第二章水靜力學(xué)

1、本章教學(xué)要求：本章教學(xué)要求：u 理解靜水壓強(qiáng)的特性；u 掌握靜水壓強(qiáng)基本方程、等壓面以及液體中壓強(qiáng)的計(jì)算、測(cè)量與表示方法；u 掌握靜水總壓力的計(jì)算方法。水靜力學(xué)的任務(wù)：水靜力學(xué)的任務(wù)：研究研究液體平衡液體平衡的規(guī)律及其實(shí)際的規(guī)律及其實(shí)際應(yīng)用。應(yīng)用。液體的平衡狀態(tài)：液體的平衡狀態(tài)：u靜止?fàn)顟B(tài)：即液體相對(duì)于地球沒(méi)有運(yùn)動(dòng)；靜止?fàn)顟B(tài)：即液體相對(duì)于地球沒(méi)有運(yùn)動(dòng)；u相對(duì)平衡狀態(tài)：即所研究的整個(gè)液體相對(duì)于地球雖然相對(duì)平衡狀態(tài)：即所研究的整個(gè)液體相對(duì)于地球雖然在運(yùn)動(dòng)，但液體對(duì)于容器或液體質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。如，在運(yùn)動(dòng)，但液體對(duì)于容器或液體質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。如，沿直線等速行駛或等加速行駛的容器中所盛液體。

2、沿直線等速行駛或等加速行駛的容器中所盛液體。注意：注意：液體在平衡狀態(tài)下沒(méi)有內(nèi)摩擦力，因此理想液體液體在平衡狀態(tài)下沒(méi)有內(nèi)摩擦力，因此理想液體和實(shí)際液體所遵循的規(guī)律相同。和實(shí)際液體所遵循的規(guī)律相同。u2.1 2.1 靜水壓強(qiáng)及其特性靜水壓強(qiáng)及其特性u(píng)2.2 2.2 液體的平衡微分方程式及其積分液體的平衡微分方程式及其積分u2.3 2.3 重力作用下靜水壓強(qiáng)的基本公式重力作用下靜水壓強(qiáng)的基本公式u2.4 2.4 重力和慣性力同時(shí)作用下的液體平衡重力和慣性力同時(shí)作用下的液體平衡u2.5 2.5 作用于平面上的靜水總壓力作用于平面上的靜水總壓力u2.6 2.6 作用于曲面上的靜水總壓力作用于曲面上的靜

3、水總壓力u2.72.7浮力及浮體與潛體的穩(wěn)定性浮力及浮體與潛體的穩(wěn)定性2.1.1 2.1.1 靜水壓力與靜水壓強(qiáng)靜水壓力與靜水壓強(qiáng) AFpFpT水力自控閘門平板閘門2.1.22.1.2靜水壓強(qiáng)的特性靜水壓強(qiáng)的特性1 1方向方向: :靜水壓強(qiáng)的方向與靜水壓強(qiáng)的方向與受壓面垂直并指向受壓受壓面垂直并指向受壓面。面。 dPndPdPdPKMNK2.1.22.1.2靜水壓強(qiáng)的特性靜水壓強(qiáng)的特性2 2大小大小: :任意任意一點(diǎn)靜水壓一點(diǎn)靜水壓強(qiáng)大小和受壓面方向強(qiáng)大小和受壓面方向無(wú)關(guān)，或者無(wú)關(guān)，或者說(shuō)作用于同一點(diǎn)上各方向的靜水壓強(qiáng)大小相等。說(shuō)作用于同一點(diǎn)上各方向的靜水壓強(qiáng)大小相等。BDC0FpxFpn總質(zhì)

4、量力在三個(gè)坐標(biāo)方向的投影為：按照平衡條件，所有作用于微小四面體上的外力在各坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和應(yīng)分別為零，即：四面體四個(gè)表四面體四個(gè)表面積之間滿足：面積之間滿足：液體平衡微分方程式：液體平衡微分方程式：取邊長(zhǎng)為取邊長(zhǎng)為dxdx、dydy、dzdz的平行微分六面體進(jìn)行研的平行微分六面體進(jìn)行研究。究。表面力表面力 yxOAdxdydz2dxxpp2dxxppzabdcefhgmn右側(cè)面右側(cè)面 左側(cè)面左側(cè)面 面積面積 壓強(qiáng)壓強(qiáng) （泰勒級(jí)數(shù)）（泰勒級(jí)數(shù)） 側(cè)面中心點(diǎn)側(cè)面中心點(diǎn) ),2dxzyx （)2dxxpp（zydd),2dxzyx （)2dxxpp（zyddX方向方向A A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x,

