橢圓第一課時

1、圓錐曲線圓錐曲線圓錐曲線是什么？圓錐曲線是什么？為什么學(xué)圓錐曲線？為什么學(xué)圓錐曲線？圓錐曲線有什么特征？圓錐曲線有什么特征？怎樣學(xué)習(xí)圓錐曲線？怎樣學(xué)習(xí)圓錐曲線？底面底面為圓為圓正圓錐正圓錐面面截面截面截痕截痕為橢圓為橢圓截面截面與圓錐與圓錐面的高不垂面的高不垂直直時截痕可能時截痕可能為為一一個橢圓個橢圓正圓錐正圓錐高高V(頂點(diǎn)頂點(diǎn))H圓錐曲線是什么？圓錐曲線是什么？底面底面圓圓正圓錐正圓錐面面截痕截痕為雙曲線為雙曲線截面截面截痕截痕為雙曲線為雙曲線截面截面與圓錐與圓錐的的高平行高平行時其時其截面為雙曲線截面為雙曲線圓錐曲線是什么？圓錐曲線是什么？VH底底為圓為圓正圓錐正圓錐面面截面截面圓錐圓錐

2、高高VH截痕截痕為拋物線為拋物線截面截面與圓錐與圓錐的母的母線線平行時其平行時其截面為拋物線截面為拋物線圓錐母線圓錐母線圓錐曲線是什么？圓錐曲線是什么？公元前公元前4 4世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯在繆斯在在研究在研究“立方倍積立方倍積”問題問題 ，用平面截不同的圓錐，發(fā)現(xiàn)了圓用平面截不同的圓錐，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線錐曲線 . .圓錐曲線的發(fā)展史：圓錐曲線的發(fā)展史：1最初發(fā)現(xiàn)最初發(fā)現(xiàn)梅內(nèi)克繆斯（公元前梅內(nèi)克繆斯（公元前375-375-公元前公元前325325，古希，古希臘數(shù)學(xué)家）臘數(shù)學(xué)家）當(dāng)時，希臘人對平面曲線還缺乏認(rèn)識，當(dāng)時，希臘人對平面曲線還缺乏認(rèn)識，上述三種曲線須以上述三種

3、曲線須以“圓錐曲面為媒介得圓錐曲面為媒介得到，這就是圓錐曲線的到，這就是圓錐曲線的“雛形雛形”. .2奠基工作奠基工作阿波羅尼的著作阿波羅尼的著作圓錐曲線論圓錐曲線論與歐幾里得的與歐幾里得的幾何原本幾何原本同被同被譽(yù)為古希臘幾何登峰造極之作譽(yù)為古希臘幾何登峰造極之作 ，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地幾乎使后人沒有插足的余地. 總而言之，在古希臘對圓錐曲線的總而言之，在古希臘對圓錐曲線的研究就有一個十分清楚的輪廓，只是由研究就有一個十分清楚的輪廓，只是由于沒有坐標(biāo)系統(tǒng)，所以在表達(dá)形式上存于沒有坐標(biāo)系統(tǒng)，所以在表達(dá)形式上存在著不容忽視的缺陷在著不容

4、忽視的缺陷.圓錐曲線的發(fā)展史：圓錐曲線的發(fā)展史：阿波羅尼阿波羅尼（約公元前262190年，古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名.）3長期停滯長期停滯 在這之后的在這之后的 13 13 個世紀(jì)里，整個數(shù)學(xué)界對圓錐個世紀(jì)里，整個數(shù)學(xué)界對圓錐曲線的研究幾乎沒有什么進(jìn)展曲線的研究幾乎沒有什么進(jìn)展. .圓錐曲線的發(fā)展史：圓錐曲線的發(fā)展史： 又經(jīng)過了又經(jīng)過了500500年，到了年，到了3 3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作斯在他的著作匯篇匯篇中，才完善了關(guān)于圓錐曲線中，才完善了關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定理進(jìn)行了證明。這時，圓的統(tǒng)一定義，并對這一定理進(jìn)行了證明。這時，圓錐曲線的

