計算流體力學(xué)講義

1、課程名稱課程名稱：計算流體力學(xué)計算流體力學(xué) Computational Fluid Dynamics學(xué)學(xué) 時時：30學(xué)學(xué) 分分：2主要內(nèi)容簡介：主要內(nèi)容簡介： 本課程主要介紹流體力學(xué)問題的計算機(jī)數(shù)值計算方法，包括有限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、有限差分法、有限元方法、單元與插值函數(shù)、流體力學(xué)典型問題有限元分析等。使學(xué)生掌握計算流體力學(xué)的基礎(chǔ)理論、方法和技能，為今后從事本專業(yè)的科學(xué)研究工作和工程技術(shù)工作打下基礎(chǔ)。 預(yù)修課程預(yù)修課程：流體力學(xué) 主要參考書目及文獻(xiàn)：主要參考書目及文獻(xiàn)：1 1 章本照等，章本照等，機(jī)械工業(yè)出版社，機(jī)械工業(yè)出版社，20032003年年 ( (重點(diǎn)參考書，可到我校圖書館主頁上的重點(diǎn)參

2、考書，可到我校圖書館主頁上的“超星數(shù)字圖書館超星數(shù)字圖書館”下載本書?。┫螺d本書！）2 2 傅德薰等，傅德薰等，高等教育出版社，高等教育出版社，20022002年年3 3 張滌明等編，張滌明等編，中山大學(xué)出版社，中山大學(xué)出版社，19911991年年4 4 陳材侃編著，陳材侃編著，重慶大學(xué)出版社，重慶大學(xué)出版社，19921992年年流體運(yùn)動的規(guī)律由一組控制方程描述。計算機(jī)沒有發(fā)明前，流體力學(xué)家們在對方程經(jīng)大量簡化后能夠得到一些線性問題的解析解。但實(shí)際的流動問題大都是復(fù)雜的非線性問題，無法求得精確的解析解。計算機(jī)的出現(xiàn)以及計算技術(shù)的迅速發(fā)展使人們直接求解控制方程組的夢想逐步得到實(shí)現(xiàn)，從而催生了計算

3、流體力學(xué)這門交叉學(xué)科。 計算流體力學(xué)（CFD，Computational Fluid Dynamics）是一門用數(shù)值計算方法直接求解流動主控方程（Euler或Navier-Stokes方程）以發(fā)現(xiàn)各種流動現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科。它綜合了計算數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、流體力學(xué)、科學(xué)可視化等多種學(xué)科。廣義的CFD包括計算水動力學(xué)、計算空氣動力學(xué)、計算燃燒學(xué)、計算傳熱學(xué)、計算化學(xué)反應(yīng)流動，甚至數(shù)值天氣預(yù)報也可列入其中。自上世紀(jì)六十年代以來CFD技術(shù)得到飛速發(fā)展，其原動力是不斷增長的工業(yè)需求，而航空航天工業(yè)自始至終是最強(qiáng)大的推動力。傳統(tǒng)飛行器設(shè)計方法試驗(yàn)昂貴、費(fèi)時，所獲信息有限，迫使人們需要用先進(jìn)的計算機(jī)仿真手段指導(dǎo)

4、設(shè)計，大量減少原型機(jī)試驗(yàn)，縮短研發(fā)周期，節(jié)約研究經(jīng)費(fèi)。四十年來，CFD在湍流模型、網(wǎng)格技術(shù)、數(shù)值算法、可視化、并行計算等方面取得飛速發(fā)展，并給工業(yè)界帶來了革命性的變化。如在汽車工業(yè)中，CFD和其它計算機(jī)輔助工程（CAE）工具一起，使原來新車研發(fā)需要上百輛樣車減少為目前的十幾輛車；國外飛機(jī)廠商用CFD取代大量實(shí)物試驗(yàn)，如美國戰(zhàn)斗機(jī)YF-23采用CFD進(jìn)行氣動設(shè)計后比前一代YF-17減少了60的風(fēng)洞試驗(yàn)量。當(dāng)前CFD問題的規(guī)模為：機(jī)理研究方面如湍流直接模擬，網(wǎng)格數(shù)達(dá)到了109（十億）量級，在工業(yè)應(yīng)用方面，網(wǎng)格數(shù)最多達(dá)到了107（千萬）量級。 目前在航空、航天、汽車等工業(yè)領(lǐng)域，利用CFD進(jìn)行的反復(fù)設(shè)

5、計、分析、優(yōu)化已成為標(biāo)準(zhǔn)的必經(jīng)步驟和手段。20世紀(jì)30年代，由于飛機(jī)工業(yè)的需要、要求用流體力學(xué)理論來了解和指導(dǎo)飛機(jī)設(shè)計。一、計算流體力學(xué)的發(fā)展一、計算流體力學(xué)的發(fā)展當(dāng)時，由于飛行速度很低，可以忽略粘性和旋渦，因此流動的模型為Laplace方程，研究工作的重點(diǎn)是橢圓型方程的數(shù)值解。利用復(fù)變函數(shù)理論和解的迭加方法來求解析解。隨著飛機(jī)外形設(shè)計越來越復(fù)雜，出現(xiàn)了求解奇異邊界積分方程的方法。以后，為了考慮粘性效應(yīng)，有了邊界層方程的數(shù)值計算方法，并發(fā)展成以位勢方程為外流方程，與內(nèi)流邊界層方程相結(jié)合，通過迭代求解粘性干擾流場的計算方法。 在同一時期，許多數(shù)學(xué)家研究了偏微分方程的數(shù)學(xué)理論，Hadamard，C

6、ourant，F(xiàn)riedrichs等人研究了偏微分方程的基本特性、數(shù)學(xué)提法的適定性、物理波的傳播特性等問題，發(fā)展了雙曲型偏微分方程理論。以后，Courant，F(xiàn)riedrichs，Lewy等人發(fā)表了經(jīng)典論文，證明了連續(xù)的橢圓型、拋物型和雙曲型方程組解的存在性和唯一性定理，且針對線性方程的初值問題，首先將偏微分方程離散化，然后證明了離散系統(tǒng)收斂到連續(xù)系統(tǒng)，最后利用代數(shù)方法確定了差分解的存在性；他們還給出了著名的穩(wěn)定性判別條件：CFL條件。這些工作是差分方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。20世紀(jì)40年代，Von Neumann，Richtmyer，Hopf，Lax和其他一些學(xué)者建立了非線性雙曲型方程守恒定律的數(shù)

7、值方法理論，為含有激波的氣體流動數(shù)值模擬打下了理論基礎(chǔ)。上世紀(jì)50年代，僅采用當(dāng)時流體力學(xué)的方法，研究較復(fù)雜的非線性流動現(xiàn)象是不夠的，特別是不能滿足高速發(fā)展起來的宇航飛行器繞流流場特性研究的需要。針對這種情況，一些學(xué)者開始將基于雙曲型方程數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的時間相關(guān)方法用于求解宇航飛行器的氣體定常繞流流場問題，這種方法因數(shù)學(xué)提法適定，又有較好的理論基礎(chǔ)，且能模擬流體運(yùn)動的非定常過程，所以在60年代這是應(yīng)用范圍較廣的一般方法。以后由Lax、Kreiss等人給出的非定常偏微分方程差分逼近的穩(wěn)定性理論，進(jìn)一步促進(jìn)了時間相關(guān)方法。上世紀(jì)50年代我國也開始了計算流體力學(xué)方面的研究。我國早期的工作是研究鈍頭體超

