曲線積分與曲面積分習(xí)題

1、微積分習(xí)題課電子教程微積分習(xí)題課電子教程Department of Mathematics, College of Sciences哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心Department of Mathematics微積分習(xí)題課電子教程微積分習(xí)題課電子教程主要內(nèi)容介紹主要內(nèi)容介紹典型例題選講典型例題選講課堂自主練習(xí)課堂自主練習(xí)Department of Mathematics1第一型曲線積分的練習(xí)第一型曲線積分的練習(xí)2第一型曲面積分的練習(xí)第一型曲面積分的練習(xí)3第二型曲線積分的練習(xí)第二型曲線積分的練習(xí)第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分(第一次

2、習(xí)題課第一次習(xí)題課)Department of Mathematics基基 本本 概概 念念理解理解的概念的概念 第一型曲線第一型曲線(對(duì)弧長(zhǎng)的對(duì)弧長(zhǎng)的)積分、第一型曲積分、第一型曲面面(對(duì)面積的對(duì)面積的)積分、第二型曲線積分、第二型曲線(對(duì)坐標(biāo)的對(duì)坐標(biāo)的)積分的定義、性質(zhì)、幾何或物理意義以及積分的定義、性質(zhì)、幾何或物理意義以及兩型線積分的聯(lián)系兩型線積分的聯(lián)系. 熟練掌握的內(nèi)容熟練掌握的內(nèi)容上述積分的計(jì)算上述積分的計(jì)算 (在各個(gè)坐標(biāo)系下在各個(gè)坐標(biāo)系下)Department of Mathematics基基 本本 計(jì)計(jì) 算算 能能 力力 直角坐標(biāo)系下的計(jì)算直角坐標(biāo)系下的計(jì)算參數(shù)方程下的計(jì)算參數(shù)方

3、程下的計(jì)算能用線能用線、面積分表達(dá)一些幾何量和面積分表達(dá)一些幾何量和物理量物理量( (空間曲線空間曲線、曲面的質(zhì)量曲面的質(zhì)量、重心重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、變力沿有向曲線、變力沿有向曲線作功作功等等) )極坐標(biāo)系下的計(jì)算極坐標(biāo)系下的計(jì)算Department of Mathematics第一型曲線積分第一型曲線積分 niiiiiLsfdszyxf10),(lim),( 第一型曲線積分的計(jì)算公式第一型曲線積分的計(jì)算公式dttztytxtztytxfdszyxfttttzztyytxxLttL22210)()()()(),(),( ),(,),(),(),( : 10 則則且且的的方方程程為為若若空空

4、間間曲曲線線主要內(nèi)容介紹主要內(nèi)容介紹Department of MathematicsdxxyxyxfdsyxfbxaxyyxxLbaL2)(1)(,),(,),(, 則則且且的的方方程程為為若若平平面面曲曲線線 其重要性質(zhì)是此類積分與起、終點(diǎn)無(wú)關(guān)其重要性質(zhì)是此類積分與起、終點(diǎn)無(wú)關(guān).或者或者說(shuō)下限應(yīng)小于上限說(shuō)下限應(yīng)小于上限. drrrrfdsyxfrrLL2210)()(sin,cos),(,),( 10 則則且且的的方方程程為為若若平平面面曲曲線線Department of Mathematics第一型曲面積分第一型曲面積分 niiiiiSfdSzyxf10),(lim),( 第一型曲面積分

5、的計(jì)算公式第一型曲面積分的計(jì)算公式dxdyyzxzyxzyxfdSzyxfDxoyyxfzD 22)()(1),(,),(,),(則則為為坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域其其在在的的方方程程可可表表示示為為若若空空間間曲曲面面同理同理,有其它兩個(gè)公式此類積分與曲面的方向無(wú)關(guān)有其它兩個(gè)公式此類積分與曲面的方向無(wú)關(guān).Department of Mathematics第二型曲線積分第二型曲線積分),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF 設(shè)設(shè).曲曲線線積積分分為為組組合合形形式式下下的的第第二二型型稱稱 LLLLRdzQdyPdxRdzQdyPdx第二型曲線積分的計(jì)算第二型曲線