5、y,z)，靜水壓強(qiáng)為，靜水壓強(qiáng)為p 令令fx , ,fy , ,fz表示作用于微分六表示作用于微分六面體上的單位質(zhì)量力在面體上的單位質(zhì)量力在x, ,y, ,z軸上的軸上的投影，則總質(zhì)量力在投影，則總質(zhì)量力在x方向的投影為：方向的投影為： fx dxdydzyxOAdxdydz2dxxpp2dxxppzabdcefhgmn質(zhì)量力質(zhì)量力 平衡條件：平衡條件：當(dāng)六面體處于平衡狀態(tài)時(shí)，所有作用于六面體當(dāng)六面體處于平衡狀態(tài)時(shí)，所有作用于六面體 上的力，在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的投影的和應(yīng)等于上的力，在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的投影的和應(yīng)等于0.0.X X方向：方向：0ddddd)2ddd)2dzyxfzyxxppzyxx

6、ppx（xfxp方程兩邊同除以方程兩邊同除以dxdydzdxdydz并簡(jiǎn)化得到：并簡(jiǎn)化得到：Y Y方向：方向：yfyp0ddddd )2ddd )2dzyxfzxyyppzxyyppy（Z Z方向：方向：0ddddd)2ddd)2dzyxfyxzzppyxzzppz（zfzp歐拉平衡微分方程式：歐拉平衡微分方程式：zyxfzpfypfxp （第一種形式）（第一種形式）物理意義：物理意義：靜水壓強(qiáng)沿某個(gè)方向的變化率與該方向靜水壓強(qiáng)沿某個(gè)方向的變化率與該方向單位體積單位體積上的質(zhì)量力相等。上的質(zhì)量力相等。 揭示了靜止時(shí)質(zhì)量力與表面力間關(guān)系：揭示了靜止時(shí)質(zhì)量力與表面力間關(guān)系： 1 1、微元的質(zhì)量力和

7、表面力在各個(gè)方向都保持平衡。、微元的質(zhì)量力和表面力在各個(gè)方向都保持平衡。2 2、有質(zhì)量分力作用，流體靜壓力就發(fā)生變化。、有質(zhì)量分力作用，流體靜壓力就發(fā)生變化。3 3、忽略質(zhì)量分力作用，流體靜壓力處處相等。、忽略質(zhì)量分力作用，流體靜壓力處處相等。 液體平衡微分方程形式液體平衡微分方程形式2 2 zyxfzpfypfxp dx dy dz zzpyypxxpddd）zfyfxfzyxddd(）zfyfxfdpzyxddd(（1 1）（2 2）（3 3）zyxfzpfypfxpxfyxpyfxypyx22不可壓縮均質(zhì)不可壓縮均質(zhì)xfyfyx同理：同理：zfxfyfzfxfyfxzzyyx上式表明：作

8、用于平衡液體上上式表明：作用于平衡液體上的質(zhì)量力應(yīng)滿足上述關(guān)系。的質(zhì)量力應(yīng)滿足上述關(guān)系。由理論力學(xué)和數(shù)學(xué)分析可知，存在一個(gè)僅與坐標(biāo)有關(guān)的力勢(shì)函數(shù)U，且U對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)等于單位質(zhì)量力在坐標(biāo)投影，即 zfxfyfzfxfyfxzzyyxzUfyUfxUfzyx 而力勢(shì)函數(shù)的全微分而力勢(shì)函數(shù)的全微分dU，應(yīng)等于單位質(zhì)量力在空間移動(dòng)，應(yīng)等于單位質(zhì)量力在空間移動(dòng)ds距離距離所作的功。所作的功。zfyfxfzxUyxUxxUzyxUzyxdddddd),(dzUfyUfxUfzyx 具有上式關(guān)系的力稱為具有上式關(guān)系的力稱為有勢(shì)力或有勢(shì)力或保守力。保守力。 有勢(shì)力所做的功與路徑無(wú)關(guān)，而只與起點(diǎn)和終點(diǎn)的有勢(shì)力

