第7章-給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、第第7章章 給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)管道單位長度造價(jià)管道單位長度造價(jià)與管道直徑有關(guān)，可以表示為：與管道直徑有關(guān)，可以表示為：C=a+bD (7.1) C管道單位長度造價(jià)，元管道單位長度造價(jià)，元/m； D管段直徑，管段直徑，m； a、b、管道單位長度造價(jià)公式統(tǒng)計(jì)參數(shù)。管道單位長度造價(jià)公式統(tǒng)計(jì)參數(shù)。管道單位長度的造價(jià)包括管材、配件與附件等的材料費(fèi)和施工費(fèi)。管道單位長度的造價(jià)包括管材、配件與附件等的材料費(fèi)和施工費(fèi)。根據(jù)中國建筑工業(yè)出版社根據(jù)中國建筑工業(yè)出版社給水排水設(shè)計(jì)手冊給水排水設(shè)計(jì)手冊（第（第10冊）（冊）（2000年年8月第二版）月第二版）“給水管道工程估算指標(biāo)給水管道工程估算指標(biāo)”，

2、不同材料給水管道單位長度造價(jià)如表，不同材料給水管道單位長度造價(jià)如表7.1所示。所示。7.1管網(wǎng)造價(jià)計(jì)算管網(wǎng)造價(jià)計(jì)算管道單位長度造價(jià)公式統(tǒng)計(jì)參數(shù)管道單位長度造價(jià)公式統(tǒng)計(jì)參數(shù)a、b、可以用曲線擬合當(dāng)?shù)毓艿绬挝婚L度造價(jià)統(tǒng)計(jì)可以用曲線擬合當(dāng)?shù)毓艿绬挝婚L度造價(jià)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求得。數(shù)據(jù)求得。有作圖法和最小二乘法兩種方法有作圖法和最小二乘法兩種方法?！纠?.1】根據(jù)表根據(jù)表7.1所給數(shù)據(jù)，試確定各種管材管道單位長度造價(jià)公式統(tǒng)計(jì)參數(shù)所給數(shù)據(jù)，試確定各種管材管道單位長度造價(jià)公式統(tǒng)計(jì)參數(shù)a、b和和。【解解】（1）采用作圖法求承插鑄鐵管參數(shù)。）采用作圖法求承插鑄鐵管參數(shù)。作圖法分為兩個(gè)步驟，首先確定參統(tǒng)作圖法分為兩個(gè)步

3、驟，首先確定參統(tǒng)a，然后確定參數(shù)，然后確定參數(shù)b和和。第一步以第一步以D為橫座標(biāo)，為橫座標(biāo)，C為縱座標(biāo)，將為縱座標(biāo)，將(C,D)的數(shù)據(jù)點(diǎn)畫在方格坐標(biāo)紙上，并且用光滑的數(shù)據(jù)點(diǎn)畫在方格坐標(biāo)紙上，并且用光滑曲線連接，曲線延長后與縱軸相交，相交處的截距值即為曲線連接，曲線延長后與縱軸相交，相交處的截距值即為a。如圖。如圖7.1為根據(jù)鑄鐵為根據(jù)鑄鐵管數(shù)據(jù)所作曲線，管數(shù)據(jù)所作曲線，a值為值為100。 第二步將公式改寫為：第二步將公式改寫為：Dbacloglog)log(如圖如圖7.2所示，在方格坐標(biāo)紙上，所示，在方格坐標(biāo)紙上，以以logD為橫座標(biāo)，為橫座標(biāo)，log(c-a)為縱為縱坐標(biāo)，點(diǎn)畫坐標(biāo)，點(diǎn)畫lo

4、gD，log(c-a)數(shù)據(jù)，并且畫一條最接近這些點(diǎn)數(shù)據(jù)，并且畫一條最接近這些點(diǎn)的直線，該直線與的直線，該直線與logD0的縱的縱坐標(biāo)線的相交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)線的相交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的log（c-a）值即為）值即為logblog（c-a）8.03，由此可得，由此可得b=3072。該直線。該直線的斜率為的斜率為1.53，即，即=1.53。所以，承插鑄鐵管造價(jià)公式為：所以，承插鑄鐵管造價(jià)公式為：圖圖7.1 確定造價(jià)公式參數(shù)確定造價(jià)公式參數(shù)a 圖圖7.2 確定參數(shù)確定參數(shù)b和和 53.13072100Dc222)(iiiiiiiDDNDDcDcaiiDaNcbNcbDaii2)(（2）黃金分割最小二乘法求承插球

5、墨鑄鐵管造價(jià)公式參數(shù)）黃金分割最小二乘法求承插球墨鑄鐵管造價(jià)公式參數(shù) a、b、 已知已知為區(qū)間（為區(qū)間（1.02.0)的一個(gè)數(shù)值，則的一個(gè)數(shù)值，則式中式中 N為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；線性擬合均方差，元。線性擬合均方差，元。在在1.02.0區(qū)間用黃金分割法取區(qū)間用黃金分割法取值，代入式值，代入式(7.4) (7.6)分別求得參數(shù)分別求得參數(shù)a、b和均方差和均方差，搜索最小均方，搜索最小均方差差，直到，直到步距小于要求值（手工計(jì)算取步距小于要求值（手工計(jì)算取0.05，用，用計(jì)算機(jī)程序計(jì)算取計(jì)算機(jī)程序計(jì)算取0.01）為止，得）為止，得a、b和和值。值。計(jì)算過程見表計(jì)算過程見表7.2 。最后得最后得a

6、=112.9，b=3135，=1.5 。(7.4) (7.5) 球墨鑄鐵和球墨鑄鐵和預(yù)應(yīng)力鋼筋砼給水管造價(jià)公式預(yù)應(yīng)力鋼筋砼給水管造價(jià)公式o 本例承插球墨鑄鐵給水管數(shù)據(jù)，可以計(jì)算得本例承插球墨鑄鐵給水管數(shù)據(jù)，可以計(jì)算得a=112.9、b=3135、=1.5，即承插球墨鑄鐵給水管，即承插球墨鑄鐵給水管單位長度造價(jià)公式為：單位長度造價(jià)公式為：(7.9)o 相同的方法，可求得預(yù)應(yīng)力鋼筋砼給水管單位長相同的方法，可求得預(yù)應(yīng)力鋼筋砼給水管單位長度造價(jià)公式為：度造價(jià)公式為： 7.2給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型o數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：描述自然現(xiàn)象或工程對(duì)象的一個(gè)或一組數(shù)學(xué)公式。例如：給描述自

7、然現(xiàn)象或工程對(duì)象的一個(gè)或一組數(shù)學(xué)公式。例如：給水管網(wǎng)水力計(jì)算環(huán)方程組、節(jié)點(diǎn)方程組。水管網(wǎng)水力計(jì)算環(huán)方程組、節(jié)點(diǎn)方程組。o優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：在一定條件下求解一個(gè)或多個(gè)最大或最小目標(biāo)值的數(shù)學(xué)在一定條件下求解一個(gè)或多個(gè)最大或最小目標(biāo)值的數(shù)學(xué)模型。描述目標(biāo)值的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為模型。描述目標(biāo)值的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)，需要滿足的條件表達(dá)式，需要滿足的條件表達(dá)式稱為稱為約束條件約束條件。o供水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：供水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：以以管網(wǎng)供水成本最低管網(wǎng)供水成本最低為目標(biāo)函數(shù)，以為目標(biāo)函數(shù)，以供水供水安全性最佳安全性最佳為約束條件的管網(wǎng)工程設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，表達(dá)形式為為約束條件的管網(wǎng)