6、積分的計(jì)算則則有有未未必必小小于于終終點(diǎn)點(diǎn)起起點(diǎn)點(diǎn)且且的的方方程程為為若若空空間間曲曲線線),(,),(),(. 11010tttttttyytxxL LQdyPdxdttytztytxQtxtztytxPtt)()(),(),()()(),(),(10 Department of Mathematics則則有有未未必必小小于于終終點(diǎn)點(diǎn)起起點(diǎn)點(diǎn)且且的的方方程程為為若若平平面面曲曲線線),(,),(, . 2babxaxxyyxxL )()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則有有未未必必小小于于終終點(diǎn)點(diǎn)起起點(diǎn)點(diǎn)且且的的方方程程為為若若平平面面曲曲線線類類似似的的),(,),

7、(,dcdycyyyyxxL ),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL Department of Mathematics兩類曲線積分之間的聯(lián)系兩類曲線積分之間的聯(lián)系dsQPQdyPdxLL )coscos( 曲線的質(zhì)量曲線的質(zhì)量,),( :),( LdSzyxMzyxL 質(zhì)質(zhì)量量為為則則空空間間曲曲線線的的的的線線密密度度為為若若空空間間曲曲線線曲面的質(zhì)量曲面的質(zhì)量則則曲曲面面的的質(zhì)質(zhì)量量為為為為曲曲面面上上的的面面密密度度的的表表達(dá)達(dá)式式為為投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樽鴺?biāo)標(biāo)平平面面投投影影向向若若空空間間曲曲面面),(),(,zyxyxfzDxoy ,)()(1),(,),(

8、22dxdyyzxzyxzyxdSzyxMD Department of Mathematics平面曲線繞已知軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面曲線繞已知軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 LdsyxyxdIyxdyxyxL),(),(),()(),(),(,2 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為則則平平面面曲曲線線繞繞轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)軸軸的的為為的的垂垂直直距距離離直直線線到到已已知知軸軸在在其其上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)其其線線密密度度為為為為平平面面曲曲線線設(shè)設(shè) LyLxdsyxxIdsyxyI),(),(,22 為為則則平平面面曲曲線線的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量若若已已知知軸軸為為坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸Department of Mathematics平面曲線的重

9、心平面曲線的重心 LdsyxMyxL),(),(, 曲曲線線質(zhì)質(zhì)量量為為其其線線密密度度為為為為平平面面曲曲線線設(shè)設(shè) LyLxdsyxxMdsyxyM),(,),( 靜靜力力矩矩分分別別為為.),(),(,),(),(),( LLxLLydsyxdsyxyMMydsyxdsyxxMMxyx 為為則則重重心心坐坐標(biāo)標(biāo)Department of Mathematics第二型曲線積分的物理意義第二型曲線積分的物理意義點(diǎn)點(diǎn)所所作作的的功功為為點(diǎn)點(diǎn)移移動(dòng)動(dòng)到到從從沿沿光光滑滑曲曲線線則則變變力力BALFzyxRzyxQzyxPzyxF),(),(),(),( dsRQPRdzQdyPdxWLL)cosc

10、oscos( LTdsF.,),(cos,cos,cos的的方方向向一一致致到到其其方方向向與與單單位位切切向向量量處處的的上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為弧弧BAzyxLT Department of MathematicsDepartment of Mathematics設(shè)設(shè)的一段?。坏囊欢位。坏降阶渣c(diǎn)自點(diǎn)是是)2 , 1()0 , 0(4 ).1(21AoxyL 的折線段；的折線段；到到，經(jīng)，經(jīng)是自點(diǎn)是自點(diǎn))2 , 1()0 , 1()0 , 0( ).2(2ABoL 兩段線狀物體的線密度為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的兩段線狀物體的線密度為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值，求這兩線狀物體的質(zhì)量。值，求這兩線狀物體的質(zhì)量。yxoBA解

11、解 LdsyxM),( Lyds 11 ).1 (LydsMdyyds221 例例11. 第一型曲線積分的計(jì)算第一型曲線積分的計(jì)算Department of Mathematics BAOBydsydsM2(2). BAOBOA dxdsyOB , 0:dydsxBA , 1: 20100ydydx=221MM 102121dyyyM 1012 2 dttty 12234 yxoBADepartment of Mathematics例例4解解 , . 222 22ayxLdseLyx 為曲線為曲線其中其中計(jì)算計(jì)算形邊界。形邊界。在第一象限中所圍的圖在第一象限中所圍的圖直線直線 , 0 xyx

