大學(xué)物理第四章-剛體力學(xué)

1、第四章第四章. . 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系統(tǒng)，采用微質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系統(tǒng)，采用微積分方法，剛體分割為無數(shù)質(zhì)量為積分方法，剛體分割為無數(shù)質(zhì)量為 dm dm 的質(zhì)點系。的質(zhì)點系。4- 1 剛體的運動學(xué)剛體的運動學(xué)1. 1. 剛體剛體 剛體是一種特殊的質(zhì)點系統(tǒng)，無論它在多大外力剛體是一種特殊的質(zhì)點系統(tǒng)，無論它在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。* 剛體研究方法：剛體研究方法：* 剛體微元質(zhì)量剛體微元質(zhì)量剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量體體分布分布dVdVdmV剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量面面分布分布dSdSdms剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量線線分布分布dl

2、dldml4- 1 剛體的運動學(xué)剛體的運動學(xué)2. 2. 平動和轉(zhuǎn)動平動和轉(zhuǎn)動 剛體最基本的運動形式是剛體最基本的運動形式是平動平動和和轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。 如果剛體在運動中，連接剛體上任意兩點的直線如果剛體在運動中，連接剛體上任意兩點的直線在各時刻始終保持彼此平行，這種運動叫平動。在各時刻始終保持彼此平行，這種運動叫平動。 剛體在平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中所剛體在平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中所質(zhì)點的質(zhì)點的位移位移都是相同的。而且在任何時刻，各個質(zhì)都是相同的。而且在任何時刻，各個質(zhì)點的點的速度速度和和加速度加速度也都是相同的。所以也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何剛體內(nèi)任何一個質(zhì)點的運動一個質(zhì)點的運動

3、，都可代表整個剛體的運動，都可代表整個剛體的運動。bca平動和轉(zhuǎn)動平動和轉(zhuǎn)動bcabcab平動和轉(zhuǎn)動bca平動和轉(zhuǎn)動bca平動和轉(zhuǎn)動bca平動和轉(zhuǎn)動bca平動和轉(zhuǎn)動bca平動和轉(zhuǎn)動bca平動和轉(zhuǎn)動 如果剛體上所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動，如果剛體上所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動，則稱為剛體的則稱為剛體的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動，這一直線就叫做，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。 平動和轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動： 剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。圓周運動，且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。 剛體的一般運動剛體的一般運動平動平動繞某心的轉(zhuǎn)動繞某心的轉(zhuǎn)動

4、+定軸轉(zhuǎn)動特點：特點： 質(zhì)點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做圓周運動；質(zhì)點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做圓周運動；角位移，角速度和角加速度均相同。角位移，角速度和角加速度均相同。剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度tddtddz1o2oAABB1r2r4. 4. 角速度矢量角速度矢量角速度 角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動方向呈角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動方向呈右手螺旋關(guān)系。右手螺旋關(guān)系。角速度矢量角速度矢量 在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度的方向沿在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。轉(zhuǎn)軸方向。與轉(zhuǎn)軸正向相同為正，否與轉(zhuǎn)軸正向相同為正，否則為負(fù)。則為負(fù)。* 勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動: 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度

5、為恒量。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量。 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點質(zhì)點勻變速直線運動勻變速直線運動at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt角速度5. 5. 線量線量xz轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面參考軸參考軸imiriv線速度線速度iirv大小大小iirv 切向加速度切向加速度iirdtdva22iiinrrva法向加速度法向加速度irvanaa例例4-1 4-1 一飛輪轉(zhuǎn)速一飛輪轉(zhuǎn)速n= =1500r/min，受到制動后均勻地減，受到制動后均勻地減速，經(jīng)速，經(jīng)t t=50s=50s后靜止。后靜止。（1 1）求角加速度求角加速度和飛

6、輪從制動和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；（2 2）求制動開始后求制動開始后t=25=25s 時飛輪的角速度時飛輪的角速度 ；（3 3）設(shè)飛輪的半徑設(shè)飛輪的半徑r =1=1m，求在，求在t =25=25s 時邊緣上一點的速度和加速度。時邊緣上一點的速度和加速度。角速度 0O解解：（1 1）設(shè)初角度為）設(shè)初角度為 0 0方向如圖所示，方向如圖所示， 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s已知已知t=50=50S 時刻時刻 =0 =0 ，代入方程代入方程 = = 0+t 得得220/14. 3/5050sradsradt角速度 從開始制動到靜止

