彈性力學教材習題及解答供參考

1、1 1.選擇題a.下列材料中，_D _屬于各向同性材料。A.竹材；B.纖維增強復合材料；C.玻璃鋼；D.瀝青。b.關于彈性力學的正確認識是 _AA.計算力學在工程結構設計的中作用日益重要；B.彈性力學從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學不同，不需要對問題作假設;C.任何彈性變形材料都是彈性力學的研究對象；D.彈性力學理論像材料力學一樣，可以沒有困難的應用于工程結構分析。c.彈性力學與材料力學的主要不同之處在于_BA.任務；B.研究對象；C.研究方法；D.基本假設。d.所謂 完全彈性體"是指_BA.材料應力應變關系滿足胡克定律；B.材料的應力應變關系與加載時間歷史無關；C.本構關

2、系為非線性彈性關系；D.應力應變關系滿足線性彈性關系。2-1.選擇題a.所謂 應力狀態(tài)”是指_B_。A.斜截面應力矢量與橫截面應力矢量不同；B. 一點不同截面的應力隨著截面方位變化而改變；C. 3個主應力作用平面相互垂直；D.不同截面的應力不同，因此應力矢量是不可確定的。2-2.梯形橫截面墻體完全置于水中，如圖所示。已知水的比重為，試寫出墻體橫截面邊界AA', AB, BB'的面力邊界條件。在區(qū)川上，/三一即，工期三0*在HE上,丁¥ = 0,%=一第二(jJ+丁初然=一即sin. a, 在2歲上，42-3.作用均勻分布載荷 q的矩形橫截面簡支梁，如圖所示。根據(jù)材料力

3、學分析結果，該梁Af月 S.£7, =V =橫截面的應力分量為 試檢驗上述分析結果是否滿足平衡微分方程和面力邊界條件。得 % .- 41¥2由此，只有當確定.材料力學中所得至|的解答才能滿足平衡方程和邊界條件，即為滿足強性力學基本方程的解.2-4,單位厚度的楔形體，材料比重為 ，楔形體左側作用比重為的液體，如圖所示。試寫出楔形體的邊界條件。- 3 cos as - sin 口 = a, 在工=-ytan ojn卬 cos tz -日了 sin 0 =尸 1y sin cs.嗎 cos力 - sm =0 在團員c。"-"in”。2-5,已知球體的半徑為r,

4、材料的密度為 i,球體在密度為 i （ 1 1）的液體中漂浮，如圖所示。試寫出球體的面力邊界條件。沉入液陲部分£ 勺）面力F =-由式R -2），辿界條件為呵-FA -% +七力%=Q.工丁產(chǎn)十尸【。/ 一尸）+Q 一力1 = 0.斤% +嚴w + G 一尸）。T尸Q未沉人液體中的部分（仆2尸），邊界條件為彳行,*尸工期:（蕓一吟G = &十萬叮下十一玲空=0.了丁.十下丁”十（=力仃? =02-6.矩形橫截面懸臂梁作用線性分布載荷，如圖所示。試根據(jù)材料力學應力解答3-1.選擇題 a.切應力互等定理根據(jù)條件 _B _成立。A.純剪切；B.任意應力狀態(tài)；C.三向應力狀態(tài)；D.平

5、面應力狀態(tài)；b.應力不變量說明_D._。A.應力狀態(tài)特征方程的根是不確定的；8. 一點的應力分量不變；C.主應力的方向不變；D.應力隨著截面方位改變，但是應力狀態(tài)不變。3-2.已知彈性體內部某點的應力分量分別為a. x=a,y=-a,z= a,xy=0, yz=0, zx=-a;b. x=50a,y=0,z=-30a, xy=50, yz=-75a, zx=80a；c. x=100a,y=50a,z=-10 a, xy=40a, yz=30a, zx=-20a;試求主應力和最大切應力。a. 1=2a,2=0, 3=-a, max=1.5ab. 1=99.6a,2=58.6a, 3=-138.2

6、a,c. 1=122.2a,2=49.5a, 3=-31.7a,3-3.已知物體內某點的應力分量為x= y= xy=0, z=200a, yz= zx=100a試求該點的主應力和主平面方位角。max=118.9amax=77.0 a丐-27 勿= G, er士匚-13a3-4.試根據(jù)彈性體內某點的主應力和主平面方位寫出最大切應力，以及作用面的表達式。3-5.已知彈性體內部某點的應力分量為x=500a,y=0,z=- 300a,xy=500a,yz= -750a,zx=800a試求通過該點，法線方向為平面的正應力和切應力。3-4.3-5 = 1117.7aFcrs = 260&,% =

7、1087.方向余弦如下表所示.I00士10J "V242m0±10±_L V20+ _L 42n±100+A±-L0主切應力為 q ±±_（仃3 _ cr3）,t3 ±士（#3 一,），% 三 ±_（54-1.選擇題 a.關于應力狀態(tài)分析，_D_是正確的。A.應力狀態(tài)特征方程的根是確定的，因此任意截面的應力分量相同;B.應力不變量表示主應力不變；C.主應力的大小是可以確定的，但是方向不是確定的；D.應力分量隨著截面方位改變而變化，但是應力狀態(tài)是不變的。b.應力狀態(tài)分析是建立在靜力學基礎上的，這是因為_D.

