專題16 存在性-菱形（解析版）

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題-二次函數(shù)-存在性問(wèn)題第16節(jié) 菱形的存在性方法點(diǎn)撥菱形ABCD，M為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為（）或者（）解題方法：（在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線垂直或者鄰邊相等）（1）選一定點(diǎn)，再將這一定點(diǎn)與另外點(diǎn)的連線作為對(duì)角線，分類討論；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程：；（3）對(duì)角線垂直： 例題演練1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx2+x+2與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PFx軸交直線BC于點(diǎn)F，過(guò)P作PEy軸交直線BC于點(diǎn)E，求線段EF的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將該拋物線沿著射線A

2、C方向平移個(gè)單位得到新拋物線y，N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）令x0，則2，解得點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），令y0，即，解得：x4或1，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）（2）設(shè)直線BC解析式為ykx+b，代入點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)，得：，解得：直線BC解析式為yx+2設(shè)P坐標(biāo)為（m，），則E坐標(biāo)為（m，m+2），其中0m4設(shè)點(diǎn)F橫坐標(biāo)為xF，縱坐標(biāo)yF，令xF+2，解得：xFm23mPE（m+2），PFm（m23m）m2+4mEF，則當(dāng)m2時(shí)，EF有最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）

3、（3）存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，6）或（2，2）或（6，4）或（6，4），理由如下：OA1，OC2，AC又，拋物線沿著射線AC方向平移個(gè)單位，實(shí)際上等同于將該拋物線向右移動(dòng)個(gè)單位，向上移動(dòng)1個(gè)單位原拋物線對(duì)稱軸方程為x，新拋物線對(duì)稱軸方程為x+2設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，n）、點(diǎn)Q坐標(biāo)為（a，b）當(dāng)BC為菱形的邊時(shí)：以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫圓交對(duì)稱軸x2于點(diǎn)N1、N2.如圖1此時(shí)，BCBN1BN22，即，解得：MN14故點(diǎn)N1坐標(biāo)為（2，4），同理可得點(diǎn)N2坐標(biāo)為（2，4）由菱形對(duì)角線性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即，解得：；或，解得：點(diǎn)Q1坐標(biāo)為（2，6），Q2

4、（2，2）以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫圓交對(duì)稱軸x2于點(diǎn)N3、N4，作N3Py軸于點(diǎn)P，如圖2此時(shí)CBCN3CN4，PN32，PC4，故點(diǎn)N3坐標(biāo)為（2，6），同理可得N4坐標(biāo)為（2，2）由菱形對(duì)角線性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即，解得：；或，解得：點(diǎn)Q3坐標(biāo)為（6，4），Q4（6，4）當(dāng)BC為菱形的對(duì)角線時(shí)，則NQ為另一對(duì)角線，BC垂直平分NQ，此時(shí)BC中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），又N（2，n）且NCNB，則N點(diǎn)必與BC中點(diǎn)重合，此時(shí)不存在點(diǎn)Q，則不能構(gòu)成菱形綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，6）或（2，2）或（6，4）或（6，4）2如圖，拋物線y與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是

5、拋物線的頂點(diǎn)（1）如圖1，連接AC，BC，判斷ABC的形狀，說(shuō)明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PEBC交AC于點(diǎn)E，作PQy軸交AC于點(diǎn)Q，求CE+AQ的最小值及此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將該拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線ya1x2+b1x+c1（a10），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)A，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）ABC為直角三角形，理由如下：當(dāng)x0時(shí)，y2，當(dāng)y0時(shí)，0，解得x12，x26，A（6，0），B（2

6、，0），C（0，2），BC2OB2+OC216，AC2OA2+OC248，AB28264，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形；（2）由（1）得，tanBCO，故BCO30°，A（6，0），C（0，2），直線AC的解析式為yx+2，CE+AQACEQ，當(dāng)EQ最大時(shí)，CE+AQ最小，PEBC，POy軸，BCOQPE30°，EQPQ，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2+m+2），則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m+2），EQPQm2+m+2（m+2）m2+m（m3）2+，當(dāng)m3時(shí)，EQ最大，最大值為，此時(shí)P（3，），PEBC，PEAC，設(shè)直線PE的解析式為yx+b，把P點(diǎn)代入可得b，即直線PE的