8、聲速無粘繞流流場的數(shù)值解方法，研究鈍頭體繞流數(shù)值解的反方法和正方法。以后，隨著我國宇航事業(yè)的發(fā)展，超聲速、高超聲速繞流數(shù)值計算方法的研究工作發(fā)展很快。20世紀(jì)70年代，在計算流體力學(xué)中取得較大成功的是飛行器跨音速繞流數(shù)值計算方法的研究。首先是Murman和Cole用松弛方法求解位勢流小擾動方程，數(shù)值模擬帶激波的跨聲速繞流場。解決了跨聲速繞流中的混合問題。在他們的工作中第一次將迎風(fēng)格式應(yīng)用于空氣動力學(xué)問題的模擬。不久以后Jameson提出了旋轉(zhuǎn)格式，將穆爾曼-科勒方法推廣于求解三維跨聲速繞流的全位勢流方程，獲得成功。同一時期，我國開展了采用時間相關(guān)方法求解非定常歐拉方程、可壓縮N-S方程和簡化N

9、-S方程的計算方法研究。在差分格式的構(gòu)造方面，提出了求解歐拉方程的特征符號分裂法和三層格式等。在可壓縮N-S方程的求解中，計算方法有了很大進(jìn)展，先后提出了開關(guān)函數(shù)法、調(diào)和因子法、緊致迎風(fēng)格式、推進(jìn)迭代法、無波動無自由參數(shù)的耗散格式、界值有限格式和耗散比擬方法等。這些研究工作進(jìn)一步改進(jìn)了計算方法精度，提高了求解效率，且對流場激波的數(shù)值模擬有較高的分辨能力。80年代以后，計算機(jī)硬件技術(shù)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，千萬次機(jī)、億次機(jī)逐漸進(jìn)入實(shí)際應(yīng)用。隨著計算方法的不斷改進(jìn)和數(shù)值分析理論的發(fā)展高精度勢值模擬已不再是天方夜譚。同時隨著人類生產(chǎn)實(shí)踐活動的不斷發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的日新月異，一大批高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)對計算流體力學(xué)

10、提出了新的要求，同時也為計算流體力學(xué)的發(fā)展提供了新的機(jī)遇。實(shí)踐與理論的不斷互動，形成計算流體力學(xué)的新熱點(diǎn)、新動力，從而推動計算流體力學(xué)不斷向前發(fā)展。首先，在計算模型方面，又提出了一些新的模型。由最初的Euler和N-S方程，擴(kuò)展到包括湍流、兩相流、化學(xué)非平衡、太陽風(fēng)等問題研究模型在內(nèi)的多個模型。其中以考慮更多流動機(jī)制，如各向異性的非線性(應(yīng)力/應(yīng)變關(guān)系)湍流研究為重點(diǎn)。研究結(jié)果再次證明，萬能的湍研究結(jié)果再次證明，萬能的湍流模型還不存在，重要的是如何在模型精度和計算量上流模型還不存在，重要的是如何在模型精度和計算量上較好地取得折中較好地取得折中；也有學(xué)者從更高層次研究湍流模型問題，由湍流流動中速

11、度不可微，懷疑N-S方程的有效性，進(jìn)而提出以積分方程為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型。其次，在計算方法方面，又提出了一些新的計算方法，如新的遺傳算法、無網(wǎng)格算法、新型高精度緊致格式、氣動計算的新變分原理、結(jié)構(gòu)/非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格新技術(shù)、新型動網(wǎng)格技術(shù)等等。目前計算方法的研究集中在高精度格式方法，即追求三階精度以上，其中又以解決真正實(shí)際問題為主。除此之外，計算方法研究還涉及帶限制器的高階插值、譜方法、拉格朗日方法，時-空守恒元方法等等。將其它方法引進(jìn)傳統(tǒng)的計算流體力學(xué)也是現(xiàn)階段的重要成果之一，其中特別值得一提的是將基因算法與傳統(tǒng)計算流體力學(xué)結(jié)合在一起，在域分裂和最優(yōu)化設(shè)計等許多方面顯示出了良好的應(yīng)用前景。在算法分析

12、上，除傳統(tǒng)的精度、穩(wěn)定性、收斂性等方面的分析，還有更深層次的數(shù)值動力學(xué)分析，即將數(shù)值方法看成是動力系統(tǒng)來進(jìn)行分析，揭示了許多奇異的數(shù)值現(xiàn)象。 再次，在研究成果方面，英國M. A. Lesdhziaer關(guān)于湍流模型、美國H. C. Yee關(guān)于計算不確定性、日本學(xué)者的玻耳茲曼方程解流動問題、德國的E. von Lavante關(guān)于使用并行計算機(jī)進(jìn)行發(fā)動機(jī)氣缸流場渦和激波的非定常流動模擬等等，都有較新的學(xué)術(shù)思想，較高的學(xué)術(shù)水平。o研究計算方法，包括并行算法和各種新型算法； 目前，計算流體力學(xué)研究的熱點(diǎn)是：目前，計算流體力學(xué)研究的熱點(diǎn)是：o研究渦運(yùn)動和湍流，包括可壓和不可壓湍流的直接數(shù)值模擬、大渦模擬和

13、湍流機(jī)理；o研究網(wǎng)格生成技術(shù)及計算機(jī)優(yōu)化設(shè)計；o研究CFD用于解決實(shí)際流動問題，包括計算生物力學(xué)、計算聲學(xué)、微型機(jī)械流動、多相流及渦輪機(jī)械流動的數(shù)值模擬等。二、計算流體力學(xué)的應(yīng)用二、計算流體力學(xué)的應(yīng)用 計算流體力學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)從最初的航空航天領(lǐng)域不斷地擴(kuò)展到船舶、海洋、化工、鑄造、制冷、工業(yè)設(shè)計、城市規(guī)劃設(shè)計、建筑消防設(shè)計、汽車等多個領(lǐng)域。近幾年來計算流體力學(xué)在全機(jī)流場計算、旋翼計算、航空發(fā)動機(jī)內(nèi)流計算、導(dǎo)彈投放、飛機(jī)外掛物、水下流體力學(xué)、汽車等 方面獲得廣泛應(yīng)用。這表明計算流體力學(xué)在解決工程實(shí)際問題方面具有重要的應(yīng)用價值。20世紀(jì)80年代初期才開始有計算流體力學(xué)應(yīng)用于汽車領(lǐng)域的論文發(fā)表。經(jīng)過短

14、短二十余年，其應(yīng)用已涉及到汽車車身設(shè)計、汽車內(nèi)部空間的空調(diào)與通風(fēng)、發(fā)動機(jī)內(nèi)部的氣體流動以及冷卻系、汽車液力變矩器、廢氣渦輪增壓器中的壓氣機(jī)和渦輪的葉輪與蝸殼等中的流動現(xiàn)象的研究與計算，同時進(jìn)一步發(fā)展到研究汽車與發(fā)動機(jī)中傳熱、燃燒以及預(yù)測噪聲強(qiáng)度與模具設(shè)計等相關(guān)的問題。隨著計算流體力學(xué)在工程技術(shù)應(yīng)用中的迅速推廣，計算流體力學(xué)也逐漸軟件化。CFX、FLUENT、PHOENICS、CFD2000、CFD+等一大批計算流體力學(xué)軟件已經(jīng)商品化。這些商業(yè)軟件既有通用的也有作為特殊用途的專業(yè)軟件。這些軟件能方便地處理工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的各種高難度復(fù)雜問題，因而極具吸引力。然而計算流體力學(xué)軟件在某些領(lǐng)域的應(yīng)用還不