9、所做的功與路徑無(wú)關(guān)，而只與起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)。重力、慣性力都屬于有勢(shì)力。坐標(biāo)有關(guān)。重力、慣性力都屬于有勢(shì)力。）zfyfxfdpzyxddd(1)(1)zUfyUfxUfzyx(2)(2)dUdpzzUyyUxxUdp）ddd(3)(3)積分求解方程積分求解方程3 3可得可得: :CUp(4)(4)C C為積分常數(shù)，由已知條件確定。已知某點(diǎn)壓強(qiáng)為為積分常數(shù)，由已知條件確定。已知某點(diǎn)壓強(qiáng)為p p0 0，力勢(shì)函，力勢(shì)函數(shù)為數(shù)為U U0 0，則積分常數(shù)，則積分常數(shù)C Cp p0 0U U0 0式（式（4 4）即可寫為：）即可寫為：)(00UUpp(5)(5) 因?yàn)榱?shì)函數(shù)U僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)，所以，

10、（UU0）也僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)而與p無(wú)關(guān)。從公式從公式: :)(00UUpp可知如下結(jié)論可知如下結(jié)論: : 平衡液體中，邊界上的壓強(qiáng)平衡液體中，邊界上的壓強(qiáng)p p0 0將等值的傳遞到液體將等值的傳遞到液體的一切點(diǎn)上；當(dāng)?shù)囊磺悬c(diǎn)上；當(dāng)p p0 0增加或減少時(shí)，液體內(nèi)任意點(diǎn)的壓強(qiáng)增加或減少時(shí)，液體內(nèi)任意點(diǎn)的壓強(qiáng)也相應(yīng)的增加或減少同樣的數(shù)值。（巴斯加原理）也相應(yīng)的增加或減少同樣的數(shù)值。（巴斯加原理）等壓面：等壓面：液體液體中靜水壓強(qiáng)相等的點(diǎn)連成的面。中靜水壓強(qiáng)相等的點(diǎn)連成的面。等壓面的兩個(gè)重要性質(zhì)：等壓面的兩個(gè)重要性質(zhì)：u在平衡液體中等壓面即是等勢(shì)面；在平衡液體中等壓面即是等勢(shì)面；u等壓面與質(zhì)量力正

11、交。等壓面與質(zhì)量力正交。一、靜水壓強(qiáng)的建立一、靜水壓強(qiáng)的建立z0hzp0自由面自由面h邊界條件：等壓面：液體相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)，但相對(duì)于容器仍保持靜止的狀態(tài)液體相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)，但相對(duì)于容器仍保持靜止的狀態(tài)為相對(duì)平衡。為相對(duì)平衡。達(dá)朗貝爾原理表明對(duì)具有加速度的運(yùn)動(dòng)物體進(jìn)行受力分達(dá)朗貝爾原理表明對(duì)具有加速度的運(yùn)動(dòng)物體進(jìn)行受力分析時(shí)，若加上一個(gè)與加速度相反的慣性力則作用于物體上的析時(shí)，若加上一個(gè)與加速度相反的慣性力則作用于物體上的所有外力（包括慣性力）應(yīng)保持平衡所有外力（包括慣性力）應(yīng)保持平衡。2.4.1 2.4.1 等加速直線運(yùn)動(dòng)等加速直線運(yùn)動(dòng)以等加速直線行駛，內(nèi)盛液體的小車為例，所受質(zhì)量力以等加速直

12、線行駛，內(nèi)盛液體的小車為例，所受質(zhì)量力包括重力與慣性力。包括重力與慣性力。只受重力作用的靜止液體，等壓面為水平面。只受重力作用的靜止液體，等壓面為水平面。以等加速度以等加速度a a直線行駛的小車內(nèi)的液體，相對(duì)平衡狀態(tài)的直線行駛的小車內(nèi)的液體，相對(duì)平衡狀態(tài)的液體，同時(shí)受重力和慣性力，等壓面是不是水平面？液體，同時(shí)受重力和慣性力，等壓面是不是水平面？agafx xZ Z求自由液面方程式和液體內(nèi)部靜水壓強(qiáng)的計(jì)算公式。求自由液面方程式和液體內(nèi)部靜水壓強(qiáng)的計(jì)算公式。zyxoAAxyr2x2y22.4.2 等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以繞中心軸做等角速度旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中的液體為例進(jìn)行分析。對(duì)旋轉(zhuǎn)容器中的液體，所受質(zhì)量

13、力應(yīng)包括重力重力與離心慣性力離心慣性力。把坐標(biāo)系取在容器上，使Z軸和圓筒中心軸重合。zyxoAAxyr2x2y2不同的C值，對(duì)應(yīng)不同的等壓面。zyxoA圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律：代入：圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律：相對(duì)平衡液體中任意點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)仍然與該點(diǎn)淹沒(méi)深相對(duì)平衡液體中任意點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)仍然與該點(diǎn)淹沒(méi)深度成比例，等水深面仍為等壓面。度成比例，等水深面仍為等壓面。由地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，成為大氣壓強(qiáng)。由地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，成為大氣壓強(qiáng)。海拔高程不同，大氣壓強(qiáng)也有差異。我國(guó)法定計(jì)量單位海

