復變函數(shù)與積分變換課件2.3 初等函數(shù).

1、1第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 2.3 初等函數(shù)初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)二、二、對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三、三、冪函數(shù)冪函數(shù)四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)五、反三角函數(shù)五、反三角函數(shù)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 復變函數(shù)中的初等函數(shù)是實數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們復變函數(shù)中的初等函數(shù)是實數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們兩者是一樣的。兩者是一樣的。2.3 初等函數(shù)初等函數(shù)的定義方式盡可能保持一致。的定義方式盡可能保持一致。 本節(jié)主要從下面幾個方面來討論復變函數(shù)中的初等函數(shù)：本節(jié)主要從下面幾個方面來討論復變函數(shù)中的初等函數(shù)：映射關系映射關系等等。等等

2、。定義定義、定義域定義域、運算法則運算法則、連續(xù)性連續(xù)性、解析性解析性、單值性單值性以及以及特別是當自變量取實值時，特別是當自變量取實值時，特別要注意與實初等函數(shù)的區(qū)別。特別要注意與實初等函數(shù)的區(qū)別。3第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù),yixz )sin(coseyiywx 對于復數(shù)對于復數(shù)稱稱定義定義為為指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) ,記為記為 或或zwexp .ezw 注注 (1) 指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最重要的函數(shù)，其余的初等指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最重要的函數(shù)，其余的初等函數(shù)函數(shù)都通過指數(shù)函數(shù)來定義。都通過指數(shù)函數(shù)來定義。(2) 借助歐拉公式，指數(shù)函數(shù)可以這樣來記憶：借助歐拉

3、公式，指數(shù)函數(shù)可以這樣來記憶：. )sin(coseeeeeyiywxyixyixz (3) 但事實上，從定義本身來看，但事實上，從定義本身來看， 應理解為僅僅是一種應理解為僅僅是一種ze記號或者記號或者規(guī)定規(guī)定，僅僅作為代替僅僅作為代替 的符號使用。的符號使用。zexp P41定義定義 2.5 4第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì) (1) 是是單值函數(shù)單值函數(shù)。ze事實上，對于給定的復數(shù)事實上，對于給定的復數(shù),yixz 定義中的定義中的 均為單值函數(shù)。均為單值函數(shù)。yyxsin,cos,e事實上，在無窮遠點有事實上，在無窮遠點有(2) 除無窮遠點外，處處有定

4、義。除無窮遠點外，處處有定義。ze當當 時，時， xy,0;e z當當 時，時， xy,0.0ez(3).0e z.0sincos,0e yiyx因為因為5第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì).21ezz )sin()cos(212121eyyiyyxx )sinsincos(cos212121eyyyyxx)sincoscos(sin2121yyyi )sin(cos)sin(cos22112121eeeeyiyyiyxxzz 事實上，由事實上，由 有有,12sin2cos2e kikik.eeee22zikzikz (6) 是以是以 為周期的周期函數(shù)。為周期的周期函數(shù)。zeik2事

5、實上，事實上，一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)6第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) y4 (w)(z)yxwyxezwe Lnwz vu(w)一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(6) 映射關系：映射關系：性質(zhì)性質(zhì)由由,)sin(coseeeeyixxzyiyw 有有y2 由由 z 的實部得到的實部得到 w 的模；的模；由由 z 的虛部得到的虛部得到 w 的輻角。的輻角。,|exw ,2Argkyw ), 2, 1, 0( k xzy7第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 二、二、對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。.Lnzw 記作記作zwLn zArgiz |ln即即z

6、w e)(zfw 滿足方程滿足方程的函數(shù)的函數(shù)稱為稱為對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)，定義定義計算計算 令令,|eeArg izirzz ,viuw 由由,ezw 有有,eee iviur , |lnlnzru .Argzv 由由 z 的模得到的模得到 w 的實部的實部 ；由由 z 的輻角得到的輻角得到 w 的虛部的虛部 。,2arg|lnikziz . ), 2, 1, 0( k P43定義定義 2.6 8第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 二、二、對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 顯然對數(shù)函數(shù)為顯然對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)多值函數(shù)。主值主值( (枝枝) )zwLn 稱稱為為的的主值主值( (枝枝) )，zizwarg|ln

