第一章利息基本計(jì)算.

1、第一章第一章 利息基本計(jì)算利息基本計(jì)算1.2 1.2 利息基本計(jì)算利息基本計(jì)算1.3 1.3 實(shí)例分析實(shí)例分析1.1 1.1 利息基本函數(shù)利息基本函數(shù) 在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，資金的周轉(zhuǎn)使用會(huì)帶來(lái)在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，資金的周轉(zhuǎn)使用會(huì)帶來(lái)價(jià)值的增值，資金周轉(zhuǎn)使用時(shí)間越長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)價(jià)值的增值，資金周轉(zhuǎn)使用時(shí)間越長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)的價(jià)值增值越大。同時(shí)，等額的貨幣在不同的價(jià)值增值越大。同時(shí)，等額的貨幣在不同時(shí)間上由于受通貨膨脹等因素的影響，其實(shí)時(shí)間上由于受通貨膨脹等因素的影響，其實(shí)際價(jià)值也是不同的。因此，貨幣的使用者把際價(jià)值也是不同的。因此，貨幣的使用者把貨幣使用權(quán)轉(zhuǎn)讓給其他經(jīng)濟(jì)活動(dòng)者，他應(yīng)該貨幣使用權(quán)轉(zhuǎn)讓給其他經(jīng)濟(jì)活動(dòng)者，他應(yīng)該

2、獲得與放棄這個(gè)使用機(jī)會(huì)時(shí)期長(zhǎng)短相應(yīng)的報(bào)獲得與放棄這個(gè)使用機(jī)會(huì)時(shí)期長(zhǎng)短相應(yīng)的報(bào)酬。酬。 利息是一切金融活動(dòng)的基礎(chǔ)利息是一切金融活動(dòng)的基礎(chǔ),任何金融任何金融活動(dòng)都離不開(kāi)利息活動(dòng)都離不開(kāi)利息. 從債權(quán)債務(wù)關(guān)系角度：利息是借貸關(guān)系從債權(quán)債務(wù)關(guān)系角度：利息是借貸關(guān)系中債務(wù)人（借款人中債務(wù)人（借款人borrowerborrower）為取得資金使）為取得資金使用權(quán)而支付給債權(quán)人（貸款人用權(quán)而支付給債權(quán)人（貸款人lenderlender）的報(bào)）的報(bào)酬，即：酬，即：借款人進(jìn)行融資的成本。借款人進(jìn)行融資的成本。 從簡(jiǎn)單的借貸關(guān)系角度：從簡(jiǎn)單的借貸關(guān)系角度：利息是一種補(bǔ)利息是一種補(bǔ)償償，由借款人支付給貸款人，因?yàn)榍?/p>

3、者在一定，由借款人支付給貸款人，因?yàn)榍罢咴谝欢〞r(shí)間內(nèi)占有和使用了后者的部分資金。時(shí)間內(nèi)占有和使用了后者的部分資金。 利息就是掌握和運(yùn)用他人資金所付的利息就是掌握和運(yùn)用他人資金所付的代價(jià)代價(jià)或轉(zhuǎn)讓貨幣使用權(quán)所得的或轉(zhuǎn)讓貨幣使用權(quán)所得的報(bào)酬報(bào)酬。 從投資的角度：利息是一定量的資本從投資的角度：利息是一定量的資本經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的投資后產(chǎn)生的經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的投資后產(chǎn)生的價(jià)值增值價(jià)值增值。 5 一般地，一筆金融業(yè)務(wù)可看成是投資一定數(shù)量的錢(qián)一般地，一筆金融業(yè)務(wù)可看成是投資一定數(shù)量的錢(qián)款以產(chǎn)生利息，初始投資的金額稱(chēng)為款以產(chǎn)生利息，初始投資的金額稱(chēng)為本金本金，而過(guò)一段，而過(guò)一段時(shí)間后收回的總金額稱(chēng)為時(shí)間后收回的總

4、金額稱(chēng)為累積值累積值。累積值累積值=本金本金+利息利息 假定假定：設(shè)一旦給定了原始投資的本金數(shù)額，則在以：設(shè)一旦給定了原始投資的本金數(shù)額，則在以后任何時(shí)刻累積值均可確定，且設(shè)在投資期間內(nèi)后任何時(shí)刻累積值均可確定，且設(shè)在投資期間內(nèi)不再不再加入或抽回加入或抽回本金。也就是說(shuō)，資金數(shù)額的任何變化嚴(yán)本金。也就是說(shuō)，資金數(shù)額的任何變化嚴(yán)格說(shuō)都是由格說(shuō)都是由利息效應(yīng)利息效應(yīng)產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。自融資假設(shè)自融資假設(shè) 1.1 1.1 利息基本函數(shù)利息基本函數(shù)本金本金(principal)(principal): :是指貸款、存款或投資在計(jì)算利息之前的是指貸款、存款或投資在計(jì)算利息之前的原始金額。原始金額。本利和本

5、利和( (累積值累積值accumulated valueaccumulated value）：本金投資于某個(gè)：本金投資于某個(gè) 業(yè)務(wù)中，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間達(dá)到的新價(jià)值。業(yè)務(wù)中，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間達(dá)到的新價(jià)值。利息利息：新價(jià)值與原始本金相比產(chǎn)生的價(jià)值增值：新價(jià)值與原始本金相比產(chǎn)生的價(jià)值增值. .利率利率(interest rate)(interest rate): :是在是在指定時(shí)期內(nèi)指定時(shí)期內(nèi)利息額同借貸資本利息額同借貸資本 總額的比率總額的比率, ,衡量了單位貨幣在單位時(shí)間內(nèi)的利息水平衡量了單位貨幣在單位時(shí)間內(nèi)的利息水平. . 假設(shè)在初始時(shí)刻假設(shè)在初始時(shí)刻0投資了投資了1個(gè)單位的本金，則在時(shí)刻個(gè)單位的本金

6、，則在時(shí)刻t的累積值記為的累積值記為 ，稱(chēng)為累積函數(shù)。，稱(chēng)為累積函數(shù)。 a t注注*：時(shí)間：時(shí)間t為從投資之日算起的時(shí)間，可以用不同為從投資之日算起的時(shí)間，可以用不同的單位來(lái)度量。的單位來(lái)度量。累積函數(shù)累積函數(shù) 是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，滿(mǎn)足：是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，滿(mǎn)足： 1) 2) 一般地，一般地， 關(guān)于時(shí)間嚴(yán)格單調(diào)遞增。關(guān)于時(shí)間嚴(yán)格單調(diào)遞增。即：當(dāng)即：當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 a t 01a a t12tt 12a ta t如果在如果在t=0、1、2.等時(shí)刻觀(guān)察累積函數(shù)等時(shí)刻觀(guān)察累積函數(shù)a(t)得到一得到一系列累積值系列累積值a(0)=1、a(1)、a(2)，那么在時(shí)刻，那么在時(shí)刻0、1、2之間，累積函數(shù)之間

7、，累積函數(shù)a(t)的取值是如何變化的？的取值是如何變化的？離散型離散型利息是跳躍產(chǎn)生的利息是跳躍產(chǎn)生的連續(xù)型連續(xù)型利息是連續(xù)產(chǎn)生的利息是連續(xù)產(chǎn)生的注注*：一般的，利息被認(rèn)為是連續(xù)產(chǎn)生的。：一般的，利息被認(rèn)為是連續(xù)產(chǎn)生的。例：考慮以下例：考慮以下3 3類(lèi)特殊的累積函數(shù)類(lèi)特殊的累積函數(shù)a(t)a(t) 1) 1) 常數(shù)常數(shù) a(t)=1 2) 2) 線(xiàn)性線(xiàn)性 a(t)=1+2.5%t 3) 3) 指數(shù)指數(shù)注注* *：檢查上面定義的：檢查上面定義的a(t)a(t)滿(mǎn)足累積函數(shù)的要求滿(mǎn)足累積函數(shù)的要求注注* *：學(xué)習(xí)使用：學(xué)習(xí)使用ExcelExcel進(jìn)行金融計(jì)算進(jìn)行金融計(jì)算 . %ta t 12 5總

