一、主要內(nèi)容1、向量組的線性相關(guān)性,向量組的秩及找一

1、一、主一、主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容1 1、向量組的線性相關(guān)性，、向量組的線性相關(guān)性，向量組的秩向量組的秩及找一個最大無關(guān)組，及找一個最大無關(guān)組，并用該最大無關(guān)線性無關(guān)組表示向量并用該最大無關(guān)線性無關(guān)組表示向量組中的其余向量組中的其余向量第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性.,., 21個個分分量量稱稱為為第第個個數(shù)數(shù)第第個個數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的分分量量這這維維向向量量數(shù)數(shù)組組稱稱為為所所組組成成的的個個有有次次序序的的數(shù)數(shù)iainnaaanin分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量實(shí)向量分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量復(fù)向量定義定義向量的定義向量

2、的定義向量的相等向量的相等),2 , 1(),(),( 2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT 則則設(shè)設(shè)零向量零向量分量全為分量全為0 0的向量稱為零向量的向量稱為零向量), 2 , 1(0niaOaiT ),2 , 1( ,0niaOaiT 中中至至少少有有一一個個不不為為負(fù)向量負(fù)向量).,( ,),( 2121aaaaaaaaanTTnT 且且的負(fù)向量記作的負(fù)向量記作向量向量向量加法向量加法),(:),(),(22112121babababababbbbaaaannTTTTnTnT 的加法為的加法為與與向量向量定義定義設(shè)設(shè)),(2211babababannTT 向量減法定義為

3、向量減法定義為向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算數(shù)乘向量數(shù)乘向量),(,21akakakakaknTT 定定義義為為簡簡稱稱數(shù)數(shù)乘乘向向量量稱稱為為向向量量的的數(shù)數(shù)量量乘乘法法的的乘乘積積與與向向量量數(shù)數(shù)向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算稱為向量的向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)線性運(yùn)算算，滿足下列八條運(yùn)算規(guī)則：，滿足下列八條運(yùn)算規(guī)則：;)1( 加加法法交交換換律律);()()2( 加加法法結(jié)結(jié)合合律律;,)3( O有有對對任任一一個個向向量量除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：);,0(,0 ) 1(為為任任意意數(shù)數(shù)為為數(shù)數(shù)零零其其中中kOkOO ;, 0,)

4、 2(OkOk 或或者者則則或或者者若若.) 3( xx有唯一解有唯一解向量方程向量方程若干個同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合若干個同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合叫做向量組叫做向量組定義定義.,:2122112121這這個個線線性性組組合合的的系系數(shù)數(shù)稱稱為為的的一一個個線線性性組組合合稱稱為為向向量量組組向向量量實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)對對于于任任何何一一組組給給定定向向量量組組kkkAakakakkkkaaaAmmmmm 線性組合線性組合定義定義.,:22112121線線性性表表示示由由向向量量組組能能這這時時稱稱向向量量的的線線性性組組合合是是向向量量組組則則向向量量使使存存在在一一組組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)如如果

5、果和和向向量量給給定定向向量量組組AbAbakakakbkkkbaaaAmmmm 線性表示線性表示定理定理.),(),(2121的的秩秩的的秩秩等等于于矩矩陣陣件件是是矩矩陣陣線線性性表表示示的的充充分分必必要要條條能能由由向向量量組組向向量量baaaBaaaAAbmm 定義定義.,.,:,:2121兩兩個個向向量量組組等等價價則則稱稱這這能能相相互互線線性性表表示示與與向向量量組組若若向向量量組組線線性性表表示示能能由由向向量量組組則則稱稱向向量量組組線線性性表表示示向向量量組組組組中中的的每每個個向向量量都都能能由由若若及及設(shè)設(shè)有有兩兩個個向向量量組組BAABABbbbBaaaAsm定義定

