復(fù)變函數(shù)經(jīng)典習(xí)題及答案.

1、12117310,.xxxxx 已知求的值例例2 2解解),1)(1(123 xxxx因?yàn)橐驗(yàn)? 012是一個(gè)三次單位根是一個(gè)三次單位根故故而而xxx 1,37211 xxxxx從而從而. 0123711 xxxxx所以所以三、典型例題（第一章）三、典型例題（第一章）2211,1.nn設(shè) 是任意一個(gè)不等于 的 次單位根 求的值例例3 3解解1 n 因?yàn)橐驗(yàn)?21 n 所以所以. 011 n324(49 )0.zizi解方程例例4 4解解. 0)94(4)2(422 iiizz原方程為原方程為iiz9)2(2 即即iiz92 于是于是1 , 0,222sin222cos3 kkik,223222

2、31iz 故故.22322232iz 4; 0)(I)1(m z;)(I)2(m z例例5 5 滿足下列條件的點(diǎn)組成何種圖形滿足下列條件的點(diǎn)組成何種圖形?是不是區(qū)是不是區(qū)域域?若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解解 是實(shí)數(shù)軸是實(shí)數(shù)軸,不是區(qū)域不是區(qū)域.0)(Im zxyO 是以是以 為界的帶形單連通區(qū)為界的帶形單連通區(qū) 域域. , y y解解 )(Imz5622)3( zz 是以是以 為焦點(diǎn)為焦點(diǎn),以以3為半為半長(zhǎng)軸的橢圓閉區(qū)域長(zhǎng)軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)它不是區(qū)域域.2 32,32arg3)4( zz且且 不是區(qū)域，因?yàn)閳D中不是區(qū)域，因?yàn)閳D中32

3、arg,3arg zz解解解解在圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn)在圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn).oy23xoxy 3 2 2 36例例6 6 函數(shù)函數(shù) 將將 平面上的下列曲線變成平面上的下列曲線變成 平平面上的什么曲線？面上的什么曲線？zw1 zw. 2)2(, 9)1(22 xyx解解9 222 zyx因?yàn)橐驗(yàn)橛钟謎yxzw 11于是于是iyxivuw9191 yvxu91,91 91)(8112222 yxvu表示表示 平面上的圓平面上的圓.w22yxiyx ),(91iyx (1)7. 2)2( x解解iyiyxz 2因?yàn)橐驗(yàn)閕yzw 211所以所以224,42yyvyu 22222)4(4yyvu 因因?yàn)闉?

4、2 22 uvu所所以以表示表示 平面上以平面上以 為圓心，為圓心， 為半徑的圓為半徑的圓.w 0,4141ivuyiy 242,2412uy 1614122 vu8三、典型例題（第二章）三、典型例題（第二章）.)(33僅在原點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)僅在原點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)證明函數(shù)iyxzf 例1例1證證zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),( yxyixyx. 00)(處的導(dǎo)數(shù)為處的導(dǎo)數(shù)為在在故故 zzf.在在再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存9)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0yyz 03

5、0300)()(xxxxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0 xxz )(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 當(dāng)當(dāng).)(, 000的導(dǎo)數(shù)不存在的導(dǎo)數(shù)不存在否則否則故除非故除非zfyx )(3020 xxx當(dāng)當(dāng)10例例2 2 函數(shù)函數(shù) 在何處在何處可導(dǎo)，何處解析可導(dǎo)，何處解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2, 12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 僅在直線僅在直線 上可導(dǎo)上可導(dǎo).)(zf21 y,21)(,不解析不解析上處處上處處在直線在直線由解析函數(shù)的定義知由

6、解析函數(shù)的定義知 yzf故故 在復(fù)平面上處處不解析在復(fù)平面上處處不解析.)(zf時(shí)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)21 y11例例3 3 設(shè)設(shè) 為解析函數(shù)，求為解析函數(shù)，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 設(shè)設(shè)ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故. 3, 3, 1 cba12 設(shè)設(shè) 為為 平面上任意一定點(diǎn)平面上任意一定點(diǎn),0

7、00iyxz z0000)Re(1)()(zzzzzzzfzf 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) 沿直線沿直線 趨于趨于 時(shí)時(shí),有有z)(0 xiyxz0z00001)()(xxxxzzzfzf 2 解解例例5 5 研究研究 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.zzzfRe)( 13)(01)()(000yyizzzfzf , 1 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) 沿直線沿直線 趨于趨于 時(shí)時(shí),有有z)(0 yiyxz0z的任意性知的任意性知處不可導(dǎo)且由處不可導(dǎo)且由在在故故00)(zzzf例例5 5 研究研究 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.zzzfRe)( .)(處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)zf14例例6 6 解方程解方程0sin z解解0212sin2 iziziziziee