7、解析式為yx，聯(lián)立直線AC、PE的解析式解得，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，），CE+AQ最小值為CE+EQACEQ4；（3）存在，由題知平移后的解析式為y（x2）2+（x2）+2x2+，與原解析式聯(lián)立解得，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），原拋物線對(duì)稱軸為x2，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，n），當(dāng)AP2AQ2時(shí)，52+（）242+n2，解得n±，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）或（2，），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）或（3，），當(dāng)AP2PQ2時(shí)，52+（）212+（n）2，解得n，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）或（2，），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，）或（7，），當(dāng)QA2PQ2時(shí)，42+n212+（n）2，解得n，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

8、5，），綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（5，）或（7，）或（7，）或（3，）或（3，）3如圖，拋物線yx22x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸與點(diǎn)C，點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，連接AC（1）如圖1，連接DA、DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)和ACD的面積；（2）如圖2，點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PEy軸，交直線AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PFAC，垂足為F，當(dāng)PEF周長(zhǎng)最大時(shí)，在x軸上存在一點(diǎn)Q，使|QPQD|的值最大，請(qǐng)求出這個(gè)最大值以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)（2）題中|QPQD|取得最大值時(shí)，點(diǎn)M為直線x2上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)D、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱

9、形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）如圖1中，連接OD拋物線yx22x+3（x+1）2+4，點(diǎn)D（1，4），令y0，得到x2+2x30，解得x3或1，A（3，0），B（1，0），令x0，得到y(tǒng)3，C（0，3），SADCSAOD+SCODSAOC×3×4+×3×1×3×32（2）如圖2中，延長(zhǎng)PE交OA于HOAOC3AOC90°，OACACO45°，PEy軸，AHE90°，AEHPEF45°，PFAC，AEF90°，PEF是等腰直角三角形，PE的值最大

10、時(shí)，PEF的周長(zhǎng)最大，設(shè)P（m，m22m+3），直線AC的解析式為yx+3，E（m，m+3），PEm22m+3m3m23m（m+）2+，10，m時(shí)，PEF的周長(zhǎng)最大，此時(shí)P（，），D（1，4），PD，|QPQD|PD，|QPQD|，|QPQD|的最大值為，此時(shí)P，D，Q共線，直線PD的解析式y(tǒng)x+，令y0，得到x9，Q（9，0）（3）如圖3中，由（2）可知，Q（9，0），D（1，4），則DQ4當(dāng)DQ是菱形的邊時(shí)，DMDQ4，設(shè)M（2，t），則12+（4t）280，解得t4±，M1（2，4+），M2（2，4），DN與MQ互相平分，N1（10，），N2（10，），當(dāng)DQ是菱形的對(duì)角線時(shí)，

11、設(shè)M（2，n），MQMD，72+n212+（4n）2，n5，M3（2，5），DQ與MN互相平分，N3（8，9），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（10，）或（10，）或（8，9）4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：yx2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)F為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，求FCD面積的最大值；（3）如圖2，將拋物線C1向右平移2個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位得到拋物線C2，M為拋物線C2上一動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得四邊

12、形DMCN為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）把A（0，8）、B（4，0）代入yx2+bx+c，得，解得，該二次函數(shù)的表達(dá)式為yx2+x+8；當(dāng)y0時(shí)，由x2+x+80，得x14，x28，C（8，0）（2）如圖1，作FGx軸于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)E.設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為ykx+4，則8k+40，解得k，yx+4設(shè)F（x，x2+x+8）（0x8），則E（x，x+4），EFx2+x+8+x4x2+x+4，SFCDOGEF+CGEFOCEF，SFCD×8（x2+x+4）x2+6x+16（x3）2+25，當(dāng)x3時(shí)，F(xiàn)CD面積的最大值為25（3）存在由題