8、工程設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，表達(dá)形式為經(jīng)濟(jì)管徑經(jīng)濟(jì)管徑或或經(jīng)濟(jì)流速經(jīng)濟(jì)流速。7.2.1給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù) 給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是降低管網(wǎng)年費(fèi)用折算值，亦即在一定投資償還期（亦給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是降低管網(wǎng)年費(fèi)用折算值，亦即在一定投資償還期（亦稱為項(xiàng)目投資計(jì)算期）內(nèi)的管網(wǎng)建設(shè)投資費(fèi)用和運(yùn)行管理費(fèi)用之和的年平均值。可用稱為項(xiàng)目投資計(jì)算期）內(nèi)的管網(wǎng)建設(shè)投資費(fèi)用和運(yùn)行管理費(fèi)用之和的年平均值。可用下式表示：下式表示：21YYTCW(7.10) 式中式中 W年費(fèi)用折算值，元年費(fèi)用折算值，元/a；C管網(wǎng)建設(shè)投資費(fèi)用，元；管網(wǎng)建設(shè)投資費(fèi)用，元；T管網(wǎng)建設(shè)投資償還期，管網(wǎng)建設(shè)投資償還期，

9、a；取值；取值1520年；年；Y1管網(wǎng)每年折舊和大修費(fèi)用，元管網(wǎng)每年折舊和大修費(fèi)用，元/a。CpY1001(7.11) 式中式中 p年折舊和大修費(fèi)率，一般年折舊和大修費(fèi)率，一般P=2.53.0；Y2管網(wǎng)年運(yùn)行費(fèi)用，元管網(wǎng)年運(yùn)行費(fèi)用，元/a，主要考慮運(yùn)行總電費(fèi)。，主要考慮運(yùn)行總電費(fèi)。7.2.2泵站年運(yùn)行電費(fèi)計(jì)算泵站年運(yùn)行電費(fèi)計(jì)算 泵站年運(yùn)行電費(fèi)按全年各小時(shí)運(yùn)行電費(fèi)累計(jì)計(jì)算，可用下式表示：泵站年運(yùn)行電費(fèi)按全年各小時(shí)運(yùn)行電費(fèi)累計(jì)計(jì)算，可用下式表示：pppptttptpthPqhqEEhgqy860003652412式中式中 Et 全年各小時(shí)電價(jià)，元全年各小時(shí)電價(jià)，元/(KWh) ； 水密度，水密度，

10、t/m3； g 重力加速度，取重力加速度，取9.81 m/s2 ； qpt 全年各小時(shí)流量，全年各小時(shí)流量，m3/s； hpt 全年各小時(shí)揚(yáng)程，全年各小時(shí)揚(yáng)程，m；t 全年綜合效率，為變壓器、電機(jī)和傳動(dòng)效率之積；全年綜合效率，為變壓器、電機(jī)和傳動(dòng)效率之積； E 最大時(shí)電價(jià)，元最大時(shí)電價(jià)，元/KWh；qp 最大時(shí)流量，最大時(shí)流量，m3/s； Hp 最大時(shí)揚(yáng)程，最大時(shí)揚(yáng)程，m； 泵站最大時(shí)綜合效率；泵站最大時(shí)綜合效率；P管網(wǎng)動(dòng)力費(fèi)用系數(shù)，元管網(wǎng)動(dòng)力費(fèi)用系數(shù)，元/(m3/sma)，定義為：，定義為：* 注：注： g x 24 x 365 = 85935 86000， 24 x 365 = 8760(

11、7.12) EP86000(7.13) 泵站電費(fèi)變化系數(shù)，即泵站全年平均時(shí)電費(fèi)與最大時(shí)電費(fèi)的比值，即：泵站電費(fèi)變化系數(shù)，即泵站全年平均時(shí)電費(fèi)與最大時(shí)電費(fèi)的比值，即：/8760/365241EhgqEhgqpptttptpt(7.14) 顯然，顯然， =0，且全年各小時(shí)且全年各小時(shí)qpt、hpt、t和和Et變變化越大，化越大， 值越小。值越小。能量變化系數(shù)能量變化系數(shù)：（1）泵站輸水至近處水塔或高位水池（前置水塔系統(tǒng)），揚(yáng)程基本不變）泵站輸水至近處水塔或高位水池（前置水塔系統(tǒng)），揚(yáng)程基本不變(hpthp)，則：則： zhdptptpptptptKKKqqhqhq11876087603652413

12、65241式中式中 Kd管網(wǎng)用水量日變化系數(shù)；管網(wǎng)用水量日變化系數(shù)； Kh管網(wǎng)用水量時(shí)變化系數(shù)；管網(wǎng)用水量時(shí)變化系數(shù)； Kz管網(wǎng)用水量總變化系數(shù)，即：管網(wǎng)用水量總變化系數(shù)，即： Kz=KdKh。實(shí)際情況下，可以采用加權(quán)平均法近似計(jì)算能量變化系數(shù)，即：實(shí)際情況下，可以采用加權(quán)平均法近似計(jì)算能量變化系數(shù)，即：(7.17) （2）泵站壓力穩(wěn)定管網(wǎng)能量變化系數(shù)）泵站壓力穩(wěn)定管網(wǎng)能量變化系數(shù)若泵站揚(yáng)水至較遠(yuǎn)處且無地勢高差，其揚(yáng)程全部用于克服管道水頭損失若泵站揚(yáng)水至較遠(yuǎn)處且無地勢高差，其揚(yáng)程全部用于克服管道水頭損失(hptqpt2)，則：則：32333652413333336524133652411) 1

13、(8760.1.)2(87608760zzhavtzhavptptpptptptKKqKKKqqqhqhqz (7.18) )/1 ()/(00pppphhhh(7.19) 式中式中 hp0泵站揚(yáng)程泵站揚(yáng)程hp中用于滿足地形高差和用戶用水壓力的部分壓力，中用于滿足地形高差和用戶用水壓力的部分壓力，m。 和和P計(jì)算例題：計(jì)算例題：設(shè)：設(shè)： Kd = 1.25，Kh = 1.25，E = 0.5元元 / KWh；h0 = 30m, hp = 45m； 0.85。解：解： Kz Kd*Kh 1.575； 1/Kz 1/1.575 0.635； (Kz 1)2 + 1 / Kz3 1.33 / 3.9

14、07 0.34； )/1 ()/(00pppphhhhP = 86000*0.537*0.5 / 0.85 = 27166。泵站年運(yùn)行總電費(fèi)可以表示為：泵站年運(yùn)行總電費(fèi)可以表示為：MipiiiMiihqPyY1122式中式中 y2i管段管段i上泵站的年運(yùn)行電費(fèi)，元上泵站的年運(yùn)行電費(fèi)，元/a； Pi管段管段i上泵站的單位運(yùn)行電費(fèi)指標(biāo)，元上泵站的單位運(yùn)行電費(fèi)指標(biāo)，元/（m3/sma）；）； qi管段管段i的最大時(shí)流量，即泵站設(shè)計(jì)揚(yáng)水流量，的最大時(shí)流量，即泵站設(shè)計(jì)揚(yáng)水流量，m3/s； hpi管段管段i上泵站最大時(shí)揚(yáng)程，上泵站最大時(shí)揚(yáng)程，m。 (30/45) * 0.635 + (130/45)*0.