7、，飛輪的角位移從開始制動到靜止，飛輪的角位移 radatt125021200轉(zhuǎn)6252N轉(zhuǎn)數(shù)轉(zhuǎn)數(shù)N 為為（2 2）求制動開始后）求制動開始后t=25=25s 時飛輪的角速度時飛輪的角速度 ；sradsradsradt/5 .78/25/25500 的方向與的方向與 0 0相同相同 ； 0O角速度smrvv/5 .78 0vanatarO（3）設(shè)飛輪的半徑）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在，求在t=25s 時邊緣上一點時邊緣上一點的速度和加速度。的速度和加速度。 t t=25=25s 時飛輪邊緣上一點時飛輪邊緣上一點P 的速度的速度rv 的方向垂直于的方向垂直于 和和 構(gòu)成的平面。構(gòu)成的平面。vr切向

8、加速度切向加速度2/14. 3smrat向心加速度向心加速度232/1016. 6smran 邊緣上該點的加速度邊緣上該點的加速度 ，其中其中 的方向與的方向與 的方向的方向相反相反， 的方向指向軸心，的方向指向軸心， 的大小為的大小為aaanavana角速度23222322/1016.6/14.3)1016.6(smsmaaant 的方向幾乎和的方向幾乎和 相同。相同。ana 的大小為的大小為a例例4-2 4-2 一飛輪在時間一飛輪在時間t t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度內(nèi)轉(zhuǎn)過角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飛輪上某點角位置可用

9、飛輪上某點角位置可用 表示為表示為 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4將此式對將此式對t t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達式為求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達式為324343)(ctbtactbtatdtd角加速度是角速度角加速度是角速度對對t t的導(dǎo)數(shù)，因此得的導(dǎo)數(shù)，因此得232126)43(ctbtctbtadtddtda由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動。由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動。角速度4-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律Z轉(zhuǎn)動平面rAFMrFMZM 沿沿Z Z 軸分量為軸分量為 對對Z Z 軸力矩軸力矩ZMMFsinrFM FrM對對O O 點的力矩點的力矩：F1.1.力矩力矩O

10、 力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi) 力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi) 注：注：在定軸動問題中，如不加說在定軸動問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。FrM 只能引起軸的只能引起軸的變形變形, 對轉(zhuǎn)動無貢獻對轉(zhuǎn)動無貢獻。1Fr轉(zhuǎn)動平面1FF2F)(21FFr21FrFrr力矩力矩Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點作用在剛體上點 P , 且在轉(zhuǎn)動且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點為由點O 到力的到力的作用點作用點 P 的徑矢的徑矢 . FrFrM

11、 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 FM4-24-2剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律力矩力矩zOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故矩為零，故 對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的力矩力矩zFF3） 剛體內(nèi)作用力和剛體內(nèi)作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消fdMMjiijjririjijfjifdOijMjiM4）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對

12、轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+ +、- -號表示。號表示。2. 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量iiiivrmLOzimiriviL 剛體上質(zhì)元剛體上質(zhì)元 相對于轉(zhuǎn)軸相對于轉(zhuǎn)軸的角動量為的角動量為im 是質(zhì)元是質(zhì)元 到轉(zhuǎn)軸的距離。到轉(zhuǎn)軸的距離。 imir2iirm整個剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量為：整個剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量為：2iiizrmLL2iirm定義：定義：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量2iirmJ角動量角動量JLz剛體的角動量dtLdM外JLz剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理dtdLMzzdtJddtd

13、JJ 剛體繞某一定軸轉(zhuǎn)動，它受的合外力矩等于剛體剛體繞某一定軸轉(zhuǎn)動，它受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。dtdLM 3. 3. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量J J2iirmJdmr2 是質(zhì)元是質(zhì)元 到轉(zhuǎn)軸的距離。到轉(zhuǎn)軸的距離。 dmr 轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的大小取決于剛體的質(zhì)量質(zhì)量、形狀形狀及及轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸的位置的位置 .注意注意例例4-3 4-3 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m m、長為、長為 l l 的均勻細(xì)棒對下面三種轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒對下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：軸的轉(zhuǎn)動慣量：（1 1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；（2 2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端