8、A.沒有考慮面力邊界條件；B.沒有討論多連域的變形；C.沒有涉及材料本構關系；D.沒有考慮材料的變形對于應力狀態(tài)的影響。4-2.已知彈性體內部某點的應力張量為/ a41.5。）<7 =02a- ,5ri一1.5日 0 /試將上述應力張量分解為應力球張量和應力偏張量，并求解應力偏張量的第二不變量。43.已知物體內某點的主應力分別為a. i=50a,2=-50a,3=75a;a 8=25a, 8=54a;b 8=0 , 8=70.7a;b. i=70.7a,2=0,3=70.7a試求八面體單元的正應力和切應力。4 4.已知物體內某點的應力分量x=50a, y=80a, z=-70a,xy=-

9、20a, yz=60a, zx=a試求主應力和主平面方位角。應力不變量為h = 5% + 3工 +-t/ -t： = _9100迂1八二口黑仃,仃工十2T干工費工審一步江產(chǎn)'一仃,下/一仃= -432000a)根據(jù)特征方程仃$一60雙廣：-9100a-+432000 =8cf - 107 3cj,cr2 -44.1a, cf = -91一4小求得？l - 0 314,強.-2 855/j - -0.9001 - -0 970 - -0.305,同樣可得其余兩組方向余弦為(0.94瓦口居2,0.146),(-。.04時.337,心JM0).4-5.已知物體內某點的應力分量x=100a,

10、y=200a, z=300a, xy=-50a, yz= zx=0試求該點的主應力、主切應力、八面體切應力和主平面方位角。oj = 300 0口,% = 220,=-7?勿，q 70.7d,ra - 110/UfTf3 397% = 51.3(2；(OQD, (0.兆 34924 功,®9240383,0)5-1.選擇題a.下列關于幾何方程的敘述，沒有錯誤的是_C_。A.由于幾何方程是由位移導數(shù)組成的，因此，位移的導數(shù)描述了物體的變形位移；B.幾何方程建立了位移與變形的關系，因此，通過幾何方程可以確定一點的位移。C.幾何方程建立了位移與變形的關系，因此，通過幾何方程可以確定一點的應變

11、分量。D.幾何方程是一點位移與應變分量之間的唯一關系。5-2.已知彈性體的位移為u (I X () + 0 IX I cr+ 0.05 X K) 1 zy = 5m |fl '-0.05xl0- + 0.1xl(T“M- = 1Oxl0 0,1/1。試求 A (1,1,1)和 B (0.5,1,0)點的主應變 1/點生應變UI國=0.12&4/ 1尸 同用叮67x I0.1031X1g+品大伸長的絕對值為11264X10-B點主應受一ii-0.08 32 X10-3 月- 02S7X1O-3 卷一(M045X 1 爐最大伸長的絕對值為0.1045X10-53.試求物體的剛體位移

12、，即應變?yōu)榱銜r的位移分量。X - C/ + C廬+畸v - -5了+c甲+為M = 一冬工' c” +%或寫成"叼廠”十飛y ="一嗎=fH =取y- 0/士附式中的、為、叫為物體的剛性移動分量；叫、叼、叼為剛性轉曲分量-5 4.已知兩組位移分量分別為£/(= / +2J + fl Jg =.+ b,x + hxy + b4,r2 +也用f hhy2V = % + 1口 + Q Ji= bT + &jc + 4丁 + 口/ + 4 W 十 btzylu; = 0湫=0其中ai和bi為常數(shù)，試求應變分量，并且指出上述位移是否滿足變形協(xié)調條件。應變分室

13、為與=心，J J =0尸療M的+應* Vg Qq =/+2從x +弓=電十可】兀+改爐， q = Q=包書豌)：物小，四+2%i)乂所得應變分量為常皴或:者為工、y的線性函數(shù)，顯然能夠滿足變形協(xié)調條件。5-5.已知彈性體的位移為u = £ &>)+ 4z - 口zy + b一+ ttv=4(vH丁 - J),vz-ax-/z + b2二 八(%,)-(2 Av 4- 2 C)z+ /fx-+ / v + C其中A, B, C, a, b, c,為常數(shù)，試求應變分量。明明門力前修=不皿1二-Qm密© 及二尊+。6-1.選擇題a.下列關于 剛體轉動”的描述，認識正

14、確的是 _A _。A.剛性轉動描述了微分單元體的方位變化，與變形位移一起構成彈性體的變形；B.剛性轉動分量描述的是一點的剛體轉動位移，因此與彈性體的變形無關;C.剛性轉動位移也是位移的導數(shù)，因此它描述了一點的變形；D.剛性轉動分量可以確定彈性體的剛體位移。b.下列關于應變狀態(tài)的描述，錯誤的是_AA.坐標系的選取不同，應變分量不同，因此一點的應變是不可確定的。B.不同坐標系下，應變分量的值不同，但是描述的一點變形的應變狀態(tài)是確定的。C.應變分量在不同坐標系中是變化的，但是其內在關系是確定的。D. 一點主應變的數(shù)值和方位是不變的。6-2.已知物體內部某點的應變分量為x= 10-3, y=5M0-4