8、ieez12 izeikizee 22. kz), 2, 1, 0( k15例例7 7 求出求出 的值的值.2)2( 解解)2ln(22)2( e )2(2ln2 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike), 2, 1, 0( k16解解例例8 8 試求試求 函數(shù)值及其主值函數(shù)值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1( 2ln24242lnkike 2ln4sin2ln4cos224iek), 2, 1, 0( k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1( ieii 2ln24242lnkike17 三、

9、典型例題（第三章）三、典型例題（第三章）例例1 1 計(jì)算計(jì)算 的值，其中的值，其中C為為1）沿從）沿從 到到 的線段：的線段：2）沿從）沿從 到到 的線段：的線段： 與從與從 到到 的線段的線段 所接成的折線所接成的折線. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 , 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 18zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiitt

10、t i2121.1i 19，因因?yàn)闉?1 z22111 zzz所以所以221 z, 2 因此因此zzzzzzccd11d11 證證.8222 例例2 2 設(shè)設(shè)C為圓周為圓周 證明下列不等式證明下列不等式.21 z.8d11 czzz20解解222442zzzz , 1124 .d42)1cos(21001zzzzzz 例例3 3 計(jì)算計(jì)算1 z當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),故由柯西積分定理得故由柯西積分定理得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz21計(jì)算以下積分計(jì)算以下積分沿指定路徑沿指定路徑23: izC例4例4 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由復(fù)合閉路定理有由復(fù)合閉

11、路定理有則則及及為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心及及以以分別分別及及內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(122222 解法一解法一 利用柯西利用柯西-古薩基本定理及重要公式古薩基本定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西由柯西- -古薩基本定理有古薩基本定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C23 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212. i 24 解法

12、二解法二 利用柯西積分公式利用柯西積分公式,11)(121內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czzf ,)(1)(22內(nèi)解析內(nèi)解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 25由復(fù)合閉路定理有由復(fù)合閉路定理有則則及及為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心及及以以分別分別及及內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czezfz ,)()

13、(22內(nèi)解析內(nèi)解析在在Cizzezfz 因此由柯西積分公式得因此由柯西積分公式得26 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 27.10,d)1(3光滑曲線光滑曲線的閉的閉與與是不經(jīng)過(guò)是不經(jīng)過(guò)其中其中計(jì)算計(jì)算CzzzeCz 例5例5解解分以下四種情況討論：分以下四種情況討論：則則也不包含也不包含既不包含既不包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)1C,)1()(3內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze古薩基本定

14、理得古薩基本定理得由柯西由柯西28則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)2C由柯西積分公式得由柯西積分公式得內(nèi)解析內(nèi)解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 29則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 01)3C,)(內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czezfz 由高階導(dǎo)數(shù)公式得由高階導(dǎo)數(shù)公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie 30, 01)4又包含又包含既包含既包含若封閉曲線若封閉曲線C,0,1

15、, 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交與與且且內(nèi)內(nèi)也在也在和和使使為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心則分別以則分別以CCCCCCC 據(jù)復(fù)合閉路定理有據(jù)復(fù)合閉路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C31 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的結(jié)果的結(jié)果即為即為而積分而積分,2)2d)1(13izzzeCz 的結(jié)果的結(jié)果即為即為而積分而積分32解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2 zz

16、eni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 為大于為大于1的自然數(shù)的自然數(shù).n 例例6 6 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分所以所以的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)和和是是因?yàn)橐驗(yàn)?10nznzezz 33).,(),()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu 及解析函數(shù)及解析函數(shù)軛調(diào)和函數(shù)軛調(diào)和函數(shù)求其共求其共已知調(diào)和函數(shù)已知調(diào)和函數(shù)例7例7解法一解法一 不定積分法不定積分法. 利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程, ,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又34,2)(2:yxygx 比較兩式可得比較兩式

17、可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222為任意常數(shù)為任意常數(shù)因此因此CCyxxyv 因而得到解析函數(shù)因而得到解析函數(shù)),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 35解解xuyv 因?yàn)橐驗(yàn)閥yxyxyxvd)3123(),(22 所以所以),(63322xgyxyyx ,yuxv 因?yàn)橐驗(yàn)?666()(66222yxyxxgyxy 所以所以26)(xxg xxxgd6)(2 ,23Cx 3223236),(yxyyxxyxu ivuzf )(. 0)0( f例例8 8