15、34 0.537；泵站年運(yùn)行總電費(fèi)可以表示為：泵站年運(yùn)行總電費(fèi)可以表示為：7.2.3給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的約束條件給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的約束條件 給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算必須滿足管網(wǎng)水力條件和設(shè)計(jì)規(guī)范要求等，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算必須滿足管網(wǎng)水力條件和設(shè)計(jì)規(guī)范要求等，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：( (1）水力約束條件）水力約束條件 MihhhHHpifiiTiFi, 3 , 2 , 1NjQqjsiji, 3 , 2 , 10)(MilDkqhiminifi, 3 , 2 , 1即給水管網(wǎng)恒定流方程組，其中：即給水管網(wǎng)恒定流方程組，其中：( (2）節(jié)點(diǎn)水頭約束條件：）節(jié)點(diǎn)水頭約束條件：N

16、jHHHjjj, 3 , 2 , 1maxmin式中式中 Hmaxj節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)j最小允許水頭（最小允許水頭（m），按不出現(xiàn)負(fù)壓條件確定：），按不出現(xiàn)負(fù)壓條件確定：為無用水節(jié)點(diǎn)為有用水節(jié)點(diǎn)jZjHZHjujjjminZj節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)j的地面標(biāo)高，的地面標(biāo)高，m； Huj節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)j服務(wù)水頭，服務(wù)水頭，m，對(duì)于居，對(duì)于居民用水，一層樓民用水，一層樓10m，二層樓，二層樓12m，以后每層加以后每層加4m； Hmaxj節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)j的最大允許水頭，的最大允許水頭，m，按貯水設(shè)施水位或管道最大承壓力確定：，按貯水設(shè)施水位或管道最大承壓力確定：為無貯水設(shè)施節(jié)點(diǎn)為有貯水設(shè)施節(jié)點(diǎn)jPZjhHZHjjbjbjjjmaxmi

17、nHbj水塔或水池高度，水塔或水池高度，m；水池為埋深，取負(fù)值；水池為埋深，取負(fù)值；hbj-水塔或水池最低水深，水塔或水池最低水深，m；Pmaxj節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)j處管道承壓能力，處管道承壓能力，m。3）供水可靠性和管段設(shè)計(jì)流量非負(fù)約束條件）供水可靠性和管段設(shè)計(jì)流量非負(fù)約束條件Miqqii, 3 , 2 , 1min式中，式中， qmini 管段最小允許設(shè)計(jì)流量，必須為正值；管段最小允許設(shè)計(jì)流量，必須為正值；4）非負(fù)約束條件）非負(fù)約束條件 MiDi, 3 , 2 , 10Mihpi, 3 , 2 , 107.2.4給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是求解管網(wǎng)中所有

18、管段的一組管徑給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是求解管網(wǎng)中所有管段的一組管徑Di，使管網(wǎng)，使管網(wǎng)的年費(fèi)用折算值最小，可以用下列非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型表達(dá)：的年費(fèi)用折算值最小，可以用下列非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型表達(dá)：MihMiDMiqqNjHHHNjQqMihlDkqHHtShqPlbDapTwWMinpiiiijjjsijipiiminiTiFiMipiiiiiMiij, 2 , 10, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 1, 2 , 10)(, 2 , 1. .)(1001(minmaxmin11式中式中 wi 管段年費(fèi)用折算值，元管段年費(fèi)用折算值，元/a，如下式定義：，如下式定義：MihqPlbDapT

19、wpiiiiii, 2 , 1)(1001(7.36) (7.30) （目標(biāo)函數(shù)）（目標(biāo)函數(shù)）（約束條件）（約束條件）7.2.5數(shù)學(xué)模型的求解法則數(shù)學(xué)模型的求解法則（1）目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)W不存在由不存在由qi和和hi同時(shí)作為變量的極值同時(shí)作為變量的極值 假設(shè)泵站為所有管段提供能量，克服該管段水頭損失，且將式（假設(shè)泵站為所有管段提供能量，克服該管段水頭損失，且將式（3.17）代入）代入(7.30)，則目標(biāo)函數(shù)可以改寫為管段流量則目標(biāo)函數(shù)可以改寫為管段流量qi 和管段水頭損失和管段水頭損失hi 的二元函數(shù)：的二元函數(shù)：對(duì)于任一已經(jīng)定線的管段為常數(shù)。對(duì)于任一已經(jīng)定線的管段為常數(shù)。 1(,)(,)()

20、()100nmmmmiiiiiiiiiiiipMinW q hw q habk ql hlPq hT目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)W存在極值的必要條件為，存在極值的必要條件為，(7.37) 1()0100mnmnmmmmmmmiiii iiiii iiWpnbk lqhPhnzqhPhqTm 1()0100nmmnmmmmmmmiiiiiiiiiiiWpbk q hlPqzq hPqhTm式中，式中，1()100mmmiipzbk lTm 由二元函數(shù)極值判定法則，當(dāng)由二元函數(shù)極值判定法則，當(dāng) 0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)W不存在極值，當(dāng)不存在極值，當(dāng) =0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)W不確定存在極值。不確定存在極

21、值。設(shè)設(shè)=1.5, n=1.85, m=4.87，則，則n-m0 ，所以，上述三式中，所以，上述三式中，A0，C0。因此。因此可得：可得： 0 。由此判定，目標(biāo)函數(shù)不存在由。由此判定，目標(biāo)函數(shù)不存在由由由qi和和hi同時(shí)作為變量的極值。同時(shí)作為變量的極值。 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)W存在極值的充分條件證明：存在極值的充分條件證明： 222222222()()()()nmmmiiiinmmmmiiiiiinmmnmmmmmmiiiiiiiWnmAnzqhqmWBnzqhPq hmWmmCz qhzqhhmmBAC 證明：證明：假定管段水頭損失假定管段水頭損失hi已知，并視作常數(shù)，則管段流量已知，并視作常

22、數(shù)，則管段流量qi為目標(biāo)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)W的變量，其一階的變量，其一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為：和二階導(dǎo)數(shù)分別為：（2）使）使W最小的管段流量分配結(jié)果是枝狀管網(wǎng)最小的管段流量分配結(jié)果是枝狀管網(wǎng)當(dāng)當(dāng)1.5，m4.87時(shí)，可得時(shí)，可得， piimmimimmnimihPlhqbkmnpTqW)1001(和和mmimimmnimilhqbkmmnmnpTqW222)1001(43. 087. 487. 45 . 1852. 1mmn022iqW即即由函數(shù)極值法則，目標(biāo)函數(shù)式（由函數(shù)極值法則，目標(biāo)函數(shù)式（7.30）為關(guān)于變量）為關(guān)于變量qi的凹函數(shù)，由求解變量的凹函數(shù)，由求解變量qi得到的得到的目標(biāo)函數(shù)極值為最