15、, z= 10-4, xy= 8M0-4, yz= 6 M0-4, xz= -4 ¥0-4試求該點的主應變和最大主應變1的方位角。% = 0,0。124%= 0.0004= -0 0003174=。.852,= 0 503 0,0536-3.平面應變狀態(tài)下， 如果已知00, 60o和120°方向的正應變， 試求主應變的大小和方向。6-4.圓截面桿件兩端作用扭矩，如圖所示，其位移分量為u=- zy+ay+bz+cv= zx+ez-dx+fw=-bx-ey+k設坐標原點O位移固定，試按照下列轉動位移邊界條件分別確定待定系數(shù)a,b,c,d,e,f和k。a.微分線段dz在xOz和y

16、Oz平面內不能轉動；6 5.等截面柱體，材料比重為c.微分線段dx和dy在xOz平面內不能轉動。,在自重作用下的應變分量為+ 0.06/7.0.06其中為材料彈性常數(shù)，試檢驗上述應變分量是否滿足變形協(xié)調條件和邊界條件。6 6.解；首先計算應變不變量，并解三欷方程，求得主應變值為啊=0.15xW- 金=。0433x1。-?.% = -0 0333x10為求解主應變方向，利用下列方程組:（J-右1 + ；小喀+£了神用=0;+ 陛打+（甥一后）=o將二一司代入上式，第一式自然茜足，其余兩個方程式為以上西式的唯一解為根1 同1 0.為滿足，j+屆+曷= 1,則有4 = 1 .即4的方向余弦

17、為（1, 0，0）.應變分量滿足變形協(xié)調條件，位格分量為將為代入前面方程式，得0.10674 = 00 0*3酮？ + 0.06盟不=00 06m- 0睇&弛=0由第一式得為=。*由第二、三式可得并3 = 1.388gu再由廣；+嘀+褶=1得 鬲+1%舒尾=1,由該式求得啊=0一585,而町 1.388«% - 0.812.船叼的方向余統(tǒng) 為 f 0,0,585,081，同樣可求得與的方向余弦為(0,0£110585).7-1.選擇題a.變形協(xié)調方程說明_B _。A.幾何方程是根據(jù)運動學關系確定的，因此對于彈性體的變形描述是不正確的;B.微分單元體的變形必須受到變形

18、協(xié)調條件的約束；C.變形協(xié)調方程是保證所有彈性體變形協(xié)調條件的必要和充分條件；D.變形是由應變分量和轉動分量共同組成的。7-2.如果物體處于平面應變狀態(tài)，幾何方程為試證明對于單連域物體，位移的單值條件為應變分量滿足變形協(xié)調方程證：由腌冊幾何方顏求得A 乜立 也三+巡/ 5何3? 3?獷 &做防論調才由北修！.連二瓦/ 萌a電上式版為受手怖調條件.由此可犯幾何成郎成立必然可導出去詞方程(必要也)SIB韭充冊I醐洞條件啦般賴口、山而且胸內是單值耕磴.得通常幫?和三，而士可由；I麗S得乳 獅3 ：.髓日的就0與點思虢毋進冏舟， 江 助 泳*并應用幾何無隹.則得Jr a 加7 8 加,廣*底蓋

19、冰+后鏟南+G北+券侍.D+G士安川誓_誓加+5 ay 功？ 觥這使上式的積分在單宦域內與路徑無關，必須滿足a % d叭加（J L）力宓 砂中 烝即3弓+%/ %Sy2 dxdy上丈即為協(xié)調條件，亦滿足協(xié)調條件時更可以唯一地被確定.因此，可以計算如即»曳=，就必十%=，望擊 H空。）+/同樣，為由半、包唯一地戴定M,即與積分路徑無關，必須滿足 出砂對于連熟油敝，求導數(shù)時與徽分限序無美，故上或是常是的.因此，可以唯一地確定民. 用同樣的方法可以證明，只要滴足變形協(xié)調條件，可以唯一地確定，（充分性）口由以上證明可知，變形協(xié)調條件是確定以（再封、式再司有解的必要與充分條件.7-3.已知物體

20、某點的正應變分量 x, y和z,試求其體積應變。R三J十三F7-4.已知物體某點的主應變分量 1, 2和3,試求其八面體單元切應力表達式。zo="|L 一 %y * & - 的 j+fe -/y7-5.已知物體變形時的應變分量為x= A0+Ai(x2+y2)+x4+y4y=B0+Bi(x2+y2)+x4+y4xy= Co+C i xy(x2+y2+C2)z= xz yz= 0試求上述待定系數(shù)之間的關系。G = 4+ 用 - 2G = 0而系數(shù)片、穌、q可為任意常毅.7-6.已知橢圓截面柱體在扭矩作用下產(chǎn)生的應變分量為八=-:xn 0比G4=耳=耳="1=口試證明上述

