第4章 離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與濾波器設計1(系統(tǒng)結(jié)構(gòu))

1、第四章第四章 數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器設計n一、濾波器設計基礎n二、濾波器結(jié)構(gòu)類型n三、IIR濾波器設計n四、FIR濾波器設計24.1 濾波器設計基礎濾波器設計基礎n濾波器定義：濾波器定義：n線性時不變系統(tǒng)的時域卷積和特性導致線性時不變系統(tǒng)的時域卷積和特性導致系統(tǒng)在頻域上對輸入信號的濾波特性系統(tǒng)在頻域上對輸入信號的濾波特性n濾波主要是指幅度特性的改變?yōu)V波主要是指幅度特性的改變n濾波器的作用濾波器的作用:n增強增強某一頻段內(nèi)信號，某一頻段內(nèi)信號，衰減衰減另一頻段信號，另一頻段信號，n有用信號的有用信號的提取提取，噪聲及干擾的濾除等，噪聲及干擾的濾除等濾波器分類n根據(jù)根據(jù)不同頻段內(nèi)的特性不同頻段內(nèi)

2、的特性不同不同n濾波器有通帶、阻帶、過渡帶之分等，濾波器有通帶、阻帶、過渡帶之分等，n相應的濾波器就有低通濾波器、高通濾波器、帶相應的濾波器就有低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。通濾波器、帶阻濾波器等。n按照系統(tǒng)單位沖激響應的時限特性按照系統(tǒng)單位沖激響應的時限特性n“無限長沖激響應系統(tǒng)無限長沖激響應系統(tǒng)”，簡稱為，簡稱為IIR系統(tǒng)系統(tǒng)；n“有限長單位沖激響應系統(tǒng)有限長單位沖激響應系統(tǒng)”，簡稱為，簡稱為FIR系統(tǒng)系統(tǒng)34 濾波器設計步驟濾波器設計步驟 n1、按照任務的要求，確定濾波器的性能指標、按照任務的要求，確定濾波器的性能指標n2、用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)按、用一個

3、因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)按照某一準則去逼近所要得到的性能指標照某一準則去逼近所要得到的性能指標n可以選用可以選用IIR濾波器濾波器n也可選用也可選用FIR濾波器濾波器n3、利用有限精度，選擇合適的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)、利用有限精度，選擇合適的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)n軟件實現(xiàn)軟件實現(xiàn)n硬件實現(xiàn)硬件實現(xiàn)5)(lg20)(lg20jwjweHGDeHG衰減：增益：n濾波器設計是按照某一準則去濾波器設計是按照某一準則去逼近逼近想要實現(xiàn)的想要實現(xiàn)的系統(tǒng)，因此要求對系統(tǒng)進行一定的系統(tǒng)，因此要求對系統(tǒng)進行一定的描述和要求描述和要求，就是濾波器的就是濾波器的性能指標性能指標。n濾波器性能要求，主要以濾波器性能要求，主要以頻率響

4、應的幅度特性頻率響應的幅度特性的的容容差差來表征。來表征。n增益和衰減增益和衰減是濾波器的重要性能參數(shù)，其定義如下：是濾波器的重要性能參數(shù)，其定義如下：濾波器性能指標濾波器性能指標61PR1 一般情況歸一化濾波器)()(lg20)1lg(20)(1lg20)11lg(201)(1max111111ccjjwjPjweHeHeHReH通帶指標n在在通帶通帶中，濾波器的幅度響應中，濾波器的幅度響應以誤差以誤差 逼近逼近1，這部分誤，這部分誤差稱為差稱為通帶容限通帶容限，或者表示為或者表示為通帶波紋通帶波紋 、通帶最大衰減通帶最大衰減7n同理，在同理，在阻帶阻帶中，濾波器的幅度響應中，濾波器的幅度響

5、應應以誤差應以誤差 逼近逼近0，這部分容差稱為，這部分容差稱為阻阻帶容限帶容限，或者表示為或者表示為阻帶波紋阻帶波紋 、阻帶、阻帶最小衰減最小衰減 ：2sA2)lg(20)(0222sjwAeH阻帶指標8注意注意n通帶截止頻率通帶截止頻率在低通情況在低通情況下為一下為一數(shù)值數(shù)值，而在帶通情，而在帶通情況下為一況下為一向量向量。n通常對通常對過渡帶的寬度過渡帶的寬度有所有所要求，而對要求，而對過渡帶內(nèi)的特過渡帶內(nèi)的特性性不做要求。不做要求。n數(shù)字指標和模擬指標的對數(shù)字指標和模擬指標的對應關系應關系ssfffTw24.2 離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)n有理有理LTI系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：n研究系