14、并和棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直; ;（3 3）轉(zhuǎn)軸通過轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為棒上距中心為h h的一點并和棒垂直。的一點并和棒垂直。l/2l/2OxdxlOxdxAlxdxAABh解解 （1 1）在棒上離軸）在棒上離軸x 處，取一長度元處，取一長度元d dx，如棒的質(zhì)，如棒的質(zhì)量線密度為量線密度為 ，這長度元的質(zhì)量為，這長度元的質(zhì)量為d dm= = d dx。轉(zhuǎn)動慣量的計算xxmrJllodd2/2/22l/2l/2OxdxA當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時123lml 2121mlJ 轉(zhuǎn)動慣量的計算（2 2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A A并和并和棒垂直時棒

15、垂直時3323mlllxdxAdxxJlA02lOxdxABh（3 3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h h的的B B點并和棒垂直時點并和棒垂直時222/2/212mhmldxxJhlhlB 這個例題表明，同一剛體對不同位置的轉(zhuǎn)軸，這個例題表明，同一剛體對不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動慣量并不相同。轉(zhuǎn)動慣量并不相同。例例求均質(zhì)圓盤求均質(zhì)圓盤(m,R)過圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)過圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量動慣量 .解解242121mRhR xyzrdr盤由許多環(huán)組成盤由許多環(huán)組成 mrIdd2 mrId2 rhrrd22 Rrrh03d2 tJJMdd4. 4. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的應(yīng)用

16、剛體定軸轉(zhuǎn)動的應(yīng)用討論：討論： 轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大小的量度；轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大小的量度；（1） M M 一定，一定，J J（3 3）J J 和質(zhì)量分布有關(guān)；和質(zhì)量分布有關(guān)；J 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個物體和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同。對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同。 （2 2）M M 的符號：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速的力矩的符號：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速的力矩為正；為正；（4 4）分析問題，選定轉(zhuǎn)軸正方向；對于質(zhì)點）分析問題，選定轉(zhuǎn)軸正方向；對于質(zhì)點- -剛體組成的剛體組成的系統(tǒng)，質(zhì)點運動正方向選擇要與剛體轉(zhuǎn)動正方向自洽系統(tǒng)，質(zhì)點運動正方向選擇要與剛體轉(zhuǎn)動正方向自洽。 （5

17、5）對質(zhì)點運用牛頓定律，對剛體運用轉(zhuǎn)動定律。）對質(zhì)點運用牛頓定律，對剛體運用轉(zhuǎn)動定律。 （6 6）列出關(guān)聯(lián)方程，一般在質(zhì)點加速度與剛體角加速度）列出關(guān)聯(lián)方程，一般在質(zhì)點加速度與剛體角加速度之間尋找。之間尋找。 例題例題4-5 4-5 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為端分別懸有質(zhì)量為m1和和m2的物體的物體1 1和和2 2，m1m1，物體，物體1 1向上運動，物體向上運動，物體2 2向下運動，滑輪以順向下運動，滑輪以順時針方向旋轉(zhuǎn)，時針方向旋轉(zhuǎn)，Mf f的指向如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠痰闹赶蛉鐖D所示?？闪谐鱿铝蟹匠虖囊陨细魇郊纯山獾脧?/p>

18、以上各式即可解得 式中式中 是滑輪的角加速度，是滑輪的角加速度，a是是物體的加速度?；嗊吘壣系那邢蛭矬w的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等，即加速度和物體的加速度相等，即ra 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律T2 T1 T1T2G2G1aam1m2MfJMrTrTf12amTG222amGT111ra mmmrMgmmrJmmrMgmmaff21121221212 /mmmrMgmmaf21/1212 mmmrMgmmmagmTf21212121212 / mmmrMgmmmagmTf21212122111 /而而定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律 rmmmrMgmmraf 211212/當(dāng)不計

19、滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0時，有時，有g(shù)mmmmTT1221212gmmmma1212 上題中的裝置叫阿特伍德機，是一種可用來測上題中的裝置叫阿特伍德機，是一種可用來測量重力加速度量重力加速度g g的簡單裝置。因為在已知的簡單裝置。因為在已知m1、 m2 、r和和J的情況下，能通過實驗測出物體的情況下，能通過實驗測出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通過加速度把再通過加速度把g g算出來。在實驗中可使兩物體的算出來。在實驗中可使兩物體的m1和和m2相近，從而使它們的加速度相近，從而使它們的加速度a和速度和速度v都較小，都較小，這樣就能

20、較精確地測出這樣就能較精確地測出a來。來。定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律例題例題4-6 4-6 一半徑為一半徑為R R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ，令圓盤最，令圓盤最初以角速度初以角速度 0 0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？R edrrd 解解 由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分法