21、應變分量滿足變形協(xié)調方程。8-1.選擇題a.各向異性材料的彈性常數(shù)為 _D_。A. 9 個；B. 21 個；C. 3 個；D. 13 個；A.B.C.D.8-2.83.8一 4.8-5.8-2b.正交各向異性材料性質與下列無關的是_B_。拉壓與剪切、以及不同平面的剪切變形之間沒有耦合作用；具有3個彈性對稱面；彈性常數(shù)有9個；正交各向異性材料不是均勻材料。的胡克定律。試推導軸對稱平面應力（z= 0）和軸對稱平面應變問題（z =試求體積應力 與體積應變得關系。試證明對于均勻材料，獨立的彈性常數(shù)只有21個。試利用正方體單元證明，對于不可壓縮材料，泊松比 =0.5。軸對稱平面應力問題的胡克定律為1/

22、、弘 票程一弓）23-軸對稱平面應變問題的由克定律為1 r£ = '- CFP史18-39-1.選擇題a.對于各向同性材料，與下列性質無關的是_D_。A.具有2個彈性常數(shù)；B.材料性質與坐標軸的選擇無關；C.應力主軸與應變主軸重合；D.彈性常數(shù)為3個。9-2.試利用拉梅彈性常數(shù) 和G表示彈性模量 E,泊松比 和體積彈性模量 Ko9-3.試利用應力轉軸公式和胡克定律推導軸對稱問題的胡克定律。9- 4.鋼制圓柱體直徑為 d =100mm ,外套一個厚度 =5mm的鋼制圓筒，如圖所示。圓柱體 受軸向壓力F = 250kN作用，已知鋼的彈性模量 E =210GPa,泊松比=0.3,試

23、求圓筒應力。m nrn I II9-5.已知彈性體某點 x和y方向的正應力為x=35MPa , y=25MPa,而z方向的應變z=0,試求該點的其它應力分量9-2a25 +59-3r軸對稱問題的胡克定律為1 , 、9一 4=仃、=8.92ZA/9-5加4,與三 110.3x10* j =45,5乂10”10-1.半無限彈性體表面作用集中力F,試用應力函數(shù)%= CZIn /> + CJ p2 4 工工尸 + Cy2In求解應力和位移分量。(72網(wǎng)3F1(p-t12 一三i(p +r)2 +1-3#盛爐+寥，2f (1-2川 3十三（4十+Z冰+一）,/（解必尸,= 3F_躥“# +，) a

24、.2H£y+為 “ + 2。-，+/尸霓Kp10-2.圓柱體的側面作用均勻壓力，兩個端面作用均勻壓力，如圖所示。試用應力函數(shù) f=Ci 2z+C2 z3求解圓柱體的應力分量，并且計算圓柱體的體積改變。10-3.半無限空間物體，材料的比重為，在水平表面作用均勻分布的壓力 q,如圖所示。試用位移法求解半無限體的應力和位移。u = 0,v = 0,_ 卬= J"、隔 & _ /）4 2心-力（，f"48 一 41 Gr 一 %,仝一丁匕（04內弟），1.1 _ /Jq =一0 +用頊10-4.設函數(shù) f =axy3 + y fi （x）+ f2（x）可以作為求解

25、平面問題的應力函數(shù)，試求待定函數(shù)fi（x）和 f2（x）。J E叼戶與印? 4 5九Ja "%/ + %貯*10-5.單位厚度的桿件兩端作用均勻壓力p,在y=±h的邊界為剛性平面約束，如圖所示。已知桿件的位移為應力分量在迎奧上應滿足邊界條件，即kt處,工=-1處, 了=± h姓，(y) =0111.選擇題a.彈性力學解的唯一性定理在 _D 條件成立。A.具有相同體力和面力邊界條件；B.具有相同位移約束；C.相同材料；D.上述3條同時成立。b.對于彈性力學的基本解法，不要求條件_D _。A.基本未知量必須能夠表達其它未知量；B.必須有基本未知量表達的基本方程；C.邊

26、界條件必須用基本未知量表達；D.基本未知量必須包括所有未知函數(shù)。C.下列關于彈性力學基本方程描述正確的是_A _。A.幾何方程適用小變形條件；B.物理方程與材料性質無關；C.平衡微分方程是確定彈性體平衡的唯一條件；D.變形協(xié)調方程是確定彈性體位移單值連續(xù)的唯一條件；d.關于彈性力學的疊加原理，應用的基本條件不包括_D _。A.小變形條件；B.材料變形滿足完全彈性條件；C.材料本構關系滿足線性彈性條件；D.應力應變關系是線性完全彈性體。e.下列關于應力解法的說法正確的是 _A _oA.必須以應力分量作為基本未知量；B.不能用于位移邊界條件；C.應力表達的變形協(xié)調方程是唯一的基本方程；D.必須使用

27、應力表達的位移邊界條件。f.彈性力學的基本未知量沒有 _CA.應變分量；B.位移分量;C.面力；D.應力。g.下列關于圣維南原理的正確敘述是_c_。A.邊界等效力系替換不影響彈性體內部的應力分布；B.等效力系替換將不影響彈性體的變形；C.等效力系替換主要影響載荷作用區(qū)附近的應力分布，對于遠離邊界的彈性體內部的影 響比較??；D.圣維南原理說明彈性體的作用載荷可以任意平移。11-2.設有半空間彈性體， 在邊界平面的一個半徑為a的圓面積上作用均勻分布壓力q,如圖所示。試求圓心下方距邊界為 h處的鉛直正應力，并計算圓心處的沉陷。121.懸掛板，在O點固定，若板的厚度為 1,寬度為2a,長度為1,材料的