13、意可知，點(diǎn)M、N在線段CD的垂直平分線上.拋物線C1：yx2+x+8（x2）2+9，平移后得拋物線C2：y（x4）2+4x2+2x如圖2，設(shè)CD的中點(diǎn)為Q，則Q（4，2），過(guò)點(diǎn)Q作CD的垂線交拋物線C2于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)HCQHCOD90°，OD4，CO8，CD4，CQCD2，CH5，OH853，H（3，0），設(shè)直線QH的函數(shù)表達(dá)式為ymx+n，則，解得，y2x6由，得，M1（，），M2（，），點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)Q（4，2）成中心對(duì)稱，N1（8+2，10+4），N2（82，104）5如圖，拋物線yx2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2），交x軸于點(diǎn)A（1，0）和B，連接BC，直線ykx+

14、1與y軸交于點(diǎn)D，與BC上方的拋物線交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M為直線DE上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）設(shè)B（xB，yB），將A（1，0），C（0，2）代入yx2+bx+c中，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為：yx2+x+2，點(diǎn)B在x軸上，yB0，將yB0代入yx2+x+2中，得：xB2+xB+20，解得：xB14，xB21（不符合題意，舍去），B（4，0）；（

15、2）由題意知，點(diǎn)E位于y軸右側(cè)，作EGy軸交BC于點(diǎn)G，CDEG，直線ykx+1與y軸交于點(diǎn)D，D（0，1），CD211，EG，設(shè)直線BC的解析式為ymx+n（m0），將B（4，0），C（0，2）代入，得：，解得：，直線BC的解析式為yx+2，設(shè)點(diǎn)E（t，t2+t+2），則G（t，t+2），且0t4，EG（t2+t+2）（t+2）t2+2t（t2）2+2，（t2）2+2，0，當(dāng)t2時(shí)，的值最大，最大值為2，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）；（3）存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形設(shè)直線DE的解析式為ykx+b，將D（0，1），E（2，3）代入，得：，解得：，直線DE的解析式為

16、yx+1，設(shè)M（n，n+1），B（4，0），D（0，1），BM2（4n）2+（0n1）22n26n+17，DM2（0n）2+（1n1）22n2，BD242+1217，以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分兩種情況：BD為邊時(shí)或BD為對(duì)角線，當(dāng)BD為邊時(shí)，MNDMBD（如圖2）或MNBMBD（如圖3），DM2BD217或BM2BD217，即2n217或2n26n+1717，解得：n±或n0（舍去）或n3，M（，）或M（，）或M（3，4），如圖4，當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，設(shè)BD的中點(diǎn)為Q，則Q（2，），四邊形BMDN是菱形，MNBD，QBQDBD，QD2+QM2DM2，（20）2+（1）2

17、+（n2）2+（n+1）22n2，解得：n，M（，），綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）或（3，4）或（，）6在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC（1）求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)及直線BC的解析式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)BPC面積最大時(shí)，在x軸下方找一點(diǎn)Q，使得AQ+BQ+2PQ最小，記這個(gè)最小值是d，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及d2（3）在（2）的條件下，連接AP交y軸于點(diǎn)R，將拋物線沿射線PA平移，平移后的拋物線記為y'，當(dāng)y'經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，將拋物線y'位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得的曲線記為N，點(diǎn)D&

18、#39;為曲線N的頂點(diǎn)，將AOP沿直線AP平移，得到A'O'P'，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)T，使以點(diǎn)D'，R'，O'，T為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出O'的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）在二次函數(shù)yx2x2中，令x0，則y2，令y0，則x1或3，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（3，0）、（0，2），設(shè)直線BC的表達(dá)式為：ykx+b，代入B（3，0）、C（0，2）得：，解得：，直線BC的解析式為：yx2；（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)P（m，m2m2），過(guò)點(diǎn)P作PEy軸交BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E（m，m2），SPBC×O

