合并后的乘積項由n n- -i i個沒有發(fā)生個沒有發(fā)生0 0、1 1變變化的變量組成?；淖兞拷M成。2022-6-12北大資源學院58利用卡諾圖化簡邏輯函數利用卡諾圖化簡邏輯函數根據卡諾圖合并最小項的規(guī)律，用卡諾圖化簡邏輯函數時，根據卡諾圖合并最小項的規(guī)律，用卡諾圖化簡邏輯函數時，函數化簡后函數化簡后乘積項的數目乘積項的數目等于等于合并圈合并圈的數目，每個乘積

48、項所含的數目，每個乘積項所含變量因子的多少，取決于變量因子的多少，取決于合并圈的大小合并圈的大小。 將將 最簡的原則與最簡的原則與畫圈畫圈對比：對比： a. a. 用用最少最少的圈（矩形組）覆蓋所有的的圈（矩形組）覆蓋所有的1 1，1 1可以重復使用；可以重復使用；對應每個圈最大；對應每個圈最大； b. . 與項中的變量最少與項中的變量最少對應圈最少；對應圈最少； 因此，化簡的原則是：因此，化簡的原則是： a. a. 與項最少與項最少 b. b. 每一個圈（矩形組）覆蓋每一個圈（矩形組）覆蓋2 2k k個個1 1，且，且k k要取要取最大最大值；值；2022-6-12北大資源學院59用卡諾圖化

49、簡邏輯函數的步驟：用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟：將函數填寫入卡諾圖；將函數填寫入卡諾圖；2 2按卡諾圖合并最小項的按卡諾圖合并最小項的最簡原則最簡原則畫畫圈圈； 圈中圈中“1”1”的個數為的個數為2 2n n個；個； 圈一定要是矩形圈一定要是矩形 ； 圈一定要大，個數要少；圈一定要大，個數要少； 圈可以重疊；圈可以重疊；3 3對每一個合并圈進行對每一個合并圈進行化簡化簡，各合并乘積項之和即為邏，各合并乘積項之和即為邏輯函數的化簡結果。輯函數的化簡結果。2022-6-12北大資源學院60圖2-5-13 例2- -16卡諾圖化簡過程000111100001ABCD 11106m2-1F A,B,C,

50、D =0,2,5,6,7,9,10,14,15例化簡函數解解第一步：填寫第一步：填寫卡諾圖（為了敘述方便，這里填寫最小項的編號，平?？ㄖZ圖（為了敘述方便，這里填寫最小項的編號，平常應該在對應最小項方格中填應該在對應最小項方格中填1 1） 。第二步：第二步：畫畫包包圍圈。圍圈。第三步第三步：化：化簡簡包圍圈。包圍圈。F A,B,C,D = CD+BC+ABD+ABD+ABCD1 11 1 1 1 1 1 1CDBCABDABDABCD2022-6-12北大資源學院61例例217 化簡函數：化簡函數：1011010010110100ABCDF=(A+B)CD+(A+B)(A+B+C+D) =ACD

51、+BCD+AB+ABCD卡諾圖為：卡諾圖為：11111111用三個圈覆蓋：用三個圈覆蓋：最簡與或式為：最簡與或式為： F=CD+A B+ABD1可重復使用可重復使用要圈兩個要圈兩個1(1)2022-6-12北大資源學院621011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡諾圖如右卡諾圖如右;圈黑圈，得：圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈籃圈，得：圈籃圈，得：Y=AB+BC+CAY(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111顯然，紫圈是多余的。顯然，紫圈是多余的。避免畫多余圈的方法：避免畫多余圈

52、的方法：1.畫完圈后注意檢查；畫完圈后注意檢查；2.先圈只有一種方法可圈的先圈只有一種方法可圈的1。(2)(3) 當最簡式不唯一時，畫圈的方法也不唯一：當最簡式不唯一時，畫圈的方法也不唯一：2022-6-12北大資源學院63(4)Y=AD+BCD+ABC+ACD+A BD1011010010110100ABCD1011010010110100ABCD1111111111=AB+BC+B DY=ACD+CD+AD+AB+ABC111111111111這種情況可通過圈這種情況可通過圈0求求Y來解決：來解決：Y=ADY=A+D(5)2022-6-12北大資源學院64F=(A+B+C+D)(A+B+C

53、+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+D)F為或與式，可先對為或與式，可先對F求對偶式求對偶式F即即F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+AD畫出畫出F的卡諾圖的卡諾圖1011010010110100ABCD11111111F=AD+ADF=(F)=(A+D)(A+D)=AD+AD2022-6-12北大資源學院658m2-1F A,B,C,D =0,2,511,14,15例化簡函數解填寫卡諾圖，畫出包圍圈。解填寫卡諾圖，畫出包圍圈。F A,B,C,D = BC+AB+BD+ABD化簡結果為：化簡結果為：11111111111CDBCBDABD冗余冗余000111100001AB

54、CD11102022-6-12北大資源學院66l對于輸入變量的每一組取值組合，邏輯函數都有確定的對于輸入變量的每一組取值組合，邏輯函數都有確定的值，則這類邏輯函數稱為值，則這類邏輯函數稱為完全描述的邏輯函數完全描述的邏輯函數。l 對于輸入變量的某些取值組合，邏輯函數值不確定（可對于輸入變量的某些取值組合，邏輯函數值不確定（可以為以為1，也可以為，也可以為0），這類邏輯函數稱為），這類邏輯函數稱為非完全描述的邏非完全描述的邏輯函數輯函數。l 對應輸出函數值沒有確定值的最小項（最大值）稱為對應輸出函數值沒有確定值的最小項（最大值）稱為無無關項，任意項或約束項關項，任意項或約束項。函數值。函數值可以

55、為可以為1，也可以為，也可以為0（記（記為為或或）。5. 具有無關項的邏輯函數及其化簡具有無關項的邏輯函數及其化簡2022-6-12北大資源學院67（一）無關項（一）無關項無關項是無關項是約束項約束項和和任意項任意項的總稱。的總稱。1.約束項約束項：是最小項，若使該最小項的值為是最小項，若使該最小項的值為1 1的輸入變量取值不允許輸入，則稱該最的輸入變量取值不允許輸入，則稱該最小項為約束項。小項為約束項。 例如，四舍五入函數例如，四舍五入函數用用A,B,C,DA,B,C,D組成的組成的四位二進制數表示四位二進制數表示1 1位十進制數，當該數大于位十進制數，當該數大于4 4時輸出為時輸出為1 1

56、。 A B C D Y 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 真值表為：真值表為：10101111六個值不允許輸入。將六個值不允許輸入。將m10m15稱為約束項。在真值表和卡諾圖中都稱為約束項。在真值表和卡諾圖中都用用 表示。表示。2022-6-12北大資源學院68在函數式中約束項的表示方法：在函數式中約束項的表示方法：m10+m11+m12+m13+m14+m15=0也可用求和符號表示上式：也可用求和符號表示上式： 0)1510(m將將約束項約束項之和等于之和等于0稱為稱為約束約束條件條件因此四舍五入函數可表示為因此四舍五入函數可表示為(,)(5 9)(10 15)Y A B C Dmd 把這類邏輯函數稱為有把這類邏輯函數稱為有約束約束的邏輯函數的邏輯函