6、統(tǒng)結(jié)構(gòu)的出發(fā)點：研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的出發(fā)點：n同一個離散時間系統(tǒng)，可以用不同結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)同一個離散時間系統(tǒng)，可以用不同結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)n不同運算結(jié)構(gòu)，存貯單元和乘法次數(shù)不同，即實不同運算結(jié)構(gòu)，存貯單元和乘法次數(shù)不同，即實現(xiàn)的復雜性和運算速度不同現(xiàn)的復雜性和運算速度不同n不同運算結(jié)構(gòu)性能及工程適用性不同不同運算結(jié)構(gòu)性能及工程適用性不同NkkkMmmmzazbzXzYzH101)()()(MkMmmkmnxbknyany10)()()(MkMmmmkkzXzbzYzazY10)()()(方框圖：流 圖：a1z1zan基本運算基本運算:單位延時單位延時,比例乘比例乘,相加相加4.2.1 系統(tǒng)構(gòu)成及表示n轉(zhuǎn)置定理轉(zhuǎn)

7、置定理：入輸出及支路方向逆轉(zhuǎn)FIR及IIR系統(tǒng)nFIR：n在有限在有限Z平面內(nèi)平面內(nèi)沒有極點，只有零點沒有極點，只有零點n系統(tǒng)的單位沖激響應將是有限長序列系統(tǒng)的單位沖激響應將是有限長序列n系統(tǒng)結(jié)構(gòu)無反饋環(huán)節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)無反饋環(huán)節(jié)n也稱為也稱為全零點或滑動平均系統(tǒng)全零點或滑動平均系統(tǒng)（MA系統(tǒng)系統(tǒng)）。）。nIIR：n在有限在有限Z平面內(nèi)有平面內(nèi)有極點極點n單位沖激響應為單位沖激響應為無限長無限長序列序列n系統(tǒng)結(jié)構(gòu)存在反饋環(huán)節(jié)，需要遞歸運算；系統(tǒng)結(jié)構(gòu)存在反饋環(huán)節(jié)，需要遞歸運算；n分子只有常數(shù)項分子只有常數(shù)項 ，此時有限，此時有限Z平面內(nèi)只有極點，平面內(nèi)只有極點，稱為全極點或稱為全極點或自回歸系統(tǒng)（自回

8、歸系統(tǒng)（AR系統(tǒng)），否則稱之系統(tǒng)），否則稱之為自回歸滑動平均系統(tǒng)（為自回歸滑動平均系統(tǒng)（ARMA系統(tǒng)）系統(tǒng)）NkkkMmmmzazbzXzYzH101)()()(), 0()()(0MnbnhzbzHnMmmm0ka0bNkkkzabzXzYzH101)()()(MkMmmkmnxbknyany10)()()(nIIR濾波器主要濾波器主要特點特點是：是：n 1） 為無限長序列；為無限長序列；n 2） 在在有限有限Z平面平面上存在上存在極點極點；n 3）實現(xiàn)結(jié)構(gòu)上存在反饋環(huán)節(jié)，必須）實現(xiàn)結(jié)構(gòu)上存在反饋環(huán)節(jié)，必須采用遞歸型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。采用遞歸型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。nIIR濾波器的結(jié)構(gòu)主要有濾波器的結(jié)構(gòu)主要有:

9、n直接直接I型、型、II型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種)(nh)(zH4.2.2 IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)濾波器的基本結(jié)構(gòu)NkkkMmmmzazbzXzYzH101)()()(1z1b1z2b1zMb0b1z1z1z1a2aNa)(nx)(nyMmmmnxb0)(Mkkknya1)(MkMmmkmnxbknyany10)()()(一、直接一、直接I型型n由系統(tǒng)的差分方程：由系統(tǒng)的差分方程：n容易直接得到：容易直接得到： 特點：特點：1、前向、前向結(jié)構(gòu)實現(xiàn)系統(tǒng)函結(jié)構(gòu)實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的數(shù)的零點零點；2、后向、后向反饋反饋網(wǎng)絡，實現(xiàn)網(wǎng)絡，實現(xiàn)系統(tǒng)的系統(tǒng)的極點極點；3、直接、直接反映差分反映差