19、B×PE（m2m2+m+2）（m）2+，0，當(dāng)m時(shí)，SPBC有最大值，此時(shí)點(diǎn)P（，），在x軸下方任取點(diǎn)Q，連接PQ、BQ、AQ，將PQB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PQB位置，連接QQ，BQBQ，QQPQ，AQ+BQ+PQAQ+BQ+QQ，AQ+BQ+PQ最小，則A、Q、Q、B在同一直線上，PQQ45°，此時(shí)B坐標(biāo)為（，），d2（AQ+BQ+PQ）2（AB）2（1）2+（）246+20；（3）存在，設(shè)直線AP解析式為ymx+n，將A（1，0），P（，）代入得，解得：，直線AP解析式為yx，令x0，得y，R（0，），yx2x2（x1）2，拋物線y的頂點(diǎn)為（1，），分別過(guò)

20、A、P作AHx軸，PHy軸，則AH，PH，拋物線y沿射線PA平移且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，即向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位；平移后的拋物線解析式為y（x+）2，頂點(diǎn)為（，），D（，），由題意，AOP沿直線AP平移，得到AOP，設(shè)平移后的點(diǎn)O（t，t），以點(diǎn)D、R、O、T為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，可以分三種情況：ODDR，（t+）2+（t）2（）2+（）2，解得：t1，t2，ORDR，t2+（t+）2（）2+（）2，解得：t3，t4，ODOR，（t+）2+（t）2t2+（t+）2，解得：t5，綜上所述，O的橫坐標(biāo)為：或或或或7如圖，拋物線yax26ax6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC已知拋物線頂點(diǎn)

21、縱坐標(biāo)為8（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，M為線段OB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MNBC，交y軸與點(diǎn)N，P是拋物線上位于直線BC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，交BC于點(diǎn)Q，連接PN，NQ當(dāng)PNQ的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PNQ的面積最大值；（3）當(dāng)點(diǎn)P滿足（2）問(wèn)的條件時(shí)，在直線BC上是否存在一點(diǎn)E，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)P，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）yax26ax6a（x3）29a6，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9a6），拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，9a68，解得：a，拋物線解析式為：yx2x6；（2）在yx2x6中，令x0，

22、得：y6，C（0，6），令y0，得：x2x60，解得：x13，x29，A（3，0），B（9，0），M為線段OB的中點(diǎn)，OMBM，M（，0），MNBC，ONOC3，N（0，3），ON3，在RtMON中，MN，設(shè)直線MN的解析式為ykx+b，則：，解得：，直線MN的解析式為yx3，設(shè)P（m，m2m6），如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PKy軸交直線MN于點(diǎn)K，作PHMN于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BGMN于點(diǎn)G，連接BN，K（m，m3），PHKBGMMON90°，PKHMNO，BGPH，PKm3（m2m6）m2+2m+3，SPMNOMPK××（m2+2m+3）m2+m+，MNBC，SMNQSMN

23、B，OMBM，SMNBSMNOOMON××3，SMNQ，SPNQSPMNSMNQm2+m+（m）2+，0，當(dāng)m時(shí)，SPNQ的最大值為，當(dāng)m時(shí)，m2m6×（）2×6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）P（，），C（0，6），PC；設(shè)直線BC的解析式為yk1x+b1，B（9，0），C（0，6），解得：，直線BC的解析式為yx6，設(shè)E（t，t6），則PE2（t）2+t6（）2，CE2（t0）2+t6（6）2，以點(diǎn)P，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，分三種情況：CPCE或CPPE或CEPE，當(dāng)CPCE，以CP、CE為邊時(shí)，如圖2，CE2CP2，即：（t0）2+t6（6）

24、2（）2，解得：t或，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，36）或（，36），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（+，3）或（+，3），當(dāng)CPPE，以CP、PE為邊時(shí)，如圖3，PE2CP2，即：（t）2+t6（）2（）2，解得：t或t0（舍去），E（，），F(xiàn)（，），當(dāng)CEPE，以CE、PE為邊時(shí)，如圖4，CE2PE2，即：（t）2+t6（）2（t0）2+t6（6）2，解得：t，E（，），F(xiàn)（，），綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（+，3）或（+，3）或（，）或（，）8在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2+bx+c（a0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，6），其中AB8，tanCAB3（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直