8、量函數(shù)（總量函數(shù)（amount function） 當(dāng)原始投資不是當(dāng)原始投資不是1個(gè)單位的本金，而是個(gè)單位的本金，而是P個(gè)單位個(gè)單位金額的本金時(shí)，則把金額的本金時(shí)，則把P個(gè)單位金額本金的原始投資個(gè)單位金額本金的原始投資在時(shí)刻在時(shí)刻t的累積值記為的累積值記為A(t)，稱(chēng)為總量函數(shù)。，稱(chēng)為總量函數(shù)。總量函數(shù)總量函數(shù)A(t)具有如下的性質(zhì)：具有如下的性質(zhì)： 1) A(0)=P 2) A(t)=Pa(t)，P0, 0t 注注* *：總量函數(shù)總量函數(shù)A(t)A(t)的計(jì)算可以借助于的計(jì)算可以借助于 累積函數(shù)累積函數(shù)a(t)a(t)的計(jì)算。的計(jì)算。 /0 ,0a tA tAt注注*：利息（利息（ inte

9、rest rate ） 將從投資之日算起的第將從投資之日算起的第n個(gè)時(shí)期內(nèi)所獲得的利息金額個(gè)時(shí)期內(nèi)所獲得的利息金額記為記為 ，則有，則有nI 1 ,1nIA nA nn注注* *：利息金額利息金額 看作是在整個(gè)時(shí)期內(nèi)所產(chǎn)生的，看作是在整個(gè)時(shí)期內(nèi)所產(chǎn)生的，在最后時(shí)刻實(shí)現(xiàn)的（支付的、得到的）。在最后時(shí)刻實(shí)現(xiàn)的（支付的、得到的）。nI注注* *：更一般地，記總量函數(shù)更一般地，記總量函數(shù) 在時(shí)間段在時(shí)間段 內(nèi)所獲得的利息金額為內(nèi)所獲得的利息金額為 ，則有，則有 A t12,t t12,t tI 12,21t tIA tA t利率（利率（interest rate） 思考：假設(shè)有兩個(gè)儲(chǔ)戶(hù)，分別在銀行存入

10、了思考：假設(shè)有兩個(gè)儲(chǔ)戶(hù)，分別在銀行存入了1萬(wàn)元、萬(wàn)元、1千萬(wàn)元的一年期定期儲(chǔ)蓄，如果到期后銀行都付給千萬(wàn)元的一年期定期儲(chǔ)蓄，如果到期后銀行都付給他們同樣的利息金額他們同樣的利息金額20元，你認(rèn)為合理嗎？元，你認(rèn)為合理嗎？注注* *：假設(shè)所有的在期初投資的：假設(shè)所有的在期初投資的1 1個(gè)單位的本金都具個(gè)單位的本金都具有著同樣的產(chǎn)生利息的能力，則上述現(xiàn)象不合理。有著同樣的產(chǎn)生利息的能力，則上述現(xiàn)象不合理。為了表示單位貨幣價(jià)值的為了表示單位貨幣價(jià)值的相對(duì)相對(duì)變化幅度，度量利息變化幅度，度量利息的常用方法是計(jì)算所謂的的常用方法是計(jì)算所謂的利率利率，定義為：，定義為：利率利率等于一定的貨幣量在等于一定的

11、貨幣量在一段時(shí)間一段時(shí)間（計(jì)息期（計(jì)息期 measurement period）內(nèi)的變化量（）內(nèi)的變化量（利息利息）與與期初貨幣量期初貨幣量的比值。的比值。 利率的計(jì)算公式利率的計(jì)算公式 利率利率=利息利息/期初本金期初本金 利息的計(jì)算公式利息的計(jì)算公式 利息利息=利率利率期初本金期初本金注注* *：利率通常用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示，即：利率通常用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示，即： 利率利率=利息利息/期初本金期初本金100%注注* *：這里定義的利率被稱(chēng)為實(shí)利率（這里定義的利率被稱(chēng)為實(shí)利率（effective rate of interest），注意與后面定義的名義利率），注意與后面定義的名義利率（nominal r

12、ate of interest）相區(qū)別。）相區(qū)別。注注* *：通常計(jì)息期為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間單位，如：年、季、通常計(jì)息期為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間單位，如：年、季、月等，若無(wú)特別說(shuō)明，實(shí)利率一般指年實(shí)利率。月等，若無(wú)特別說(shuō)明，實(shí)利率一般指年實(shí)利率。 上的上的實(shí)利率實(shí)利率= 內(nèi)內(nèi) 總量函數(shù)總量函數(shù) 的變化量與的變化量與期初貨幣量的比值，記為期初貨幣量的比值，記為 ，即：，即： 12,t t12,t t A t12,t ti 1212,21,11t tt tIA tA tiA tA t 111nnA nA nIiA nA n特別地， 11na na nia n進(jìn)而，注注* *：利率計(jì)算的根本是累計(jì)函數(shù)的計(jì)算。：利率計(jì)算的根

13、本是累計(jì)函數(shù)的計(jì)算。單利（單利（simple interest） 在實(shí)際金融活動(dòng)中，通常用到的兩種計(jì)息方式分別在實(shí)際金融活動(dòng)中，通常用到的兩種計(jì)息方式分別為單利和復(fù)利。為單利和復(fù)利。 假設(shè)在期初投資假設(shè)在期初投資1個(gè)單位的本金，在每一個(gè)時(shí)期中個(gè)單位的本金，在每一個(gè)時(shí)期中都得到完全相同的利息金額，即都得到完全相同的利息金額，即利息為常數(shù)利息為常數(shù)。 由此可知：由此可知：a(0)=1,a(1)=1+i,a(2)=1+2i.即即 a(t)=1+it, 這種類(lèi)型的利息產(chǎn)生方式被稱(chēng)為單利，這種類(lèi)型的利息產(chǎn)生方式被稱(chēng)為單利，i被稱(chēng)為是單利率。被稱(chēng)為是單利率。注注*：所謂單利是指所謂單利是指只對(duì)本金計(jì)算利息

14、只對(duì)本金計(jì)算利息, ,而對(duì)前期已經(jīng)產(chǎn)而對(duì)前期已經(jīng)產(chǎn)生的利息在后期不再計(jì)算利息的利息計(jì)算方法生的利息在后期不再計(jì)算利息的利息計(jì)算方法. . 相應(yīng)單利的累積函數(shù)為時(shí)間的線(xiàn)性函數(shù)相應(yīng)單利的累積函數(shù)為時(shí)間的線(xiàn)性函數(shù) 常數(shù)的單利率并不意味著常數(shù)的實(shí)利率！常數(shù)的單利率并不意味著常數(shù)的實(shí)利率！因?yàn)橄鄳?yīng)于單利的第因?yàn)橄鄳?yīng)于單利的第n個(gè)時(shí)期的實(shí)利率個(gè)時(shí)期的實(shí)利率 為為 a1,1111nna niina nni是一個(gè)關(guān)于是一個(gè)關(guān)于n的單調(diào)遞減的函數(shù)，并且當(dāng)?shù)膯握{(diào)遞減的函數(shù)，并且當(dāng)n的取值較的取值較大時(shí)，實(shí)利率大時(shí)，實(shí)利率 將變得更小。將變得更小。nini注注* *：當(dāng)計(jì)算實(shí)利率：當(dāng)計(jì)算實(shí)利率 時(shí)，是把第時(shí)，是把第