12、dseLyx 22xyo2 2 aAB.0 , 0 :ayxoA . 0 xdseOAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedsedsedseOByxAByxOAyx 222222 例例2Department of Mathematicsdttataetata )sin()cos(2224)sin()cos(22 dtaea 24 .6aea .24 ,sin ,cos : ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax . 1 aedxeax 2220 2 .2 20 , :axxyOB . 1 ydseOByx 22dxeaxx 112220

13、22 Department of Mathematics于是，于是，dseLyx 22dsedsedseoByxAByxoAyx 222222 )1(4)1( aaaeeae . 2)42( aea Department of Mathematics 說(shuō)明：說(shuō)明： 1. 計(jì)算第一型曲線積分時(shí)，可以用積分曲線計(jì)算第一型曲線積分時(shí)，可以用積分曲線L的的 方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)。方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)。 2. 設(shè)設(shè)L關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱, 若若f(x,-y)=-f(x,y), 則則 若若f(x,-y)=f(x,y), 則則. 0),( dsyxfL.),(2),(1dsyxfdsyxfLL Departmen

14、t of Mathematics計(jì)算計(jì)算.,)(22222ayxLdsyxLn 為為圓圓周周其其中中xyao (2)把弧微分把弧微分ds變成參變量的微分式變成參變量的微分式adtdttatadtyxdstt 222222cossin分析分析: (1)畫出積分路徑的圖形畫出積分路徑的圖形,練習(xí)練習(xí)1解解:)()()()(),(),(22 dtttttfdsyxfL.2 cossin)(122012222220222 nnnLnadtadttataadsyx Department of Mathematics計(jì)算計(jì)算,222dszyxyL (2)再把它代入上半球面的方程再把它代入上半球面的方程x2

15、+y2+z2=4a2 , 得得z=2asint/2. 其中其中L是上半球面是上半球面z0與柱面與柱面x2+y2=2ax的交線的交線.分析分析: 曲線是兩個(gè)曲面的交線曲線是兩個(gè)曲面的交線,它的投影曲線為它的投影曲線為x2+y2=2ax.現(xiàn)在我們把曲線現(xiàn)在我們把曲線L變成參數(shù)方程變成參數(shù)方程:(1) 曲線變形為曲線變形為x2+y2=2ax(x-a)2+y2=a2，參數(shù)方程為參數(shù)方程為x=a(1+cost) ，y=asint練習(xí)練習(xí)2x2+y2+z2=4a2 ，Department of Mathematicsdttatatadtzyxdsttt2coscossin222222222 (3)于是參數(shù)

16、方程為于是參數(shù)方程為 20,2sin2,sin),cos1 ( ttaztaytaxdtta2cos12 23432|)2cos1(320232 tdttaatadszyxyL2cos14|sin|2202222 tdttsin2cos12102 )2cos1(2cos1202tdt Department of Mathematics, 1422SyxL其周長(zhǎng)為其周長(zhǎng)為為為曲線曲線 .)4(22 Ldsyxxy計(jì)計(jì)算算解解:, 0 Lxyds由由對(duì)對(duì)稱稱性性必必有有 LLdsyxdsyxxy)4()4(2222故故.44SdsL 練習(xí)練習(xí)3Department of Mathematics計(jì)算

17、計(jì)算 Ldsyx)(3434323232ayx 解解: 由于圖形對(duì)稱由于圖形對(duì)稱,我們只計(jì)算第一象限的我們只計(jì)算第一象限的 ABdsyxdsyxL)(4)(34343434在第一象限中在第一象限中,星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為)20(sincos33 ttaytaxtdttadtttattadscossin3)sincos3()sincos3(2222 aaxy-a-a其中其中L為星形線為星形線:練習(xí)練習(xí)4Department of Mathematics ABdsyxdsyxL)(4)(34343434利用公式直接得到利用公式直接得到: 2/066372/05537)cos(sin1

18、2)cossinsin(cos12 ttdadttttta372/066374cossin2atta tdttattacossin3)sin(cos4442/034 Department of Mathematics計(jì)算計(jì)算,dsxIL 其中其中L為雙紐線為雙紐線)0()()(222222 ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 , 得得sxILd41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a ,2cos:22 arL yox練習(xí)練習(xí)5Department of Mathemati

19、cs d d s計(jì)算計(jì)算,d)(222szyxI 其中其中 為球面為球面22yx 解解: , 11)(:24122121 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d22920 I d2 cos221 z. 1的交線的交線與平面與平面 zx292 z化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2 x sin2 y則則練習(xí)練習(xí)6Department of Mathematics例例 3其其中中積積分分路路徑徑計(jì)計(jì)算算,arctan)1( OmAnOdxdyxy).(,2如圖所示如圖所示為直線為直線為曲線為曲線xyOnAxyOmA OAmn2. 第二型曲線積分的計(jì)算第二型曲線積

