小學(xué)期 競賽 力學(xué) 120627

1、例例1.4 用定滑輪提升質(zhì)量為用定滑輪提升質(zhì)量為M的重物，設(shè)繩索的重物，設(shè)繩索質(zhì)量不計，繩與滑輪的摩擦系數(shù)為質(zhì)量不計，繩與滑輪的摩擦系數(shù)為，繩與滑輪，繩與滑輪接觸的兩端與輪心連線夾角為接觸的兩端與輪心連線夾角為，求：欲提升重物，至少需要多大的張力求：欲提升重物，至少需要多大的張力TB？TB=?MBA選題目的：張力和摩擦力，選題目的：張力和摩擦力， 牛頓定律應(yīng)用。牛頓定律應(yīng)用。摩擦力處處沿切線方向，各處不摩擦力處處沿切線方向，各處不同，因此，不能用一個整體來求同，因此，不能用一個整體來求解，必須看任一點的解，必須看任一點的取微元取微元解：解： 取取滑輪上滑輪上一小段一小段繩，分析受力，放大如圖繩

2、，分析受力，放大如圖. 在小角度下，取在小角度下，取 sin;cos1剛能剛能提升，提升，a = 0，有，有d0d202TNNT 切向切向法向法向TdNNf T+dTdd(d )coscos022TTTfdd(d )sinsin022NTTT0 ddTT得得 BATTTT 0dd有有AABTTT e即即MgMgTB e0 MgTA對重物對重物解：解： 取取滑輪上滑輪上一小段一小段繩，分析受力，放大如圖繩，分析受力，放大如圖. 剛能剛能提升，提升，a = 0，有，有d0d202TNNT 切向切向法向法向TdNNf T+dT例例1.5 如圖所示，將繩子的一端如圖所示，將繩子的一端纏繞在質(zhì)量為纏繞在

3、質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的勻的勻質(zhì)圓盤上，而其另一端通過定滑質(zhì)圓盤上，而其另一端通過定滑輪懸掛一質(zhì)量為輪懸掛一質(zhì)量為m的物體，忽略的物體，忽略滑輪和繩的質(zhì)量以及滑輪與繩的滑輪和繩的質(zhì)量以及滑輪與繩的摩擦，且繩不可伸長。求物體的摩擦，且繩不可伸長。求物體的加速度為和圓盤的角加速度。加速度為和圓盤的角加速度。Mm選題目的：剛體純滾動（非定軸轉(zhuǎn)動）選題目的：剛體純滾動（非定軸轉(zhuǎn)動） 的運動學(xué)條件的運動學(xué)條件 或視為帶有轉(zhuǎn)動的相對運動問題或視為帶有轉(zhuǎn)動的相對運動問題PMgTacmgTa解：解： 對對m： mgT= ma 對對M： TMg = Mac （已設(shè)（已設(shè)ac向上）向上） 221MRITRca

4、aRcaaR由于繩子不可伸長由于繩子不可伸長:ccaaa切點切點圓盤：圓盤： 圓盤作圓盤作純滾動純滾動（即無滑動的滾動）時，（即無滑動的滾動）時，可可看作整個圓盤隨著看作整個圓盤隨著質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的的合成合成，因此，因此圓盤邊緣與繩相切點圓盤邊緣與繩相切點的的加加速度速度就就等于質(zhì)心的加速度和該點繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的等于質(zhì)心的加速度和該點繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的切向切向加速度加速度的合成的合成，即，即MT四式聯(lián)立，可解得：四式聯(lián)立，可解得：圓盤質(zhì)心的加速度圓盤質(zhì)心的加速度負(fù)號表示圓盤質(zhì)心的實際加速度方向向下負(fù)號表示圓盤質(zhì)心的實際加速度方向向下 得得 gMmMmac3gMmMma33g