15、n n期開(kāi)始的資本期開(kāi)始的資本總額作為投資額來(lái)計(jì)算相應(yīng)的所得利息與期初投資總額作為投資額來(lái)計(jì)算相應(yīng)的所得利息與期初投資額之比。額之比。 隨著資本總額的不斷增加，常數(shù)的利息必將導(dǎo)致隨著資本總額的不斷增加，常數(shù)的利息必將導(dǎo)致單調(diào)遞減的實(shí)利率。單調(diào)遞減的實(shí)利率。注注* *：上面的討論雖然只是在整點(diǎn)時(shí)刻上進(jìn)行的觀(guān)上面的討論雖然只是在整點(diǎn)時(shí)刻上進(jìn)行的觀(guān)察，但由于所產(chǎn)生的利息被認(rèn)為是在該期間的各個(gè)察，但由于所產(chǎn)生的利息被認(rèn)為是在該期間的各個(gè)小區(qū)間上按比例產(chǎn)生的，從而上面給出的關(guān)于整數(shù)小區(qū)間上按比例產(chǎn)生的，從而上面給出的關(guān)于整數(shù)t t的單利的生成方式可以認(rèn)為是對(duì)于所有大于等于的單利的生成方式可以認(rèn)為是對(duì)于所

16、有大于等于0 0 的的t t都成立的利息產(chǎn)生方式。都成立的利息產(chǎn)生方式。ni在單利方式下，累積函數(shù)滿(mǎn)足：在單利方式下，累積函數(shù)滿(mǎn)足： 1,0,0+1,0,0a sta sa ttsa sta sa tts或注注* *：上式意味著經(jīng)過(guò)時(shí)間上式意味著經(jīng)過(guò)時(shí)間t+st+s所產(chǎn)生的利息等于經(jīng)所產(chǎn)生的利息等于經(jīng)過(guò)時(shí)間過(guò)時(shí)間t t產(chǎn)生的利息與經(jīng)過(guò)時(shí)間產(chǎn)生的利息與經(jīng)過(guò)時(shí)間s s產(chǎn)生的利息之和。產(chǎn)生的利息之和。注注* *：在連續(xù)時(shí)間情形下，單利方式意味著在連續(xù)時(shí)間情形下，單利方式意味著1 1個(gè)貨幣個(gè)貨幣單位的投資經(jīng)過(guò)任何相同長(zhǎng)度的計(jì)息期所產(chǎn)生的利單位的投資經(jīng)過(guò)任何相同長(zhǎng)度的計(jì)息期所產(chǎn)生的利息相同。息相同。復(fù)利

17、（復(fù)利（compound interest）問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 單利情形下，在前面的各個(gè)時(shí)期所獲得的利息并沒(méi)單利情形下，在前面的各個(gè)時(shí)期所獲得的利息并沒(méi)有在后面的時(shí)期用來(lái)再獲取額外的利息。如果所獲得有在后面的時(shí)期用來(lái)再獲取額外的利息。如果所獲得的利息可的利息可繼續(xù)投資繼續(xù)投資情形如何？情形如何？ 在上面的例子中，投資者每年都獲得了在上面的例子中，投資者每年都獲得了$160的利息。的利息。投資者在第一年末實(shí)際上有投資者在第一年末實(shí)際上有$2160，可以用來(lái)投資，如，可以用來(lái)投資，如果按照果按照$2160計(jì)算，投資者在第二年的時(shí)候可以獲得利計(jì)算，投資者在第二年的時(shí)候可以獲得利息息$172.8

18、，可以多獲得，可以多獲得$12.8. 后面的各期也可以采用這種方法去投資，最終獲得后面的各期也可以采用這種方法去投資，最終獲得的利息總額為的利息總額為多獲得利息多獲得利息$80.98.420001+8%-2000=720.98注注* *：即通常所說(shuō)的：即通常所說(shuō)的“利滾利利滾利”。復(fù)利計(jì)算模式的基本思想是復(fù)利計(jì)算模式的基本思想是:利息收入應(yīng)該自動(dòng)利息收入應(yīng)該自動(dòng)地被記入下一期的本金地被記入下一期的本金. ln 11,0ttia tita te從而有為整數(shù)等價(jià)于注注* *：上面整數(shù)時(shí)間：上面整數(shù)時(shí)間t t可以推廣到一般的時(shí)間可以推廣到一般的時(shí)間t0.t0.在復(fù)利方式下，累積函數(shù)滿(mǎn)足：在復(fù)利方式下

19、，累積函數(shù)滿(mǎn)足： ,0,0a sta s a tts 0,0,00a sta sa tatsa sa注注* *：可以推出表達(dá)式：可以推出表達(dá)式：?jiǎn)卫绞脚c復(fù)利方式的區(qū)別單利方式與復(fù)利方式的區(qū)別(1)(1)在在t=0t=0或或t=1t=1時(shí)，單利和復(fù)利計(jì)算的終值相等。時(shí)，單利和復(fù)利計(jì)算的終值相等。01t1復(fù)利； 當(dāng)時(shí)，單利 復(fù)利(2) 單利常用于人民幣存款及利率不足期的近似計(jì)算；單利常用于人民幣存款及利率不足期的近似計(jì)算；復(fù)利常用于貸款，保險(xiǎn)，投資收益分析等場(chǎng)合復(fù)利常用于貸款，保險(xiǎn)，投資收益分析等場(chǎng)合.增長(zhǎng)形式不同：對(duì)于單利來(lái)說(shuō)，它在同樣長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)增長(zhǎng)形式不同：對(duì)于單利來(lái)說(shuō)，它在同樣長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)的增長(zhǎng)

20、絕對(duì)值保持為常數(shù)；而對(duì)復(fù)利來(lái)說(shuō)則是增長(zhǎng)的的增長(zhǎng)絕對(duì)值保持為常數(shù)；而對(duì)復(fù)利來(lái)說(shuō)則是增長(zhǎng)的相對(duì)比率保持為常數(shù)。即相對(duì)比率保持為常數(shù)。即 對(duì)單利：對(duì)單利：a(t+s)-a(t) 不依賴(lài)于不依賴(lài)于t 對(duì)復(fù)利：對(duì)復(fù)利：a(t+s)-a(t) / a(t) 不依賴(lài)于不依賴(lài)于t（3）如果如果利率水平為常數(shù)利率水平為常數(shù)，則在單利下的，則在單利下的實(shí)際利率是時(shí)實(shí)際利率是時(shí)間的遞減函數(shù)間的遞減函數(shù)；而在復(fù)利下的；而在復(fù)利下的實(shí)際利率與時(shí)間無(wú)關(guān)實(shí)際利率與時(shí)間無(wú)關(guān)，仍等，仍等于常數(shù)的復(fù)利率。于常數(shù)的復(fù)利率。貼現(xiàn)（貼現(xiàn)（discount） 考慮這樣的問(wèn)題：一筆十年后付考慮這樣的問(wèn)題：一筆十年后付10001000元的付

21、款，元的付款，相當(dāng)于現(xiàn)在付多少元？購(gòu)房時(shí)，一次付清可享受適相當(dāng)于現(xiàn)在付多少元？購(gòu)房時(shí)，一次付清可享受適當(dāng)?shù)膬?yōu)惠，一次付清與分期付款到底那個(gè)合算當(dāng)?shù)膬?yōu)惠，一次付清與分期付款到底那個(gè)合算? ? 定義：時(shí)刻定義：時(shí)刻t t的的1 1個(gè)貨幣單位在時(shí)刻個(gè)貨幣單位在時(shí)刻0 0的價(jià)值稱(chēng)為的價(jià)值稱(chēng)為貼現(xiàn)函數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)（discount function）, ,用用 表示。表示。 1at注注* *：貼現(xiàn)函數(shù)為累積函數(shù)的倒數(shù)函數(shù)。：貼現(xiàn)函數(shù)為累積函數(shù)的倒數(shù)函數(shù)。 累積與貼現(xiàn)是一對(duì)相反的過(guò)程，相應(yīng)于期初累積與貼現(xiàn)是一對(duì)相反的過(guò)程，相應(yīng)于期初1個(gè)單位個(gè)單位本金的本金的t時(shí)期期末的值為時(shí)期期末的值為 ，而相應(yīng)于，而相應(yīng)于