6、義., 0,: 22112121否否則則稱稱它它線線性性無無關(guān)關(guān)是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的則則稱稱向向量量組組使使為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不全全給給定定向向量量組組AakakakkkkaaaAmmmm 定理定理.)(;),(,2121mARmaaaAaaamm 是是必必要要條條件件向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分于于向向量量個個數(shù)數(shù)的的秩秩小小條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的矩矩陣陣線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組線性相關(guān)線性相關(guān)定理定理.,.,:,:)1(12121也也線線性性無無關(guān)關(guān)則則向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組若若反反言言之之也也線線性性相相

7、關(guān)關(guān)量量組組則則向向線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組ABaaaaBaaaAmmm 若若向向量量量量添添上上一一個個分分量量后后得得到到向向即即向向量量設(shè)設(shè).), 2 , 1( ,)2(, 111bamjaaabaaajjjrrjjjrjjj 定義定義滿滿足足個個向向量量中中能能選選出出如如果果在在設(shè)設(shè)有有向向量量組組,21aaarAAr;,:)1(210線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組aaaAr,)1(1)2(都都線線性性相相關(guān)關(guān)個個向向量量的的話話中中有有如如果果個個向向量量中中任任意意向向量量組組 rArA.);(0的的秩秩稱稱為為向向量量組組量量個個數(shù)數(shù)最最大大無無關(guān)關(guān)組組所所含含向向簡簡稱

8、稱最最大大無無關(guān)關(guān)組組無無關(guān)關(guān)向向量量組組的的一一個個最最大大線線性性是是向向量量組組那那么么稱稱向向量量組組ArAA向量組的秩向量組的秩等價的向量組的秩相等等價的向量組的秩相等定理定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩它的行向量組的秩定理定理設(shè)向量組設(shè)向量組B B能由向量組能由向量組A A線性表示，則向量線性表示，則向量組組B B的秩不大于向量組的秩不大于向量組A A的秩的秩推論推論推論推論).()(),()( ,BRCRARCRBACnssmnm 則則設(shè)設(shè)推論推論（最大無關(guān)組的等價定義）（最大無關(guān)組的等價定義）設(shè)向量組是向量組的部分組

9、，若向量組設(shè)向量組是向量組的部分組，若向量組線性無關(guān)，且向量組能由向量組線性表示，線性無關(guān)，且向量組能由向量組線性表示，則向量組是向量組的一個最大無關(guān)組則向量組是向量組的一個最大無關(guān)組BABABBA.,;,:,VaRVaVbaVbVaV 則則若若則則若若數(shù)數(shù)乘乘兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算中中可可以以進(jìn)進(jìn)行行加加法法及及是是指指在在集集合合所所謂謂封封閉閉定義定義設(shè)設(shè) 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空，且非空，且集合集合 對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合合 為向量空間為向量空間VVVVn向量空間向量空間定義定義.,212121的的子子空

10、空間間是是就就稱稱若若及及設(shè)設(shè)有有向向量量空空間間VVVVVV .子子空空間間的的都都是是間間維維向向量量所所組組成成的的向向量量空空任任何何由由RVnn子空間子空間定義定義.,)2( ;,)1( ,1212121維維向向量量空空間間為為并并稱稱的的維維數(shù)數(shù)稱稱為為向向量量空空間間的的一一個個基基就就稱稱為為向向量量空空間間向向量量組組那那么么線線性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由線線性性無無關(guān)關(guān)且且滿滿足足個個向向量量如如果果為為向向量量空空間間設(shè)設(shè)rVVrVaaaaaVaaaVaaarVrrrr 基與維數(shù)基與維數(shù)的系數(shù)矩陣和未知量為的系數(shù)矩陣和未知量為記齊次線性方程組記齊次線性方

11、程組)1(, 0, 0, 0221122221211212111 xaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn向量方程向量方程齊次線性方程組齊次線性方程組解向量解向量.)2(,)1(,)1(,1211111212111的的解解它它也也就就是是向向量量方方程程的的解解向向量量稱稱為為方方程程組組則則的的解解為為若若 nnnxxxx解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì).)2(,)2(, 2121的的解解是是也也則則的的解解為為若若 xxx.)2(,)2( 11的解的解也是也是則則為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)的解的解為為若若 kxkx 定義定義.)1(,)1(間間的的解解空空稱稱為為齊齊次次線線性性方