23、大值，而不是最小值。目標(biāo)函數(shù)極值為最大值，而不是最小值。結(jié)論：不存在使目標(biāo)函數(shù)最小的優(yōu)化管段流量分配。結(jié)論：不存在使目標(biāo)函數(shù)最小的優(yōu)化管段流量分配。 【例例7.3】兩根并聯(lián)管道如圖兩根并聯(lián)管道如圖7.3所示，假設(shè)管道水頭損失為常數(shù)，該兩條管段的水頭所示，假設(shè)管道水頭損失為常數(shù)，該兩條管段的水頭損失必然相等。已知設(shè)管段長度分別為損失必然相等。已知設(shè)管段長度分別為l1和和l2，流量之和為，流量之和為q，求使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值，求使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值的流量分配值的流量分配值q1和和q2。設(shè)設(shè)q1=q，則，則q2=(1-)q。目標(biāo)函數(shù)可以改寫成關(guān)于。目標(biāo)函數(shù)可以改寫成關(guān)于的函數(shù)如下：的函數(shù)如下： 求求W對(duì)

24、對(duì)的導(dǎo)數(shù)，并令其等于的導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得：，得： 【解解】圖示管道的目標(biāo)函數(shù)為：圖示管道的目標(biāo)函數(shù)為：1112221()()100() nmmmmnmmmmpWabk ql hlTabk ql hl (7.41) 1122121() ()(1) )1002(1)11()();100100nnmmmmmmmmnmnmmmmmnmmmpWabkql hlabkql hlTabllppaabbk qhTT式中， ， (7.42) 12(1)10nmmnmmmmmmdWnnblbldmm(7.43) 由式由式(7.43)整理，可得，整理，可得， 結(jié)論：結(jié)論：1）流量分配系數(shù)）流量分配系數(shù)僅與兩條管

25、段的長度有關(guān)；僅與兩條管段的長度有關(guān)；2） 隨著隨著l2的增大而減小，即管段長度越長，管段流量越大。的增大而減小，即管段長度越長，管段流量越大。顯然，這樣的流量分配將使管道造價(jià)增加，得到的極值是最大值，而不是最小值。顯然，這樣的流量分配將使管道造價(jià)增加，得到的極值是最大值，而不是最小值。 21212(1)()6.373.0452.092mnmmmmlllmmnmllm，亦即，式中，；當(dāng) =1.5, n=1.852， m=4.87， 。（3）設(shè)管段流量）設(shè)管段流量qi已知，求解優(yōu)化管段水頭損失已知，求解優(yōu)化管段水頭損失hi假定管段流量已經(jīng)分配，即假定管段流量已經(jīng)分配，即qi已知，并視作常數(shù)，則管

26、段水頭損失已知，并視作常數(shù)，則管段水頭損失hi為目標(biāo)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)W的的變量，其一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為變量，其一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為當(dāng)當(dāng)0，m0時(shí)，可得時(shí)，可得和和 結(jié)論：結(jié)論：（1）當(dāng)管網(wǎng)中）當(dāng)管網(wǎng)中管段流量分配已知管段流量分配已知時(shí)，以管段水頭損失時(shí)，以管段水頭損失hi為自變量的目標(biāo)函數(shù)式（為自變量的目標(biāo)函數(shù)式（7.30）為凸函數(shù)，可以求解優(yōu)化管段水頭損失，目標(biāo)函數(shù)極值為最小值。為凸函數(shù)，可以求解優(yōu)化管段水頭損失，目標(biāo)函數(shù)極值為最小值。（2）環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)是在）環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)是在管段流量已知管段流量已知條件下，求解使年費(fèi)用折算條件下，求解使年費(fèi)用折算W值達(dá)到最小值達(dá)到最小的管段直徑、水頭損

27、失或節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)壓力。的管段直徑、水頭損失或節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)壓力。iimmimmimnimiqPlhqbkmpThW)1001(mmimmimnimilhqbkmmmpThW222)1001(7.47) (7.46) 220iWh(7.48) 本節(jié)目的：本節(jié)目的：環(huán)狀管網(wǎng)中，滿足安全性條件的管段流量（經(jīng)濟(jì)）優(yōu)化分配。環(huán)狀管網(wǎng)中，滿足安全性條件的管段流量（經(jīng)濟(jì)）優(yōu)化分配。 樹狀管網(wǎng)：樹狀管網(wǎng)：管段設(shè)計(jì)流量可以由節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程直接解出，只有唯一管段設(shè)計(jì)流量可以由節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程直接解出，只有唯一分配方案分配方案； 環(huán)狀管網(wǎng)：環(huán)狀管網(wǎng)：管段流量優(yōu)化分配是完成管徑、壓力等優(yōu)化計(jì)算的前提條件。管段流量優(yōu)化分配

28、是完成管徑、壓力等優(yōu)化計(jì)算的前提條件。 優(yōu)化流量分配經(jīng)濟(jì)性安全性。多目標(biāo)優(yōu)化問題。優(yōu)化流量分配經(jīng)濟(jì)性安全性。多目標(biāo)優(yōu)化問題。7.3.1管段流量優(yōu)化分配數(shù)學(xué)模型管段流量優(yōu)化分配數(shù)學(xué)模型 假設(shè)管網(wǎng)中每個(gè)管段的輸水費(fèi)用是該管段的流量假設(shè)管網(wǎng)中每個(gè)管段的輸水費(fèi)用是該管段的流量qi和長度和長度li的非線性函數(shù)，的非線性函數(shù)，使管網(wǎng)輸水費(fèi)用最小的管段流量優(yōu)化分配的目標(biāo)函數(shù)：使管網(wǎng)輸水費(fèi)用最小的管段流量優(yōu)化分配的目標(biāo)函數(shù)：7.3 環(huán)狀管網(wǎng)管段流量近似優(yōu)化分配計(jì)算環(huán)狀管網(wǎng)管段流量近似優(yōu)化分配計(jì)算)(1iMiiqlqWMin(7.49) 并必須滿足節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程約束條件：并必須滿足節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程約束條件

29、：NjQqtSiSiij, 3 , 2 , 10)(. .(7.50) 式中，式中，流量指數(shù)，取值區(qū)間為（流量指數(shù)，取值區(qū)間為（0,2），），長度指數(shù)，取值區(qū)間為（長度指數(shù)，取值區(qū)間為（0,1）。）。討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 0，管段輸水費(fèi)用隨管段設(shè)計(jì)流量的增加而增加。，管段輸水費(fèi)用隨管段設(shè)計(jì)流量的增加而增加。當(dāng)當(dāng) 1，目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)(7.49)的解不再是樹狀管網(wǎng)，而成為環(huán)狀管網(wǎng)。管段設(shè)計(jì)的解不再是樹狀管網(wǎng)，而成為環(huán)狀管網(wǎng)。管段設(shè)計(jì)流量比較均勻地分配到各管段上。流量比較均勻地分配到各管段上。當(dāng)當(dāng) 1，則管段流量將向輸水距離較短的管線集中，安全性較差。，則管段流量將向輸水距離較短的管線集中，安全性

