第二章水靜力學

1、本章教學要求：本章教學要求：u 理解靜水壓強的特性；u 掌握靜水壓強基本方程、等壓面以及液體中壓強的計算、測量與表示方法；u 掌握靜水總壓力的計算方法。水靜力學的任務：水靜力學的任務：研究研究液體平衡液體平衡的規(guī)律及其實際的規(guī)律及其實際應用。應用。液體的平衡狀態(tài)：液體的平衡狀態(tài)：u靜止狀態(tài)：即液體相對于地球沒有運動；靜止狀態(tài)：即液體相對于地球沒有運動；u相對平衡狀態(tài)：即所研究的整個液體相對于地球雖然相對平衡狀態(tài)：即所研究的整個液體相對于地球雖然在運動，但液體對于容器或液體質(zhì)點之間沒有相對運動。如，在運動，但液體對于容器或液體質(zhì)點之間沒有相對運動。如，沿直線等速行駛或等加速行駛的容器中所盛液體。

2、沿直線等速行駛或等加速行駛的容器中所盛液體。注意：注意：液體在平衡狀態(tài)下沒有內(nèi)摩擦力，因此理想液體液體在平衡狀態(tài)下沒有內(nèi)摩擦力，因此理想液體和實際液體所遵循的規(guī)律相同。和實際液體所遵循的規(guī)律相同。u2.1 2.1 靜水壓強及其特性靜水壓強及其特性u2.2 2.2 液體的平衡微分方程式及其積分液體的平衡微分方程式及其積分u2.3 2.3 重力作用下靜水壓強的基本公式重力作用下靜水壓強的基本公式u2.4 2.4 重力和慣性力同時作用下的液體平衡重力和慣性力同時作用下的液體平衡u2.5 2.5 作用于平面上的靜水總壓力作用于平面上的靜水總壓力u2.6 2.6 作用于曲面上的靜水總壓力作用于曲面上的靜

3、水總壓力u2.72.7浮力及浮體與潛體的穩(wěn)定性浮力及浮體與潛體的穩(wěn)定性2.1.1 2.1.1 靜水壓力與靜水壓強靜水壓力與靜水壓強 AFpFpT水力自控閘門平板閘門2.1.22.1.2靜水壓強的特性靜水壓強的特性1 1方向方向: :靜水壓強的方向與靜水壓強的方向與受壓面垂直并指向受壓受壓面垂直并指向受壓面。面。 dPndPdPdPKMNK2.1.22.1.2靜水壓強的特性靜水壓強的特性2 2大小大小: :任意任意一點靜水壓一點靜水壓強大小和受壓面方向強大小和受壓面方向無關(guān)，或者無關(guān)，或者說作用于同一點上各方向的靜水壓強大小相等。說作用于同一點上各方向的靜水壓強大小相等。BDC0FpxFpn總質(zhì)

4、量力在三個坐標方向的投影為：按照平衡條件，所有作用于微小四面體上的外力在各坐標軸上投影的代數(shù)和應分別為零，即：四面體四個表四面體四個表面積之間滿足：面積之間滿足：液體平衡微分方程式：液體平衡微分方程式：取邊長為取邊長為dxdx、dydy、dzdz的平行微分六面體進行研的平行微分六面體進行研究。究。表面力表面力 yxOAdxdydz2dxxpp2dxxppzabdcefhgmn右側(cè)面右側(cè)面 左側(cè)面左側(cè)面 面積面積 壓強壓強 （泰勒級數(shù)）（泰勒級數(shù)） 側(cè)面中心點側(cè)面中心點 ),2dxzyx （)2dxxpp（zydd),2dxzyx （)2dxxpp（zyddX方向方向A A點坐標為點坐標為(x,

5、y,z)，靜水壓強為，靜水壓強為p 令令fx , ,fy , ,fz表示作用于微分六表示作用于微分六面體上的單位質(zhì)量力在面體上的單位質(zhì)量力在x, ,y, ,z軸上的軸上的投影，則總質(zhì)量力在投影，則總質(zhì)量力在x方向的投影為：方向的投影為： fx dxdydzyxOAdxdydz2dxxpp2dxxppzabdcefhgmn質(zhì)量力質(zhì)量力 平衡條件：平衡條件：當六面體處于平衡狀態(tài)時，所有作用于六面體當六面體處于平衡狀態(tài)時，所有作用于六面體 上的力，在三個坐標軸方向的投影的和應等于上的力，在三個坐標軸方向的投影的和應等于0.0.X X方向：方向：0ddddd)2ddd)2dzyxfzyxxppzyxx