25、線BC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDAC交x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，求BE的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）將該拋物線沿射線CA方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線y1，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G為拋物線y1的頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線FG上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)在（2）中，當(dāng)BE的值最大時(shí)，是否存在以P、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）C（0，6），tanCAB3，AO2，A（2，0），B（6，0），解得，該拋物線的表達(dá)式為yx2+2x+6（2）如圖1，作PHx軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)J，作EIPH于點(diǎn)I、EKx軸于點(diǎn)K設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)

26、式為ykx+6，則6k+60，解得k1，yx+6；設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為ypx+6，則2p+60，解得p3，y3x+6設(shè)P（m，m2+2m+6），由PDAC，設(shè)直線PD的函數(shù)表達(dá)式為y3x+n，則m2+2m+63m+n，解得nm2m+6，y3xm2m+6由，得，E（，）AC2，BC6，且PEICAO，BEKBCO，EI：PI：PEOA：OC：AC1：3：，EK：BK：BECO：BO：BC1：1：，PEEI，PE10EI10（m）mm2，BEBK，BE2BK2（6）12，BEmm2（12）m2+8m12（m4）2+4，當(dāng)m4時(shí)，BE的最大值，最大值為4，此時(shí)P（4，6）（3）存在如圖2，由（2

27、）得，AC2，將AOC沿射線CA方向平移2個(gè)單位，相當(dāng)于將AOC向左平移2個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位，該拋物線也向左平移2個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位，原拋物線為yx2+2x+6（x2）2+8，y1x2+2，拋物線y1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為F（2，0）、D'（2，）、（0，2），且頂點(diǎn)為G（0，2），點(diǎn)F（2，0）為拋物線y1與原拋物線的交點(diǎn)P（4，6），C（0，6），且PDAC，D（2，0），點(diǎn)D'與點(diǎn)D重合設(shè)直線FG的函數(shù)表達(dá)式為yqx+2，則2q+20，解得q1，yx+2如圖2，點(diǎn)M1在點(diǎn)P左側(cè)，PE、EM1為菱形的鄰邊連接PC，則CGPC，可得BC垂直平分PG，設(shè)垂足為點(diǎn)Q

28、，則點(diǎn)N1與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)Q對(duì)稱；PCEBDE，PEDE，E（3，3），（2，4），N1（1，5）；如圖3，PE為菱形的對(duì)角線，M2N2垂直平分PE，設(shè)垂足為點(diǎn)R，R為PE的中點(diǎn)，R（，），連接并延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)H，則BGOCAO，GBOACO，GBO+CAOACO+CAO90°，BHAC，BHM2N2；設(shè)直線BH的函數(shù)表達(dá)式為yrx+2，則6r+20，解得r，yx+2，設(shè)直線M2N2的函數(shù)表達(dá)式為yx+t，則×+t，解得t，yx+；由，得，M2（，），點(diǎn)N2與點(diǎn)M2（，）關(guān)于點(diǎn)R（，）對(duì)稱，N2（，）；如圖4，點(diǎn)M3在點(diǎn)P右側(cè)，PE、PM3為菱形的鄰邊由EN3FG，設(shè)直線的

29、函數(shù)表達(dá)式為yx+s，則3+s3，解得s0，點(diǎn)N3在直線yx上，連接OE，則點(diǎn)O、E、N3在同一直線上 設(shè)N3（d，d），OE3，EN3PE，d×（3+）3+，N3（3+，3+）點(diǎn)M4在點(diǎn)P左側(cè)，PE、PM4為菱形的鄰邊 設(shè)N4（e，e），則e×（3）3，N4（3，3）綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，5）或（，）或（3+，3+）或（3，3）故答案為：（1，5）或（，）或（3+，3+）或（3，3）9綜合與探究：如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，OA2，OC6，連接AC和BC（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE和BE