15、成熟，有必要在計算精度、功能的強(qiáng)化、計算的效率、收斂性和操作的簡單化等方面作進(jìn)一步的完善。 計算流體力學(xué)應(yīng)用研究中的關(guān)鍵問題包括：對應(yīng)用于各種具體情況的數(shù)學(xué)模型、對復(fù)雜外形的描述以及對計算網(wǎng)格的劃分做進(jìn)一步研究；探索更有效的算法來提高計算精度，并降低計算費(fèi)用；進(jìn)一步開展計算流體力學(xué)在各方面的應(yīng)用等。 任何流體運(yùn)動的動力學(xué)特征都是由質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒定律所確定的，這些基本定律可以由流體流動的控制方程組來描述。利用數(shù)值方法通過計算機(jī)求解描述流體運(yùn)動的控制方程，揭示流體運(yùn)動的物理規(guī)律，研究流體運(yùn)動的時一空物理特征，這樣的學(xué)科稱為計算流體力學(xué)。 計算流體力學(xué)是一門多領(lǐng)域交叉的應(yīng)用基礎(chǔ)學(xué)科，涉

16、及流體力學(xué)理論、計算機(jī)技術(shù)、偏微分方程數(shù)學(xué)理論、數(shù)值方法等學(xué)科。一般認(rèn)為計算流體力學(xué)是從20世紀(jì)60年代中后期逐步發(fā)展起來的，大致經(jīng)歷了四個發(fā)展階段：(1)無粘性線性；(2)無粘性非線性；(3)雷諾平均的N-S方程；(4)完全的N-S方程。隨著計算機(jī)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、計算方法和后處理技術(shù)的迅速發(fā)展，利用計算流體力學(xué)解決流動問題的能力越來越高，許多復(fù)雜的流動問題可以通過數(shù)值計算手段進(jìn)行分析并給出相應(yīng)的結(jié)果。 經(jīng)過40年來的發(fā)展，CFD己成為一種有力的數(shù)值實(shí)驗(yàn)與設(shè)計手段。在許多工業(yè)領(lǐng)域解決了大量的工程設(shè)計實(shí)際問題?，F(xiàn)在人們已經(jīng)可以利用計算流體力學(xué)方法來設(shè)計飛機(jī)的外形，確定其氣動載荷，從而有效地提高了

17、設(shè)計效率，減少了風(fēng)洞試驗(yàn)次數(shù)，大大地降低了設(shè)計成本。此外，計算流體力學(xué)也己經(jīng)大量應(yīng)用于大氣、生態(tài)環(huán)境、車輛工程、船舶工程、傳熱以及工業(yè)中的化學(xué)反應(yīng)等各個領(lǐng)域，顯示了計算流體力學(xué)強(qiáng)大的生命力。 隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和所要解決工程問題復(fù)雜性的增加，CFD也己發(fā)展成為以數(shù)值手段求解流體力學(xué)物理模型、分析其流動機(jī)理為主線，包括計算機(jī)技術(shù)、計算方法、網(wǎng)格技術(shù)和可視化后處理技術(shù)等多種技術(shù)的綜合體。目前CFD主要向2個方向發(fā)展：一方面是研究流動非定常穩(wěn)定性以及湍流流動機(jī)理，開展高精度、高分辯率的計算方法和并行算法等的流動機(jī)理與算法研究；另一方面是將計算流體力學(xué)直接應(yīng)用于模擬各種實(shí)際流動，解決生產(chǎn)中的各種問題

18、。 流體力學(xué)數(shù)值方法有很多種，其數(shù)學(xué)原理各不相同，但有二點(diǎn)是所有方法都具備的，即離散化和代數(shù)化。其基本思想是：將原來連續(xù)的求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格或單元子區(qū)域，在其中設(shè)置有限個離散點(diǎn)(稱為節(jié)點(diǎn))，將求解區(qū)域中的連續(xù)函數(shù)離散為這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值；通過某種數(shù)學(xué)原理，將作為控制方程的偏微分方程轉(zhuǎn)化為聯(lián)系節(jié)點(diǎn)上待求函數(shù)值之間關(guān)系的代數(shù)方程(離散方程)，求解所建立起來的代表方程以獲得求解函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值。不同的數(shù)值方法，其主要區(qū)別在于求解區(qū)域的離散方式和控制方程的離散方式上。在流體力學(xué)數(shù)值方法中，應(yīng)用比較廣泛的是有限差分法、有限元法、邊界元法、有限體積法和有限分析法，現(xiàn)簡述如下。 1、有限差分法、有限差分法有限差

19、分法的優(yōu)點(diǎn)是它建立在經(jīng)典的數(shù)學(xué)逼近理論數(shù)學(xué)逼近理論的基礎(chǔ)上，容易為人們理解和接受；有限差分法的主要缺點(diǎn)是對于復(fù)雜流體區(qū)域的邊界形狀處理不方便，處理得不好將影響計算精度。這是最早采用的數(shù)值方法，它是將求解區(qū)域劃分為矩形或正交曲矩形或正交曲線網(wǎng)格線網(wǎng)格，在網(wǎng)格線交點(diǎn)(即節(jié)點(diǎn))上，將控制方程中的每一個微商微商用差商來代替用差商來代替，從而將連續(xù)函數(shù)的微分方程離散為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上定義的差分方程，每個方程中包含了本節(jié)點(diǎn)及其附近一些節(jié)點(diǎn)上的待求函數(shù)值，通過求解這些代數(shù)方程就可獲得所需的數(shù)值解。2、有限元法、有限元法 基本原理是把適定的微分問題的解域進(jìn)行離散化，將其剖分成相連結(jié)又互不重疊的具有一定規(guī)則幾何形狀的

20、有限個子區(qū)域，稱為單元，單元之間以節(jié)點(diǎn)相聯(lián)結(jié)。函數(shù)值被定義在節(jié)點(diǎn)上，在單元中選擇基函數(shù)基函數(shù)( (又稱插值函又稱插值函數(shù)數(shù)) )，以節(jié)點(diǎn)函數(shù)值與基函數(shù)的乘積的線性組合成單元的近似解來逼近單元，以節(jié)點(diǎn)函數(shù)值與基函數(shù)的乘積的線性組合成單元的近似解來逼近單元中的真解。中的真解。利用古典變分方法(里茲法或伽遼金法)由單元分析建立單元的有限元方程，然后組合成總體有限元方程，考慮邊界條件后進(jìn)而求解。單元幾何形狀是規(guī)則的，因此在單元上構(gòu)造基函數(shù)可以遵循相同的法則，每個單元的有限元方程都具有相同的形式，可用標(biāo)準(zhǔn)化的格式表示，其求解步驟也就變得很規(guī)范，即使是求解域剖分各單元的尺寸大小不一樣，其求解步驟也不用改變

21、，為利用計算機(jī)編制通用程序進(jìn)行求解帶來方便。有限元法的主要優(yōu)點(diǎn)是對于求解區(qū)域的單元剖分沒有特別的限制，因此特別適合處理具有復(fù)雜邊界流場的區(qū)域。3、邊界元法、邊界元法邊界元法是在經(jīng)典積分方程和有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的求解微分方程的數(shù)值方法，其基本思想是：將微分方程相應(yīng)的基本解作為權(quán)函數(shù)，應(yīng)用加權(quán)余量法和格林函數(shù)導(dǎo)出聯(lián)系解域中待求函數(shù)值與邊界上的函數(shù)值與法向?qū)?shù)值之間關(guān)系的積分方程；令積分方程在邊界上成立，獲得邊界積分方程，該方程表述了函數(shù)值和法向?qū)?shù)值在邊界上的積分關(guān)系，而在這些邊界值中，一部份是在邊界條件中給定的，另一部份是待求的未知量，邊界元法是以邊界積分方程作為求解的出發(fā)點(diǎn)，求出邊界上的未