22、t時(shí)期期末時(shí)期期末1個(gè)個(gè)單位金額的期初值則為單位金額的期初值則為 。 1at a t 單利情形單利情形 復(fù)利情形復(fù)利情形 111atiti，為單利率 t11= tativi，為實(shí)利率累積因子（累積因子（accumulation factor） 若實(shí)利率為若實(shí)利率為i，則在期初投資的，則在期初投資的1個(gè)單位的本金在期個(gè)單位的本金在期末將累積到末將累積到1+i，把，把1+i稱(chēng)為是累積因子。稱(chēng)為是累積因子。即：即： 期末累積值期末累積值=期初本金期初本金累積因子累積因子 貼現(xiàn)因子（貼現(xiàn)因子（discount factor） 考慮累積的反問(wèn)題：在期初開(kāi)始時(shí)應(yīng)投資多少，才考慮累積的反問(wèn)題：在期初開(kāi)始時(shí)應(yīng)

23、投資多少，才能使得能使得1個(gè)時(shí)期結(jié)束時(shí)本金和利息總額恰好為個(gè)時(shí)期結(jié)束時(shí)本金和利息總額恰好為1個(gè)單位個(gè)單位的貨幣量？的貨幣量？ 如果期初投資如果期初投資 ，則期末時(shí)恰好累積至，則期末時(shí)恰好累積至1. 把把 稱(chēng)為是貼現(xiàn)因子，即：稱(chēng)為是貼現(xiàn)因子，即： 期初本金期初本金=期末累積值期末累積值貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)因子 1(1) i1(1) i 定義：一個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利息收入與期末貨幣量的比值定義：一個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利息收入與期末貨幣量的比值稱(chēng)為稱(chēng)為實(shí)貼現(xiàn)率實(shí)貼現(xiàn)率（effective rate of discount） 1212121,21,22,11nnt tt tt tnnttdIA tA tdA tA tA n

24、A na na nIdA nA na n時(shí)間段內(nèi)的貼現(xiàn)率的計(jì)算公式： 注注* *：注意與實(shí)利率的區(qū)別。：注意與實(shí)利率的區(qū)別。 設(shè)設(shè)i為單利率，計(jì)算相應(yīng)單利各期的實(shí)貼現(xiàn)率為單利率，計(jì)算相應(yīng)單利各期的實(shí)貼現(xiàn)率 11na na nida nni 設(shè)設(shè)i為復(fù)利率，計(jì)算相應(yīng)復(fù)利各期的實(shí)貼現(xiàn)率為復(fù)利率，計(jì)算相應(yīng)復(fù)利各期的實(shí)貼現(xiàn)率 111111nnnna na niiida nii 單貼現(xiàn)（單貼現(xiàn)（simple discount）貼現(xiàn)函數(shù)為貼現(xiàn)函數(shù)為 111,atdttdd ， 0為單貼現(xiàn)率復(fù)貼現(xiàn)（復(fù)貼現(xiàn)（compound discount）與復(fù)利方式下的累積過(guò)程類(lèi)似與復(fù)利方式下的累積過(guò)程類(lèi)似,若每個(gè)時(shí)期內(nèi)

25、的貼現(xiàn)率若每個(gè)時(shí)期內(nèi)的貼現(xiàn)率相同相同,則稱(chēng)該相同的貼現(xiàn)率為復(fù)貼現(xiàn)率則稱(chēng)該相同的貼現(xiàn)率為復(fù)貼現(xiàn)率.記作記作d. 顯然顯然貼現(xiàn)函數(shù)為貼現(xiàn)函數(shù)為 110,tatdtd， 為復(fù)貼現(xiàn)率除特殊說(shuō)明，我們后面所討論的都是針對(duì)復(fù)貼現(xiàn)模式計(jì)算除特殊說(shuō)明，我們后面所討論的都是針對(duì)復(fù)貼現(xiàn)模式計(jì)算Nttadt1)()1 (42一時(shí)期內(nèi)金額的改變可以稱(chēng)為一時(shí)期內(nèi)金額的改變可以稱(chēng)為“利息利息”，也可以稱(chēng)，也可以稱(chēng)為為“貼現(xiàn)貼現(xiàn)”，但兩者意義不同。，但兩者意義不同。利息利息本金基礎(chǔ)上的增加額，在期末支付，其計(jì)本金基礎(chǔ)上的增加額，在期末支付，其計(jì)算的依據(jù)為期初余額。算的依據(jù)為期初余額。貼現(xiàn)貼現(xiàn)累積值基礎(chǔ)上的減少額，在期初支付

26、，其累積值基礎(chǔ)上的減少額，在期初支付，其計(jì)算的依據(jù)是期末余額。計(jì)算的依據(jù)是期末余額。用利率用利率i可以很方便地計(jì)算：利息可以很方便地計(jì)算：利息=本金本金*i貼現(xiàn)率有類(lèi)似的作用：貼現(xiàn)貼現(xiàn)率有類(lèi)似的作用：貼現(xiàn)=期末值期末值*d注注:注：?jiǎn)钨N現(xiàn)模式并不對(duì)應(yīng)單利的貼現(xiàn)模式注：?jiǎn)钨N現(xiàn)模式并不對(duì)應(yīng)單利的貼現(xiàn)模式 而復(fù)貼現(xiàn)模而復(fù)貼現(xiàn)模式對(duì)應(yīng)復(fù)利的貼現(xiàn)模式式對(duì)應(yīng)復(fù)利的貼現(xiàn)模式定定 義：義： ( 實(shí)實(shí)) 利率和利率和( 實(shí)實(shí)) 貼現(xiàn)率被稱(chēng)為貼現(xiàn)率被稱(chēng)為等價(jià)等價(jià)的（的（equivalent ），若它們滿(mǎn)足：相同的原始本金初值），若它們滿(mǎn)足：相同的原始本金初值經(jīng)過(guò)相同的計(jì)息期，產(chǎn)生相同的終值。經(jīng)過(guò)相同的計(jì)息期，產(chǎn)生

27、相同的終值。例例1 1 假設(shè)某人假設(shè)某人A A到銀行以實(shí)貼現(xiàn)率到銀行以實(shí)貼現(xiàn)率6%6%借借100100元，為期元，為期1 1年，一年后年，一年后A A還給銀行還給銀行100100元。則元。則1)1)銀行實(shí)際付給銀行實(shí)際付給A A多多少元？少元？2)2)這相當(dāng)于利率是多少的貸款？這相當(dāng)于利率是多少的貸款？解解: :1)(0)(1)(1)100(1 0.06)94AAd元94(1)1006.38%ii 2)令證明：證明： 1）設(shè)期末貨幣量為）設(shè)期末貨幣量為 1， 則由貼現(xiàn)率定義可知利息量則由貼現(xiàn)率定義可知利息量恰為貼現(xiàn)率恰為貼現(xiàn)率d ，從而期初貨幣量應(yīng)為從而期初貨幣量應(yīng)為1- d ，所以由利息率所

28、以由利息率的定義可得的定義可得ddi1 2）設(shè)期初貨幣量為）設(shè)期初貨幣量為 1 ，由利率定義可知利息量恰為利率，由利率定義可知利息量恰為利率i ，從而期末貨幣量應(yīng)為從而期末貨幣量應(yīng)為1+ i ，所以由貼現(xiàn)率的定義可得所以由貼現(xiàn)率的定義可得iiid1對(duì)于等價(jià)的利率對(duì)于等價(jià)的利率 i 和貼現(xiàn)率和貼現(xiàn)率d 有如下關(guān)系式：有如下關(guān)系式：1） 2）ddi1iiid11/(1+i) =1-d - 此方程兩邊均表示在期末支付此方程兩邊均表示在期末支付1的現(xiàn)值。的現(xiàn)值。例例 ：假設(shè)期初借款人從貸款人處借入假設(shè)期初借款人從貸款人處借入10000 10000 元，元，并約定一年到期時(shí)還并約定一年到期時(shí)還10500