14、拔高程不同，大氣壓強(qiáng)也有差異。我國(guó)法定計(jì)量單位中，把中，把101.33kPa101.33kPa成為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。成為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。2.6.12.6.1絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)設(shè)想沒(méi)有大氣存在的絕對(duì)真空狀態(tài)作為零點(diǎn)計(jì)量的壓強(qiáng)，設(shè)想沒(méi)有大氣存在的絕對(duì)真空狀態(tài)作為零點(diǎn)計(jì)量的壓強(qiáng)，稱為稱為絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)。絕對(duì)壓強(qiáng)總是。絕對(duì)壓強(qiáng)總是正正的。的。2.6.32.6.3真空及真空度真空及真空度絕對(duì)壓強(qiáng)總是正值，相對(duì)絕對(duì)壓強(qiáng)總是正值，相對(duì)壓強(qiáng)可能為正也可能為負(fù)。相壓強(qiáng)可能為正也可能為負(fù)。相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，則稱該點(diǎn)存對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，則稱該點(diǎn)存在真空。在真空。PaPaPPaPPaPPa相對(duì)相對(duì)壓強(qiáng)壓強(qiáng)000C C點(diǎn)的

15、相對(duì)靜水壓強(qiáng)為點(diǎn)的相對(duì)靜水壓強(qiáng)為相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值，說(shuō)明存在真空，真空度為相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值，說(shuō)明存在真空，真空度為利用水靜力學(xué)原理設(shè)計(jì)的液利用水靜力學(xué)原理設(shè)計(jì)的液體測(cè)壓計(jì)有測(cè)壓管、測(cè)壓計(jì)、差體測(cè)壓計(jì)有測(cè)壓管、測(cè)壓計(jì)、差壓計(jì)等。壓計(jì)等。1.1.測(cè)壓管測(cè)壓管若欲測(cè)容器中若欲測(cè)容器中A A點(diǎn)的液體壓強(qiáng)，點(diǎn)的液體壓強(qiáng)，可在容器上設(shè)置一開(kāi)口細(xì)管。可在容器上設(shè)置一開(kāi)口細(xì)管。h與大氣相通測(cè)點(diǎn)AB則則A A、B B兩點(diǎn)位于同一等壓面，兩點(diǎn)位于同一等壓面，兩點(diǎn)壓強(qiáng)相等。兩點(diǎn)壓強(qiáng)相等。當(dāng)當(dāng)A A點(diǎn)壓強(qiáng)較小時(shí)：點(diǎn)壓強(qiáng)較小時(shí)：u可可在測(cè)壓管中放入輕質(zhì)液體，以增大測(cè)壓管標(biāo)尺讀數(shù)；在測(cè)壓管中放入輕質(zhì)液體，以增大測(cè)壓管標(biāo)尺讀數(shù)；

16、u也也可將測(cè)壓管傾斜放置?？蓪y(cè)壓管傾斜放置。L與大氣相通測(cè)點(diǎn)sinpL 當(dāng)被測(cè)點(diǎn)壓強(qiáng)很大時(shí)：當(dāng)被測(cè)點(diǎn)壓強(qiáng)很大時(shí)：u所所需的測(cè)壓管很長(zhǎng)，選用需的測(cè)壓管很長(zhǎng)，選用U U形水銀測(cè)壓計(jì)。形水銀測(cè)壓計(jì)。2.U2.U形水銀測(cè)壓計(jì)形水銀測(cè)壓計(jì)在在U U形管內(nèi)，水銀面形管內(nèi)，水銀面N-NN-N 為等壓面，因而點(diǎn)為等壓面，因而點(diǎn)1 1和點(diǎn)和點(diǎn)2 2壓強(qiáng)相壓強(qiáng)相等。等。h水與大氣相通12NNAb水銀A AB B3 3差壓計(jì)差壓計(jì)差壓計(jì)是直接測(cè)量?jī)牲c(diǎn)壓強(qiáng)差的裝置。差壓計(jì)是直接測(cè)量?jī)牲c(diǎn)壓強(qiáng)差的裝置。水銀水銀由于由于1 1壓強(qiáng)的液柱表示方法壓強(qiáng)的液柱表示方法壓強(qiáng)大小的表示：壓強(qiáng)大小的表示：u以單位面積上的壓力數(shù)值表示