30、較差。結(jié)論：結(jié)論：綜合考慮管網(wǎng)輸水的經(jīng)濟(jì)性和安全可靠性，綜合考慮管網(wǎng)輸水的經(jīng)濟(jì)性和安全可靠性， 一般可取一般可取1.5， 一般可取一般可取0.5左左右。該數(shù)學(xué)模型可稱為管段設(shè)計(jì)流量分配優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，可以求解管段設(shè)計(jì)右。該數(shù)學(xué)模型可稱為管段設(shè)計(jì)流量分配優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，可以求解管段設(shè)計(jì)流量分配的近似優(yōu)化方案，具有工程實(shí)用意義。流量分配的近似優(yōu)化方案，具有工程實(shí)用意義。 1.50.51()MqiiiMinWql. .( )01,2,3,jiii SS tqQjN7.3.2 管段管段流量分配近似優(yōu)化計(jì)算流量分配近似優(yōu)化計(jì)算0kqqW求極值原理：求極值原理：由式（由式（7.49），對(duì)），對(duì)qi求偏導(dǎo)數(shù)得：

31、求偏導(dǎo)數(shù)得： 用初分配流量泰勒公式展開，舍去非線性項(xiàng)，經(jīng)整理變換得：用初分配流量泰勒公式展開，舍去非線性項(xiàng)，經(jīng)整理變換得： 0)(414313212111lqlqlqlqLklqlqqkkRiiiRiiik, 3 , 2 , 1)() 1()(2)0(1)0()0(近似優(yōu)化流量分配計(jì)算近似優(yōu)化流量分配計(jì)算迭代迭代公式迭代迭代公式：計(jì)算收斂條件：計(jì)算收斂條件： 允許誤差，允許誤差，m3/s，手，手工計(jì)算可取工計(jì)算可取0.0001 m3/s，即，即0.1L/s； 計(jì)算機(jī)程序計(jì)算可取計(jì)算機(jī)程序計(jì)算可取0.00001 m3/s，即，即0.01L/s。 kjkjijiRiqqq)()()1(Lkeqqo

32、ptjk, 3 , 2 , 1)(【例例7.3】某環(huán)狀管網(wǎng)如某環(huán)狀管網(wǎng)如圖圖7.4，管段長度及初分，管段長度及初分配設(shè)計(jì)流量標(biāo)于圖中，配設(shè)計(jì)流量標(biāo)于圖中，進(jìn)行管段設(shè)計(jì)流量近似進(jìn)行管段設(shè)計(jì)流量近似優(yōu)化計(jì)算，優(yōu)化計(jì)算，取取 =1.5， =0.5，e eqoptqopt= 0.1L/s。 圖圖7.6 管段設(shè)計(jì)流量分配近似優(yōu)化管段設(shè)計(jì)流量分配近似優(yōu)化 【解解】從初分配管段設(shè)計(jì)流量從初分配管段設(shè)計(jì)流量qi開始，由公式（開始，由公式（7.53）（）（7.58）分別計(jì)算各管段）分別計(jì)算各管段和環(huán)的優(yōu)化迭代參數(shù)，列入計(jì)算表格中，計(jì)算過程如表和環(huán)的優(yōu)化迭代參數(shù)，列入計(jì)算表格中，計(jì)算過程如表7.3所示，其中的第三

33、至第所示，其中的第三至第七次中間計(jì)算過程省略。七次中間計(jì)算過程省略。 7.4輸水管優(yōu)化設(shè)計(jì)輸水管優(yōu)化設(shè)計(jì) 7.4.1壓力輸水管（水泵增壓）壓力輸水管（水泵增壓）假設(shè)壓力輸水管由假設(shè)壓力輸水管由N個(gè)節(jié)點(diǎn)和個(gè)節(jié)點(diǎn)和N-1條管段組成，泵站設(shè)于管段條管段組成，泵站設(shè)于管段1上，如圖上，如圖7.7 所示。所示。泵站揚(yáng)程為所有管段的頭損失、地面高差和節(jié)點(diǎn)服務(wù)壓力之和：泵站揚(yáng)程為所有管段的頭損失、地面高差和節(jié)點(diǎn)服務(wù)壓力之和：1, 3 , 2 , 1NiHhHHhhdfifdipnnmiiiiiimikqhlkq DlDih由管網(wǎng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)式由管網(wǎng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)式(7.30)，并用公式，并用公

34、式壓力輸水管優(yōu)化管徑計(jì)算目標(biāo)函數(shù)為壓力輸水管優(yōu)化管徑計(jì)算目標(biāo)函數(shù)為MidfiminiiiMiiHlDkqPQlbDapTwWMin11)()(1001(寫出目標(biāo)函數(shù)對(duì)管徑寫出目標(biāo)函數(shù)對(duì)管徑的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，可得，可得0)1001(11iminiiiilDmPQkqlDpTbDW7.4.1壓力輸水管（水泵增壓）壓力輸水管（水泵增壓）(續(xù)續(xù))整理得到輸水管優(yōu)化管徑公式，又稱經(jīng)濟(jì)管徑公式：整理得到輸水管優(yōu)化管徑公式，又稱經(jīng)濟(jì)管徑公式：當(dāng)輸水管沿程流量不變時(shí)，成為單一管段，當(dāng)輸水管沿程流量不變時(shí)，成為單一管段，qiQ，經(jīng)濟(jì)管徑公式為：，經(jīng)濟(jì)管徑公式為：1111()1(

35、)100mnnmmmmiiimkDPQqfPQqpbT(7.63) 式中，式中，f為經(jīng)濟(jì)因素，是包括多個(gè)管網(wǎng)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的綜合參數(shù)：為經(jīng)濟(jì)因素，是包括多個(gè)管網(wǎng)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的綜合參數(shù)： 1()100mkfpbT11()nmiDfPQ(7.65) 【例例7.5】某壓力輸水管由某壓力輸水管由3段組成，第一段上設(shè)有泵站，設(shè)計(jì)流量為段組成，第一段上設(shè)有泵站，設(shè)計(jì)流量為160L/s，第二、，第二、三段設(shè)計(jì)流量分別為三段設(shè)計(jì)流量分別為140L/s和和50L/s，有關(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)為：，有關(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)為： b=2105，=1.52，T=15，p=2.5，E=0.6， =0.55，=0.7，n=1.852，k=0.