29、 10500 元，即利率元，即利率i i=5%=5% 。如。如果借款人希望期初時(shí)即付給貸款人利息，果借款人希望期初時(shí)即付給貸款人利息，1 1 年到年到期時(shí)償還本金期時(shí)償還本金10000 10000 元，問(wèn)期初借款人實(shí)際可得元，問(wèn)期初借款人實(shí)際可得金額是多少？金額是多少？ 解：貼現(xiàn)因子解：貼現(xiàn)因子 d = iv = 0.04762從而借款人在期初實(shí)際可得從而借款人在期初實(shí)際可得 10000(1- d ) =10000v = 9524(元)3） d = iv因?yàn)橘N現(xiàn)因子因?yàn)橘N現(xiàn)因子 ，再由，再由2） 可得?？傻?。9524. 0)1 (1iv1)1 (iv4） d =1- v 貼現(xiàn)率與貼現(xiàn)因子互補(bǔ)。

30、貼現(xiàn)率與貼現(xiàn)因子互補(bǔ)。5） i - d = id某人可借貸某人可借貸1而在期末歸還而在期末歸還1+i，也可以借貸，也可以借貸1-d而在而在期末歸還期末歸還1 。表達(dá)式。表達(dá)式i-d是所付利息的差額，此種差額是所付利息的差額，此種差額是因?yàn)樗璞窘鹣嗖钍且驗(yàn)樗璞窘鹣嗖頳而產(chǎn)生的。金額而產(chǎn)生的。金額d依利率依利率i在一在一時(shí)期末的利息就是時(shí)期末的利息就是id.解：解： 1） 從貼現(xiàn)的角度看，從貼現(xiàn)的角度看， 零息債券的貼現(xiàn)率零息債券的貼現(xiàn)率 d =5%， 而儲(chǔ)蓄的貼現(xiàn)率而儲(chǔ)蓄的貼現(xiàn)率 = 4.988% 因此，債券投資優(yōu)于儲(chǔ)蓄。因此，債券投資優(yōu)于儲(chǔ)蓄。iid1ddi111221211ididiid

31、d注：若 與 等價(jià)，若 與等價(jià)，則當(dāng)且僅當(dāng)2）從年利率的角度看）從年利率的角度看 ，零息債券的利率，零息債券的利率 =5.26%而儲(chǔ)蓄利率而儲(chǔ)蓄利率i = 5.25% 5.26% ，債券投資優(yōu)于儲(chǔ)蓄。債券投資優(yōu)于儲(chǔ)蓄。例：例： 若現(xiàn)有面額為若現(xiàn)有面額為100 元的零息債券，在到期前一元的零息債券，在到期前一年的時(shí)刻價(jià)格為年的時(shí)刻價(jià)格為95 元，同時(shí)，短期一年儲(chǔ)蓄利率元，同時(shí)，短期一年儲(chǔ)蓄利率為為5.25%，如何進(jìn)行投資選擇？，如何進(jìn)行投資選擇？名利率名利率(nominal rate of interest) 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出儲(chǔ)蓄、儲(chǔ)蓄、 保險(xiǎn)、債券投資等金融業(yè)務(wù)通常會(huì)涉及許多保險(xiǎn)、債券投資

32、等金融業(yè)務(wù)通常會(huì)涉及許多不同的期限，比如，目前銀行開(kāi)設(shè)的人民幣整存整取不同的期限，比如，目前銀行開(kāi)設(shè)的人民幣整存整取定期儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)包括定期儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)包括3個(gè)月、個(gè)月、6個(gè)月、個(gè)月、1年、年、2年、年、3年年和和5年六個(gè)檔期它們各自的利率相互之間如何比較？年六個(gè)檔期它們各自的利率相互之間如何比較？現(xiàn)行儲(chǔ)蓄利率現(xiàn)行儲(chǔ)蓄利率人民幣存款利率人民幣存款利率2002年年2月月21日起執(zhí)行日起執(zhí)行 項(xiàng)目年利率（）項(xiàng)目年利率（）活期存款活期存款 0.72 定期存款（整存整取定期存款（整存整取 ） 三個(gè)月三個(gè)月1.71 半年半年1.89 一年一年1.98 二年二年 2.25 三年三年 2.52 五年五年 2.79

33、分析分析：存三個(gè)月的實(shí)利率為：存三個(gè)月的實(shí)利率為1.71%，而存，而存1年的實(shí)利年的實(shí)利率為率為1.98%，如果真是這樣的話(huà)，恐怕就不會(huì)有人存，如果真是這樣的話(huà)，恐怕就不會(huì)有人存1年期的定期了。因?yàn)榭梢钥紤]在年期的定期了。因?yàn)榭梢钥紤]在1年期間可以存了年期間可以存了取、再存再取、總共可以存上四個(gè)取、再存再取、總共可以存上四個(gè)3個(gè)月定期這樣個(gè)月定期這樣的話(huà)，按照復(fù)利公式可以得到的話(huà)，按照復(fù)利公式可以得到1年下來(lái)年下來(lái)1個(gè)單位的本個(gè)單位的本金的累積值為：金的累積值為： 4(11.71%)1.070217.02%利息收入遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)存一個(gè)利息收入遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)存一個(gè)1年的定期年的定期 五年期定期的利率僅為五年

34、期定期的利率僅為2.79%，而，而1年期定期的年期定期的利率為利率為1.98%，難道還會(huì)有人存五年的定期嗎？，難道還會(huì)有人存五年的定期嗎？實(shí)利率考慮的是在一個(gè)計(jì)息期內(nèi)所真實(shí)獲得的全部實(shí)利率考慮的是在一個(gè)計(jì)息期內(nèi)所真實(shí)獲得的全部利息與期初本金金額之比，而名利率考慮的是在一個(gè)利息與期初本金金額之比，而名利率考慮的是在一個(gè)計(jì)息期內(nèi)，當(dāng)計(jì)息期內(nèi)，當(dāng)支付利息的次數(shù)不止一次支付利息的次數(shù)不止一次或或不足一次不足一次時(shí)時(shí)如何計(jì)算利率。如何計(jì)算利率。相關(guān)術(shù)語(yǔ)：相關(guān)術(shù)語(yǔ)：利息換算期利息換算期(interest conversion period)月?lián)Q算月?lián)Q算(convertible monthly)季換算季換算

35、(payable quarterly)半年換算半年換算(compounded semiannually) 例：例： （季換算名利率（季換算名利率4%）表示每個(gè)季度換算）表示每個(gè)季度換算一次利息，且每個(gè)季度的實(shí)利率為一次利息，且每個(gè)季度的實(shí)利率為1 如三個(gè)月定期存款利率如三個(gè)月定期存款利率(掛牌利率掛牌利率)為則為則10000元存滿(mǎn)三個(gè)月可得利息元存滿(mǎn)三個(gè)月可得利息42.75元元 ()()()(1)()mmmimmiimm定義：的整數(shù) 被稱(chēng)為 換算名利率 或“掛牌利率”，即在標(biāo)準(zhǔn)的利息計(jì)算時(shí)間單位內(nèi)（一般為一年）依利率換算 次，每個(gè)換算期內(nèi)的實(shí)利率為。(4)4%i(4)1.71%i注：半年掛牌利

36、率為注：半年掛牌利率為1.89%即半年期的即半年期的實(shí)利率為實(shí)利率為1.89%/2=0.945%，連續(xù)存兩個(gè)半年定期，連續(xù)存兩個(gè)半年定期可得利息可得利息 例：例： 連續(xù)存連續(xù)存4個(gè)三個(gè)月定期和存一個(gè)一年期定期哪個(gè)三個(gè)月定期和存一個(gè)一年期定期哪一個(gè)更合算？一個(gè)更合算？解：設(shè)期初本金解：設(shè)期初本金10000元，連續(xù)存元，連續(xù)存4個(gè)三個(gè)月定期，個(gè)三個(gè)月定期，則可得利息則可得利息 410000(1 1.71%/ 4)1000172.10210000(1 1.89%/ 2)1000189.89(2)1.89%i而存一個(gè)一年期定期則可得利息而存一個(gè)一年期定期則可得利息198.00元元 (1/)(1/)(1