10、分方程方程和和系統(tǒng)系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)關系；關系；4、需要、需要NM級延時級延時。1z1b1z2b1zMb0b1a2aNa)(nx)(ny二、二、 直接直接II型型n交換其級聯(lián)子系統(tǒng)交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。n合并相同的串行延時支路，稱為合并相同的串行延時支路，稱為直接直接II型型結(jié)結(jié)構(gòu)或構(gòu)或典范型典范型結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。n仍能仍能直接直接反映反映差分差分方程和系統(tǒng)方程和系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)關系；關系；n對于對于N階差分方程只需階差分方程只需N個延時單元個延時單元（系統(tǒng)（系統(tǒng)滿足滿足NM），），n比直接比直接I型型延時單元要少，延時單元要少，節(jié)省存儲單元節(jié)省存儲單元（軟件實現(xiàn)），或

11、節(jié)省寄存器（硬件實現(xiàn)）（軟件實現(xiàn)），或節(jié)省寄存器（硬件實現(xiàn)）n是實現(xiàn)是實現(xiàn)N階濾波器所需的最少延時單元結(jié)階濾波器所需的最少延時單元結(jié)構(gòu)，因而又稱構(gòu)，因而又稱典范型典范型。n直接直接I型和型和II型都是直接實現(xiàn)，其共同的缺點型都是直接實現(xiàn)，其共同的缺點是是結(jié)構(gòu)系數(shù)結(jié)構(gòu)系數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)的與系統(tǒng)函數(shù)的零、極點關系不明顯，零、極點關系不明顯，因而對濾波器因而對濾波器性能控制性能控制不直接。不直接。n系統(tǒng)的系統(tǒng)的極點極點在在某些臨界某些臨界條件下條件下對系數(shù)的變化過對系數(shù)的變化過于靈敏于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應對系數(shù)的變化過，從而使系統(tǒng)頻率響應對系數(shù)的變化過于靈敏，也就是對有限精度（有限字長）運算于靈敏，

12、也就是對有限精度（有限字長）運算過于靈敏，容易出現(xiàn)過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定或或較大誤差較大誤差。 直接型直接型存在的問題rkkkkkzzzzKzH2211221111)(三、級聯(lián)型三、級聯(lián)型n系統(tǒng)函數(shù)按系統(tǒng)函數(shù)按進行因式分解進行因式分解后得到：后得到：n寫成二階系統(tǒng)級聯(lián)的原因?qū)懗啥A系統(tǒng)級聯(lián)的原因?n二階二階系統(tǒng)在某些系數(shù)為零時可以表示系統(tǒng)在某些系數(shù)為零時可以表示一階一階系統(tǒng)，系統(tǒng)，也可以表示由兩個實數(shù)所表示的也可以表示由兩個實數(shù)所表示的一級一級系統(tǒng)系統(tǒng)級聯(lián)成級聯(lián)成的的二階二階系統(tǒng)；系統(tǒng)；n可用用實系統(tǒng)可用用實系統(tǒng)簡化簡化實現(xiàn)實現(xiàn)兩個共軛復數(shù)極點的系統(tǒng)；兩個共軛復數(shù)極點的系統(tǒng)；n在集成或

13、多路復用時，采用在集成或多路復用時，采用相同相同形式的子網(wǎng)絡形式的子網(wǎng)絡結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)就更有意義。就更有意義。1z11K111z12121z1r1r1z2r2r)(nx)(ny級聯(lián)型n由多個二階環(huán)節(jié)串聯(lián)而成；由多個二階環(huán)節(jié)串聯(lián)而成；n每個二階基本節(jié)都用典范型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)每個二階基本節(jié)都用典范型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)n優(yōu)點：優(yōu)點：n便于便于準確實現(xiàn)準確實現(xiàn)濾波器零、極點，調(diào)整濾波器濾波器零、極點，調(diào)整濾波器頻率響應頻率響應性能性能n與直接與直接II型相同具有型相同具有最少的存儲單元最少的存儲單元。n缺點：缺點：n由于信號是依次通過級聯(lián)的各個環(huán)節(jié)，只要一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)由于信號是依次通過級聯(lián)的各個環(huán)節(jié)，只要一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題，