6、ppx（xfxp方程兩邊同除以方程兩邊同除以dxdydzdxdydz并簡化得到：并簡化得到：Y Y方向：方向：yfyp0ddddd )2ddd )2dzyxfzxyyppzxyyppy（Z Z方向：方向：0ddddd)2ddd)2dzyxfyxzzppyxzzppz（zfzp歐拉平衡微分方程式：歐拉平衡微分方程式：zyxfzpfypfxp （第一種形式）（第一種形式）物理意義：物理意義：靜水壓強沿某個方向的變化率與該方向靜水壓強沿某個方向的變化率與該方向單位體積單位體積上的質(zhì)量力相等。上的質(zhì)量力相等。 揭示了靜止時質(zhì)量力與表面力間關(guān)系：揭示了靜止時質(zhì)量力與表面力間關(guān)系： 1 1、微元的質(zhì)量力和

7、表面力在各個方向都保持平衡。、微元的質(zhì)量力和表面力在各個方向都保持平衡。2 2、有質(zhì)量分力作用，流體靜壓力就發(fā)生變化。、有質(zhì)量分力作用，流體靜壓力就發(fā)生變化。3 3、忽略質(zhì)量分力作用，流體靜壓力處處相等。、忽略質(zhì)量分力作用，流體靜壓力處處相等。 液體平衡微分方程形式液體平衡微分方程形式2 2 zyxfzpfypfxp dx dy dz zzpyypxxpddd）zfyfxfzyxddd(）zfyfxfdpzyxddd(（1 1）（2 2）（3 3）zyxfzpfypfxpxfyxpyfxypyx22不可壓縮均質(zhì)不可壓縮均質(zhì)xfyfyx同理：同理：zfxfyfzfxfyfxzzyyx上式表明：作

8、用于平衡液體上上式表明：作用于平衡液體上的質(zhì)量力應滿足上述關(guān)系。的質(zhì)量力應滿足上述關(guān)系。由理論力學和數(shù)學分析可知，存在一個僅與坐標有關(guān)的力勢函數(shù)U，且U對坐標的偏導數(shù)等于單位質(zhì)量力在坐標投影，即 zfxfyfzfxfyfxzzyyxzUfyUfxUfzyx 而力勢函數(shù)的全微分而力勢函數(shù)的全微分dU，應等于單位質(zhì)量力在空間移動，應等于單位質(zhì)量力在空間移動ds距離距離所作的功。所作的功。zfyfxfzxUyxUxxUzyxUzyxdddddd),(dzUfyUfxUfzyx 具有上式關(guān)系的力稱為具有上式關(guān)系的力稱為有勢力或有勢力或保守力。保守力。 有勢力所做的功與路徑無關(guān)，而只與起點和終點的有勢力

9、所做的功與路徑無關(guān)，而只與起點和終點的坐標有關(guān)。重力、慣性力都屬于有勢力。坐標有關(guān)。重力、慣性力都屬于有勢力。）zfyfxfdpzyxddd(1)(1)zUfyUfxUfzyx(2)(2)dUdpzzUyyUxxUdp）ddd(3)(3)積分求解方程積分求解方程3 3可得可得: :CUp(4)(4)C C為積分常數(shù)，由已知條件確定。已知某點壓強為為積分常數(shù)，由已知條件確定。已知某點壓強為p p0 0，力勢函，力勢函數(shù)為數(shù)為U U0 0，則積分常數(shù)，則積分常數(shù)C Cp p0 0U U0 0式（式（4 4）即可寫為：）即可寫為：)(00UUpp(5)(5) 因為力勢函數(shù)U僅為空間坐標的函數(shù)，所以，

10、（UU0）也僅是空間坐標的函數(shù)而與p無關(guān)。從公式從公式: :)(00UUpp可知如下結(jié)論可知如下結(jié)論: : 平衡液體中，邊界上的壓強平衡液體中，邊界上的壓強p p0 0將等值的傳遞到液體將等值的傳遞到液體的一切點上；當?shù)囊磺悬c上；當p p0 0增加或減少時，液體內(nèi)任意點的壓強增加或減少時，液體內(nèi)任意點的壓強也相應的增加或減少同樣的數(shù)值。（巴斯加原理）也相應的增加或減少同樣的數(shù)值。（巴斯加原理）等壓面：等壓面：液體液體中靜水壓強相等的點連成的面。中靜水壓強相等的點連成的面。等壓面的兩個重要性質(zhì)：等壓面的兩個重要性質(zhì)：u在平衡液體中等壓面即是等勢面；在平衡液體中等壓面即是等勢面；u等壓面與質(zhì)量力正

