第四章 理想流體動力學(xué)和平面勢流

1、第四章第四章 理想流體動力學(xué)和理想流體動力學(xué)和平面勢流平面勢流 第一節(jié)第一節(jié) 理想流體的運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程歐拉運(yùn)歐拉運(yùn)動微分方程動微分方程 理想流體的動水壓強(qiáng)特性與靜水壓強(qiáng)特性相同：l動壓強(qiáng)的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向；l理想流體中任一點(diǎn)的動壓強(qiáng)大小與其作用面的方位無關(guān)，即xyzpppp1.表面力 =0 2MMdx pPp Apdydzx2NNdx pPp Apdydzx2.質(zhì)量力：dxdydz 由牛頓第二運(yùn)動定律Fma，x方向有： 第一節(jié)第一節(jié) 理想流體的運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程歐拉運(yùn)歐拉運(yùn)動微分方程動微分方程 22xxdup dxp dxpdydzpdydzf

2、dxdydzdxdydzxxdt1yxxxzxxyzuduuuupfuuuxdttxyz11yyyyyyxyzzzzzzzxyzduuuuupfuuuydttxyzduuuuupfuuuzdttxyz第一節(jié)第一節(jié) 理想流體的運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程歐拉運(yùn)歐拉運(yùn)動微分方程動微分方程 1yxzxyzdududupppf dxf dyf dzdxdydzdxdydzxyzdtdtdt 1.恒定流2.均勻不可壓縮流體，即 =const z0,gxyfff 3.質(zhì)量力只有重力， 4.有勢流動,滿足式： ,yyxxzzuuuuuuyxzyzx第二節(jié)第二節(jié) 伯努利方程伯努利方程 一、在勢流條件下的

3、積分 dxyzf dxf dyf dzg z 1ppppdxdydzdxyz yxzdudududxdydzdtdtdtyyyxxxxyzxyzzzzxyzuuuuuuuuudxuuudyxyzxyzuuuuuudzxyz第二節(jié)第二節(jié) 伯努利方程伯努利方程 222222222111222xyzxyzxyzuuudxuuudyuuudzxyz222222uuudxdydzxyz22ud由以上得：22pugdzdd 理想勢流伯努利方程：22puzCgg 第二節(jié)第二節(jié) 伯努利方程伯努利方程 2211221222pupuzzgggg物理意義:在同一恒定不可壓縮流體重力勢流中， 理想流體各點(diǎn)的總比能相等

4、，即在整個(gè)勢流場中，伯努利常數(shù)C均相等。 第二節(jié)第二節(jié) 伯努利方程伯努利方程 物理意義幾何意義z單位重流體的位能（比位能）位置水頭單位重流體的壓能（比壓能）壓強(qiáng)水頭pg22ugpzg單位重流體的動能（比動能）流速水頭單位重流體總勢能（比勢能）測壓管水頭單位重流體總能量（總比能）總水頭22puzgg第二節(jié)第二節(jié) 伯努利方程伯努利方程 第二節(jié)第二節(jié) 伯努利方程伯努利方程（二）沿流線的積分1.只有重力作用的不可壓縮恒定流，有 -gdz 1dp2.恒定流中流線與跡線重合： ,xyzdxdydzuuudtdtdt 2222122xxyyzzxyzuu duu duu dud uuud第二節(jié)第二節(jié) 伯努利

5、方程伯努利方程沿流線（或元流）的能量方程： 22puzCgg注意：積分常數(shù)C，在非粘性、不可壓恒定流中，沿同一流線保持不變。一般不同流線各不相同。 三、皮托管 Hgugpc22gpHcphgu22ghu2第二節(jié)第二節(jié) 伯努利方程伯努利方程 第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流一、基本方程組 對于不可壓縮恒定二元勢流，有以下條件： 1.平面無旋，即 2.恒定流，即3.不可壓縮流體，即 =const。 0z0yxuutt第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流歐拉運(yùn)動微分方程可簡化為： 11xxxxyyyyxyuupfuuxxyuupfuuyxy不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程為： 0yxuuxy第三

6、節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流二、流速勢函數(shù)（勢函數(shù)）存在條件：不可壓縮無旋流，即 或必要條件 存在全微分dj 1、直角坐標(biāo) 0zyxuuyxxyu dxu dyxyu dxu dyddxdyxyjjjxyuxuyjj 式中：j無旋運(yùn)動的流速勢函數(shù)，簡稱勢函數(shù)。 第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流代入連續(xù)性微分方程 0yxuuxy，有： 22220 xyjj或20j即勢函數(shù)的拉普拉斯方程形式。適用條件：不可壓縮流體的有勢流動。 2、極坐標(biāo) rdu dru rdj1rururjj 第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流三、流函數(shù)1.流函數(shù)的形式 （1）直角坐標(biāo) 連續(xù)性微分方程： 0yyx

7、xuuuuxyxy 必要條件yxu dxu dy 存在全微分d， yxdu dxu dydxdyxy xyuyux 第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流式中：不可壓縮流體平面流動的流函數(shù)。 對平面勢流，有 ，則 yxuuyx22220 xy或20 稱為流函數(shù)的拉普拉斯方程形式適用條件：不可壓縮流體的平面有勢流動。 第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流（2）極坐標(biāo)rdu rdu dr1rurur 2.流函數(shù)的物理意義 （1）流函數(shù)等值線, x yC就是流線。 , x yC0yxdu dxu dy 得平面流線方程：xydxdyuu第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流（2）不可壓縮流體的平面流

8、動中，任意兩條流線的流函數(shù)之差d等于這兩條流線間所通過的單位寬度流量dq。 ndqu dnu ndn cos,cos,xyun xun ydnxyu dyudxd第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流四、流網(wǎng)流網(wǎng)：恒定平面勢流中，流線簇與等勢線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)格。 1.流網(wǎng)的性質(zhì)（1）等勢線與等流函數(shù)線處處正交 等勢線簇：j(x,y)=C， 0yxdu dxu dyjxconstyudydxuj 為等勢線斜率。 第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流等流線簇：(x,y)=C， ，為流線斜率 0yxdu dx u dyyconstxudydxu為流線斜率。 1constconstdydydxdxj ，得證。 （2）流網(wǎng)中每一網(wǎng)格的邊長之比（s/n）等于j和的增值之比（j/），若取j=，則流網(wǎng)網(wǎng)格為正方形網(wǎng)格。 第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流證明：取相鄰兩線間的差值為C，流線間隔為n，等勢線間隔為s， sqCuAnnsCusssjjsn 第三節(jié)第三節(jié) 恒定平面勢流恒定平面勢流*2.