36、00177，m=4.87。管段長度分別為：。管段長度分別為：l1=1660m，l2=2120m，l3=1350m，泵站前的吸水井水位，泵站前的吸水井水位H1=20m，管線末端地面標(biāo)高，管線末端地面標(biāo)高H4=32m，管線末端服務(wù)壓力，管線末端服務(wù)壓力Hf=16m。（1）計(jì)算各管段優(yōu)化管徑；）計(jì)算各管段優(yōu)化管徑；（2）求泵站的總揚(yáng)程）求泵站的總揚(yáng)程Hp。代入代入7.64式得：式得：【解解】（1）計(jì)算優(yōu)化管徑：）計(jì)算優(yōu)化管徑：405407 . 06 . 055. 086000860001EP00002939. 052. 12105)1005 . 2151(00177. 087. 4)1001(bpT

37、mkf16. 087. 452. 111 m19. 016. 04054000002939. 0fPQ445. 0)16. 019. 0()(16. 0852. 1111mnfPQqD428. 0)14. 019. 0()(16. 0852. 1122mnfPQqD315. 0)05. 019. 0()(16. 0852. 1133mnfPQqD選用選用500mm管徑；管徑； 選用選用400mm管徑；管徑； 選用選用300mm管徑。管徑。 【例例7.5】（續(xù)）（續(xù)）（2）計(jì)算泵站揚(yáng)程：）計(jì)算泵站揚(yáng)程：泵站揚(yáng)程泵站揚(yáng)程: （m） 當(dāng)管道摩阻系數(shù)當(dāng)管道摩阻系數(shù)k=0.00177，管道的海曾，管道的

38、海曾-威廉系數(shù)威廉系數(shù)C=100；用海曾用海曾-威廉公式計(jì)算各管段水頭損失威廉公式計(jì)算各管段水頭損失hi：44. 35 . 0100166016. 067.1067.1087. 4852. 1852. 187. 41852. 11852. 111DClqh17.104 . 0100212014. 067.1067.1087. 4852. 1852. 187. 42852. 12852. 122DClqh90. 33 . 0100135005. 067.1067.1087. 4852. 1852. 187. 43852. 13852. 133DClqh5 .4516)2032(5 .17)(14

39、31fiipHHHhH7.4.2重力輸水管重力輸水管重力輸水管依靠輸水管兩端的地形高差所產(chǎn)生的重力克服管線水頭損失。重力輸水管依靠輸水管兩端的地形高差所產(chǎn)生的重力克服管線水頭損失。如圖如圖7.8所示，輸水管線由所示，輸水管線由N個(gè)節(jié)點(diǎn)和個(gè)節(jié)點(diǎn)和N-1條管段組成，起點(diǎn)和終點(diǎn)的可利用水頭差，條管段組成，起點(diǎn)和終點(diǎn)的可利用水頭差，記為記為 依式依式(7.37)，略去電費(fèi)項(xiàng)，重力輸水管優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為：，略去電費(fèi)項(xiàng)，重力輸水管優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為：(7.63) 約束條件：約束條件： 或或 111NNiiHHHhMiimimimnimMiilhlqbkapTwWMin11)(1001(7.67) 110

40、NiihH110Ni iiilH(7.66) (7.68) 7.4.2重力輸水管（續(xù)）重力輸水管（續(xù)）由式由式(7.66)和和(7.67)構(gòu)成的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的拉格朗日函數(shù)為：構(gòu)成的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的拉格朗日函數(shù)為： 式中，式中，拉格朗日乘子。拉格朗日乘子。求求F(hi)對(duì)對(duì)hi的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得：，得：(7.69) 由水力坡度由水力坡度 ii=hi/li ，得得(7.72) )()(1001()(111HhlhlqbkapThFNiiMiimimimnimi( )1()()0100nmmimmmmiiiiF hpbk qhlhTm令令1()()100mpAbkT

41、m得得AlhqlhqlhqlhqmmNmmNmnNmmimmimnimmmmmnmmmmmn11222111.112121.nnnnmmmmiNiNqqqqiiii(7.71) 7.4.2重力輸水管（續(xù)重力輸水管（續(xù)1）由式由式(7.72)和式和式(7.68)組成的聯(lián)立方程組，組成的聯(lián)立方程組，為重力輸水管線的經(jīng)濟(jì)水力坡度方程組，可以求解各為重力輸水管線的經(jīng)濟(jì)水力坡度方程組，可以求解各管段經(jīng)濟(jì)水力坡度。應(yīng)用公式管段經(jīng)濟(jì)水力坡度。應(yīng)用公式(7.73)可以得到各管段可以得到各管段的優(yōu)化管徑。的優(yōu)化管徑。(7.73) 11212111.0nnnnmmmmiNiNNi iiqqqqiiiiilH1(/

42、 )nmiiiDkq i。 【例例7.6】仍用前例數(shù)據(jù)，若改用重力輸水，輸水管線可利用水頭差為仍用前例數(shù)據(jù)，若改用重力輸水，輸水管線可利用水頭差為18.5m，試確定各管段直徑。，試確定各管段直徑。(7.73) 【解解】已知：管段設(shè)計(jì)流量為已知：管段設(shè)計(jì)流量為q1=0.16m3/s，q2=0.14m3/s，q3=0.05m3/s，管段長度為，管段長度為l1=1660m，l2=2120m，l3=1350m，經(jīng)濟(jì)指標(biāo)參數(shù)為，經(jīng)濟(jì)指標(biāo)參數(shù)為 =1.52， n=1.852，m=4.87，k=0.00177。所以，。所以， 7.4.2重力輸水管（續(xù)重力輸水管（續(xù)2）由方程組（由方程組（7.73），得），得

43、。 解聯(lián)立方程組，得：解聯(lián)立方程組，得：i1=0.0042, i2=0.0039, i3=0.0025. 0.4411110.440.44322223331.8521.520.160.450.44,1.524.870.140.420.050.27,nmnnmmqnmiiiqqiiiiii1332331230.451.66670.270.421.5560.2716602120135018.5iiiiiiiii111.85214.87110.00177 0.16()()0.4180.0042nmkqDi111.85224.87220.00177 0.14()()0.4030.0039nmkqDi1

44、11.85234.87330.00177 0.05()()0.2990.0025nmkqDi7.5已定設(shè)計(jì)流量環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)與計(jì)算已定設(shè)計(jì)流量環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)與計(jì)算 7.5.1泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型）節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型 對(duì)于環(huán)狀給水管網(wǎng)，任意設(shè)定管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)的壓力水頭對(duì)于環(huán)狀給水管網(wǎng)，任意設(shè)定管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)的壓力水頭Hj，則必然得到任一環(huán)中，則必然得到任一環(huán)中的管段水頭損失之和等于的管段水頭損失之和等于0，每個(gè)環(huán)能量方程約束條件自然得到滿足，使管網(wǎng)優(yōu)化數(shù)，每個(gè)環(huán)能量方程約束條件自然得到滿足，使管網(wǎng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型得到簡化，成為求解管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)優(yōu)

45、化壓力的問題。學(xué)模型得到簡化，成為求解管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)優(yōu)化壓力的問題。所以，采用節(jié)點(diǎn)壓力作為管網(wǎng)優(yōu)化計(jì)算未知參數(shù)，具有很好的計(jì)算簡便性。所以，采用節(jié)點(diǎn)壓力作為管網(wǎng)優(yōu)化計(jì)算未知參數(shù)，具有很好的計(jì)算簡便性。如圖如圖7.9所示，節(jié)點(diǎn)所示，節(jié)點(diǎn)1至至8為未知為未知壓力節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)壓力節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)7和和8為水源為水源節(jié)點(diǎn)，供水泵站分別從清水池和節(jié)點(diǎn)，供水泵站分別從清水池和水塔加壓供水，其節(jié)點(diǎn)流量已知，水塔加壓供水，其節(jié)點(diǎn)流量已知，分別為兩個(gè)水源的已知供水量。分別為兩個(gè)水源的已知供水量。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)9、10和和11為管網(wǎng)末端已知為管網(wǎng)末端已知壓力節(jié)點(diǎn)，各自要求滿足最低服壓力節(jié)點(diǎn)，各自要求滿足最低服務(wù)壓力。該管