12、方程程組組是是一一個個向向量量空空間間所所以以集集合合對對向向量量的的線線性性運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉則則集集合合合合集集的的全全體體解解向向量量所所組組成成的的為為方方程程組組設(shè)設(shè)SSS定理定理.,)(,rnSrARSOxAnnmnm 的維數(shù)為的維數(shù)為解空間解空間時時當(dāng)系數(shù)矩陣的秩當(dāng)系數(shù)矩陣的秩是一個向量空間是一個向量空間構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合的全體解所的全體解所元齊次線性方程組元齊次線性方程組定義定義.)1( 的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系的的基基稱稱為為方方程程組組解解空空間間S)4()3(, 22112222212111212111bAxbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn 可寫

13、為向量方程可寫為向量方程非齊次線性方程組非齊次線性方程組向量方程向量方程非齊次線性方程組非齊次線性方程組解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì).)5(,)4(, 2121的的解解組組為為對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次線線性性方方程程則則的的解解為為若若OAxxxx .)4(,)5(,)4( 的的解解也也是是方方程程則則解解的的是是方方程程的的解解是是方方程程若若 xxx解向量解向量向量方程向量方程 的解就是方程組的解就是方程組 的解向量的解向量)4()3(（）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:,)(21可可按按下下面面步步驟驟進(jìn)進(jìn)行行不不妨妨設(shè)設(shè)為為個個解解向向量量解解系系含含

14、線線性性無無關(guān)關(guān)的的那那么么方方程程組組的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)程程組組中中未未知知數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)為為而而方方的的秩秩若若齊齊次次線線性性方方程程組組 rnrnnrAROAx 線性方程組的解法線性方程組的解法第一步：對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，使其第一步：對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，使其變成行最簡形矩陣變成行最簡形矩陣;0000000000100010001,1,21,2, 11, 1 ccccccnrrrnrnrA第三步：將其余第三步：將其余 個分量依次組成個分量依次組成 階階單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.100,010,001,2, 1

15、2,2,22, 121,1,21, 11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr rn rn （）求非齊次線性方程組的特解（）求非齊次線性方程組的特解.,)()(矩矩陣陣使使其其成成為為行行最最簡簡形形進(jìn)進(jìn)行行初初等等行行變變換換增增廣廣矩矩陣陣那那么么對對數(shù)數(shù)為為而而方方程程組組中中未未知知數(shù)數(shù)的的個個的的秩秩若若非非齊齊次次線線性性方方程程組組BnrBRARbAx ,000000000000100010001,1,2,21,21, 11, 1 dccdccdccrnrrrnrnr將上述矩陣中最后一列的前將上述矩陣中最后一列的前 個分量依次作為個分量依次作為特解的第特解的第 個分量，

16、其余個分量，其余 個分量全部取個分量全部取零，于是得零，于是得rrn r , 2 , 1,0021 dddr 即為所求非齊次線性方程組的一個特解即為所求非齊次線性方程組的一個特解一、向量組線性關(guān)系的判定一、向量組線性關(guān)系的判定二、求向量組的秩二、求向量組的秩三、齊次方程組的三、齊次方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系典型例題典型例題?,:,21221121其線性組和為零向量其線性組和為零向量也使得也使得的數(shù)的數(shù)是否存在一組不全為零是否存在一組不全為零一個自然的問題是一個自然的問題是那么那么零向量零向量一個特殊向量一個特殊向量其結(jié)果為向量空間中的其結(jié)果為向量空間中的時時線性組合線性組合的結(jié)合物的結(jié)合物量空間