37、/)(1/)(1/2)(1/2)(1/3)(12 2.25%222.25%=4.5% 3 2.52% 3mmmmmimimmimimmiiii在個(gè) 時(shí) 期 中 支 付 一 次 利 息 的 名 利 率 的 符 號(hào) 為其 中是 大 于 的 正 整 數(shù) 。名 利 率是 指 每個(gè) 時(shí) 期 支 付 一 次 利 息 ， 且 在時(shí) 期 中 支 付 利 息 是 按 照 利 率進(jìn) 行 的 ， 即為 每時(shí) 期 的 實(shí) 利 率 。例 ：年 期 定 期 年 的 實(shí) 利 率 為年 期 定 期年 的 實(shí) 利 率 為/3)(1/5)(1/5)32.52%3=7.56% 5 2.79% 552.79%5=13.95%ii年

38、期 定 期年 的 實(shí) 利 率 為例例:500元以季掛牌存款利率元以季掛牌存款利率8%經(jīng)經(jīng)5年后的價(jià)值為多少？年后的價(jià)值為多少？4 520500 (1+8%/4) =500 (1+2%) =742.97( )mi()1(1)mmiim ()(1)1mmiim實(shí)際應(yīng)用中通常需要計(jì)算與名利率等價(jià)的實(shí)際應(yīng)用中通常需要計(jì)算與名利率等價(jià)的(年年)實(shí)利率實(shí)利率i 的大小的大小 。名利率與等價(jià)的實(shí)利率有如下關(guān)系：名利率與等價(jià)的實(shí)利率有如下關(guān)系：或或()()1/()(1)1mmmiiimi由 年 實(shí)利率 也可以計(jì)算出名利率，即()()()()()()()(1)1()()1()mmmmmmmmmmiiiimiim

39、mmiiim由二項(xiàng)式展開(kāi)可以證明，因?yàn)?=1+ =+(1/ )(1/ )1(1/ )(1/)()(1)1(1)1)/mmmmmmiiiimiimii名利率與等價(jià) 年 利率 有如下關(guān)系以及并且由二項(xiàng)式展開(kāi)可以證明補(bǔ)充補(bǔ)充 銀行儲(chǔ)蓄常識(shí)銀行儲(chǔ)蓄常識(shí) 人民幣儲(chǔ)蓄按存款期限不同分為活期儲(chǔ)蓄和定期儲(chǔ)蓄人民幣儲(chǔ)蓄按存款期限不同分為活期儲(chǔ)蓄和定期儲(chǔ)蓄兩大類(lèi)兩大類(lèi) 定期儲(chǔ)蓄又包括了定期儲(chǔ)蓄又包括了整存整取整存整取、零存整取零存整取、整整存零取存零取、存本取息存本取息、定活兩便定活兩便等等 活期儲(chǔ)蓄存款活期儲(chǔ)蓄存款由儲(chǔ)蓄機(jī)構(gòu)發(fā)給存折，憑存折存由儲(chǔ)蓄機(jī)構(gòu)發(fā)給存折，憑存折存取，開(kāi)戶(hù)后可以隨時(shí)存取?；钇趦?chǔ)蓄存款帳戶(hù)于

40、每年取，開(kāi)戶(hù)后可以隨時(shí)存取。活期儲(chǔ)蓄存款帳戶(hù)于每年6月月30日日統(tǒng)一結(jié)算利息一次利息并入本金一并生息統(tǒng)一結(jié)算利息一次利息并入本金一并生息 。 整存整取定期儲(chǔ)蓄存款整存整取定期儲(chǔ)蓄存款 由儲(chǔ)蓄機(jī)構(gòu)發(fā)給存單，存由儲(chǔ)蓄機(jī)構(gòu)發(fā)給存單，存期分期分3個(gè)月、半年、個(gè)月、半年、1年、年、2年、年、3年、年、5年年六檔期六檔期本金本金一次存入一次存入 到期憑存單支取本息。到期憑存單支取本息。 存款的計(jì)息存款的計(jì)息利率分為年利率、月利率和日利率三種，相互之間利率分為年利率、月利率和日利率三種，相互之間的換算采用的換算采用30/360規(guī)則（即規(guī)則（即普通利息算法普通利息算法）。）。 即：即： 1年年 = 12月月

41、= 360日日 月利率月利率 = 年利率年利率/ 12， 日利率日利率 = 年利率年利率/ 360 1月月 = 30日日 日利率日利率 = 月利率月利率/ 30 例例 ： 活期儲(chǔ)蓄利率活期儲(chǔ)蓄利率掛牌利率掛牌利率(年單利率年單利率) = 0.72% 日利率日利率= 0.72% / 360 = 0.002% 注：一年期以?xún)?nèi)活期儲(chǔ)蓄為單利計(jì)息注：一年期以?xún)?nèi)活期儲(chǔ)蓄為單利計(jì)息按按儲(chǔ)蓄管理?xiàng)l例儲(chǔ)蓄管理?xiàng)l例規(guī)定：存款的計(jì)息起點(diǎn)為元，規(guī)定：存款的計(jì)息起點(diǎn)為元，元以下角分不計(jì)利息，利息金額算至分位，分以下尾元以下角分不計(jì)利息，利息金額算至分位，分以下尾數(shù)四舍五入。數(shù)四舍五入。 存期的計(jì)算采用存期的計(jì)算采用“

42、算頭不算尾算頭不算尾” 的方法，即是從的方法，即是從存款存入銀行的當(dāng)日算起，存款存入銀行的當(dāng)日算起， 直至取款日前一天為止。直至取款日前一天為止。取款當(dāng)日不計(jì)利息取款當(dāng)日不計(jì)利息 定期儲(chǔ)蓄存款提前支取的，按支取日掛牌公告的定期儲(chǔ)蓄存款提前支取的，按支取日掛牌公告的活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，部分提前支取的，提前活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，部分提前支取的，提前支取的部分按支取日掛牌公告的活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)支取的部分按支取日掛牌公告的活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，其余部分到期時(shí)按開(kāi)戶(hù)日掛牌公告的整存整付利息，其余部分到期時(shí)按開(kāi)戶(hù)日掛牌公告的整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，部分

43、提前支取以一次部分提前支取以一次為限。為限。除約定自動(dòng)轉(zhuǎn)存外，定期儲(chǔ)蓄存款過(guò)期支取的，其除約定自動(dòng)轉(zhuǎn)存外，定期儲(chǔ)蓄存款過(guò)期支取的，其過(guò)期部分的利息按活期存款計(jì)算。過(guò)期部分的利息按活期存款計(jì)算。 活期活期儲(chǔ)蓄存款在存入期間遇有利率調(diào)整，按儲(chǔ)蓄存款在存入期間遇有利率調(diào)整，按結(jié)息日掛結(jié)息日掛牌公告的活期儲(chǔ)蓄存款利率牌公告的活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)算利息。計(jì)算利息。定期定期儲(chǔ)蓄存款在存期內(nèi)如遇利率調(diào)整仍按存單儲(chǔ)蓄存款在存期內(nèi)如遇利率調(diào)整仍按存單開(kāi)戶(hù)日開(kāi)戶(hù)日掛牌公告的相應(yīng)的定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)算利息。掛牌公告的相應(yīng)的定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)算利息。 從從1999年年11月月1日起儲(chǔ)蓄存款利息所得按照每次取得日起儲(chǔ)蓄存