18、 已知已知 求解求解析函數(shù)析函數(shù) ,使符合條件使符合條件,312322yxyx 36)263(236)(33223223Cxyxyyxiyxyyxxzf iCzi 3)21(0)0( f.)21()(3zizf 故故Cxyxyyxyxv 3322263),(且且, 0 C37三、典型例題三、典型例題例例1 1 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性.;21)1(1 nnin解解 11 nn因?yàn)橐驗(yàn)榘l(fā)散，發(fā)散， 121nn收斂，收斂，. 21 1發(fā)散發(fā)散所以所以 nnin38三、典型例題（第四章）三、典型例題（第四章）例例1 1 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性.;251)2(1 nni解解,2262

19、51 nni 因?yàn)橐驗(yàn)? 0226lim nn. 251 1發(fā)散發(fā)散所以所以 nni39;)3(1 nnni解解 541321 1iiininn因?yàn)橐驗(yàn)?614121,51311 i . 1收斂收斂故故 nnni收斂收斂收斂收斂三、典型例題三、典型例題例例1 1 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性.40.)32(1)4(1 nni解解 ,)32(1nni 設(shè)設(shè)innnn321limlim 1 因?yàn)橐驗(yàn)?31 , 1 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知 1)32(1nni絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.三、典型例題三、典型例題例例1 1 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性.41例例2 2 求下列冪級(jí)

20、數(shù)的收斂半徑求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 0002!)3(!)2()1(nnnnnnznnznz解解nnncc1lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 R得得nnncc1lim )2( 由由)!1(!lim nnn, 0 . R得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 R得得42例例7 7. 1 )1(1 3內(nèi)的泰勒展開(kāi)式內(nèi)的泰勒展開(kāi)式在在求函數(shù)求函數(shù) zz分析：分析：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法.解解 )1(21)1(1 13zz因?yàn)橐驗(yàn)?1( z所以所以 0321)1(1nnzz22)1(21 nnznn.)1)(2(210m

21、mzmm )1( z43例例9 9. 0 )1)(3(785)( 2234的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在點(diǎn)在點(diǎn)求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù)即把函數(shù)分成部分分式后分成部分分式后, 應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z44 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1(0 )1( z故故2)1(1322)( zzzzf,) 1()1 (1112 nnnznz)1( z兩端求導(dǎo)得

22、兩端求導(dǎo)得45nnnnnnznzz)1()1(3122001 zzzznnn213129232221 nnnzn) 1() 1(2 nnnnznz 2132)1()1(921312)1( z46, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z nzznzzzez!1! 2111 2212所以所以.!1! 31! 2122 nznzzz 0! nnznze因?yàn)橐驗(yàn)槔?010. 0 12的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)在在求求 zezz解解,!101 nnzzne47例例1111. )2)(1)( 展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)在下列圓環(huán)域內(nèi)將將 zizzf, 21)1( z.2)2( z解解, 21

23、)1(內(nèi)內(nèi)在在 z有有. 12, 1 zzi )2)(1)(zizzf zizi2112148 21211121zzizi 00112)(21nnnnnnzzii.221)(210110 nnnnnnzizii, 2 )2(內(nèi)內(nèi)在在 z12, 1 zzi 21121)( zizizf故故49 zzzizi2111121 00112)(21nnnnnnzzii .2)(2101 nnnnzii 同一級(jí)數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式同一級(jí)數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式是不同的是不同的.50三、典型例題（第五章）三、典型例題（第五章）.,)(判別類型判別類型并并在擴(kuò)充復(fù)平面上的奇點(diǎn)在擴(kuò)充復(fù)平面上

24、的奇點(diǎn)求下列函數(shù)求下列函數(shù)zf例1例1;sin)1(3zzz 解解:0)()1(內(nèi)的洛朗展式為內(nèi)的洛朗展式為在在由于由于 zzf zzzzzzzzzzf!7! 5! 31sin)(75333 ! 9!7! 5! 31642zzz.)(,)(0的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)是是的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)是是得得zfzzfz 51例例2 2 求函數(shù)求函數(shù) 的奇點(diǎn)，并確的奇點(diǎn)，并確定類型定類型.322)1()1(sin)5()( zzzzzzf解解110 z,z,z是奇點(diǎn)是奇點(diǎn). zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因?yàn)橐驗(yàn)?,(1zgz 是單極點(diǎn)；是單極點(diǎn)；所以所以0 z1 z是二級(jí)極點(diǎn)是二級(jí)極點(diǎn);1 z是三級(jí)極點(diǎn)是三級(jí)極點(diǎn).52例例3 3 證明證明 是是 的六級(jí)極點(diǎn)的六級(jí)極點(diǎn).0 z)1(1)(33 zezzf.)1(1)(033的六級(jí)極點(diǎn)的六級(jí)極點(diǎn)是是所