17、。以單位面積上的壓力數(shù)值表示。u用工程大氣壓表示。用工程大氣壓表示。u用液柱高度表示。用液柱高度表示。98kPa=1at=10m H98kPa=1at=10m H2 2O=736mmO=736mm水銀水銀上式表明：靜止液體內(nèi)，任意一點(diǎn)的測(cè)壓管水頭等于常數(shù)。即靜止液體中的能量守恒規(guī)律。上式表明：靜止液體內(nèi)各點(diǎn)，單位重量液體所具有的勢(shì)能（簡(jiǎn)稱單位勢(shì)能）相等。兩種方法兩種方法：壓力壓力圖法（圖解圖法（圖解法）、解析法）、解析法法2.5.12.5.1作用在矩形平面上的靜作用在矩形平面上的靜水總壓力水總壓力1.1.靜水壓強(qiáng)分布圖的繪制靜水壓強(qiáng)分布圖的繪制u按一定比例，用線段長(zhǎng)度按一定比例，用線段長(zhǎng)度代表

18、該點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的大?。淮碓擖c(diǎn)靜水壓強(qiáng)的大?。籾用箭頭表示靜水壓強(qiáng)的方用箭頭表示靜水壓強(qiáng)的方向，并與作用面垂直。向，并與作用面垂直。B BA AD DH HC ChE EapapB BA Ah h1 1h h2 221hh 幾種代表性的相對(duì)壓強(qiáng)分布圖幾種代表性的相對(duì)壓強(qiáng)分布圖11hp11hp22hph h2 2h h1 1幾種代表性的相對(duì)壓強(qiáng)分布圖幾種代表性的相對(duì)壓強(qiáng)分布圖C CA AB Bh h1 1h h2 212D D11hE E122hh 2.2.靜水總壓力的計(jì)算靜水總壓力的計(jì)算平面上靜水總壓力的大小應(yīng)等于分布在平面上各點(diǎn)靜水平面上靜水總壓力的大小應(yīng)等于分布在平面上各點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的總和，壓

19、強(qiáng)的總和，矩形平面高矩形平面高H H，寬，寬b b。H壓強(qiáng)分布圖H壓強(qiáng)分布立體圖b矩形平面bHApdAP矩形平面受到靜水總壓力：Apc Hhbdh0bAp221bH)(21(bHHVbH 221HHbhpdAhHb0結(jié)論：方向垂直指向受壓面。常見(jiàn)受壓平面形心點(diǎn)位置ccc2H3HbaHba33)2(Hab3HC2H靜水總壓力的作用線通過(guò)靜水壓強(qiáng)分布圖的形心 。C靜水壓強(qiáng)分布圖HC1PP2P2121SSPP則PababP1PabaP22當(dāng)靜水壓強(qiáng)分布圖為梯形時(shí)，可將其分為一個(gè)三角形和一個(gè)矩形，面積分別為 、 。1S2SHaHab2/abH靜水壓強(qiáng)分布圖HabP1P2P3H2H根據(jù)合力矩定理，有cH

20、PHPHP2321結(jié)合PababP1PabaP22baHbaHc33)2(則cHC1C2CbaHbaHc33)2(dAyx0 xyhhc D Dc c例：例： 試求作用在關(guān)閉著的池壁圓形放水閘門上靜水總壓力和作用點(diǎn)的位置。已知閘門直徑d=0.5m，距離a=1.0m，閘門與自由水面間的傾斜角=600，水為淡水。解：解：、求總壓力AhPc241sin21dda205 . 014. 34160sin5 . 02119800 N2082a aycyDhc D Dc ca a設(shè)總壓力的作用點(diǎn)沿斜面距水面為yD則：則：4440031. 05 . 014. 3641641mdIc2412121ddaIdaAyIyyccccD25 .014.3415 .02110031.05 .0210 .1m26. 1013. 025. 1思考思考： 作用在自由面上的壓強(qiáng) p p0 0 所形成的壓力P P0 0的壓力中心在何處？ 力P P0 0 的壓力中心和平面的形心點(diǎn)C C重合，這是因?yàn)閴簭?qiáng)p p0 0在平面上均勻分布的緣故。在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，拱壩壩面、在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，拱壩壩面、弧形閘墩、弧形閘門等?；⌒伍l墩、弧形閘門等。2.6.12.6.1靜水總壓力的水平分力靜水總壓力的水