5、定義和性質(zhì)才比較完整地建立起來了錐曲線的定義和性質(zhì)才比較完整地建立起來了. . 4有所突破有所突破開普勒開普勒 (1571-1630,德國天文德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家學(xué)家、數(shù)學(xué)家 ) 德國數(shù)學(xué)家開普勒繼承了哥白尼德國數(shù)學(xué)家開普勒繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道繞的日心說，揭示出行星按橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，是圓錐曲線擺脫圓錐而成太陽運(yùn)行，是圓錐曲線擺脫圓錐而成為自然界中物體運(yùn)動的普遍形式為自然界中物體運(yùn)動的普遍形式. . 圓錐曲線的發(fā)展史：圓錐曲線的發(fā)展史：4有所突破有所突破伽利略（伽利略（1564-1642,1564-1642,意大利數(shù)學(xué)家、物理意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家）學(xué)家、天文

6、學(xué)家） 伽利略得出斜拋運(yùn)動的軌道是拋物線，伽利略得出斜拋運(yùn)動的軌道是拋物線，突破了靜態(tài)圓錐曲線的觀念突破了靜態(tài)圓錐曲線的觀念.人們開始感到古人們開始感到古希臘人的證明方法太缺乏一般性，幾乎每個希臘人的證明方法太缺乏一般性，幾乎每個定理都是要想出一個特殊的證明方法定理都是要想出一個特殊的證明方法.于是，于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了變化對圓錐曲線的處理方法開始有了變化. 圓錐曲線的發(fā)展史：圓錐曲線的發(fā)展史：5別開生面別開生面 笛卡爾（笛卡爾（1596-16501596-1650，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，解析幾何創(chuàng)始人解析幾何創(chuàng)始人 解析幾何的創(chuàng)立，使人們解析幾何的創(chuàng)立，使

7、人們對圓錐曲線的研究方法不同于對圓錐曲線的研究方法不同于以前，而是朝著解析方法的方以前，而是朝著解析方法的方向發(fā)展向發(fā)展.即建立坐標(biāo)系，得出即建立坐標(biāo)系，得出圓錐曲線的方程，再利用方程圓錐曲線的方程，再利用方程研究圓錐曲線的性質(zhì)，以擺脫研究圓錐曲線的性質(zhì)，以擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，也可以求得對圓錐曲線研究的也可以求得對圓錐曲線研究的高度概括與統(tǒng)一高度概括與統(tǒng)一.在這方面，在這方面，笛卡兒等解析幾何的鼻祖作出笛卡兒等解析幾何的鼻祖作出了巨大的貢獻(xiàn)了巨大的貢獻(xiàn).圓錐曲線的發(fā)展史：圓錐曲線的發(fā)展史：5別開生面別開生面 圓錐曲線的發(fā)展史：圓錐曲線的發(fā)展史：P一組有序

8、實數(shù)對一組有序?qū)崝?shù)對P(x,y)點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)滿足代滿足代數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系幾何圖形的幾何圖形的性質(zhì)并應(yīng)用性質(zhì)并應(yīng)用解析幾何6系統(tǒng)總結(jié)系統(tǒng)總結(jié) 牛頓（牛頓（1643-17271643-1727，英國物理學(xué)家，數(shù)英國物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家）學(xué)家）伯努利（伯努利（1623-1623-17081708，瑞士數(shù)學(xué)，瑞士數(shù)學(xué)家）家） 18 18世紀(jì)，牛頓、伯努力和等先后提出不同的坐標(biāo)系，世紀(jì)，牛頓、伯努力和等先后提出不同的坐標(biāo)系，尤其影響深刻的是極坐標(biāo)系，隨著坐標(biāo)系的系統(tǒng)化，關(guān)尤其影響深刻的是極坐標(biāo)系，隨著坐標(biāo)系的系統(tǒng)化，關(guān)于圓錐曲線性質(zhì)研究逐漸系統(tǒng)化起來于圓錐曲線性質(zhì)研究逐漸系統(tǒng)化起來. .圓錐曲線的發(fā)展史：圓