46、網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題是務(wù)壓力。該管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題是求解節(jié)點(diǎn)（求解節(jié)點(diǎn)（1）（）（8）的優(yōu)化壓）的優(yōu)化壓力。并由水源節(jié)點(diǎn)壓力力。并由水源節(jié)點(diǎn)壓力H7和和H8可以計(jì)算泵站的揚(yáng)程。可以計(jì)算泵站的揚(yáng)程。 管網(wǎng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)式（管網(wǎng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)式（7.37）可以改寫為）可以改寫為 1()()100nmmmmjkjkjkjkjjpjpMinWabk ql hlPQ hT(7.74) 7.5.1泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)）泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)）管網(wǎng)中任一管段的水頭損失和水泵揚(yáng)程可以分別表示為管網(wǎng)中任一管段的水頭損失和水泵揚(yáng)程可以分別表示為式中，式中， hj管段水頭損失（管段水頭損失（m），

47、）， hpj連接節(jié)點(diǎn)連接節(jié)點(diǎn)j的泵站揚(yáng)程（的泵站揚(yáng)程（m），）， Hi, Hj節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)壓力（壓力（m），），Hjd泵站加壓前的水源節(jié)點(diǎn)水位（泵站加壓前的水源節(jié)點(diǎn)水位（m）。）。構(gòu)成管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：構(gòu)成管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下： (7.78) jkjkhHH和和pjjjdhHH1()()()100nmmmmjkjkjkjkjjjjdpMinWabk qlHHlPQ HHTminmaxminmax. .jjjkkkHHHS tHHH(7.77) 令令 11()100jkjkpAalT21() ()100nmjkjk jkpAb kq lT式（式（7.77）簡化為）簡化為12()(

48、)mjkjk jkjkjjjjdMinWAAlHHPQ HH7.5.1泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)1）對(duì)未知節(jié)點(diǎn)壓力寫出一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于對(duì)未知節(jié)點(diǎn)壓力寫出一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，表達(dá)式如下：，表達(dá)式如下：式（式（7.79）物理意義：節(jié)點(diǎn)壓力）物理意義：節(jié)點(diǎn)壓力Hj變化對(duì)管網(wǎng)年費(fèi)用值影響，其中，第變化對(duì)管網(wǎng)年費(fèi)用值影響，其中，第1項(xiàng)項(xiàng)表示表示Hj對(duì)流出節(jié)點(diǎn)對(duì)流出節(jié)點(diǎn)j的管段費(fèi)用影響，第的管段費(fèi)用影響，第2項(xiàng)表示項(xiàng)表示Hj對(duì)流入節(jié)點(diǎn)對(duì)流入節(jié)點(diǎn)j的管段費(fèi)用的管段費(fèi)用影響，第影響，第3項(xiàng)表示項(xiàng)表示Hj對(duì)泵站能量費(fèi)用影響，當(dāng)對(duì)泵站能量費(fèi)用影響，當(dāng)j節(jié)點(diǎn)無水泵時(shí)，節(jié)點(diǎn)無

49、水泵時(shí)，PjQj=0. 令連接令連接j節(jié)點(diǎn)的所有管段虛流量之和為節(jié)點(diǎn)的所有管段虛流量之和為Qj，并稱，并稱Qj為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)j的節(jié)點(diǎn)虛流量，則的節(jié)點(diǎn)虛流量，則(7.80) (7.79) 式中，流入式中，流入j的管段虛流量為負(fù)值，流出的管段虛流量為負(fù)值，流出j的管段虛流量為正值。的管段虛流量為正值。 22()()()()0mmmmjkjkjkjkjkkjjjjWAlHHAlHHPQHmm式（式（7.79）可以改寫為如下形式：）可以改寫為如下形式：22()()()()0mmmmjk jkjkjk jkkjjjkjkjjWAlHHAlHHPQHmm令令 2()()mmjkjk jkjkqAlHHm并定

50、義并定義為管段為管段jk的管段虛流量。的管段虛流量。22()()()()()mmmmjjk jkjkjk jkkjjkkjkjkjQAlHHAlHHqmm(7.82) 7.5.1泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)2）由式由式(7.80)，節(jié)點(diǎn)虛流量的值為：，節(jié)點(diǎn)虛流量的值為：結(jié)論：一般節(jié)點(diǎn)上的管段虛流量結(jié)論：一般節(jié)點(diǎn)上的管段虛流量之和等于之和等于0，節(jié)點(diǎn)虛流量等于，節(jié)點(diǎn)虛流量等于0，泵站節(jié)點(diǎn)泵站節(jié)點(diǎn)上的上的管段虛流量之和等管段虛流量之和等于于 PjQj，節(jié)點(diǎn)虛流量等于，節(jié)點(diǎn)虛流量等于PjQj。 式（式（7.83）稱為節(jié)點(diǎn)虛流量連續(xù)性方程組，簡稱節(jié)點(diǎn)虛流量方程組，即）稱為節(jié)

51、點(diǎn)虛流量連續(xù)性方程組，簡稱節(jié)點(diǎn)虛流量方程組，即節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。(7.83) 可以得到經(jīng)濟(jì)管徑公式：可以得到經(jīng)濟(jì)管徑公式：(2) 泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)經(jīng)濟(jì)管徑公式泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)經(jīng)濟(jì)管徑公式將管段虛流量公式（將管段虛流量公式（7.81）還原展開，得）還原展開，得 (7.85) ) 0,jkkjjjkjjkjqQqPQ（= （一般節(jié)點(diǎn)）；（泵站節(jié)點(diǎn)）；21111()()() ()()()10011() ()()()()1001001()100()mmnmmmjkjk jkjkjk jkijkmnnmmmmjk jkijkjk jkjkjk immjkjkjknnjkjkpqA

52、lHHb kq llHHmTmppbb kq llhkq lhh lTmTmDDpbDTmkqfq1()nmjkjkjkDfqq7.5.1泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)3）式中，式中，f稱為管網(wǎng)經(jīng)濟(jì)因素系數(shù)，稱為管網(wǎng)經(jīng)濟(jì)因素系數(shù)， （3）泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化計(jì)算）泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化計(jì)算 1）節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化線性化方程組求解）節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化線性化方程組求解 設(shè)定一組節(jié)點(diǎn)壓力初始值，節(jié)點(diǎn)虛流量方程設(shè)定一組節(jié)點(diǎn)壓力初始值，節(jié)點(diǎn)虛流量方程(7.83)可以轉(zhuǎn)化為線性方程：可以轉(zhuǎn)化為線性方程：式式(7.88)可以簡寫為：可以簡寫為： (7.88) 1()100mkfp

53、bT對(duì)于泵站出流管段，其管段虛流量對(duì)于泵站出流管段，其管段虛流量 jkjjkqP q經(jīng)濟(jì)管徑：經(jīng)濟(jì)管徑： 11()nmjkjjkDfP q(7.87) 22(0)(0)(0)(0)222(0)(0)2()()()()()()0,()()(),mmmmjkjkjkjkkjkjkjkjmmjkjkjkjjkjAHHHHAHHHHmmAHHHHPQm（一般節(jié)點(diǎn)）；（泵站節(jié)點(diǎn)）；令令 2(0)(0)(0)22()()mmjkjkjkbAHHm(0)(0)22(0)2(,)()()0,(,)(),jjkjkjkjkkjkjkjjjkjkjkjjkjQHHbHHbHHQHHbHHPQ（一般節(jié)點(diǎn)）；（泵站節(jié)