22、知量；在所導(dǎo)出的邊界積分方程基礎(chǔ)上利用有限元的離散化思想，把邊界離散化，建立邊界元代數(shù)方程組，求解后可獲得邊界上全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和法向?qū)?shù)值；將全部邊界值代入積分方程中，即可獲得內(nèi)點(diǎn)函數(shù)值的計算表達(dá)式，它可以表示成邊界節(jié)點(diǎn)值的線性組合。邊界元法的優(yōu)點(diǎn)是：(1) 將全解域的計算化為解域邊界上的計算，使求解問題的維數(shù)降低了一維，減少了計算工作量；(3) 邊界元法的精度一般高于有限元法。邊界元法的主要缺點(diǎn)是邊界元方程組的系數(shù)矩陣是不對稱的滿陣，該方法目前只適用于線性問題。(2) 能夠方便地處理無界區(qū)域問題。例如對于勢流等的無限區(qū)域問題，使用邊界元法求解時由于基本解滿足無窮遠(yuǎn)處邊界條件，在無窮遠(yuǎn)處邊界

23、上的積分恒等于零。因此對于無限區(qū)域問題，例如具有無窮遠(yuǎn)邊界的勢流問題，無需確定外邊界，只需在內(nèi)邊界上進(jìn)行離散即可；4、有限體積法、有限體積法(2) 對待求函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的變化型線或插值方式作出假設(shè)；有限體積法又稱為控制體積法，其導(dǎo)出離散方程的基本思路是：(1) 將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，每一個控制體積都有一個節(jié)點(diǎn)作代表，將待求的守恒型微分方程在任一控制體積及一定時間間隔內(nèi)對空間與時間作積分； 就離散方法而言，有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間物，該方法的主要缺點(diǎn)是不便對離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析。 (3) 對步驟1中各項(xiàng)按選定的型線作出積分并整理成一組關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知量的離散方

24、程。有限體積法著重從物理觀點(diǎn)來構(gòu)造離散方程，每一個離散方程都是有限大小體積上某種物理量守恒的表示式，推導(dǎo)過程物理概念清晰，離散方程系數(shù)具有一定的物理意義，并可保證離散方程具有守恒特性，這是有限體積法的主要優(yōu)點(diǎn)。5、有限分析法、有限分析法 有限分析法是在有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種數(shù)值方法，其基本思想是：（1）將求解區(qū)域劃分成矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點(diǎn)為計算節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)與相鄰的四個網(wǎng)格組成一個計算單元，即一個計算單元由一個中心節(jié)點(diǎn)與8個相鄰節(jié)點(diǎn)組成；（2）在每個單元中函數(shù)的近似解不是象有限元方法那樣采用單元基函數(shù)的線性組合來表達(dá)，而是以單元中未知函數(shù)的分析解來表達(dá)；（3）為獲得單元中的分析解，單元

25、邊界條件采用插值函數(shù)來逼近，在單元中把控制方程中非線性項(xiàng)局部線性化，并對單元中待求函數(shù)的組合形式作出假設(shè)，找出其系數(shù)用單元邊界節(jié)點(diǎn)上待求函數(shù)值表達(dá)的分析解；雖然有限分析解獲得的是求解區(qū)域中離散點(diǎn)的函數(shù)值，但由于每個單元內(nèi)部都有與其中心節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的分析解表達(dá)式，因此有限分析解在每一個節(jié)點(diǎn)的局部區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)可微的，這對于需要計算求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算流體力學(xué)問題具有明顯的優(yōu)勢。該計算方法與有限元法、有限差分法比較具有較高的精度。此外，有限分析法不存在數(shù)值振蕩失真問題。有限分析法的缺點(diǎn)是對復(fù)雜形狀的求解區(qū)域適應(yīng)性較差。 （4）利用單元分析解確定單元中心節(jié)點(diǎn)與8個相鄰節(jié)點(diǎn)間待求函數(shù)值之間關(guān)系的一個代數(shù)方程

26、，稱為單元有限分析方程；將所有內(nèi)點(diǎn)上的單元有限分析方程聯(lián)立，就構(gòu)成總體有限分析方程，通過代數(shù)方程組求解，即可獲得求解區(qū)域中全部離散點(diǎn)的函數(shù)值。 CFD軟件是用來進(jìn)行流場的分析、計算、預(yù)測的專用工具。通過CFD模擬，可以分析并且顯示流體流動過程中發(fā)生的現(xiàn)象，及時預(yù)測流體在模擬區(qū)域的流動性能，并通過各種參數(shù)改變，得到相應(yīng)過程的最佳設(shè)計參數(shù)。CFD的數(shù)值模擬，能使我們更加深刻地理解問題產(chǎn)生的機(jī)理，為實(shí)驗(yàn)提供指導(dǎo)，節(jié)省以往實(shí)驗(yàn)所需的人力、物力和時間，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果整理和規(guī)律發(fā)現(xiàn)起到指導(dǎo)作用。隨著計算機(jī)軟硬件技術(shù)的發(fā)展和數(shù)值計算方法的日趨成熟，出現(xiàn)了基于現(xiàn)有流動理論的商用CFD軟件。使研究人員能夠輕松地進(jìn)

27、行流體數(shù)值計算，充分發(fā)揮商用CFD軟件開發(fā)人員和其他專業(yè)研究人員各自的智力優(yōu)勢，為解決實(shí)際工程問題開辟了道路。 CFD研究走過了相當(dāng)漫長的過程。早期數(shù)值模擬階段，由于缺乏模擬工具，研究者一般根據(jù)自身工作性質(zhì)和研究過程，自行編制模擬程序，其優(yōu)點(diǎn)是針對性強(qiáng)，對具體問題的解決有一定精度。自行編制模擬程序存在的問題： (1) 使用的程序語言不同，使程序運(yùn)行環(huán)境不兼容； (2) 模擬介質(zhì)和目的不同，造成交流上和成果實(shí)際推廣應(yīng)用困難； (3) 由于方程求解和離散方法不同，程序運(yùn)行速度相差很大；對方程簡化處理方法不同，造成同一問題和條件下得到不同計算答案，使人們對CFD的實(shí)用性產(chǎn)生誤解和懷疑； (4) 由于

28、研究者計算機(jī)背景知識差異，造成相同參數(shù)的后處理方式不統(tǒng)一，研究結(jié)果缺乏可比性，從而失去可靠性； (5) 重復(fù)研究造成大量時間和財產(chǎn)浪費(fèi)。以相對完善的商業(yè)模擬平臺為基礎(chǔ)，經(jīng)二次開發(fā)使之適合一個過程的工作應(yīng)該是CFD的發(fā)展方向。 1、常用常用CFD通用軟件結(jié)構(gòu)通用軟件結(jié)構(gòu) 計算流體力學(xué)商業(yè)軟件包括以下幾個模塊： 幾何模型建立與網(wǎng)格生成模塊； 前處理模塊(Pre-processor)； 核心處理模塊(CFD-solver)； 后處理模塊(Post-processor)； 軟件使用教程及軟件說明(Tutorial and Menu)。 幾何模型建立及網(wǎng)格生成是由使用者本人根據(jù)研究的具體問題建立的相應(yīng)二