7、.lnzw 記為記為故有故有,2lnLnikzz . ), 2, 1, 0( k分支分支( (枝枝) )特別地，當特別地，當 時時, 0 xz的主值的主值 就是實對數(shù)函數(shù)。就是實對數(shù)函數(shù)。zLnxzlnln 對于任意一個固定的對于任意一個固定的 k，稱，稱 為為 的的ikz2ln zLn一個一個分支分支( (枝枝) )。,2arg|lnLnikzizzw . ), 2, 1, 0( k9第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 二、二、對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)在原點無定義，故它的定義域為在原點無定義，故它的定義域為zwLn .0 z(1)(2)的各分支在除去原點及負實軸的復平面內(nèi)連續(xù)；的各分支在除去

8、原點及負實軸的復平面內(nèi)連續(xù)；zLnzln在除去原點及負實軸的平面內(nèi)連續(xù)。在除去原點及負實軸的平面內(nèi)連續(xù)。特別地，特別地，注意到，注意到，函數(shù)函數(shù)zarg在原點及負實軸上不連續(xù)。在原點及負實軸上不連續(xù)。注意到，注意到，函數(shù)函數(shù)在原點無定義；在原點無定義；zarg.0e w或者指數(shù)函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)10第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) wwzz)(1dlnde 由反函數(shù)求導法則可得由反函數(shù)求導法則可得.11ezw 進一步有進一步有zikzzzd)2lnd(dLnd .1dlndzzz ( (在集合意義下在集合意義下) )二、二、對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì) (3)的各分支在除去原點及負實軸的復平面內(nèi)解

9、析；的各分支在除去原點及負實軸的復平面內(nèi)解析；zLnzln在除去原點及負實軸的平面內(nèi)解析。在除去原點及負實軸的平面內(nèi)解析。特別地，特別地，11第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 主值主值 .2)(lnii 解解ikiiii2)(arg|ln)(Ln (1)iki221ln)( ,22iki ikiiii2)1(arg|1 |ln)1(Ln (2),242ln)(iki 主值主值 .42ln)1(ln)(ii 12第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) ;)12(ik 解解iki2)1(arg| 1|ln)1(Ln 主值主值 .)1(lni iki21ln 求對數(shù)求對數(shù) 以及它的主值。以及它的主值。

10、)1(Ln 例例 可見，在復數(shù)域內(nèi)，負實數(shù)是可以求對數(shù)的可見，在復數(shù)域內(nèi)，負實數(shù)是可以求對數(shù)的。 P43 例例2.11 13第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 解解iki22arg| 2|ln2Ln 主值主值 .2ln2ln ;22lnik 求對數(shù)求對數(shù) 以及它的主值。以及它的主值。2Ln例例在實數(shù)范圍內(nèi)在實數(shù)范圍內(nèi)在復數(shù)范圍內(nèi)在復數(shù)范圍內(nèi) 可見，當可見，當 z 為正實數(shù)時，為正實數(shù)時， 與實對數(shù)函數(shù)是一致的。與實對數(shù)函數(shù)是一致的。zln14第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) .ln)(2zzg 例例 求下列函數(shù)的導數(shù)。求下列函數(shù)的導數(shù)。; )1(ln)(zzf (2)(1)解解,11)(zz

11、f (1),221)(2zzzzg (2)其中，其中， 1Dz ( (如圖如圖) )。 其中，其中， 2Dz ( (如圖如圖) )。 1 1D2D15第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 三、三、冪函數(shù)冪函數(shù)稱為復變量稱為復變量 z 的的冪函數(shù)冪函數(shù)。 還還規(guī)定規(guī)定：當：當 a a 為正實數(shù)，且為正實數(shù)，且 時，時， 0 z.0 a az( ( 為復常數(shù)，為復常數(shù)， ) )a azw zzLnea aa a 定義定義 函數(shù)函數(shù) 規(guī)定規(guī)定為為0 za a注意注意上面利用指數(shù)函數(shù)以一種上面利用指數(shù)函數(shù)以一種“規(guī)定規(guī)定”的方式定義了冪函數(shù)，的方式定義了冪函數(shù)，但不要將這種但不要將這種“規(guī)定規(guī)定”方式反