28、比重為，如圖 所示。試求該板在自重作用下的應力分量和位移分量。£7+昌 <In0-2X1 +#)F27/7（0十一），十2（1 -聞3二十d12-2.等厚度板沿周邊作用著均勻壓力q ,若O點不能移動和轉動，試求板內任意點的位移分量。12-3.已知直角六面體的長度 h比寬度和高度b大的多，將它放置在絕對剛性和光滑的基礎上，在六面體的上表面作用均勻壓力、S、12-4.單位厚度的矩形截面梁，在卜兩個面上的邊界條件。5= (%)z =一以% =°q,試求應力分量與位移分量。的=川J您_/)+4(3一4 4m1 -，=s - -s + 的)， 1 ”4 =+ .),W '

29、; = 0x=c處作用著集中載荷 F= 1,如圖所示。試寫出該梁上應力分量為% - -P% H飛Per = 0 a% =% =%應力分量在邊界上應滿是邊界條件，即產(chǎn)土力帆E)t = o13-1.選擇題a.下列關于應力函數(shù)的說法，正確的是_C_。A.應力函數(shù)與彈性體的邊界條件性質相關，因此應用應力函數(shù)，自然滿足邊界條件;B.多項式函數(shù)自然可以作為平面問題的應力函數(shù)；C. 一次多項式應力函數(shù)不產(chǎn)生應力，因此可以不計。D.相同邊界條件和作用載荷的平面應力和平面應變問題的應力函數(shù)不同。13-2.簡支梁僅承受自身重量，材料的比重為，試檢驗函數(shù)f =Ax2y3+By5+Cy3+Dx 2y是否可以作為應力函

30、數(shù)，并且求各個待定系數(shù)。當R = 73時可做為應力函皴-13-3.建筑在水下的墻體受水壓，軸向壓力F和側向力F作用，如圖所示。已知墻體的端部與水平面等高，水的比重為，側向力與水平面距離為 2h,設應力函數(shù)為f =Ay3+ Bx2+ Cxy+ Dx 3y+Ex3試求y =3h墻體截面的應力分量。根據(jù)邊界條件 在工工土冬處, 2在黑士 士一處,2V3 - -yy ， A -*6期42F3F所以C = -反力分量為12F24 斤3P 6F 2r =-r ° 2k妒墻體軸桀在工方向的位移表達式為/一口 =二-忘信+ 6" -63川八1?？薄眖。試求邊界上的13-4.已知如圖所示單位

31、厚度的矩形薄板，周邊作用著均勻剪力C1并求其應力分量（不計體力）O(1 - V)2vAE13-5.已知函數(shù)f =A（x4y4） 試檢查它能否做為應力函數(shù)？如果可以，試用上述應力函數(shù)求解圖示矩形薄板的邊界面力。14-1.矩形截面柱側面受均布載荷 q的作用，如圖所示。試求應力函數(shù)及應力分量（不計 體力）。14-2.如圖所示懸臂梁，承受均布載荷q的作用，試檢驗函數(shù)f =Ay3+Bx2y3+Cy3 + Dx2+Ex2y能否做為應力函數(shù)。如果可以，求各個待定系數(shù)及懸臂梁應力分量。當3 = 5月時可儆為應力函數(shù).14-3.矩形截面柱體承受偏心載荷作用，如果不計柱體自身重量，則若應力函數(shù)為f =Ax3+ B

32、x2 試求：a.應力分量和應變分量；b.假設O點不動，且該點截面內的任意微分線段不能轉動，求其位移分量;a.軸線的位移一撓曲線方程。14-4.已知懸臂梁如圖所示，如果懸臂梁的彎曲正應力x由材料力學公式給出，試由平衡方程式求出y及xy ,并檢驗計算所得的應力分量能否滿足應力表示的變形協(xié)調方程。3劭人3 %氣-y - - 二J 2 lh lh3 21q*b*+£?/=-個，即應力分量不滿足協(xié)調方程式.14-5.三角形懸臂梁，承受自重作用，如圖所示。已知材料的比重為，試確定應力函數(shù)及應力分量。設應力函效為 :" .獷# = HKCctcu _ mJ 值. 0 =-"，t

33、 = "/y cot a - 14-4. '' '15- 1.選擇題a.下列關于軸對稱問題的敘述，正確的是_B_。A.軸對稱應力必然是軸對稱位移；B.軸對稱位移必然是軸對稱應力；C.只有軸對稱結構，才會導致軸對稱應力；D.對于軸對稱位移，最多只有兩個邊界條件。b.關于彈性力學平面問題的極坐標解，下列說法正確的是_B_OA.坐標系的選取，從根本上改變了彈性力學問題的性質。B.坐標系的選取，改變了問題的基本方程和邊界條件描述；C.對于極坐標解，平面應力和平面應變問題沒有任何差別；D.對于極坐標解，切應力互等定理不再成立。15-2.厚壁圓筒內徑為a,外徑為b,厚壁圓