30、求BCE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）OA2，OC6，A（2，0），C（0，6），將A（2，0），C（0，6），代入yx2+bx+c，得，解得：b1，c6，拋物線得解析式為：yx2x6（2）在函數(shù)yx2x6中，令y0得： x2x60，解得：x12，x23，B（3，0）如圖1，連接OE，設(shè)點(diǎn)E（m，m2m6），SBCESOCE+SOBESOBC×6m+×3（m2+m+6）×3×6，根據(jù)二次函數(shù)的

31、圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，BCE的面積有最大值，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3）存在；點(diǎn)N坐標(biāo)為，（2，0），A（2，0），C（0，6），AC若AC為菱形的邊長(zhǎng)，如圖2，則MNAC，且MNACN1（），N2（），N3（2，0）若AC為菱形的對(duì)角線，如圖3，則AN4CM4，AN4CN4，設(shè)N4（2，n），則n，解得：nN4（2，）綜上所述，點(diǎn)N坐標(biāo)為，（2，0），10如圖，已知拋物線yax2+bx4（a，b為常數(shù)，且a0）與x軸交于點(diǎn)A（，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是射線CB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)H，當(dāng)線段PH長(zhǎng)度最大時(shí)，求出線段PH的最大

32、值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，將拋物線yax2+bx4沿射線AD方向平移個(gè)單位得到新拋物線y，C是拋物線y上與C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，拋物線y的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)S，使得C，N，B，S為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）點(diǎn)A（，0），B（，0）在拋物線yax2+bx4上，解得：拋物線解析式為（2）如答圖，過(guò)點(diǎn)P作PKy軸交BC于點(diǎn)KB（，0），OB當(dāng)x0時(shí)，y4點(diǎn)C（0，4）OC4PHx軸，PHKOBCHPKBOC90°BOCHPK即PHPK設(shè)直線BC的解析式為ymx+n（m0）將點(diǎn)B（，0），C（

33、0，4）分別代入上式得：解得：所以直線BC的解析式為設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)K（x，）PKPHPKPH當(dāng)x時(shí)，PH最大此時(shí)點(diǎn)P（，2）（3）存在如下圖D（0，2），AD拋物線yx2+x4沿射線AD方向平移個(gè)單位實(shí)際是向左平移個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，C（，6）拋物線yx2+x4+，新拋物線的解析式為y新拋物線y的對(duì)稱軸為直線設(shè)N（，t），則有，若BC'BN則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若NBNC則有t3，（與N點(diǎn)重合，舍去）若CNCB則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，點(diǎn)S的坐標(biāo)為：或或或11如圖，已知拋物線yax2+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，9），拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C三點(diǎn)，且B的坐標(biāo)為（0，5），連

34、接DB、DC，作直線BC（1）求拋物線的解析式；（2）P是x軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與CD交于H，與CB交于G，若線段HG把CBD的面積分成相等的兩部分，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M在直線CB上，點(diǎn)N在平面上，直線CB上是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）拋物線yax2+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，9），可設(shè)ya（x+2）2+9，又拋物線過(guò)點(diǎn)B（0，5），代入得：54a+9，a1，y（x+2）2+9x24x+5，拋物線的解析式為yx24x+5；（2）拋物線yx24x+5與坐標(biāo)軸分別交于A、B、

35、C三點(diǎn)，且B的坐標(biāo)為（0，5），當(dāng)y0時(shí)，x24x+50，解得x15，x21，A（1，0），C（5，0），又D（2，9），直線BC的解析式為yx+5；設(shè)直線CD的解析式為ykx+b，將C（5，0），D（2，9）代入，得：，解得：，直線CD的解析式為y3x+15設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則G（x，x+5），H（x，3x+15）SCGHHG×CP（5+x）（3x+15x5）（5+x）（2x+10）（5+x）（x+5）（x+5）2，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)K，如圖：頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，9），對(duì)稱軸為直線x2，K（2，3），DK936，SBCDSDKC+SDKB×6×3+×6×215，若線段HG把CBD的面積分成相等的兩部分，則（x+5）2×15，解得：x1，x2（舍），P（，0）；（3）如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（