12、過來作用于方式反過來作用于指數(shù)指數(shù)函數(shù)，函數(shù)，.eLneLneeezzz ?即即 P45定義定義 2.7 16第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 討論討論此時，此時， 處處解析，且處處解析，且.)(1 a aa aa azza az當當 為正整數(shù)時為正整數(shù)時, a a.lnLneeznznnz ( (單值單值) )(1)此時，此時， 除原點外處處解析，且除原點外處處解析，且.)(1 a aa aa azza az當當 為負整數(shù)時為負整數(shù)時, a a.1nnzz (2)( (單值單值) )當當 時時, 0 a a.10 z(3)三、三、冪函數(shù)冪函數(shù)17第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 討論討論

13、其中，其中，m 與與 n 為互質(zhì)的整數(shù)，且為互質(zhì)的整數(shù)，且 .1 n(5) 當當 為無理數(shù)或復數(shù)為無理數(shù)或復數(shù)( )( )時時，a a0Im a a當當 為有理數(shù)時為有理數(shù)時, a a(4).nmnmzz ( ( 值值) )n此時，此時， 除原點與負實軸外處處解析，除原點與負實軸外處處解析，a az一般為一般為無窮多值。無窮多值。此時，此時， 除原點與負實軸外處處解析。除原點與負實軸外處處解析。a az.)(1 a aa aa azz且且三、三、冪函數(shù)冪函數(shù)18第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 解解iiiiLne )(22eikii . ), 2, 1, 0( k,)(22ek 可見，可見，

14、 是正實數(shù)，是正實數(shù)，它的主值是它的主值是ii.2e 例例 求求 的值。的值。ii. ), 2, 1, 0( k, )22(sin)22(coskik ik22e )20(02e ki 求求 的值。的值。21例例1Ln22e1 解解 可見，不要想當然地認為可見，不要想當然地認為.11 a aP46 19第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)啟示啟示 由歐拉公式由歐拉公式,sincose ii 有有,sincose ii , )(21cosee ii . )(21sinee iii 余弦函數(shù)余弦函數(shù); )(21coseeziziz 正弦函數(shù)正弦函數(shù). )(21sineezi

15、ziiz 定義定義 P47定義定義 2.8 20第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)性質(zhì)性質(zhì) 周期性、可導性、奇偶性、零點等與實函數(shù)一樣；周期性、可導性、奇偶性、零點等與實函數(shù)一樣； 各種三角公式以及求導公式可以照搬；各種三角公式以及求導公式可以照搬； 有界性有界性( (即即 ) )不成立。不成立。1|cos| ,1|cos| zz( (略略) ) 21第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) iiiiii2)21sin()21()21(ee .1cos21sin22222eeee i.cosi例例 求求2coseei ii ii 根據(jù)定義，有根據(jù)定義，有解解.2ee1 .

16、)21sin(i 例例 求求根據(jù)定義，有根據(jù)定義，有解解iii2)1sin1(cos)1sin1(cos22ee 22第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 五、反三角函數(shù)五、反三角函數(shù)記為記為.cosArczw 如果如果定義定義,coszw 則稱則稱 w 為復變量為復變量 z 的的反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)，,12e zzwi,012)(ee2 wiwiz ,1Ln)(2 zzwi.1LncosArc)(2 zzizw計算計算, )(21coseewiwiwz 由由 同理可得同理可得.Ln2tanArcziziiz ;1LnsinArc)(2zz iiz P49定義定義 2.9 23第二章 解析函數(shù) 2.3 初等函數(shù) 六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù);chshthzzz 雙曲正切函數(shù)雙曲正切函數(shù).shchcothzzz 雙曲余切函數(shù)雙曲余切函數(shù); )(21