29、維或三維模擬模型，然后再按其外形結(jié)構(gòu)和具體過程特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)網(wǎng)格化處理并生成CFD計算網(wǎng)格文件(幾何文件)的過程，它是CFD模擬計算的工作基礎(chǔ)。一般CFD軟件都可與CAD對接，以增強(qiáng)其處理復(fù)雜幾何形狀問題的能力。前處理模塊主要是提供模擬過程基礎(chǔ)平臺及計算環(huán)境，與幾何文件(mashing file)連接，建立具體問題的流體進(jìn)出口邊界及其邊界條件，提供模擬介質(zhì)的特性參數(shù)及數(shù)據(jù)庫等。CFD的核心部分包括整個“軟件包”功能下的所有可能的數(shù)學(xué)模型，向使用者提供由所研究問題性質(zhì)決定的相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，同時提供使用者自編程接口程序和接口命令；該模塊的另一功能是向使用者提供模擬過程數(shù)學(xué)方程的計算方法、數(shù)學(xué)離散方法、

30、收斂方法和準(zhǔn)則，進(jìn)而形成模擬命令程序(Command File)。后處理模塊向使用者提供模擬運(yùn)算數(shù)據(jù)的存儲、交換導(dǎo)出和各種參數(shù)圖，并與基本圖形處理工具(Graphical View and Plotting)實(shí)行連接，是模擬計算結(jié)果處理好壞的重要環(huán)節(jié)，可以為使用者提供模擬幾何模型上不同位置的參數(shù)分布圖，并可以打印輸出。 使用教程及說明(Tutorial and Menu)主要是向初學(xué)者提供具體的計算范例和使用說明、技巧以及使用時的適時幫助?？偟膩碚f，CFD模擬軟件使用方便與否，主要取決于軟件人機(jī)交互使用的方便程度和上述幾個模塊過程的完善性，重要環(huán)節(jié)就是數(shù)學(xué)模型及模型參數(shù)的實(shí)用性。就CFD本質(zhì)來

31、講，流體動力學(xué)是建立能夠準(zhǔn)確描述具體流動過程的數(shù)學(xué)微分方程組，依據(jù)模擬幾何模型和流動過程特點(diǎn)給予相應(yīng)的邊界條件。最后，將上述方程組聯(lián)立求解得出一定精度模擬結(jié)果。計算機(jī)的應(yīng)用僅是快速準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)上述目的的手段，真正技術(shù)核心是如何將高階偏微分方程科學(xué)離散化，如何確定離散單元，如何使計算過程快速收斂。在不穩(wěn)定流體流動和湍流規(guī)律研究成果基礎(chǔ)上，利用有限體積的理念，解決了無數(shù)流動分子與流體整體特征之間的聯(lián)系關(guān)系，使上述過程成為現(xiàn)實(shí)。 2、CFD商業(yè)軟件的基本選用原則商業(yè)軟件的基本選用原則 常用CFD軟件平臺各有其特點(diǎn)和相應(yīng)的最佳應(yīng)用領(lǐng)域，使用者要依據(jù)研究問題的具體情況選擇模擬平臺。合理選用CFD軟件是模擬成

32、功的前提，CFD通用商業(yè)軟件的選用原則應(yīng)有以下七方面：(1)：充分考慮自身現(xiàn)有的軟件工作環(huán)境，在合理物理模型前提下，首選現(xiàn)有軟件，做到不盲目、講實(shí)效。(2)：從具體問題出發(fā)，選擇的模擬軟件要包括相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，依據(jù)問題的復(fù)雜程度，不盲目追求模型的復(fù)雜程度和精確度，以實(shí)用為模型選用準(zhǔn)則。(3)：充分利用現(xiàn)有計算機(jī)條件，內(nèi)存夠用為限。計算流體力學(xué)對計算機(jī)的基本要求：一是計算速度(CPU)；二是隨機(jī)內(nèi)存空間(RAM)。 (4) ：充分借鑒前人研究成果，盡可能與前人研究具有可比性，相似性。同時，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理與導(dǎo)出方式，以形成相似或類似的圖表格式，便于比較對照。(5) ：建立幾何模型要考慮模型的復(fù)

33、雜程度，盡可能與實(shí)際物體一致，做到模擬計算與幾何模型生成方法合理匹配；幾何模型網(wǎng)格劃分疏密程度與計算機(jī)內(nèi)存合理匹配；幾何模型與邊界條件合理匹配；物理模型與模擬軟件合理匹配。合理建立幾何模型對達(dá)到模擬精度要求起決定作用。(6) ：一般以滿足工程實(shí)際要求為宜，不過分追求高精度，收斂準(zhǔn)則要適當(dāng)。否則，計算很難收斂，時間和費(fèi)用花費(fèi)將很高。(7) ：模擬計算不是萬能的，不可能解決所有問題，要分階段工作。比如，以簡單平臺和模型取得計算初值，然后，進(jìn)行精確模擬，從而節(jié)約時間，保證計算穩(wěn)定性和收斂性。 計算流體力學(xué)商業(yè)軟件最早出現(xiàn)于上世紀(jì)八十年代初，目前已經(jīng)在工業(yè)和研究領(lǐng)域發(fā)揮積極的作用。這些軟件的使用減少了

34、計算流體力學(xué)研究和開發(fā)人員的工作量，降低了其對計算機(jī)知識的要求，從而使研究者可以把精力集中在對計算流體力學(xué)本質(zhì)問題的研究和技術(shù)開發(fā)上。自1981年英國的CHAM公司推出求解流動與傳熱問題的商業(yè)軟件PHOENICS以后，迅速在國際軟件產(chǎn)業(yè)中形成通稱為CFD的軟件產(chǎn)業(yè)市場，其它的求解流動與傳熱問題的商業(yè)軟件，如：FLUENT、STAR-CD、FLOW3D、CFX等先后問世，目前全世界已有大約幾十種求解流動和傳熱問題的商業(yè)軟件。 PHOENICS是世界上第一個投放市場的CFD商用軟件(1981)，可以算是CFD商用軟件的鼻祖。這一軟件中所采用的一些基本算法，如SIMPLE方法、混合格式等，正是由該軟

35、件的創(chuàng)始人Spalding及其合作者所提出的，對以后開發(fā)的商用軟件有較大的影響。這一軟件采用有限容積法，可選擇一階迎風(fēng)、混合格式及QUICK等，壓力及速度耦合采用SIMPLEST算法，對兩相流納入了IPSA算法(適用于兩種介質(zhì)互相穿透時)及PSI-Cell算法(離子跟蹤法)，代數(shù)方程組可以采用整場求解或點(diǎn)跌代、快跌代方法，同時納入了塊修正以加速收斂。該軟件投放市場較早，因而曾經(jīng)在工業(yè)界得到較廣泛的應(yīng)用。 1、PHOENICS軟件軟件Phoenics自1997年在中國推廣使用以來，以低廉價格和代理商成功的商業(yè)運(yùn)做模式，在中國高校和研究單位得到很好推廣。其特點(diǎn)是計算能力強(qiáng)、模型簡單、速度快，便于模