5、RMmm)3(4（水平）（水平） xOM光滑軸光滑軸RPm（黏土塊）（黏土塊）0v選題目的：選題目的： 定軸轉(zhuǎn)動的守恒定律；定軸轉(zhuǎn)動的守恒定律； 轉(zhuǎn)動定理；轉(zhuǎn)動定理； 質(zhì)心運動定理。質(zhì)心運動定理。例例1.6 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m的黏土塊以初速的黏土塊以初速度度v0斜射在勻質(zhì)圓盤的頂端斜射在勻質(zhì)圓盤的頂端P點，后與圓盤黏點，后與圓盤黏合。已知：圓盤的半徑為合。已知：圓盤的半徑為R，質(zhì)量，質(zhì)量M=2m， =60 。求：求： 當(dāng)當(dāng)P點轉(zhuǎn)到與點轉(zhuǎn)到與 x 軸重合時，圓盤的軸重合時，圓盤的角速度角速度和軸和軸O對盤的作用力對盤的作用力N 。y xOM光滑軸光滑軸均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤RPm（黏土

6、塊）（黏土塊）0v解：解：1）過程分段）過程分段第一段：碰撞（在頂端）第一段：碰撞（在頂端）對對M+m , 對對O外力矩外力矩=0,L守恒守恒: cos2100202RmvmRMR 第二段：第二段： 轉(zhuǎn)動過程轉(zhuǎn)動過程，只有保守力作功，只有保守力作功，E守恒守恒： mgRmRMRmRMR 202222221212121 代入代入M2m ，解得解得gRvR164120 2） (Mm)的質(zhì)心的質(zhì)心作半徑為作半徑為R/3的圓周運動的圓周運動ORmgyyN在指定位置，在指定位置，由轉(zhuǎn)動定理由轉(zhuǎn)動定理 )21(22mRMRRmg Rg2 質(zhì)心質(zhì)心加速度加速度:3;32RaRant 由由質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動

7、定理：nxtyaMmNaMmNgMm)()()( xN22222659)()(gRMmNNNyx例例1.7 半徑同為半徑同為R、質(zhì)量分別為、質(zhì)量分別為m1=m和和m2=3m/2的兩的兩個勻質(zhì)圓盤，邊緣部位分別用長個勻質(zhì)圓盤，邊緣部位分別用長R和和2R的輕桿固定地的輕桿固定地連接后，掛在高度差為連接后，掛在高度差為R的兩塊天花板下，可以無摩的兩塊天花板下，可以無摩擦地左右擺動。開始時兩個擺盤靜止在圖示位置，擦地左右擺動。開始時兩個擺盤靜止在圖示位置，質(zhì)量為質(zhì)量為m1的擺盤自由釋放后，將以的擺盤自由釋放后，將以 0角速度與質(zhì)量角速度與質(zhì)量為為m2的靜止擺盤發(fā)生彈性碰撞。試求碰后瞬間，兩的靜止擺盤發(fā)

8、生彈性碰撞。試求碰后瞬間，兩個擺盤的右向擺動角速度個擺盤的右向擺動角速度 1和和 2(均帶正負(fù)號均帶正負(fù)號)。m22RRm1RR（競賽（競賽08年計算題年計算題 10分）分） 0角動量方程角動量方程（以（以O(shè)2為參考點）：為參考點）：解：解： 碰撞過程中懸掛點碰撞過程中懸掛點O1提供的提供的水平右向力記為水平右向力記為N1 ( (平均值平均值),),兩擺兩擺盤間水平碰撞力大小記為盤間水平碰撞力大小記為N (平均平均值值), 碰撞時間記為碰撞時間記為t,擺擺1的的動量方程動量方程：RmRmtNtN2201111 m22RRm1RO1N1NN)()(01011111101123233 ccIRRm