21、。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量的質(zhì)量dm= rd dre，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r dmg 。定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律此處此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是2002RdrrdegdrredrgdmgrM因因m= e R2，代入得，代入得mgRM32 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度的角加速度.定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律R edrrd 332RegdtdmRJmgR22132dtdRg2132設(shè)圓盤經(jīng)過時間設(shè)圓盤經(jīng)過時間t t停

22、止轉(zhuǎn)動，則有停止轉(zhuǎn)動，則有0002132dRdtgt由此求得由此求得043gRt 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律Rdgdt21324-3 定軸轉(zhuǎn)動中的功和能定軸轉(zhuǎn)動中的功和能 1.1.力矩的功力矩的功 力力 對對P 點作功：點作功：FrFddAsindsF2cosdsFddrs 00 drFrdP因因MFrsinddMA 0ddMMA力矩作功：力矩作功：im力的空間累積效應(yīng)力的空間累積效應(yīng) 力的功力的功,動能動能,動能定理動能定理.力矩的空間累積效應(yīng)力矩的空間累積效應(yīng) 力矩的功力矩的功,轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能,動能定理動能定理.力矩的功力矩的功2. 2. 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能 剛體的轉(zhuǎn)動動能應(yīng)該是

23、組成剛體的各個質(zhì)點的動剛體的轉(zhuǎn)動動能應(yīng)該是組成剛體的各個質(zhì)點的動能之和。能之和。221iikivmE 設(shè)剛體中第設(shè)剛體中第i i個質(zhì)點的質(zhì)量為個質(zhì)點的質(zhì)量為 ，速度為，速度為 , ,則該質(zhì)點的動能為：則該質(zhì)點的動能為：imiv 剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點的角速度剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點的角速度 相同。設(shè)質(zhì)相同。設(shè)質(zhì)點點 離軸的垂直距離為離軸的垂直距離為 ，則它的線速度，則它的線速度imiriirv 則該質(zhì)點的動能為則該質(zhì)點的動能為222121iiiikirmvmE因此整個剛體的動能因此整個剛體的動能221iiKvmE 2221 iirm221J剛體因轉(zhuǎn)動而具有的動能，因此叫剛體的轉(zhuǎn)動動能。剛體因

24、轉(zhuǎn)動而具有的動能，因此叫剛體的轉(zhuǎn)動動能。222121iiiikirmvmE區(qū)別區(qū)別：平動：平動動能平動：平動動能 221mv線動量線動量mv轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動動能 221J角動量角動量J轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動中慣性大小的量度。3.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理JdtdM 外力矩所做元功為：外力矩所做元功為：MddA總外力矩對剛體所作的功為：總外力矩對剛體所作的功為： 212221212121JJdJMdA 物體在物體在 時間內(nèi)轉(zhuǎn)過角位移時間內(nèi)轉(zhuǎn)過角位移 時時tdtdd剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：總

25、外力矩對剛體所做的功剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。dJdtddJdtdJd221JE cpmghE 表明：一個不太大的剛體的重力勢能與它的質(zhì)量集表明：一個不太大的剛體的重力勢能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。4.4.剛體的重力勢能剛體的重力勢能即：即：iiiiphmgghmE質(zhì)心高度為：質(zhì)心高度為：mhmhiic 對于一個不太大的質(zhì)量為對于一個不太大的質(zhì)量為 的物體，它的重力的物體，它的重力勢能應(yīng)是組成剛體的各個質(zhì)點的重力勢能之和。勢能應(yīng)是組成剛體的各個質(zhì)點的重力勢能之和。m軸和棒之間沒有摩擦力

26、；軸和棒之間沒有摩擦力；例題例題4-7 一根質(zhì)量為一根質(zhì)量為m、長為、長為 l 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OA，可繞通，可繞通過其一端的光滑軸過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時其中點位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時其中點C和和端點端點A的速度。的速度。G AA O 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 N解：先對細(xì)棒解：先對細(xì)棒OA所受的力作一所受的力作一分析；分析；G重力重力 , ,作用在棒的中心點作用在棒的中心點C C，方向豎直向下；方向豎直向下；N軸對棒作用的支承力軸對棒作用的支承力 ，垂直，垂直于棒和軸的