11、交。等壓面與質(zhì)量力正交。一、靜水壓強的建立一、靜水壓強的建立z0hzp0自由面自由面h邊界條件：等壓面：液體相對于地球運動，但相對于容器仍保持靜止的狀態(tài)液體相對于地球運動，但相對于容器仍保持靜止的狀態(tài)為相對平衡。為相對平衡。達朗貝爾原理表明對具有加速度的運動物體進行受力分達朗貝爾原理表明對具有加速度的運動物體進行受力分析時，若加上一個與加速度相反的慣性力則作用于物體上的析時，若加上一個與加速度相反的慣性力則作用于物體上的所有外力（包括慣性力）應保持平衡所有外力（包括慣性力）應保持平衡。2.4.1 2.4.1 等加速直線運動等加速直線運動以等加速直線行駛，內(nèi)盛液體的小車為例，所受質(zhì)量力以等加速直

12、線行駛，內(nèi)盛液體的小車為例，所受質(zhì)量力包括重力與慣性力。包括重力與慣性力。只受重力作用的靜止液體，等壓面為水平面。只受重力作用的靜止液體，等壓面為水平面。以等加速度以等加速度a a直線行駛的小車內(nèi)的液體，相對平衡狀態(tài)的直線行駛的小車內(nèi)的液體，相對平衡狀態(tài)的液體，同時受重力和慣性力，等壓面是不是水平面？液體，同時受重力和慣性力，等壓面是不是水平面？agafx xZ Z求自由液面方程式和液體內(nèi)部靜水壓強的計算公式。求自由液面方程式和液體內(nèi)部靜水壓強的計算公式。zyxoAAxyr2x2y22.4.2 等角速旋轉(zhuǎn)運動以繞中心軸做等角速度旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中的液體為例進行分析。對旋轉(zhuǎn)容器中的液體，所受質(zhì)量

13、力應包括重力重力與離心慣性力離心慣性力。把坐標系取在容器上，使Z軸和圓筒中心軸重合。zyxoAAxyr2x2y2不同的C值，對應不同的等壓面。zyxoA圓筒中靜水壓強的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強的分布規(guī)律：代入：圓筒中靜水壓強的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強的分布規(guī)律：相對平衡液體中任意點的靜水壓強仍然與該點淹沒深相對平衡液體中任意點的靜水壓強仍然與該點淹沒深度成比例，等水深面仍為等壓面。度成比例，等水深面仍為等壓面。由地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強，成為大氣壓強。由地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強，成為大氣壓強。海拔高程不同，大氣壓強也有差異。我國法定計量單位海

14、拔高程不同，大氣壓強也有差異。我國法定計量單位中，把中，把101.33kPa101.33kPa成為一個標準大氣壓。成為一個標準大氣壓。2.6.12.6.1絕對壓強絕對壓強設(shè)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點計量的壓強，設(shè)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點計量的壓強，稱為稱為絕對壓強絕對壓強。絕對壓強總是。絕對壓強總是正正的。的。2.6.32.6.3真空及真空度真空及真空度絕對壓強總是正值，相對絕對壓強總是正值，相對壓強可能為正也可能為負。相壓強可能為正也可能為負。相對壓強為負值時，則稱該點存對壓強為負值時，則稱該點存在真空。在真空。PaPaPPaPPaPPa相對相對壓強壓強000C C點的

15、相對靜水壓強為點的相對靜水壓強為相對壓強為負值，說明存在真空，真空度為相對壓強為負值，說明存在真空，真空度為利用水靜力學原理設(shè)計的液利用水靜力學原理設(shè)計的液體測壓計有測壓管、測壓計、差體測壓計有測壓管、測壓計、差壓計等。壓計等。1.1.測壓管測壓管若欲測容器中若欲測容器中A A點的液體壓強，點的液體壓強，可在容器上設(shè)置一開口細管?？稍谌萜魃显O(shè)置一開口細管。h與大氣相通測點AB則則A A、B B兩點位于同一等壓面，兩點位于同一等壓面，兩點壓強相等。兩點壓強相等。當當A A點壓強較小時：點壓強較小時：u可可在測壓管中放入輕質(zhì)液體，以增大測壓管標尺讀數(shù)；在測壓管中放入輕質(zhì)液體，以增大測壓管標尺讀數(shù)；