44、款利息所得按照每次取得的利息所得額征收的利息所得額征收20%的個(gè)人所得稅；的個(gè)人所得稅；儲(chǔ)蓄存款在儲(chǔ)蓄存款在2007年年8月月15日后的利息所得，按照日后的利息所得，按照5%的比例稅率征的比例稅率征收個(gè)人所得稅。收個(gè)人所得稅。 例：一年期定期儲(chǔ)蓄掛牌利率為例：一年期定期儲(chǔ)蓄掛牌利率為1.98%稅后實(shí)際利稅后實(shí)際利率為率為1.98%80%1.584%； 1.98%95%1.881%例例 ： 單利與復(fù)利的比較單利與復(fù)利的比較 活期儲(chǔ)蓄在每年的活期儲(chǔ)蓄在每年的7月月1日至次年的日至次年的6月月30日之間是按日之間是按照單利來(lái)計(jì)息的，照單利來(lái)計(jì)息的， 如果按照復(fù)利來(lái)計(jì)息，即做到利滾如果按照復(fù)利來(lái)計(jì)息，

45、即做到利滾利利, 收益會(huì)增加多少？收益會(huì)增加多少？ 解解 ：本金：本金10000元元 單利計(jì)息單利計(jì)息 10000 0.72%=72元元 復(fù)利計(jì)息（復(fù)利計(jì)息（1年按照年按照360天計(jì)天計(jì) ）360100000.002%1000072.26（）元即每即每 1 萬(wàn)元比原先多出利息萬(wàn)元比原先多出利息 0.26 元元 注：注： 當(dāng)利率水平較低或當(dāng)時(shí)間較短的時(shí)候復(fù)利與單當(dāng)利率水平較低或當(dāng)時(shí)間較短的時(shí)候復(fù)利與單利的差別不大利的差別不大( )( )( )( )( )( )1/(1)1(1)1 (1)1 (1)pppppppppdpddppddddppdpd 定義：名貼現(xiàn)率整數(shù) ，是指在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)息期內(nèi)依換算 次

46、，每個(gè)換算期內(nèi)的實(shí)際貼現(xiàn)率為名貼現(xiàn)率與等價(jià)的實(shí)貼現(xiàn)率有如下關(guān)系或以及名貼現(xiàn)率（名貼現(xiàn)率（nominal rate of discount ）結(jié)論結(jié)論 相同計(jì)息期內(nèi)等價(jià)的名利率與名貼現(xiàn)率有如下相同計(jì)息期內(nèi)等價(jià)的名利率與名貼現(xiàn)率有如下的關(guān)系（的關(guān)系（m, p可以不相同）可以不相同） ( )( )( )( )1( )( )( )( )1)(1)(1)2),(1)(1)mpmpmmmmmmidmpmpidmmididmmmm 若則有：及midmm111)()(從而有()( )1()() 1)(1)1(1)(1)1 2)mpmpmmididmpidmmm 注 注 與為計(jì)息期內(nèi)等價(jià)的實(shí)利率與貼現(xiàn)現(xiàn)率例例

47、有以下兩種有以下兩種5年期的投資選擇：年期的投資選擇：A：年利率：年利率7%，每，每半年計(jì)息一次：半年計(jì)息一次：B：年利率：年利率7.05%，每年計(jì)息一次比較，每年計(jì)息一次比較兩種選擇的收益。兩種選擇的收益。 解解方法一方法一 比較等價(jià)的年實(shí)利率比較等價(jià)的年實(shí)利率方法二方法二 比較實(shí)際收益比較實(shí)際收益結(jié)論結(jié)論 A A收益高收益高(2)27%7%,(1)17.1225%7.05%2AABiii 1057%(5)(1)1.41062(5)(17.05%)1.4058(5)(5)ABABaaaa例例 求與月?lián)Q算名貼現(xiàn)率為求與月?lián)Q算名貼現(xiàn)率為6%等價(jià)的季換算名利率。等價(jià)的季換算名利率。解解 已知已知

48、求與之等價(jià)的求與之等價(jià)的由由可得可得(12 )6% ,d( 4 )i(4)4(12)12(1/ 4)(1/12)id(4)(12)334(1/12)14(0.995)10.06066.06%id連續(xù)利息計(jì)算連續(xù)利息計(jì)算 連續(xù)型利息模型，即利息的產(chǎn)生是連續(xù)地依賴(lài)于時(shí)間的，連續(xù)型利息模型，即利息的產(chǎn)生是連續(xù)地依賴(lài)于時(shí)間的，但利息的支付卻不必是連續(xù)的。但利息的支付卻不必是連續(xù)的。 考慮理想的情形，即考慮理想的情形，即每個(gè)瞬間都可以進(jìn)行利息的換算每個(gè)瞬間都可以進(jìn)行利息的換算，如何來(lái)度量利息在每一個(gè)小瞬間的變化的強(qiáng)度。如何來(lái)度量利息在每一個(gè)小瞬間的變化的強(qiáng)度。 定義：定義：設(shè)累積函數(shù)設(shè)累積函數(shù) 為為 的

49、連續(xù)可微函數(shù)，則稱(chēng)的連續(xù)可微函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)函數(shù) 為累積函數(shù)為累積函數(shù) 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的利息力函數(shù)利息力函數(shù)，并稱(chēng)利息力函數(shù)在，并稱(chēng)利息力函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻的值為各個(gè)時(shí)刻的值為利息力利息力(force of interest)(force of interest)( )att( )( )ta ta t 0t )(ta 累積函數(shù)可以表示為累積函數(shù)可以表示為貼現(xiàn)函數(shù)可以表示為貼現(xiàn)函數(shù)可以表示為0( )exp(ds)tsa t10( )exp(ds)tsat注注0( )(ln ( )dsln ( )ln (0)( )ttsa ta ta taa t定義定義: 時(shí)刻時(shí)刻 的的貼現(xiàn)力貼現(xiàn)力(force of di

50、scount) 為為注注 負(fù)號(hào)使得貼現(xiàn)力取正值負(fù)號(hào)使得貼現(xiàn)力取正值結(jié)論結(jié)論: 利息力與貼現(xiàn)力相等即利息力與貼現(xiàn)力相等即注注tt11( )( )tatat tt1211( )( ) ( )( )( )( )( )atat a ta tatata t 例例: :求單利在時(shí)刻求單利在時(shí)刻t t 的利息力的利息力解解: :從而時(shí)刻從而時(shí)刻 t t 的利息力為的利息力為注注 單利的利息力關(guān)于時(shí)間為遞減函數(shù)單利的利息力關(guān)于時(shí)間為遞減函數(shù)例例: :求復(fù)利在時(shí)刻求復(fù)利在時(shí)刻t t 的利息力的利息力解解: :從而時(shí)刻從而時(shí)刻 t t 的利息力為的利息力為itaitta)(,1)(ititatat1)()(tti

51、itaita)1)(1ln()(,)1 ()(aaaxxln)()1ln()()(itatat注：復(fù)利的利息力關(guān)于時(shí)間為常值函數(shù)注：復(fù)利的利息力關(guān)于時(shí)間為常值函數(shù)結(jié)論結(jié)論: :若利息力為常數(shù)若利息力為常數(shù), ,即即 則則1) 1) 2)2)常數(shù)利息力常數(shù)利息力 與實(shí)利率與實(shí)利率i 的關(guān)系式為的關(guān)系式為3)3)在相同計(jì)息期內(nèi)在相同計(jì)息期內(nèi)注：注：此即為復(fù)利情形此即為復(fù)利情形a(t)=(1+i)t,tttetaeta)(,)(1)1ln()ln()1ln(, 1dvieiid證明證明 1):證明證明 2):由由 ，可得，可得 由由i,v,d的關(guān)系可得，的關(guān)系可得，ttedsta)exp()(0i

52、e a1(1)1ei)1ln()ln()1ln(dviid.! 3! 2132eiddddd.32)1ln(32證明證明 3)：由由 2)可以證明可以證明 即即 結(jié)論：名利率結(jié)論：名利率 與名貼現(xiàn)率與名貼現(xiàn)率 以及利息力以及利息力 有如下關(guān)系有如下關(guān)系 deiediiiddepdemidippmmmpppmmpm11limlim1 1)()()()()()()()()(mi)( pd1)(mmemi1 )(ppepdiiddmp)()()()(limlimppmmdiie1de11） 2） 3） 4） 注注 1)&2): ，注注 3)&4): 利用展開(kāi)式利用展開(kāi)式.! 311!