14、便會影響整個系統(tǒng)的了問題，便會影響整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性。 211221111011011)(NkkkkkNkkkzzzzcAGzH1zkAkc1zk0k11zk1k2)(nx)(ny0G四、并聯(lián)型四、并聯(lián)型n優(yōu)點：優(yōu)點：n可以可以單獨調(diào)整單獨調(diào)整并聯(lián)子系統(tǒng)的一對并聯(lián)子系統(tǒng)的一對極點極點n各子系統(tǒng)間信號無交叉，利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。各子系統(tǒng)間信號無交叉，利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。n缺點：缺點：n不能不能像級聯(lián)型那樣像級聯(lián)型那樣單獨調(diào)整零點單獨調(diào)整零點的位置，在要求的位置，在要求準確的傳輸零點的場合下，宜采用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。準確的傳輸零點的場合下，宜采用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。4.2.3 FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)濾波器的基本

15、結(jié)構(gòu)nFIR濾波器主要有如下特點：濾波器主要有如下特點：n1）單位沖激響應）單位沖激響應h(n)在在有限個有限個n值處值處不為零不為零；n2）系統(tǒng)函數(shù)在）系統(tǒng)函數(shù)在有限有限Z平面平面處處收斂處處收斂，全部極點，全部極點都在都在z=0處（因果系統(tǒng)）；處（因果系統(tǒng)）；n3）主要是非遞歸結(jié)構(gòu)主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，沒有輸出到輸入的反饋n有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋部分。有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋部分。nFIR濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)主要有：濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)主要有：n橫截型橫截型n級聯(lián)型級聯(lián)型n頻率抽樣型頻率抽樣型n線性相位型線性相位型10)()(NnnznhzH

16、n由系統(tǒng)函數(shù)可得差分方程表達式為：由系統(tǒng)函數(shù)可得差分方程表達式為：n上式實際是線性移不變系統(tǒng)的上式實際是線性移不變系統(tǒng)的卷積和卷積和公式，也公式，也是是 延時的延時的橫向橫向結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu),稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積型結(jié)構(gòu)，也可稱為型結(jié)構(gòu)，也可稱為直接型直接型結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。)(*)()()()(10nhnxmhmnxnyNm)(nx1z) 1(Nh1z1z)(nx)(ny)0(h) 1 (h)2(h)2(Nh 一、一、直接型（卷積型、橫截型）直接型（卷積型、橫截型）應用轉(zhuǎn)置定理可得到應用轉(zhuǎn)置定理可得到轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)直接型結(jié)構(gòu))(nx1z1z1z)(nx)(ny)0(h) 1 (h)2

17、(h) 1(Nh)2(Nh1z1z1z)(ny)0(h) 1 (h)2(h) 1(Nh)2(Nhn單位沖激響應與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對應；n系統(tǒng)參數(shù)與零點的對應關系不明顯，系統(tǒng)的頻率特性不易控制；n存儲單元及運算量最少。n將系統(tǒng)函數(shù)分解成實系數(shù)將系統(tǒng)函數(shù)分解成實系數(shù)二階因子二階因子的的乘積形式：乘積形式：n n級聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖所示級聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖所示2122110)(NkkkkzzzH1z11011z121z1r1z2r)(nx)(ny0r二、級聯(lián)型二、級聯(lián)型n每個級聯(lián)每個級聯(lián)子系統(tǒng)獨立子系統(tǒng)獨立控制控制一對零點一對零點，便，便于精確控制零點特性于精確控制零點特性n所需要的系數(shù)所需要的系數(shù) 比卷積型的系數(shù)比卷

18、積型的系數(shù) 要多，因而要多，因而乘法次數(shù)乘法次數(shù)也比卷積型也比卷積型多多。ik)(nh特點：1z11011z121z1r1z2r)(nx)(ny0rn頻率內(nèi)插公式頻率內(nèi)插公式為為FIR濾波器提供了另外濾波器提供了另外一種結(jié)構(gòu)，頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。一種結(jié)構(gòu)，頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。10)(12)(1)()1 (1)(NkzHkNjzHcNKzekHzNzH 三、三、 頻率抽樣型頻率抽樣型25頻域抽樣頻域抽樣n在采樣定理的限制條件下，信號在時域在采樣定理的限制條件下，信號在時域的采樣可以恢復原始信號。的采樣可以恢復原始信號。n信號的信號的Z域的單位圓域的單位圓上的變換上的變換(DTFT)也也可以恢復信號?？梢?/p>