54、點(diǎn)）；(7.89) 7.5.1泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)4）將將(7.89)應(yīng)用泰勒公式展開，僅保留一次項(xiàng)，可得應(yīng)用泰勒公式展開，僅保留一次項(xiàng)，可得由此，節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化計(jì)算方程組轉(zhuǎn)化為求解節(jié)點(diǎn)壓力校正值由此，節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化計(jì)算方程組轉(zhuǎn)化為求解節(jié)點(diǎn)壓力校正值Hj的迭代方程組：的迭代方程組：式式(7.91)可以寫成矩陣方程：可以寫成矩陣方程：(7.91) (7.93) (0)(0)(0)(0)(,)(,)0,(,)(,),jjjjkjjkjkkjjkjjjjkjjkjkjjkjjkQQQHHQHHHHHHQQQHHQHHHHP QHH（一般節(jié)點(diǎn)）；（泵站節(jié)點(diǎn)）；(0)(0

55、)(0)(0)(,),(,),jjjkjjkkjjkjjjkjjjjkkjjkQQHHQHHHHQQHHP QQHHHH（一般節(jié)點(diǎn)）；（泵站節(jié)點(diǎn)）；(7.90) B HC設(shè)系數(shù)矩陣設(shè)系數(shù)矩陣B的元素為的元素為vjk，C為右邊向量，其中元素為為右邊向量，其中元素為cj，則，則(0)2(0)(0)2,0,jkjkkjjkjkbjkvvbkjjk 當(dāng) ，即為對(duì)角元素；- 當(dāng) ，即節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j連接； 當(dāng) ，即節(jié)點(diǎn)k與節(jié)點(diǎn)j不連接。(0)(0)(0)(0)(,),(,),jjkjjjkjjQHHcQHHPQ（一般節(jié)點(diǎn)）；（泵站節(jié)點(diǎn)）；7.5.1泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)泵站加壓環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（續(xù)5

56、）如圖如圖7.9所示管網(wǎng)，設(shè)未知壓力節(jié)點(diǎn)的初始?jí)毫λ^初始值為所示管網(wǎng)，設(shè)未知壓力節(jié)點(diǎn)的初始?jí)毫λ^初始值為Hj(0)，各管段的初始系，各管段的初始系數(shù)矩陣元素為數(shù)矩陣元素為 則管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化計(jì)算的矩陣則管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化計(jì)算的矩陣方程為：方程為： (7.94) 求解方程組（求解方程組（7.94），得到全部優(yōu)化節(jié)點(diǎn)壓力），得到全部優(yōu)化節(jié)點(diǎn)壓力 Hj，并計(jì)算經(jīng)濟(jì)管徑：并計(jì)算經(jīng)濟(jì)管徑：2(0)(0)(0)(0)22()()mmjkjkjkjkvbAHHm(0)(0)(0)(0)11121471(0)(0)(0)(0)12222325(0)(0)(0)(0)23333683(0)(0)(0)1444

57、45(0)(0)(0)(0)25455556(0)(0)5666(0)(0)7177(0)83000000000000000000000000000000000000000vbbbbvbbbvbbbvbbbvbbvbvb(0)(0)111(0)(0)222(0)(0)333(0)(0)444(0)(0)555(0)(0)666(0)(7771(0)888(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,0kkkkkkHQHHHQHHHQHHHQHHHQHHHQHHHQHHHv0)77(0)(0)88388(,)PQQHHPQ)11()()nnjk jkjk jkmmjkjkjkkq lkq lDhHH泵

58、站揚(yáng)程為：泵站揚(yáng)程為： 7177pdhHH8388pdhHH和和7.5.2 起點(diǎn)水壓已知的重力供水環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)起點(diǎn)水壓已知的重力供水環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）重力供水環(huán)狀管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)優(yōu)化壓力計(jì)算方法）重力供水環(huán)狀管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)優(yōu)化壓力計(jì)算方法 水源位于高地（例如高地水池和水塔）的供水管網(wǎng)系統(tǒng)，依靠重力克服管網(wǎng)水水源位于高地（例如高地水池和水塔）的供水管網(wǎng)系統(tǒng)，依靠重力克服管網(wǎng)水頭損失，屬于起點(diǎn)水壓已知的重力輸水管網(wǎng)系統(tǒng)。求解經(jīng)濟(jì)管徑的目標(biāo)是充分利用頭損失，屬于起點(diǎn)水壓已知的重力輸水管網(wǎng)系統(tǒng)。求解經(jīng)濟(jì)管徑的目標(biāo)是充分利用管網(wǎng)中的地形高差，使管網(wǎng)建設(shè)費(fèi)用和維護(hù)費(fèi)用之和最小。重力供水管網(wǎng)動(dòng)力費(fèi)用管網(wǎng)中的地形高

59、差，使管網(wǎng)建設(shè)費(fèi)用和維護(hù)費(fèi)用之和最小。重力供水管網(wǎng)動(dòng)力費(fèi)用為為0.采用管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力作為優(yōu)化計(jì)算變量，重力供水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：采用管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力作為優(yōu)化計(jì)算變量，重力供水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)壓力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下： 式中，選定路徑式中，選定路徑i為管網(wǎng)起點(diǎn)到最不利壓力節(jié)點(diǎn)的管段組合，為管網(wǎng)起點(diǎn)到最不利壓力節(jié)點(diǎn)的管段組合，Hdi為第為第i路徑的可利用路徑的可利用重力水頭，即該路徑的允許最大水頭損失。重力水頭，即該路徑的允許最大水頭損失。 1()()100.nmmmmjkjkjkjkjkjkdipMin Wwa bk q lHHlTSthH 選定路徑i目標(biāo)函數(shù)：約束條件：如圖如圖7.11所示，起端節(jié)點(diǎn)

60、為所示，起端節(jié)點(diǎn)為7和和8，最不利壓力節(jié)點(diǎn)為，最不利壓力節(jié)點(diǎn)為9，10和和11。存在多條選定路徑，。存在多條選定路徑，如管段如管段1、5、8、11和和12，管段，管段1、5和和10，管段，管段4和和7，均可為選定路，均可為選定路徑。目標(biāo)函數(shù)中包含了已知節(jié)點(diǎn)壓力，約束條件已經(jīng)得到滿足。徑。目標(biāo)函數(shù)中包含了已知節(jié)點(diǎn)壓力，約束條件已經(jīng)得到滿足。 (7.99) 7.5.2 起點(diǎn)水壓已知的重力供水環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)起點(diǎn)水壓已知的重力供水環(huán)狀管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）重力供水環(huán)狀管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)優(yōu)化壓力計(jì)算方法（續(xù)）重力供水環(huán)狀管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)優(yōu)化壓力計(jì)算方法（續(xù)） 設(shè)定圖設(shè)定圖7.11所示重力供水管網(wǎng)中未知節(jié)點(diǎn)壓力的初始值為所示