34、筒內承受內壓 pi作用，外面施加絕對剛性的約 束，如圖所示，試求厚壁筒的應力和位移。15-3.已知曲桿的截面為狹長矩形，其內側面與外側面均不受載荷作用，僅在兩端面上作 =2J+5(211)6V)十二, P£ +2(及In 的應力分量為根據(jù)邊界條件式中M二&或曲-Ap2 + Bp1 Inp+Clnp+Z).C% = 2且 +P15-4.已知厚壁圓筒的內徑為 a,外徑為b,厚壁圓筒只承受內壓 pi作用，求厚壁圓筒在內 壓作用下內徑的增加量。如果厚壁圓筒只承受外壓Pe作用，求厚壁圓筒在外壓作用下外徑的減小增加量。曲桿中的應力為AM，厘”白. p 九面、 cf = 一.-(in 一瓜

35、 上十曰/in N p2 a h p4M 聲 b、b 1垢 p21 a, a2j (ilii. + £? In一+(2f In + b-aPa bp用作用時，內半徑的增大量為:以作用時，外半徑的誡小量為161.已知厚壁圓筒在=a的內邊界上被固定，在=b的厚壁圓筒的外壁圓周上作用著分布剪力0,如圖所示。試用應力函數(shù)f =C ,求解厚壁圓筒的應力和位移。取-Ap1 + 8p' In p +Cln D.的皮力分量為n* =2+ 8(2山 口+"二，P、 = 24 + EQln p、3)一 二、 P% =。根據(jù)邊奧條件A- - 力 +的鏟辦a/ln朔, N口2豺/I 2、B

36、 = - (b - a N一 4MC - 4 日 此一A7 a式中 M 二斤一/丫 色)，16-2.矩形橫截面的曲梁，一端固定，自由端處承受集中力 F和力矩M的作用，如圖所示。 設應力函數(shù) f ( , )= f ( )cos 可以求解該問題，試求出M與F之間的關系，并求曲梁應 力。曲桿中的應力為口 - -In - 1»- A3 In + d2ln -1PN蠟 rbpb =-(i-lii _ +一 " In 十 y Q。,'Nabp% 二 0-163.已知應力函數(shù)f ( , )= a01n +b0 2+(ai 2+a2 -2+bi)cos2試求相應當應力分量和位移分量

37、。所以 j =0 cr = 0 叁F根據(jù)邊界條件，=b工由位移16-4.已知圓環(huán)的內半徑為 a,外半徑為b,套在剛性軸上，軸與環(huán)之間的套合壓力為設圓環(huán)的變形是彈性的， 其材料的比重為 。試求當軸旋轉時， 使得軸與圓環(huán)之間壓力變?yōu)?零的角速度 。165.將內半徑為a,外半徑為b的圓環(huán)套在半徑為（a+ ）的剛性軸上，設環(huán)的變形是 彈性的，環(huán)的材料比重為。試問當旋轉角速度為多大時，環(huán)與軸之間的套合壓力將減小為0。17-1.無限大板在遠處承受均勻壓力 p的作用，內部有一個半徑為a的圓孔, 如圖所示。試用應力函數(shù)方法求解板的應力。H t f t t t17-2.矩形薄板受純剪作用， 剪力強度為q。設距板

38、邊緣較遠處有一半徑為a的小圓孔，如圖所示。試求孔口的最大正應力和最小正應力。（%焉=肛17-3.無限大板在遠處承受均勻拉力p的作用，內部有一個半徑為 a的圓孔。試用疊加法求解板的應力。并且將距離孔口比較遠處的應力與厚壁圓筒解答作一比較。174.在內半徑為a ,外半徑為b的厚壁圓筒上套合一個內半徑為(b-)、外半徑為c的厚壁筒，如兩筒的材料相同，試問外筒加熱到比內筒溫度高多少度時，可使外筒不受阻礙的套在筒上，并求出冷卻后兩筒之間的壓力。17-3%一貝-%=M1fp= 0.與厚壁筒的結果一致.17-4181.內半徑為a,外半徑為b的圓環(huán)板，在 =a處作用有均勻壓力 pi ,在 =b處作 用有均勻壓

39、力peo試用復位勢函數(shù)f(z)=Az億尸B/z 求解圓環(huán)的應力和位移。182.已知復位勢函數(shù)f (z)=Cz2(z)=2Cz3 其中C為常數(shù)，試求上述復位勢函數(shù)對應的應力狀態(tài)。183.設復位勢應力函數(shù)f(z)=Az ln z +Bz(z)= C/z 試用上述復位勢函數(shù)求解圖示曲梁的純彎曲問題。已知曲梁的內半徑為a,外半徑為bo18-4.已知開口圓環(huán)的內半徑為a,外半徑為b,圓環(huán)在外部因素的影響下由封閉錯動一個很小的角度 。設復位勢應力函數(shù)f (z)=Az ln z +Bz (z)=C/z試用上述復位勢函數(shù)求解圖示圓環(huán)的位問題。18- 1.b2 -a0.3-v身 42( 17)氏 A如不考慮剛體