16、u也也可將測壓管傾斜放置。可將測壓管傾斜放置。L與大氣相通測點sinpL 當被測點壓強很大時：當被測點壓強很大時：u所所需的測壓管很長，選用需的測壓管很長，選用U U形水銀測壓計。形水銀測壓計。2.U2.U形水銀測壓計形水銀測壓計在在U U形管內(nèi)，水銀面形管內(nèi)，水銀面N-NN-N 為等壓面，因而點為等壓面，因而點1 1和點和點2 2壓強相壓強相等。等。h水與大氣相通12NNAb水銀A AB B3 3差壓計差壓計差壓計是直接測量兩點壓強差的裝置。差壓計是直接測量兩點壓強差的裝置。水銀水銀由于由于1 1壓強的液柱表示方法壓強的液柱表示方法壓強大小的表示：壓強大小的表示：u以單位面積上的壓力數(shù)值表示

17、。以單位面積上的壓力數(shù)值表示。u用工程大氣壓表示。用工程大氣壓表示。u用液柱高度表示。用液柱高度表示。98kPa=1at=10m H98kPa=1at=10m H2 2O=736mmO=736mm水銀水銀上式表明：靜止液體內(nèi)，任意一點的測壓管水頭等于常數(shù)。即靜止液體中的能量守恒規(guī)律。上式表明：靜止液體內(nèi)各點，單位重量液體所具有的勢能（簡稱單位勢能）相等。兩種方法兩種方法：壓力壓力圖法（圖解圖法（圖解法）、解析法）、解析法法2.5.12.5.1作用在矩形平面上的靜作用在矩形平面上的靜水總壓力水總壓力1.1.靜水壓強分布圖的繪制靜水壓強分布圖的繪制u按一定比例，用線段長度按一定比例，用線段長度代表

18、該點靜水壓強的大??；代表該點靜水壓強的大??；u用箭頭表示靜水壓強的方用箭頭表示靜水壓強的方向，并與作用面垂直。向，并與作用面垂直。B BA AD DH HC ChE EapapB BA Ah h1 1h h2 221hh 幾種代表性的相對壓強分布圖幾種代表性的相對壓強分布圖11hp11hp22hph h2 2h h1 1幾種代表性的相對壓強分布圖幾種代表性的相對壓強分布圖C CA AB Bh h1 1h h2 212D D11hE E122hh 2.2.靜水總壓力的計算靜水總壓力的計算平面上靜水總壓力的大小應等于分布在平面上各點靜水平面上靜水總壓力的大小應等于分布在平面上各點靜水壓強的總和，壓

19、強的總和，矩形平面高矩形平面高H H，寬，寬b b。H壓強分布圖H壓強分布立體圖b矩形平面bHApdAP矩形平面受到靜水總壓力：Apc Hhbdh0bAp221bH)(21(bHHVbH 221HHbhpdAhHb0結(jié)論：方向垂直指向受壓面。常見受壓平面形心點位置ccc2H3HbaHba33)2(Hab3HC2H靜水總壓力的作用線通過靜水壓強分布圖的形心 。C靜水壓強分布圖HC1PP2P2121SSPP則PababP1PabaP22當靜水壓強分布圖為梯形時，可將其分為一個三角形和一個矩形，面積分別為 、 。1S2SHaHab2/abH靜水壓強分布圖HabP1P2P3H2H根據(jù)合力矩定理，有cH

20、PHPHP2321結(jié)合PababP1PabaP22baHbaHc33)2(則cHC1C2CbaHbaHc33)2(dAyx0 xyhhc D Dc c例：例： 試求作用在關(guān)閉著的池壁圓形放水閘門上靜水總壓力和作用點的位置。已知閘門直徑d=0.5m，距離a=1.0m，閘門與自由水面間的傾斜角=600，水為淡水。解：解：、求總壓力AhPc241sin21dda205 . 014. 34160sin5 . 02119800 N2082a aycyDhc D Dc ca a設(shè)總壓力的作用點沿斜面距水面為yD則：則：4440031. 05 . 014. 3641641mdIc2412121ddaIdaAyIyyccccD25 .014.3415 .02110031.05 .0210 .1m26. 1013. 025. 1思考思考： 作用在自由面上的壓強 p p0 0 所形成的壓力P P0 0的壓力中心在何處？ 力P P0 0 的壓力中心和平面的形心點C C重合，這是因為壓強p p0 0在平面上均勻分布的緣故。在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，拱壩壩面、在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，拱壩壩面、弧形閘墩、弧形閘門等。弧形閘墩、弧形閘門等。2.6.12.6.1靜水總壓力的水平分力靜水總壓力的水