36、擬前期的參數(shù)初值估算，以低速熱流輸運(yùn)現(xiàn)象為主要模擬對象，尤其適用于單相模擬和管道流動計算。不足之處在于：計算模型較少，尤其是兩相流模型，不適用于兩相錯流流動計算；所形成的模型網(wǎng)格要求正交貼體；以壓力矯正法為基本解法，因而不適合高速可壓縮流體的流動模擬；此外，它的后處理設(shè)計尚不完善，軟件的功能總量少于其他軟件。其最大優(yōu)點(diǎn)是對計算機(jī)內(nèi)存、運(yùn)算速度等指標(biāo)要求相對較低。其邊界條件以源項(xiàng)形式表現(xiàn)于方程組中是它的一大特點(diǎn)。由于缺乏使用群體和版本更新速度慢，以及其他新興軟件的不斷涌現(xiàn)，使得其實(shí)際應(yīng)用受到很大限制，目前，應(yīng)用較少。 2 、FLUENT軟件軟件該軟件由美國FLUENT 公司于1983年推出，采用

37、的數(shù)值方法是有限體積法。FLUENT于1998年進(jìn)人中國市場，據(jù)報道，它的世界市場占有率為40%，是應(yīng)用較廣的軟件之一。其前處理軟件GAMBBIT可以生成多種網(wǎng)格形狀，對于二維流動可以生成三角形和矩形網(wǎng)格，對于三維流動則可生成四面體、六面體、三角柱和金字塔網(wǎng)格，結(jié)合具體計算要求還可以生成混合網(wǎng)格，其自適應(yīng)功能可以對網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)分和粗化。FLENT通過COKTEX圖形后處理軟件，可以得到二維和三維圖像，如速度矢量圖、等值線圖(流線圖、等壓線圖)、等值面圖等。它還可以通過其積分功能求得力和流量等數(shù)值。 Fluent軟件能推出多種優(yōu)化的物理模型，如定常和非定常流動：層流(包括各種非牛頓流模型)；紊流(

38、包括先進(jìn)的紊流模型)；不可壓縮和可壓縮流動；傳熱；化學(xué)反應(yīng)等等。對每一種物理問題的流動特點(diǎn)，有適合它的數(shù)值解法，用戶可對顯式或隱式差分格式進(jìn)行選擇，以期在計算速度、穩(wěn)定性和精度等方面達(dá)到最佳。Fluent將不同領(lǐng)域的計算軟件組合起來，成為CFD計算軟件群，軟件之間可以方便地進(jìn)行數(shù)值交換，并采用統(tǒng)一的前、后處理工具，這就省卻了科研工作者在計算方法、編程、前后處理等方面投入重復(fù)、低效的勞動，而可以將主要精力和智慧用于物理問題本身的探索上。 3、STAR-CD軟件軟件STAR-CD是全球第一個采用完全非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格技術(shù)和有限體積方法來研究上業(yè)領(lǐng)域中復(fù)雜流動的流體分析商用軟件包，是由英 Computat

39、ional Dynamics Ltd公司推出，軟件名稱是由Simulation of Turbulent Flow in Arbitrary Regions，再加上公司名稱Computational Dynamics的縮寫組合而成。STAR -CD最初是由流體力學(xué)鼻祖-英國帝國理工大學(xué)計算流體力學(xué)領(lǐng)域的專家教授開發(fā)的，他們根據(jù)傳統(tǒng)傳熱基礎(chǔ)理論，合作開發(fā)了基于有限體積算法的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格計算程序。在完全不連續(xù)網(wǎng)格、滑移網(wǎng)格和網(wǎng)格修復(fù)等關(guān)鍵技術(shù)上，STAR-CD又經(jīng)過來自全球10多個國家，超過200名知名學(xué)者的不斷補(bǔ)充與完善，成為同類軟件中網(wǎng)格適應(yīng)性、計算穩(wěn)定性和收斂性最好的佼佼者。最新湍流模型的推

40、出使得其在計算的穩(wěn)定性、收斂性和結(jié)果的可靠性等方面在又得到了顯著提高。 CFX軟件是CFD領(lǐng)域的重要軟件平臺之一，在歐洲應(yīng)用廣泛。1995年進(jìn)人中國市場。主要由：Build，Solver和Analyse組成。4、CFX軟件軟件Build主要是建立問題的集合模型，與FLUENT不同的是，CFX軟件的前期處理模塊與主體軟件合二為一，并可以實(shí)現(xiàn)與CAD建立接口，功能非常強(qiáng)；網(wǎng)格生成器適用于復(fù)雜外形的模擬計算。Solver主要是建立模擬程序，在給定邊界條件下，求解方程；Analyse是后處理分析，對計算結(jié)果進(jìn)行圖形、表格和色彩圖形處理。使用CFX可以進(jìn)行包括流體流動、傳熱、輻射、多相流、化學(xué)反應(yīng)、燃燒

41、等許多工程實(shí)際問題的模擬。2003年CFX加入ANSYS軟件包，成為其中專門進(jìn)行流體力學(xué)數(shù)值計算的一個模塊。1、前言前言1987年，美國國家科學(xué)基金委召開的“科學(xué)計算可視化研討會”的一份報告中，正式提出了科學(xué)計算可視化（Visualization in Scientific Computing?；蚍Q科學(xué)可視化，Scientific Visualization）這一概念。目前，科學(xué)計算可視化已被成功的應(yīng)用到流體力學(xué)、氣象、航空等眾多領(lǐng)域?？茖W(xué)計算可視化對計算流體力學(xué)的研究和發(fā)展帶來了巨大的推動作用。計算流體力學(xué)通過求解流場中的基本方程，來了解流場的運(yùn)動規(guī)律。由于近年計算機(jī)技術(shù)的空前進(jìn)步，流體力學(xué)

42、數(shù)值解法的改進(jìn)和網(wǎng)格劃分技術(shù)的提高，為計算復(fù)雜流場提供了可能，從而CFD產(chǎn)生的解也越來越龐大，計算結(jié)果的不斷增加，使得整理、分析、加工計算數(shù)據(jù)越來越繁瑣；而另一方面，由于物理問題及幾何邊界的復(fù)雜性，以及計算流體力學(xué)發(fā)展水平的限制，使得復(fù)雜流場的計算不可能一次完成，而需要大量的調(diào)試和試算過程。可視化技術(shù)可對數(shù)據(jù)進(jìn)行與計算過程同步或事后的快速分析。 2、CFD可視化的主要研究內(nèi)容可視化的主要研究內(nèi)容 計算流體力學(xué)的可視化總體上要完成兩方面的工作：建立流場場景和提供交互工具。建立流場場景指繪制流場中各物理量的分布情況，交互工具則是指提供與場景的交互手段，如交互視點(diǎn)變換、局部放大移動等。 計算流體力學(xué)

43、可視化的主要內(nèi)容有以下幾點(diǎn)：(1) 計算區(qū)域與計算網(wǎng)格的顯示；(2) 計算過程及流體結(jié)構(gòu)的顯示；(3) 計算結(jié)果的顯示與分析，包括速度、壓力、水位、溫度等；(4) 數(shù)據(jù)比較，可進(jìn)行不同CFD模擬結(jié)果之間或CFD模擬結(jié)果與實(shí)測結(jié)果之間的快速比較。 3、CFD可視化的主要類型可視化的主要類型(1)事后處理(Post Processing)：事后處理是把計算與計算結(jié)果的分析分成兩個階段進(jìn)行，兩者之間不能進(jìn)行交互處理；(2)跟蹤處理(Tracking)：跟蹤處理是針對實(shí)時顯示的計算結(jié)果，判斷計算過程的正確與否以確定是否繼續(xù)進(jìn)行計算；(3)駕馭處理(Steering)：駕馭處理則可以對計算過程加以實(shí)時監(jiān)