40、轉動,一"為 及2 _ .%小一叫18-2A f = Cxr = 0 n表示矩形板純彎曲應力狀態(tài).18-4.位移公式2C?l + v圓環(huán)轉動錯位角閉合，令F)z“三口小 則伊-小尸-4口皆山與"-度.一.一J18-3主要邊界條件為，當=凡Q*匕時, % =0, F=G因此曲桿純彎曲端面邊界條件. 2M Z5,2A =一口 )求解可得氏生(V+產(chǎn) AM n2 bC1 = a & In -s% "箕中 % =(拄=4&保£t應力表達式4M產(chǎn)號.b d 0"白、CF 二一I：yln+ & 加一+ 鼻 In一), / 門 B 占

41、V療=一£( _砧24占,抬_£ 4式l巴力占”4菱，)% d a b p191.已知復位勢函數(shù)為f (z)=2i k(z3-3az2)(z)=-i k(z4-2az3+12b2z2)其中，a, b, k均為實常數(shù)，求解對應的應力狀態(tài)。192.無限大板內一點 O作用有集中力F,如圖所示。試用復位勢函數(shù)f (z)=Alnz(z)=B(1+ lnz) 求解板的應力和位移。19-3.厚壁圓筒的內徑為 a,外徑為b,在厚壁圓筒內壁和外壁分別作用均勻分布剪力qi和q2,如圖所示。試用復位勢函數(shù)f (z)=0切=3 求解厚壁圓筒的應力和位移。19-4.已知復位勢函數(shù)f(z)= (Ai

42、+ iA2)z4(z)=(Bi+iB2)z4 其中 Ai, A2, Bi, B2均為實常數(shù)。試求對應的應力和位移。i9 i營才-48奴口 一幻乂 bp 工 0,- 24k(y2 -b2).i92.&=斗=0, 4 =-X-Q + v),- (3-v).b阮8 nH n 4 、 cos 建 fT =-(3 + v) 一 #4 儲J pFCF-=p 4n1十#1 +v2貝 f ) = 2GF- cos (3-v) InQ - v) - 1-sifi (3 - v)ln " +=-3 vjln /7 + (1- v)cqs- i(3 v)hi p + 2sin ) 4凱19-3%

43、=On % H19-4.公 牛 明 - 164（儲-%/） 764（3*與-?。?-, 244虱/ +3）- 244"+/）4 403/- - 3獷）-4。為小為-/）, % =124爪獷+/）+124雙一中丁）+ 20耳（3/y-式）+20晶（#-3工/） 荷于平面應力狀態(tài)§ 一 Vs - a一 -3_ _T2t?（w +iv） =（4 + 嗎）=* - 4（4 一 遇口）= -5（B - 1芻）£ .1 + v20-1.無限大板在無窮遠處承受雙向均勻拉伸載荷q的作用，板的中心有一個橢圓孔，如圖所示。已知橢圓的長軸和短軸分別為a和b,試求孔口應力。20-2.無限

44、大板在無窮遠處承受均勻剪力q的作用，板的中心有一個橢圓孔，如圖所示。已知橢圓的長軸和短軸分別為a和b,試求孔口應力。|k o )| * 2a *卜 203.半徑為a的圓形板，承受一對徑向集中力 的應力分布。V 1120- 1_ 與汕砥' 與i 3fh 2篇8sm最大應力為(/匿32m20-2.七號sin 2療% q cosh 2 - cos 27F的作用，如圖所示。試求徑向力作用線f20-3取=1 -H -) - 111(1 - - 呆, a 2n 點 上力 a An于(力=£齊三比。*馬_*三則一二a a £tt a Ztu a齊軸上的應力分布為耳. A .K -

45、=-一FTrl)廠一，“ = 0皿 Q 一兀fn )m21-1.無限大板在無窮遠處承受均勻拉伸載荷q的作用，板的中心有一個橢圓孔，已知橢圓的長軸和短軸分別為 a和b,橢圓的長軸與載荷作用線的夾角為，如圖所示。試求孔口應力。21-2.無限大板的內部有一個橢圓孔，已知橢圓的長軸和短軸分別為 a和b,橢圓孔的周邊作用有均勻分布的壓力載荷p,而無窮遠邊界應力為零，如圖所示。試求板內的應力。,板的內部有一個長度為 2a的裂紋,21-3.無限大板在無窮遠邊界作用有均勻分布的載荷裂紋面與載荷作用線夾角為，如圖所示。試求 =90。和=45。時，裂紋兩端的應力近似解。21-1彷（?）=K-M函數(shù)為匕編 cos2

46、/?ccsh + 0 -e零A®A）sinh J葛-+ : e2ccsh2（f -備-ij?）孔邊的應力sinh 2備P+ cos2? 一 e黛"cos2（/? 一4）cosh 2亮-cos 2n21 2產(chǎn)口 sin 2vjcosh2 -cos 2tj21-3.在裂紋尖端應力分量為=仃"sin a fcos (1 + sin sin ") sin a十 sin cosco?cos an 2p22222222- 1.選擇題a.下列關于柱體扭轉基本假設的敘述中，錯誤的是。A.橫截面的翹曲與單位長度扭轉角成正比；B.柱體扭轉時，橫截面上任意線段在坐標面的投影形