17、中兩種基本運(yùn)算量空間中兩種基本運(yùn)算當(dāng)我們考慮到向當(dāng)我們考慮到向而言的而言的定的向量組定的向量組概念都是針對一個特概念都是針對一個特線性相關(guān)與線性無關(guān)的線性相關(guān)與線性無關(guān)的kkkkkkmmmm 一、向量組線性關(guān)系的判定一、向量組線性關(guān)系的判定研究這類問題一般有兩個方法研究這類問題一般有兩個方法方法方法1 1從定義出發(fā)從定義出發(fā) 000, 0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得線性方程組整理得線性方程組方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系判定系判定.,)(,)().(),(,21212121線線性性相相關(guān)

18、關(guān)則則若若線線性性無無關(guān)關(guān)則則若若首首先先求求出出相相應(yīng)應(yīng)的的矩矩陣陣就就得得到到一一個個維維向向量量給給出出一一組組 mmmmmARmARARAn 例例研究下列向量組的線性相關(guān)性研究下列向量組的線性相關(guān)性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321線線性性相相關(guān)關(guān)從從而而必必有有非非零零解解線線性性方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式線線性性方方程程組組 解二解二,201,520,321321 ,25302

19、2101),(321 A矩陣矩陣.)2(, ,:,22112121線線性性相相關(guān)關(guān)都都有有使使對對任任何何向向量量為為零零的的數(shù)數(shù)存存在在不不全全證證明明線線性性相相關(guān)關(guān)設(shè)設(shè) rttttttrrrr 例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我們們從從定定義義出出發(fā)發(fā) ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下證證明明恒恒有有非非零零解解每每個個而而使使得得對對數(shù)數(shù)是是否否有有某某組組不不全全為為零零的的 kkkr證明證明0,22112121 rrrrkkkkkk使使為為零零的的數(shù)數(shù)所

20、所以以存存在在不不全全線線性性相相關(guān)關(guān)因因?yàn)闉?2211 xkxkxkrr考考慮慮線線性性方方程程都都有有則則對對任任意意向向量量零零解解為為任任一一非非設(shè)設(shè)它它必必有有非非零零解解因因?yàn)闉?),(, 221 tttrr .,:,2121一個最大線性無關(guān)組一個最大線性無關(guān)組成它的成它的個線性無關(guān)的向量均構(gòu)個線性無關(guān)的向量均構(gòu)中任意中任意證明證明的秩是的秩是已知向量組已知向量組rrss 例3例3證明向量組的一個部分組構(gòu)成最大線性無證明向量組的一個部分組構(gòu)成最大線性無關(guān)組的基本方法就是：關(guān)組的基本方法就是：分析分析根據(jù)最大線性無關(guān)組的定義來證，它往往還根據(jù)最大線性無關(guān)組的定義來證，它往往還與向量組

21、的秩相聯(lián)系與向量組的秩相聯(lián)系證明證明.,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否則則這這向向量量組組的的秩秩大大于于相相關(guān)關(guān)線線性性向向量量組組的的于于是是對對于于任任意意個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量中中的的任任意意是是設(shè)設(shè)不不失失一一般般性性 ., 2121線線性性表表出出以以由由可可所所以以線線性性無無關(guān)關(guān)又又向向量量組組 iiikiiirr., 2121的的一一個個最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組是是這這就就證證明明了了由由定定義義 siiir求一個向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的求一個向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的秩來求，這個矩陣是由這組向量為行（列）向量秩來求，這個矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的所排成的如果向量組的向量以列（行）向量的形式給如果向量組的向量以列（行）向量的形式給出，把向量作為矩陣的列（行），對矩陣作初等出，把向量作為矩陣的列（行），對矩陣作初等行（列）變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩，行（列）變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩，而且可以求出最大線性無關(guān)組而且可以求出最大線性無關(guān)組若矩陣若矩陣 經(jīng)過初等行（列）變換化為矩陣經(jīng)過初等行（列）變換化為矩陣 ，則則 和和 中任何對應(yīng)的列（行）向量組都有相同的中任何對應(yīng)的列（行）向量組都有相同的線性相關(guān)性線性相關(guān)性ABAB二、求向量組的秩二、求向量組的秩.