9、IRRmLLRtNtRN O2擺擺1：擺擺1質(zhì)心質(zhì)心繞繞O1沿圓弧運動，其速度沿圓弧運動，其速度v1=2R擺擺1對質(zhì)心的角動量對質(zhì)心的角動量1 11 cI223 IRtN 擺擺2：21121RmIc 22222321)( RmRmI 0201222211212121 III 016511 聯(lián)立求解（四個未知量聯(lián)立求解（四個未知量 ）可得：可得：彈性碰撞彈性碰撞能量守恒：能量守恒：21211221)( RmRmI 026536 211 、mtNmtN/ 例例1.8 飛船繞地球作圓周運動，離地面的高飛船繞地球作圓周運動，離地面的高度度h=800km（軌道半徑軌道半徑r0=R+h，R=6.40103

10、km為地球半徑）為地球半徑）,速度速度v0=3.00 104kmh-1。經(jīng)過。經(jīng)過短暫的沿矢徑向外側(cè)噴氣，飛船獲得了指向短暫的沿矢徑向外側(cè)噴氣，飛船獲得了指向地心的附加速度地心的附加速度vr=800kmh-1 ，其軌道變?yōu)闄E，其軌道變?yōu)闄E圓。設(shè)噴氣前后飛船的質(zhì)量可看作不變。試圓。設(shè)噴氣前后飛船的質(zhì)量可看作不變。試求飛船橢圓軌道的近地點和遠(yuǎn)地點離地面的求飛船橢圓軌道的近地點和遠(yuǎn)地點離地面的高度。高度。r0v0vr目的：橢圓軌道問題目的：橢圓軌道問題 有心力作用下的運動有心力作用下的運動 解解: 研究對象：研究對象：飛船飛船 飛船飛船繞地球作圓周運動時，繞地球作圓周運動時，v0r0rvrv0202

11、0rmvrGMmmvrrmv 00噴氣噴氣飛船作飛船作橢圓橢圓運動時運動時機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒rGMmmvrGMmvvmr 2022021)(21因噴氣因噴氣(飛船和地心連線飛船和地心連線)方向方向, , 故噴氣前后故噴氣前后飛船的飛船的角動量角動量(繞地心繞地心)守恒守恒rvvrvr 0001三式聯(lián)立三式聯(lián)立, ,可解得可解得r有兩個值有兩個值rvvrvr 0002( (近地點近地點) )( (遠(yuǎn)地點遠(yuǎn)地點) )km61311Rrhkm99722Rrh橢圓軌道的橢圓軌道的偏心率偏心率e設(shè)橢圓半長軸為設(shè)橢圓半長軸為A、半短軸為、半短軸為B，則，則ABAe22例例1.9 如圖，細(xì)棒質(zhì)量如圖，細(xì)棒

12、質(zhì)量M、長長l，oM求：任意位置求：任意位置時，軸給棒的作用力。時，軸給棒的作用力。解：解：設(shè)位置設(shè)位置時，棒的角速度為時，棒的角速度為 此時軸給棒的作用力設(shè)為此時軸給棒的作用力設(shè)為Fn、Ft棒的示力圖棒的示力圖nFtFMgcol 1coscnnMaMgF 2sincttMaMgF 22 lacn 2lact 431sin22 MllMg (3)聯(lián)立聯(lián)立得解得解有：有：，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定律定律例例1.10 如圖所示，均勻細(xì)麥桿長如圖所示，均勻細(xì)麥桿長L，可繞通，可繞通過中心過中心O的固定水平軸在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。的固定水平軸在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。開始時麥桿靜止于水平位置，一質(zhì)量與麥桿相開始時麥桿靜止于

13、水平位置，一質(zhì)量與麥桿相同的甲蟲以速度同的甲蟲以速度v0垂直落到麥桿的垂直落到麥桿的1/4長度處，長度處，落下后立即向端點爬行，問：落下后立即向端點爬行，問：為使麥桿以均勻的角速度為使麥桿以均勻的角速度轉(zhuǎn)動，甲蟲沿麥桿的爬行轉(zhuǎn)動，甲蟲沿麥桿的爬行速度應(yīng)是多少？速度應(yīng)是多少？Omv04Lr分析：在甲蟲落到麥桿上與麥桿作分析：在甲蟲落到麥桿上與麥桿作完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞的短暫過程中，因重力的沖量矩可以忽略，的短暫過程中，因重力的沖量矩可以忽略，麥桿、甲蟲系統(tǒng)的角動量守恒麥桿、甲蟲系統(tǒng)的角動量守恒。因此即可得出。因此即可得出麥桿碰后瞬間的角速度麥桿碰后瞬間的角速度與甲蟲下落的速度與甲蟲下落的