19、恢復信號。n更為一般的討論，在更為一般的討論，在單位圓上抽樣將導致單位圓上抽樣將導致信號在時間域上發(fā)生怎樣的變化？信號在時間域上發(fā)生怎樣的變化？是否也是否也可以利用單位圓抽樣恢復原始信號呢？可以利用單位圓抽樣恢復原始信號呢？nnznxzX)()(1,.2 , 1 , 0)(| )()(22NkenxzXkXnknNjezkNjnnjjenxeX)()(1,.2 , 1 , 0)(| )()(1022NkenxzXkXNnknNjezkNj101010)(2102102102)()(1)()(1)(1NmNmNkmnkNjNkknNjNmkmNjNkknNjrNmnmxeNmxeemxNekXN

20、1.1 ,0)(1)(102NnekXNnxNkknNj其他01110)(2rNnmeNNknmkNj2728)(nx)()(1)()()(102nRekXNnRnxnxNNkknNjNn由此由此看出看出：n單位圓上單位圓上N點的點的頻率抽樣頻率抽樣變換得到的是原序列變換得到的是原序列在在時軸時軸上以抽樣點數(shù)為上以抽樣點數(shù)為周期的延拓周期的延拓 。n為此：為此：n如原序列如原序列不是有限長不是有限長，則時域延拓必然造成，則時域延拓必然造成混疊混疊；n若原序列是一個若原序列是一個有限長且長度小于采樣點數(shù)有限長且長度小于采樣點數(shù)N的序的序列，則可以通過列，則可以通過乘以窗函數(shù)乘以窗函數(shù)得到原始序列

21、，即：得到原始序列，即：2921100211100( )( )1( )1( )nnNNjknnNnknNNjkNknX zx n zX k ezNX kezN101210121)(111)(1NkkNjNNkkNjNzekXNzzezkXN頻域重構(gòu)30n其中：其中： 稱為稱為內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)。n分子有分子有N個零點個零點：n內(nèi)插函數(shù)的極點與第內(nèi)插函數(shù)的極點與第k個零點相抵消個零點相抵消，僅，僅在該點處值不為零，在其他抽樣點處皆在該點處值不為零，在其他抽樣點處皆為零。為零。 10)()()(NkkzkXzX12111)(zezNzkNjNk1,.,1 , 02NrezrNjrZ域內(nèi)插公式3110

22、()( )()NjjkkX eX ke2()1()21()211()1sin()122()sin()2sin()12( )sin()2j NjkjkNNkjNNjeeNeNekNNkNNeN )(頻域重構(gòu)公式n同樣道理可以得到：同樣道理可以得到：n可見可見 具有具有線性相位線性相位。 n級聯(lián)第一部分是級聯(lián)第一部分是N節(jié)延時單元構(gòu)成的節(jié)延時單元構(gòu)成的梳梳狀濾波器狀濾波器，頻率響應為：，頻率響應為：0)(jceHN2N422)2sin(2)(NjjceNeH梳狀濾波器n級聯(lián)的第二部分由級聯(lián)的第二部分由N個一階網(wǎng)絡并聯(lián)而個一階網(wǎng)絡并聯(lián)而成，每個一階網(wǎng)絡都是在成，每個一階網(wǎng)絡都是在單位圓上一個單位圓上

23、一個極點極點的的諧振器諧振器：nn在在 處響應為無窮大，即無損耗諧處響應為無窮大，即無損耗諧振器。振器。n該諧振器的極點剛好與梳狀濾波器的一個該諧振器的極點剛好與梳狀濾波器的一個零點相零點相抵消抵消，使得該頻點處的響應為，使得該頻點處的響應為 。 121)()(zekHzHkNjk)(kH諧振器諧振器kN20*4Nje)0(H1*4Nje) 1(NH)1(*4NNje) 1 (HNzN1)(nx)(ny1z1z1zn優(yōu)點：優(yōu)點：n頻率抽樣結(jié)構(gòu)頻率抽樣結(jié)構(gòu)系數(shù)系數(shù) 就是濾波器在就是濾波器在 處頻率處頻率響應；響應；n可以很可以很方便方便的的控制控制濾波器的頻率響應；濾波器的頻率響應；n零、極點數(shù)目只取決于單位抽樣響應的點數(shù)；零、極點數(shù)目只取決于單位抽樣響應的點數(shù)；n只要只要單位沖激響應點數(shù)相同單位沖激響應點數(shù)相同，就可以利用同一梳狀