9、錐曲線的發(fā)展史：6系統(tǒng)總結(jié)系統(tǒng)總結(jié) 歐拉（歐拉（1707-17831707-1783，瑞士，瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家）數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家）歐拉歐拉17451745年發(fā)表的年發(fā)表的分析引分析引論論，被譽(yù)為解析幾何發(fā)展，被譽(yù)為解析幾何發(fā)展史上的重要著作，系統(tǒng)地研史上的重要著作，系統(tǒng)地研究了圓錐曲線的各種情形，究了圓錐曲線的各種情形，并證明通過坐標(biāo)變換，一定并證明通過坐標(biāo)變換，一定可以把任何圓錐曲線化為某可以把任何圓錐曲線化為某種標(biāo)準(zhǔn)形式種標(biāo)準(zhǔn)形式. . 圓錐曲線的發(fā)展史：圓錐曲線的發(fā)展史：歐拉之后，三維解析幾何的歐拉之后，三維解析幾何的研究蓬勃開展，由圓錐曲線研究蓬勃開展，由圓錐曲線導(dǎo)出了圓錐曲面導(dǎo)

10、出了圓錐曲面.至此，關(guān)于至此，關(guān)于圓錐曲線的理論被廣泛應(yīng)用，圓錐曲線的理論被廣泛應(yīng)用，直至今天直至今天.圓錐曲線的應(yīng)用圓錐曲線的應(yīng)用?“嫦娥一號嫦娥一號”探月變軌軌道圖探月變軌軌道圖圓錐曲線的應(yīng)用：圓錐曲線的應(yīng)用：火電廠及核電站的冷卻塔火電廠及核電站的冷卻塔冷卻塔的軸截面是冷卻塔的軸截面是雙曲線雙曲線，從底部到中部直徑變小，是將，從底部到中部直徑變小，是將蒸汽抽到塔內(nèi)，防止底部逸出，而上部直徑變大，可以降蒸汽抽到塔內(nèi)，防止底部逸出，而上部直徑變大，可以降低上升到頂部熱氣的流動速度，從而降低抽力，使蒸汽盡低上升到頂部熱氣的流動速度，從而降低抽力，使蒸汽盡可能的留在塔內(nèi)，提高冷卻回收率可能的留在塔

11、內(nèi)，提高冷卻回收率.圓錐曲線的應(yīng)用：圓錐曲線的應(yīng)用：圓錐曲線的應(yīng)用：圓錐曲線的應(yīng)用：圓錐曲線的應(yīng)用：圓錐曲線的應(yīng)用：“杰尼西亞的耳朵杰尼西亞的耳朵”圓錐曲線的應(yīng)用：圓錐曲線的應(yīng)用：“杰尼西亞的耳朵杰尼西亞的耳朵” ：據(jù)說，很：據(jù)說，很久以前，意大利西西里島有一個久以前，意大利西西里島有一個山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞把山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞把一些囚犯關(guān)在這個山洞里囚犯一些囚犯關(guān)在這個山洞里囚犯們多次密謀逃跑，但每次計劃都們多次密謀逃跑，但每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn)起初囚犯們認(rèn)被杰尼西亞發(fā)現(xiàn)起初囚犯們認(rèn)為出了內(nèi)奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密為出了內(nèi)奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密者后來他們察覺到囚禁他們的者后來他們察

12、覺到囚禁他們的山洞形狀古怪，洞壁把囚犯們的山洞形狀古怪，洞壁把囚犯們的話都反射到獄卒耳朵里去了，于話都反射到獄卒耳朵里去了，于是囚犯們詛咒這個山洞為是囚犯們詛咒這個山洞為“杰尼杰尼西亞的耳朵西亞的耳朵”橢圓光學(xué)性質(zhì)生活生產(chǎn)中處處存在應(yīng)用著橢圓生活生產(chǎn)中處處存在應(yīng)用著橢圓,我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢?請大家動手畫橢圓請大家動手畫橢圓畫橢圓的步驟畫橢圓的步驟從數(shù)學(xué)角度探究橢圓的步驟從數(shù)學(xué)角度探究橢圓的步驟如何定義橢圓如何定義橢圓?如何定義橢圓如何定義橢圓?從數(shù)學(xué)角度探究橢圓的步驟從數(shù)學(xué)角度探究橢圓的步驟如何定義橢圓如何定義橢圓?從數(shù)學(xué)角度探究橢圓的步驟從數(shù)學(xué)角度探