44、控，修改或增減某些變量和參數(shù)，如在計算過程中增加或組合網(wǎng)格等，以保證計算過程的正確進(jìn)行。 目前CFD的可視化多為事后處理。國外在90年代初已經(jīng)推出一些較為成功的可視化軟件系統(tǒng)：事后處理型的如美國NASA宇航研究中心的PLOT3D，GAS和RIP；跟蹤型的如美國Stardant計算機(jī)公司研制的AVS；駕馭型的如JZ等。而FLUENT、PHOENICS、CFX和STAR-CD等著名的CFD軟件中也集成了功能強(qiáng)大的可視化后處理軟件。 4、CFD可視化技術(shù)分類可視化技術(shù)分類(1) 標(biāo)量場(Scalar Field)可視化技術(shù) 對于流場計算產(chǎn)生的壓力、溫度、水位等標(biāo)量，典型的可視化方法有等值線、等值面方

45、法和標(biāo)量場的體繪制方法。(a) 等值線(Contour) 等值線多用于二維標(biāo)量場的表示，其研究已相當(dāng)成熟。而對于CFD 的計算結(jié)果，數(shù)據(jù)一般都定義在網(wǎng)格面上，根據(jù)網(wǎng)格類型的不同及等值線抽取時的網(wǎng)格單元處理次序，等值線抽取方法具體可分為網(wǎng)格序列法和網(wǎng)格無關(guān)法。將等值線抽取出后可以用分段三次樣條、雙三次Hermite插值、分段B樣條或雙三次Bezier插值等方法對其進(jìn)行光滑處理。 計算流體力學(xué)所產(chǎn)生的結(jié)果可分為標(biāo)量、矢量和張量三大類。 等值線的表示除采用曲線直接表示外，還可采用區(qū)域填充的表示方法。也就是在計算網(wǎng)格單元中尋找不同等值線之間的封閉多邊形，對不同的封閉多邊形填以不同的等值層顏色。 而對C

46、FD計算結(jié)果，亦有采取連續(xù)變化的色調(diào)圖像形式對其進(jìn)行流場數(shù)據(jù)可視化顯示，這種方法能夠給計算工作者帶來最佳的計算結(jié)果分析效果。 (b) 等值面(Isosurfaces) 在三維情況下，常采用等值面對標(biāo)量可視化。等值面圖是在三維空間中，把一種空間分布的物理量中具有相同量值和相同單位的點(diǎn)用曲面擬合成一組曲面圖形，以描述那些具有連續(xù)分布特征物理量的分布規(guī)律。 (c) 體繪制(Volume Rendering) 計算流體力學(xué)解三維問題時所生成的數(shù)據(jù)一般屬于不規(guī)則數(shù)據(jù)場，傳統(tǒng)圖形學(xué)的可視化技術(shù)對其數(shù)據(jù)場建模形成三維形體后，將三維形體投影到二維平面上，通過形體的深度信息，產(chǎn)生立體感。但這種圖形只表示了三維形

47、體空間表面的效果，沒有揭示三維數(shù)據(jù)場內(nèi)部的變化規(guī)律。體繪制技術(shù)恰恰克服了這種局限性，該法不必生成中介幾何圖元，而直接對數(shù)據(jù)場進(jìn)行成像，以反映數(shù)據(jù)場中各種信息的綜合分布情況。其特點(diǎn)就是對三維數(shù)據(jù)的總體顯示，對它的不同層次、材料、特性的各個組成部分在一幅圖像中整體表現(xiàn)出來，得到三維體數(shù)據(jù)的全局圖像。體繪制算法多見的有：光線追蹤法(Ray-Tracking)和體元投射法?；蚩蓪⒍呓Y(jié)合使用。 (2) 矢量場(Vector Field)可視化技術(shù) 與標(biāo)量場相比，矢量場的最大不同點(diǎn)在于每一物理量不僅具有大小，而且具有方向，這種方向性的可視化要求決定了它與標(biāo)量場完全不同的可視化映射方法。矢量場可視化現(xiàn)有的

48、各種表示方法，大致可以分為點(diǎn)、線、面、粒子及粒子動畫，矢量場拓?fù)?、矢量體繪制和基于紋理的方法等幾大類。 (3) 張量場(Tensor Field)可視化 張量場能準(zhǔn)確清晰的表示流體力學(xué)現(xiàn)象，張量的分量刻畫了流體微團(tuán)的微觀變化。目前，張量可視化的工作主要是對二階實(shí)對稱張量進(jìn)行的，張量場的顯示技術(shù)分兩類：一類為針對某具體位置的圖符顯示，即點(diǎn)圖標(biāo)。另一類是沿特征線顯示張量數(shù)據(jù)，即線圖標(biāo)方法，沿著軌跡表示出經(jīng)過點(diǎn)的張量信息，可揭示張量場的整體結(jié)構(gòu)。 流體力學(xué)控制方程一般是含有空間坐標(biāo)的一階、二階導(dǎo)數(shù)和時間的一階導(dǎo)數(shù)的偏微分方程。其中，時間導(dǎo)數(shù)是線性的，而空間導(dǎo)數(shù)往往是非線性的。除勢流以外，流動問題都由

49、聯(lián)立的控制方程組描述，而非單一方程。 一、偏微分方程的分類一、偏微分方程的分類0221221211fcuububuauauayxyyxyxx式中的系數(shù)都是實(shí)函數(shù)，并假定它們?yōu)檫B續(xù)可微的。此類偏微分方程可以劃分成三類：二個獨(dú)立自變量的二階線性偏微分方程的一般形式為02211212aaa（3）雙曲型：02211212aaa（1）橢圓型：02211212aaa（2）拋物型： 例如，對于可壓縮理想流體定常無旋流動的速度勢方程可寫成如下形式02)()(2222xyyxyyyxxxaa) 1(222211212Maaaa式中，是速度勢；a是當(dāng)?shù)匾羲佟＿@是一個非線性偏微分方程，仍然可按上述方法分類。其判別式

50、為由此可見，對于亞音速流動 M1，方程屬于橢圓型； 對于音速流動 M0，方程為拋物型； 對于超音速流動 M1，方程為雙曲型。 在流場的不同計算域中，控制方程的類型可能發(fā)生變化。方程類型的不同是與相應(yīng)流場物理性質(zhì)的不同相聯(lián)系的。 實(shí)際上，只有在一定的意義下偏微分方程初值問題或邊值問題才是適定的。這就是解必須存在、唯一、并且連續(xù)依賴于數(shù)據(jù)（連續(xù)性）。如果發(fā)現(xiàn)一個具有物理來源的數(shù)學(xué)問題是不適定的，那么，這往往表明它的表述是不正確的。 二、模型方程的適定性問題二、模型方程的適定性問題 在解決實(shí)際流動問題中，通常需要求一個解，它不僅要滿足微分方程，而且還要滿足某些附加條件，例如初始條件或邊值條件。因此，

51、對與偏微分方程有關(guān)的物理問題，我們必須考察給出方程的合理性，同時要考慮對附加條件提法的要求。這樣，就需要研究偏微分方程定解問題在數(shù)學(xué)上的適定性。 第一，解的存在性解的存在性問題是研究在一定的定解條件下，方程的解是否存在。o 解的存在性的證明是一件極為困難的事，往往由純粹數(shù)學(xué)家在代表性的情況下去完成。 o 但是，由于對實(shí)際流動問題建立數(shù)學(xué)模型時，總要經(jīng)過一些近似或提出一些附加要求。我們只能說定解問題反映了流動問題，而不能說兩者完全等同，因此完全有必要從量的角度來研究解的存在性，以確定歸結(jié)出的定解問題的合理性。o 如果從物理意義上來看，對于合理地提出的問題，解的存在性似乎是不成問題的，因?yàn)樽匀滑F(xiàn)象