53、 211 1322)(mmemimm21)()( ,12mmiiimmmdiim)(0而而 的性質(zhì)可由與的性質(zhì)可由與 的關(guān)系式及相應(yīng)性質(zhì)的關(guān)系式及相應(yīng)性質(zhì)推出推出)( pd)(mi可以證明可以證明 以及以及 1649$1000)10()0()10(10%5eaAA例例 Find the accumulated value of $1000 invested for ten years if the force of interest is 5%.解解例例:基金基金 F以利息力函數(shù)以利息力函數(shù) 累積；基金累積；基金G以利息力函數(shù)以利息力函數(shù) 累積。分別用累積。分別用 和和 表示兩個(gè)基金在時(shí)刻表示

54、兩個(gè)基金在時(shí)刻 的累積函數(shù)，令的累積函數(shù)，令 ，計(jì)算使，計(jì)算使 達(dá)到最大的時(shí)刻達(dá)到最大的時(shí)刻 T。0)(t 11tt0)(t 2142ttt)(taF)(taG0)(t t)()()(tatathGF)(th解：由題設(shè)條件有解：由題設(shè)條件有 tdsstatF1)11exp()(020221)214exp()(tdssstatG22)(ttthtth41)(41T根據(jù)根據(jù) h(t)定義得定義得 以及以及 ,由由此可以求出使此可以求出使 h(t) 達(dá)到最大的時(shí)刻達(dá)到最大的時(shí)刻 注注: 此例為變利息力此例為變利息力基金F與基金G的累積函數(shù) 1.2 1.2 利息基本計(jì)算利息基本計(jì)算有關(guān)利息計(jì)算的基本要

55、點(diǎn)有關(guān)利息計(jì)算的基本要點(diǎn)1) 1) 投資開(kāi)始時(shí)的現(xiàn)值投資開(kāi)始時(shí)的現(xiàn)值( (貨幣貨幣) )2) 2) 投資經(jīng)過(guò)的時(shí)間投資經(jīng)過(guò)的時(shí)間( (時(shí)間時(shí)間) )3) 3) 利率利率( (貨幣的時(shí)間價(jià)值度量貨幣的時(shí)間價(jià)值度量) )4) 4) 投資結(jié)束時(shí)的終值投資結(jié)束時(shí)的終值( (貨幣貨幣) )關(guān)鍵關(guān)鍵: :其中的任何三個(gè)的值都可以決定第四其中的任何三個(gè)的值都可以決定第四個(gè)的值個(gè)的值投資時(shí)間的度量投資時(shí)間的度量 精確利息計(jì)算精確利息計(jì)算(exact simple or compound interest) “實(shí)際投資天數(shù)實(shí)際投資天數(shù)/年實(shí)際天數(shù)年實(shí)際天數(shù)”(Actual/Actual) 按實(shí)際的投資天數(shù)計(jì)算，

56、一年為按實(shí)際的投資天數(shù)計(jì)算，一年為365 天天 普通利息計(jì)算普通利息計(jì)算(Ordinary simple/compound interest) “30/360” 假設(shè)每月有假設(shè)每月有30天，一年為天，一年為360天天注：注： 兩個(gè)給定日期之間的天數(shù)的計(jì)算公式為兩個(gè)給定日期之間的天數(shù)的計(jì)算公式為 360(Y2 -Y1) + 30(M2 -M1)+ (D2 - D1) 其中，其中，Y2、M2、D2分別代表支取日的年、月、日，而分別代表支取日的年、月、日，而 Y1、M1、D1、則分別代表存入日的年、月、日。、則分別代表存入日的年、月、日。例：存入日：例：存入日：1999 1999 年年3 3 月月1

57、1 11 日日 支取日：支取日： 2000 2000 年年6 6 月月20 20 日日 存期天數(shù)存期天數(shù)=360=360（2000199920001999）+30+30（6-36-3）+ +（20- 1120- 11） = 360+90+9 = 459= 360+90+9 = 459例：存入日：例：存入日：1999 1999 年年6 6 月月20 20 日日 支取日：支取日：2000 2000 年年3 3 月月11 11 日日存期天數(shù)存期天數(shù)=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20)=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20) =360(1999-1999

58、)+30(12+2-6)+(30+11-20) =360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20) =0+240+21= 261 =0+240+21= 261注注 大月日歷日大月日歷日3030日與日與3131日被視為同一天；二月當(dāng)月存日被視為同一天；二月當(dāng)月存入、當(dāng)月取出的，按照實(shí)際存款天數(shù)計(jì)算，跨月存入、入、當(dāng)月取出的，按照實(shí)際存款天數(shù)計(jì)算，跨月存入、取出的，則按照取出的，則按照3030天計(jì)算。天計(jì)算。銀行家利息法則銀行家利息法則(Bankers Rule)“實(shí)際天數(shù)實(shí)際天數(shù)/360”/360”按實(shí)際的投資天數(shù)計(jì)算，但一年設(shè)為按實(shí)際的投資天數(shù)計(jì)算，但一年設(shè)為36036

59、0天天注：注： 不是所有的利息計(jì)算都需要計(jì)算天數(shù)不是所有的利息計(jì)算都需要計(jì)算天數(shù)( (如銀行儲(chǔ)蓄、債券交易會(huì)涉及投資天數(shù)的如銀行儲(chǔ)蓄、債券交易會(huì)涉及投資天數(shù)的計(jì)算），許多金融業(yè)務(wù)是自動(dòng)依月、季、計(jì)算），許多金融業(yè)務(wù)是自動(dòng)依月、季、半年或一年進(jìn)行的。半年或一年進(jìn)行的。價(jià)值方程價(jià)值方程問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 :多筆金融業(yè)務(wù)發(fā)生在不同時(shí)刻如何來(lái)統(tǒng)一處理多筆金融業(yè)務(wù)發(fā)生在不同時(shí)刻如何來(lái)統(tǒng)一處理 ?在考慮利息問(wèn)題時(shí)貨幣將具有時(shí)間性即在考慮利息問(wèn)題時(shí)貨幣將具有時(shí)間性即“貨幣的貨幣的時(shí)間價(jià)值時(shí)間價(jià)值” （time value of money ）不同時(shí)刻的貨幣量是無(wú)法直接比較大小的必須將不同時(shí)刻的貨幣量是無(wú)法

60、直接比較大小的必須將 這些量調(diào)整累積或貼現(xiàn)到某一個(gè)共同日期（這些量調(diào)整累積或貼現(xiàn)到某一個(gè)共同日期（比較比較日日/comparison date）來(lái)進(jìn)行比較）來(lái)進(jìn)行比較調(diào)整到比較日的計(jì)算方程被稱(chēng)為調(diào)整到比較日的計(jì)算方程被稱(chēng)為“價(jià)值方程價(jià)值方程” （equation of value）注注 ：期初和期末期初和期末是兩個(gè)特殊的比較日，中間其是兩個(gè)特殊的比較日，中間其它時(shí)刻都可以作為比較日。現(xiàn)值方程它時(shí)刻都可以作為比較日?，F(xiàn)值方程/終值方程終值方程是將比較日選為期初是將比較日選為期初/期末的兩種特殊的價(jià)值方期末的兩種特殊的價(jià)值方程程.。注注 ：采用復(fù)利計(jì)算，最終計(jì)算結(jié)果與比較日的采用復(fù)利計(jì)算，最終計(jì)算結(jié)果與比較日的選