13、究橢圓的步驟如何定義橢圓如何定義橢圓?從數(shù)學(xué)角度探究橢圓的步驟從數(shù)學(xué)角度探究橢圓的步驟如何定義橢圓如何定義橢圓?圓的定義圓的定義: 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長平面上到定點(diǎn)的距離等于定長 的的點(diǎn)的集合叫圓點(diǎn)的集合叫圓.橢圓的定義橢圓的定義:如何定義橢圓如何定義橢圓?圓的定義圓的定義: 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長平面上到定點(diǎn)的距離等于定長 的的點(diǎn)的集合叫圓點(diǎn)的集合叫圓.橢圓的定義橢圓的定義: 平面上到兩個定點(diǎn)平面上到兩個定點(diǎn)F1, F2的的距離之和為固定值距離之和為固定值(大于大于| F1F2 |)的點(diǎn)的的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓軌跡叫作橢圓.橢圓定義的文字表述橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號表述：橢圓

14、定義的符號表述：F1F2PcaPFPF2221回憶圓標(biāo)回憶圓標(biāo)準(zhǔn)方程推準(zhǔn)方程推導(dǎo)步驟導(dǎo)步驟怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？ 求動點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：求動點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：1.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo);2.寫出適合條件寫出適合條件 P（M） ;3.用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程），列出方程 ; 4.化方程為最簡形式?；匠虨樽詈喰问?。 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxyPF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyP

15、Oxy原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸為坐標(biāo)軸.).)(對稱、對稱、“簡潔簡潔”)xF1F2( (x , y) )0y設(shè)設(shè)P (x, y)是橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的橢圓的焦距焦距|F1F2|=2c(c0)，則則F1、F2的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) . P與與F1和和F2的距離的和為的距離的和為固定值固定值2a(2a2c) （問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF2|21222221)

16、(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件：由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程1)()()(22222222222caayacaaxca對稱美對稱美整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方122222cayax由橢圓定義可知由橢圓定義可知,0,2222cacaca所以即),0(222bbca設(shè)).0(12222babyax橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

17、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程OXYF1F2P(-c,0)(c,0)Y)0(12222babyax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在 哪一個軸上。哪一個軸上。OXYF1F2P(-c,0

18、)(c,0)Y)0(12222babyax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在 哪一個軸上。哪一個軸上。YOXF1F2P(0,-c)(0 , c)OXYF1F2M(-c,

19、0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在的分母哪一個大，則焦點(diǎn)在 哪一個軸上。哪一個軸上。2222+=1 0

20、 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點(diǎn)就在哪個軸上分母哪個大，焦點(diǎn)就在哪個軸上222=+abc12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程不不 同同 點(diǎn)點(diǎn)相相 同同 點(diǎn)點(diǎn)圖圖 形形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判斷 再認(rèn)識！再認(rèn)識！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO最大acaba, 0, 0,例例1.根據(jù)下列條件，求根據(jù)下列條件，求(1) a、b、c;(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)；焦點(diǎn)坐標(biāo)；(3)焦距；焦距；(4)以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。135) 1 (2

21、222yx164)2(2222yx1916)3(22yx12316)4(22yx例例1.根據(jù)下列條件，求根據(jù)下列條件，求(1) a、b、c;(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)；焦點(diǎn)坐標(biāo)；(3)焦距；焦距；(4)以及橢圓上每一以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。135) 1 (2222yx10282)04()04- (4,16,3, 53,52222222222acxccaccbababa兩焦點(diǎn)距離和點(diǎn)到由橢圓定義得橢圓上每焦距，、，焦點(diǎn)坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在解：由題意得例例1.根據(jù)下列條件，求根據(jù)下列條件，求(1) a、b、c;(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)；焦點(diǎn)坐標(biāo)；(3)焦距；焦距；(4)以及橢圓上每一以及橢圓上每

22、一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。122542)52 , 0()52- , 0(52,20,4, 64,62222222222acyccaccbababa兩焦點(diǎn)距離和點(diǎn)到由橢圓定義得橢圓上每焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在解：由題意得164)2(2222yx例例1.根據(jù)下列條件，求根據(jù)下列條件，求(1) a、b、c;(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)；焦點(diǎn)坐標(biāo)；(3)焦距；焦距；(4)以及橢圓上每一以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。82722)07()07- (7, 7,3, 49,1622222222acxccaccbababa兩焦點(diǎn)距離和點(diǎn)到由橢圓定義得橢圓上每焦距，、，焦點(diǎn)坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在解：由題意得1916)3(22yx例例1.根據(jù)下列條件，求根據(jù)下列條件，求(1) a