14、速度v0的關(guān)系。的關(guān)系。 碰后，麥桿、甲蟲系統(tǒng)繞固定軸碰后，麥桿、甲蟲系統(tǒng)繞固定軸O轉(zhuǎn)動，因轉(zhuǎn)動，因受重力矩作用，系統(tǒng)角動量的變化遵循受重力矩作用，系統(tǒng)角動量的變化遵循角動量角動量定理定理。因要求。因要求保持不變，故保持不變，故系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量必須變化必須變化，這是靠甲蟲的爬行來實現(xiàn)的這是靠甲蟲的爬行來實現(xiàn)的。于是。于是可以確定甲蟲所需的沿麥桿爬行的速度?？梢源_定甲蟲所需的沿麥桿爬行的速度。 解解 設(shè)麥桿、甲蟲的質(zhì)量均為設(shè)麥桿、甲蟲的質(zhì)量均為m，碰后麥桿的，碰后麥桿的恒定角速度為恒定角速度為 ，任意時刻，任意時刻t甲蟲在麥桿上的甲蟲在麥桿上的位置用位置用r表示（表示（t=0時，時，

15、r=L/4 ），麥桿與水平），麥桿與水平軸的夾角即轉(zhuǎn)過的角度為軸的夾角即轉(zhuǎn)過的角度為，甲蟲甲蟲與麥桿碰撞與麥桿碰撞的過程的過程角動量守恒角動量守恒 22041214LmmLJLmv得得L7120v 碰后任意時刻碰后任意時刻t ，甲蟲位于（，甲蟲位于（r,），麥桿、甲），麥桿、甲蟲系統(tǒng)所受外力矩蟲系統(tǒng)所受外力矩 cosmgrM (1)(2)Omv0 4Lr由由角動量定理角動量定理tJJttLMdd)(dddd 不變不變得得trmrmrmLtmgrdd2)121(ddcos22 因此，為使因此，為使保持不變，甲蟲的爬行速度應(yīng)為保持不變，甲蟲的爬行速度應(yīng)為tggtr cos2cos2dd (3)(4

16、)(4)式表明，式表明， 隨時間變化，所以甲蟲必須適隨時間變化，所以甲蟲必須適時調(diào)整其爬行速度才能使時調(diào)整其爬行速度才能使保持不變。保持不變。trdd 設(shè)碰在設(shè)碰在 x 處時動量也守恒，處時動量也守恒，根據(jù)根據(jù)兩個守恒定律兩個守恒定律, 有：有：lx32 例例1.11球與勻質(zhì)桿的碰撞球與勻質(zhì)桿的碰撞中，動量是否守恒？中，動量是否守恒？ oxl?x動量也能守恒？動量也能守恒？解答：解答：一般碰撞中軸對桿有橫向力，外力不為零，但一般碰撞中軸對桿有橫向力，外力不為零，但對對o點的外力矩為零，故系統(tǒng)角動量守恒而動量不守恒。點的外力矩為零，故系統(tǒng)角動量守恒而動量不守恒。122023 mxMlmx)(2)

17、(10 xmlMxm可解得：可解得：一定不守恒？一定不守恒？ 當(dāng)當(dāng)o例例1.12 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸滑的水平對稱軸OO 轉(zhuǎn)動，設(shè)大小圓柱體的半徑分別轉(zhuǎn)動，設(shè)大小圓柱體的半徑分別為為R和和r，質(zhì)量分別為，質(zhì)量分別為M和和m，繞在兩柱體上的細(xì)繩分，繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體別與物體m1和物體和物體m2相連，相連， m1和和m2分別掛在圓柱體分別掛在圓柱體的兩側(cè)。設(shè)開始時的兩側(cè)。設(shè)開始時m1, m2離地均為離地均為h，求：，求： 1) 柱體轉(zhuǎn)柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；動時的角加速度；2) 兩側(cè)細(xì)繩的張力；兩側(cè)細(xì)繩的張力； 3) m