20、分的計(jì)算解解(1) AnOOmAdxdyxyarctan原原式式 0110)14()12(arctandxdxxx 144arctan210 xdxxDepartment of Mathematicsz OB1xACy11.,1 ,)()()().2(222222222保保持持在在左左方方正正向向進(jìn)進(jìn)行行時(shí)時(shí)曲曲面面的的外外側(cè)側(cè)當(dāng)當(dāng)沿沿著著它它的的的的邊邊界界在在第第一一象象限限部部分分為為球球面面 zyxLdzyxdyxzdxzyL解解(2)由由輪輪換換性性知知原原積積分分為為積積分分路路徑徑如如圖圖所所示示 , ABdzyxdyxzdxzy)()()(3222222,2 0 , 0,sin

21、,cos: 到到從從其其中中tztytxAB 20220cos)cos0()sin)(0(sin3 dttttt上上式式4)cos(sin32033 dtttDepartment of Mathematicsozyx,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI 其中其中,2122zyxyx從從 z 軸正向看為順時(shí)針方向軸正向看為順時(shí)針方向.解解: 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程,sin,costytx )02:(sincos2 tttz 20Itttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos tt d)cos41(220 )sin)(cos2(tt 2 練習(xí)練習(xí)7Dep

22、artment of Mathematics練習(xí)練習(xí)8計(jì)算計(jì)算 Ldzyxdyxzdxzy)()()(其中其中:L為柱面為柱面 與平面與平面 的交線的交線,從從z軸正向看軸正向看L為逆時(shí)針方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向222ayx )0, 0( 1 hahzax解解:設(shè)設(shè)L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為: 20: )cos1( sin cos tthztaytaxtdthdztdtadytdtadxsin,cos,sin 2202sin)sin(coscoscos)cos1( )sin(0cos1(sin )()()(adtthttatatattathtadzyxdyxzdxzyL Department of M

23、athematics練習(xí)練習(xí)9 把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分: Lxzdzyzdyxyzdx化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,其中其中L為曲線為曲線的的弧弧段段到到從從響響應(yīng)應(yīng)于于10,32ttztytx 解解: 由由 sRQPzRyQxPd)coscoscos(ddd 而而:224222294119411)(cosyxttzyxtx 224222294129412)(cosyxxtttzyxty 2242222294139413)(cosyxytttzyxtz Department of Mathematics所以所以:dsyxxyzdsyxxyzyxxyzyxxyzxzdz

24、yzdyxyzdxLLL 22222222941694139412941 思考思考從中能得到什么從中能得到什么?一個(gè)公式一個(gè)公式Department of Mathematics曲線積分計(jì)算方法總結(jié)曲線積分計(jì)算方法總結(jié):）利用計(jì)算公式）利用計(jì)算公式:思想：化為定積分；思想：化為定積分；方法：方法：“參數(shù)法參數(shù)法”及要點(diǎn)。及要點(diǎn)。*1 選取合適的參數(shù)方程；選取合適的參數(shù)方程；*2 第一類曲線積分：第一類曲線積分：定限定限 代換代換 第一類曲線積分：第一類曲線積分：定向定向 定限定限 代換代換*1 對(duì)稱性輪換性的應(yīng)用對(duì)稱性輪換性的應(yīng)用*2 利用曲線方程簡(jiǎn)化被積函數(shù)利用曲線方程簡(jiǎn)化被積函數(shù)*3 兩類

25、曲線積分之間的聯(lián)系兩類曲線積分之間的聯(lián)系）特殊情形）特殊情形Department of Mathematics.222, 在在第第一一象象限限部部分分平平面面是是其其中中計(jì)計(jì)算算 zyxxyzdS,222:在在第第一一象象限限部部分分如如圖圖yxz 解解xzyyxz222 dxdydxdyzzdSyx3)()(122 xyDdxdyyxxyxyzdS3)222( xdyyxxydx1010)1(6.201)1(616103 dxxx3. 第一型曲面積分的計(jì)算第一型曲面積分的計(jì)算例例 5Department of Mathematicsxozy 設(shè)設(shè)2222:azyx ),(zyxf計(jì)算計(jì)算.d),( SzyxfI解解: 錐面錐面22yxz 的