27、接觸面且通過于棒和軸的接觸面且通過O O點點，在棒的下擺過程中，此力的，在棒的下擺過程中，此力的方向和大小是隨時改變的。方向和大小是隨時改變的。 支撐力支撐力N N的力矩等于零的力矩等于零重力重力G G的力矩則是變力矩，大小為：的力矩則是變力矩，大小為：dlmgdMdAGcos2在使棒從水平位置下擺到豎直位置過在使棒從水平位置下擺到豎直位置過程中，重力矩所作的功是程中，重力矩所作的功是2cos220lmgdlmgdAA應(yīng)該指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可應(yīng)該指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力勢能的差值來表示。用重力勢能的差值來表示。定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 棒轉(zhuǎn)過一

28、極小的角位移棒轉(zhuǎn)過一極小的角位移d d 時，重力時，重力矩所作的元功是矩所作的元功是cos2lmgMGG AA O N2212JlmgA由此得由此得Jmgl代入上式得代入上式得因因231mlJ lg3所以細(xì)棒在豎直位置時，端點所以細(xì)棒在豎直位置時，端點A A和中心點和中心點C C的速度的速度分別為分別為gllvA3gllvC3212定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 棒在水平位置時的角速度棒在水平位置時的角速度 0 00 0，下擺到豎直位置時的，下擺到豎直位置時的角速度為角速度為 ，根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得，根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得G AA O N 剛體在一段時間內(nèi)所受的沖量矩等于剛

29、體在這段剛體在一段時間內(nèi)所受的沖量矩等于剛體在這段時間內(nèi)角動量的增量。時間內(nèi)角動量的增量。4-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律1. 1. 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：JdtddtdLM00dJJtMtttttM0d為為 時間內(nèi)力矩時間內(nèi)力矩M M 對給定軸的沖量矩。對給定軸的沖量矩。0ttt角動量定理的積分形式：角動量定理的積分形式：在外力矩作用下，從在外力矩作用下，從tt 0角動量角動量00JL 變?yōu)樽優(yōu)镴L ， 力矩的時間累積效應(yīng)力矩的時間累積效應(yīng) 沖量矩、角動量、沖量矩、角動量、角動量定理角動量定理. 力

30、的時間累積效應(yīng)力的時間累積效應(yīng) 沖量、動量、動量定理沖量、動量、動量定理. 分離變量得分離變量得JddLMdt2. 2. 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律 角動量守恒定律：角動量守恒定律：剛體（或質(zhì)點系）對某一定軸所剛體（或質(zhì)點系）對某一定軸所受合外力矩為零，則它對這一固定軸的角動量保持不變受合外力矩為零，則它對這一固定軸的角動量保持不變JL恒量恒量討論：討論： a. .對于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，若對于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，若J J 保持不變，保持不變，當(dāng)合外力矩為零時，其當(dāng)合外力矩為零時，其角速度角速度恒定。恒定。時，當(dāng)0M時，當(dāng)0MJ= =恒量恒量= =恒量恒量00

31、dJJtMtt角動量定理角動量定理若若J J 變：變：J 增大則增大則變?。蛔冃。?J變小則變小則增大；增大；b. .若系統(tǒng)由若干個剛體構(gòu)成若系統(tǒng)由若干個剛體構(gòu)成, ,當(dāng)合外力矩為零時當(dāng)合外力矩為零時, ,系系 統(tǒng)的角動量依然守恒。統(tǒng)的角動量依然守恒。時，當(dāng)0M恒量2211JJLc.c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動也有轉(zhuǎn)動現(xiàn)象發(fā)生，若對某一軸若系統(tǒng)內(nèi)既有平動也有轉(zhuǎn)動現(xiàn)象發(fā)生，若對某一軸的合外力矩為零的合外力矩為零, ,則系統(tǒng)對該軸的角動量守恒。則系統(tǒng)對該軸的角動量守恒。定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律當(dāng)滑冰、跳水、體操當(dāng)滑冰、跳水、體操運動員在空中為了迅運動員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總

32、是曲體、速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動慣量、增加減小轉(zhuǎn)動慣量、增加角速度。當(dāng)落地時則角速度。當(dāng)落地時則總是伸直身體、增大總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動慣量、使身體平轉(zhuǎn)動慣量、使身體平穩(wěn)落地。穩(wěn)落地。直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照質(zhì)點的直線運動質(zhì)點的直線運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動txvdd22ddddtxtvatdd22ddddttmvP 221mvEKJL 221JEKFmMJxFAddtF dddMA tM dmaF JM 0dPPtF0dLLtM2022121dmvmvxF2022121dJJM定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律例題例題4-8 4-8