47、狀和大小均不變；C.柱體扭轉位移與橫截面的位置坐標無關；D.柱體扭轉時，橫截面形狀和大小不變。b.根據(jù)扭轉應力函數(shù)在橫截面邊界為零的性質，不能求解問題。A.圓形橫截面柱體；B.正三角形截面柱體；C.橢圓形截面柱體；D.厚壁圓筒。c.下列關于柱體扭轉應力函數(shù)的說法，有錯誤的是。A.扭轉應力函數(shù)必須滿足泊松方程；B.橫截面邊界的扭轉應力函數(shù)值為常數(shù)；C.扭轉應力函數(shù)是雙調和函數(shù)；D.柱體端面面力邊界條件可以確定扭轉應力函數(shù)的待定系數(shù)。22-2.試證明函數(shù)f =m( 2- a2),可以作為扭轉應力函數(shù)求解實心或者空心圓形截面桿件問題。22-3.受扭矩作用的任意截面形狀的桿件，在截面中有一面積為Si的

48、孔，若在內邊界上取fsi =const ,外邊界上取f =0,試證明：為滿足邊界條件，則丁j爐ilTp +2卅224.試證明：按照位移法求解柱體扭車t問題時的位移分量假設u=- zy v= zx 在小變形條件下的正確性。221. a. D. b. D. c. C.22- 2.23- 3.22-424- 1.選擇題a.下列關于薄膜比擬方法的說法，有錯誤的是。A.薄膜作用均勻壓力與柱體扭轉有類似的微分方程；B.柱體橫截面切應力方向與薄膜等高線切線方向一致；C.由于薄膜比擬與柱體扭轉有相同的微分方程和邊界條件，因此可以完全確定扭轉應 力；D.與薄膜等高線垂直方向的切應力為零。T,試求應23-2.已知

49、長半軸為a,短半軸為b的橢圓形截面桿件，在桿件端部作用著扭矩 力分量、最大切應力及位移分量。23-3.試證明函數(shù)遇, r rHr HZ ,%尸(/? -+ 2-cosp -o')=0)的切應可以作為圖示截面桿件的扭轉應力函數(shù)。求其最大切應力，并與B點(=2a,力值進行比較。23-4.試證明翹曲函數(shù)f(x, y)=m(y3-3x2y)可以作為圖示正三角形截面桿件扭轉應力函數(shù)，并求最大切應力。23- l.a.C.23-2.設網(wǎng)F。唔T）端部的邊界條件刖=-二.應力分量為2T27"=一V 7一-維F y 2 v司IJ 3兀岫F bt =肩+.廣二2T （7_木工）彳4環(huán)到加方/ 1

50、4）一最大切應力為疔T =皿“23-3.23-4提不和答案;截面的邊界方程為CD 繞/ - & 二 0BC 線X + 2。、回1y = 0衛(wèi)口續(xù)片42忒*抬尸=0.最大可應力在爐=0處，其值為_ 15T公=1OT25- 1.選擇題a,根據(jù)矩形截面柱體推導的開口薄壁桿件扭轉切應力，問題的分析基礎與 描述無關。A,開口薄壁構件是由狹長矩形組成的；B,組成開口薄壁桿件的各個狹長矩形的扭轉角相同；C,組成開口薄壁桿件的各個狹長矩形承受的扭矩相同；D,組成開口薄壁桿件的各個狹長矩形承受的扭矩等于外力矩。24-2,圖示各個開口薄壁桿件，承受到扭矩均為T = 5Nm,試求最大切應力。24-3,薄壁桿

51、件承受扭矩 T的作用，若桿件壁厚均為，截面如圖所示。試求最大切應力及單位長度的扭轉角。24-4.薄壁桿件承受扭矩 T的作用，若桿件壁厚均為 應力及單位長度的扭轉角。,截面如圖所示。試求最大扭轉切J124-5.薄壁圓管半徑為 R,壁厚為 ，如圖(a)所示。如果沿管的母線切一小的縫隙，如 圖(b)所示。試比較這兩個薄壁管的抗扭剛度及最大扭轉切應力。24- 1. a.C24-2ta)2.835N/imi< W0,974N/tnm< (c)l(d)3.219N/mm3n24-3T中間管壁內工=0,其余管壁t二3T 伊二 SGra324-4皿一函叮，伊獲萬24-533R251.兩個直徑均等于d的圓柱體,受到一對集中力 F = 100kN的作用如圖所示。已知兩個圓柱體接觸區(qū)域的最大應力=800MPa,彈性模量E = 200GPa,試確定圓柱體的直徑doRi = 500mm,軌道的曲率半徑252.火車的車輪與軌道的接觸如圖所示。已知車輪到半徑R2= 300mm,車輪對于軌道的接觸壓力為F=5kN ,材料的彈性模量 E=210GPa,泊松比0.3。試求最大接觸應力。25-3.已知集中力作用于半無限彈性體的表面O點，試證明半無限彈性體的應