52、本身就給出了這問題的解答（例如速度場、溫度場等）。 通常，邊界條件過多在物理上不合理，因而得不到解；邊界條件不足將會出現(xiàn)多解。有些流動問題在物理域中可能存在多解，例如從層流到湍流的過渡區(qū)的流動常常會產(chǎn)生這種情況，這樣的問題難于從數(shù)學(xué)上判斷其適定性，只能在充分理解流動的物理機(jī)理的基礎(chǔ)上來進(jìn)行鑒別。 第三，解的連續(xù)性解的連續(xù)性問題是指當(dāng)定解條件如果稍有變化(擾動)，解仍應(yīng)存在且仍為唯一，這個擾動后的唯一解與擾動前的解應(yīng)相差無幾，當(dāng)擾動趨于零時，解的改變量也應(yīng)趨于零，這就是微分問題的連續(xù)性。 第二，解的唯一性解的唯一性問題是研究在已給的定解條件下，問題的解是否只有一個，這表示附加條件與偏微分方程的匹

53、配是否完備。 由于應(yīng)變量在節(jié)點(diǎn)之間的分布假設(shè)及推導(dǎo)離散化方程的方法不同，就形成了有限差分法、有限元法或譜方法等等不同類型的離散化方法。直到今日，數(shù)值方法中占主導(dǎo)地位的還是有限差分法。 偏微分方程定解問題的數(shù)值解法可以分為兩個階段：o 首先，用網(wǎng)格線將連續(xù)的定解域劃分為有限離散點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）集，選取適當(dāng)?shù)耐緩綄⑽⒎址匠碳捌涠ń鈼l件轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上相應(yīng)的代數(shù)方程組，即建立離散方程組。o 其次，求解離散化方程組，得到節(jié)點(diǎn)上的離散近似解。節(jié)點(diǎn)之間的近似解，一般認(rèn)為光滑變化，原則上可以應(yīng)用插值方法確定，從而得到定解問題在整個定解區(qū)域上的近似解。這樣，用離散分布近似解代替定解問題準(zhǔn)確解的連續(xù)數(shù)據(jù)，這種方法稱為

54、離散近似。一、模型方程的差分近似一、模型方程的差分近似 相對離散誤差更能說明問題。 三、差分格式的離散誤差 離散過程一般總會引入誤差。離散誤差是離散格式的精確解與偏微分方程的精確解之差。 如果離散網(wǎng)格尺寸足夠小，那么截斷誤差首項(xiàng)的數(shù)值給出離散誤差很好的估計。 比較導(dǎo)數(shù)不同差分公式的離散誤差時，一種直接的方法是考慮一個簡單的解析函數(shù)。解析準(zhǔn)確解離散誤差E定義相對離散誤差為：o在計算時，誤差的傳播和積累必然會影響以后計算步的解的精度，為此就要分析這種誤差傳播的衰減趨勢。如果誤差積累在各步計算中被逐漸放大，以至物理問題的解被完全破壞，那么這種離散格式是不穩(wěn)定的。相反，如果誤差的影響逐步消失或保持有界

55、，則認(rèn)為離散格式是穩(wěn)定的。這便是所謂的穩(wěn)定性問題。六、差分格式的穩(wěn)定性六、差分格式的穩(wěn)定性o 在離散方程的實(shí)際求解過程中，不可避免地會引入舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的不精確）。對于給定的物理問題，其數(shù)值解的舍入誤差取決于所用計算方法及所用計算機(jī)的字長。o 分析穩(wěn)定性的方法很多，常見的有：矩陣方法、傅立葉級數(shù)法、直觀法、Hirt方法和能量法。 o傅立葉級數(shù)法的基本思想可以從小擾動法的角度來理解。假定所計算的初邊值問題的邊界是準(zhǔn)確無誤的，而在某時層（例如初始時刻）的計算中引入了一個誤差矢量，誤差就是小擾動。如果這一擾動的強(qiáng)度（或振幅）是隨時間的推移而增大的，則這一格式是不穩(wěn)定的；反之，若擾動的振幅隨時

56、間而衰減或保持不變，則格式是穩(wěn)定的。o我們以常系數(shù)擴(kuò)散方程為例，說明傅立葉穩(wěn)定性分析方法。 o為進(jìn)行這種分析，可以把誤差矢量的一個分量的表達(dá)式代入到離散代數(shù)方程中，以得出相鄰兩層間該分量振幅比，通常稱為放大因子放大因子。穩(wěn)定性的條件要求放大因子的絕對值小于或等于1。當(dāng)放大因子等于1時，稱為中性穩(wěn)定，那么任何時刻引進(jìn)的誤差都不會衰減或增大。o伽遼金法或里茲法在求解域的整體上選取整體基函數(shù)，組合整體近似解。導(dǎo)出代數(shù)方程組，可以說是一種整體代數(shù)化的方法。o 有限元法以加權(quán)剩余法或變分法為基礎(chǔ)結(jié)合分塊逼近技術(shù)，形成系統(tǒng)化的數(shù)值計算方法。 o 有限元法將求解區(qū)域離散化，把求解域剖分成互相連結(jié)又互不重疊問

57、一定形狀的有限個子區(qū)域，稱之為單元。在單元中選擇基函數(shù)，組合單元近似解。由單元分析建立單元有限元方程，然后組合成總體有限元方程，進(jìn)而求解。所以說是一種離散代數(shù)化的方法。有限元法的解題步驟是：(7) 解有限元方程，計算有關(guān)物理置。(6) 邊界條件的處理；(5) 總體合成；(4) 元素分析；(3) 寫出伽遼金積分表達(dá)式；(2) 選取單元插值函數(shù)；(1) 區(qū)域剖分； 有限單元法的單元剖分就是用某一形式的網(wǎng)格，將求解區(qū)域分割成有限個單元。剖分具有一定的隨意性，常用的是三角形單元。1. 區(qū)域剖分區(qū)域剖分 (1) 對于同一求解區(qū)域，單元的大小可以不同，但是形狀必須統(tǒng)一。 將求解的區(qū)域分成若干個子區(qū)域，然后布置節(jié)點(diǎn)，進(jìn)行統(tǒng)一編號。包括單元號（全區(qū)域統(tǒng)一進(jìn)行編號），總體節(jié)點(diǎn)號（全區(qū)域的節(jié)點(diǎn)統(tǒng)一進(jìn)行編號），單元節(jié)點(diǎn)號（按統(tǒng)一順序編號）。 這樣，區(qū)域中任一節(jié)點(diǎn)有兩個序號，在元素分析時用單元節(jié)點(diǎn)號，在總體合成時用總體節(jié)點(diǎn)號；兩套節(jié)點(diǎn)編號之間的對應(yīng)關(guān)系用一張表來表示。 (5) 所有單元必須落在求解區(qū)域內(nèi)。(4) 估計梯度較大的地方，剖分要細(xì)。 (3) 單元的內(nèi)角要盡量避免大鈍角。 (2) 任何一個單元，它的每一條邊都只能與一個單元相鄰。剖分時必須注意如下規(guī)則：3. 3. 寫出伽遼金積分表達(dá)式寫出伽遼金積分表達(dá)式 假設(shè)原微分方程為 假設(shè)上述方程的近似解為 則伽遼金加權(quán)余量法的積分表達(dá)式