33、一勻質(zhì)細(xì)棒長為一勻質(zhì)細(xì)棒長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，可繞通過其端點，可繞通過其端點O的水平軸的水平軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面轉(zhuǎn)動。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m ，它與地面的摩擦系數(shù)為，它與地面的摩擦系數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C離地離地面的最大高度面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：解： 這個問題可分為三個階段進這個問題可分為三個階段

34、進行分析。第一階段是行分析。第一階段是棒自由擺落棒自由擺落的過程的過程。CO定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律2223121212mlJlmg（1 1） 這時除重力外，其余內(nèi)力這時除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以與外力都不作功，所以機械能守機械能守恒恒。 我們把棒在豎直位置時質(zhì)心所我們把棒在豎直位置時質(zhì)心所在處取為勢能零點，用在處取為勢能零點，用表示棒表示棒這時的角速度這時的角速度, ,則則2223121212mlJlmg（1 1）第二階段是第二階段是碰撞過程碰撞過程。（2 2） 223131mlmvlml 式中式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。棒在碰撞后的角速

35、度，它可正可負(fù)。 取取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律CO因碰撞時間極短，沖力極大，物體雖然受因碰撞時間極短，沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對對O軸的軸的角動量守恒角動量守恒。我們用。我們用v表示物體碰表示物體碰撞后的速度，則撞后的速度，則第三階段是物體在碰撞后的第三階段是物體在碰撞后的

36、滑行過程滑行過程。物體作勻減。物體作勻減速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為mamg （3 3）由勻減速直線運動的公式得由勻減速直線運動的公式得asv202gsv 22 （4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）與（）與（4 4）聯(lián)合求解，即得）聯(lián)合求解，即得 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律CO2223121212mlJlmg（1 1）（2 2） 223131mlmvlmllgsgl233（1 1）、（）、（2 2）與（）與（4 4）聯(lián)合求解，即得）聯(lián)合求解，即得CO當(dāng)當(dāng) 取正值，則棒向左擺，其條件為取正值，則棒向左擺

37、，其條件為0233 gsgl 亦即亦即l l66 s；當(dāng)當(dāng) 取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為0233 gsgl 亦即亦即l 6 s棒的質(zhì)心棒的質(zhì)心C C上升的最大高度上升的最大高度: : 碰撞后棒上升過程與第一階碰撞后棒上升過程與第一階段情況相似，機械能守恒。段情況相似，機械能守恒。(6)(6)223121mlmghslslh632例題例題4-12 4-12 工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。A和和B兩飛輪的軸桿在同一兩飛輪的軸桿在同一中心線上，中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為輪的轉(zhuǎn)動慣量為JA=1

38、0kg m2，B B的轉(zhuǎn)動慣的轉(zhuǎn)動慣量為量為JB=20kg m2 。開始時。開始時A A輪的轉(zhuǎn)速為輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪輪靜止。靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？合過程中，兩輪的機械能有何變化？ A ACBACB定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律 以飛輪以飛輪A A、B B和嚙合器和嚙合器C C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對轉(zhuǎn)軸有

39、力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒角動量守恒。解：按角動量守恒定律可得解：按角動量守恒定律可得BABBAAJJJJ 為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動的角速度。為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動的角速度。BABBAAJJJJ以各量的數(shù)值代入得以各量的數(shù)值代入得srad /9.20 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律 ACB解得解得 在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機械能為恒，部分機械能將轉(zhuǎn)化為熱

40、量，損失的機械能為222212121BABAJJJJEBAJ41032. 1例例4-13 一長為一長為l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O 在鉛直面內(nèi)擺動。當(dāng)桿靜止時，一顆質(zhì)量為在鉛直面內(nèi)擺動。當(dāng)桿靜止時，一顆質(zhì)量為m0 的子的子彈水平射入與軸相距為彈水平射入與軸相距為a 處的桿內(nèi)，并留在桿中，使處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到桿能偏轉(zhuǎn)到 =600，求子彈的初速，求子彈的初速v0。解：分兩個階段進行考慮解：分兩個階段進行考慮avmL000JL 22031mlamJ其中其中a0m(1)子彈射入細(xì)桿子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得使細(xì)桿獲得初速度。因這一過程進行得初速度。因這一過程進行得很快很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成系統(tǒng)和細(xì)桿組成系統(tǒng),無外力矩?zé)o外力矩,滿滿足足角動量守恒角動