18、1經(jīng)多長經(jīng)多長時間著地；時間著地； 4) 設(shè)設(shè)m1與地面作完全非彈性碰撞，與地面作完全非彈性碰撞，m1著著地后柱體的轉(zhuǎn)速如何變化？地后柱體的轉(zhuǎn)速如何變化？)3()2()1(2111112222 JrTRTamTgmamgmT 解：解：1) m1, m2的平動方程和柱體轉(zhuǎn)動方程為的平動方程和柱體轉(zhuǎn)動方程為 RaraTTTT 122211,式中：式中：222121mrMRJ )rad.s(13. 62222121 grmRmJrmRm 聯(lián)立解得聯(lián)立解得a1)N(8 .20222 gmrmT )N( 1 .17111 RmgmT2)s)(81. 1221 Rhaht2221rmRmJM 3) 設(shè)設(shè)m

19、1著地時間為著地時間為t，則，則4) m1與地面作完全非彈性碰撞即與地面作完全非彈性碰撞即著地后靜止，這側(cè)著地后靜止，這側(cè)繩子松開。柱體繼續(xù)轉(zhuǎn)動，因只受另一側(cè)繩子拉力繩子松開。柱體繼續(xù)轉(zhuǎn)動，因只受另一側(cè)繩子拉力的阻力矩，柱體轉(zhuǎn)速將減小，的阻力矩，柱體轉(zhuǎn)速將減小， m2減速上升。減速上升。討論：若只求柱體轉(zhuǎn)動的角加速度，可討論：若只求柱體轉(zhuǎn)動的角加速度，可將柱體和將柱體和m1 m2看作一個整體系統(tǒng)，看作一個整體系統(tǒng)，其受的合外力矩其受的合外力矩M=m1gR m2gr，則角加速度為，則角加速度為例例1.13 兩個質(zhì)量分別為兩個質(zhì)量分別為m1和和m2的木塊的木塊A和和B，用一個，用一個質(zhì)量忽略不計、

20、倔強(qiáng)系數(shù)為質(zhì)量忽略不計、倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧連接起來，放置在的彈簧連接起來，放置在光滑水平面上光滑水平面上, 使使A緊靠墻壁緊靠墻壁, 如圖所示。用力推木塊如圖所示。用力推木塊B使彈簧壓縮使彈簧壓縮x0，然后釋放。已知，然后釋放。已知m1= m，m2=3 m，求，求（1）釋放后）釋放后A、B兩木塊速度相兩木塊速度相等時的瞬時速度的大?。坏葧r的瞬時速度的大??； （2）釋放后彈簧的最大伸長量。）釋放后彈簧的最大伸長量。1m2mkAB解：解：（1）設(shè)彈簧恢復(fù)原長時）設(shè)彈簧恢復(fù)原長時B物體的速度為物體的速度為v0202212021vmkx kmxv300vmmvm)(2102043vv mkx3430機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒動量守恒動量守恒1m2mkAB（2）A、B兩物體速度相等時，彈簧伸長最大兩物體速度相等時，彈簧伸長最大.2max22120221)(2121kxvmmvm0max21xx 理想流體定常流動理想流體定常流動（流速的分布不隨時間改（流速的分布不隨時間改變）變）的伯努利方程是的伯努利方程是 （1）它它表明了理想流體在管道中作定常流動時，流表明了理想流體在管道中作定常流動時，流體中某點的壓強(qiáng)體中某點的壓強(qiáng) p、流速、流速 v和高度和高度h三個量之間三個量之間的關(guān)系。式中的關(guān)系。式中 是流體的密度，是流體