同濟(jì)大學(xué)固體物理課件20

1、第二十講第二十講 等離子體等離子體 維格納晶格維格納晶格 6 6. .5 5 等等離離子子體體本本章章中中，我我們們用用“量量子子力力學(xué)學(xué)的的理理想想自自由由電電子子氣氣模模型型”描描述述金金屬屬中中的的導(dǎo)導(dǎo)電電電電子子，效效果果看看似似很很好好。闡闡明明了了費(fèi)費(fèi)密密能能、電電子子比比熱熱、電電導(dǎo)導(dǎo)率率、磁磁致致電電阻阻、霍霍爾爾效效應(yīng)應(yīng)、電電子子熱熱發(fā)發(fā)射射、光光電電效效應(yīng)應(yīng)、場(chǎng)場(chǎng)致致發(fā)發(fā)射射、接接觸觸電電勢(shì)勢(shì)差差等等一一系系列列物物理理現(xiàn)現(xiàn)象象。但但這這個(gè)個(gè)模模型型有有二二點(diǎn)點(diǎn)局局限限：（1 1） 沒(méi)沒(méi)有有考考慮慮晶晶格格正正離離子子的的周周期期性性勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)，即即認(rèn)認(rèn)為為所所有有金金屬屬的

2、的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)都都相相同同，只只是是電電子子數(shù)數(shù)密密度度n n不不同同。這這個(gè)個(gè)局局限限在在第第七七章章討討論論。( (2 2) ) 沒(méi)沒(méi)有有考考慮慮電電子子之之間間的的相相互互作作用用。這這個(gè)個(gè)局局限限在在本本節(jié)節(jié)和和下下一一節(jié)節(jié)討討論論。 當(dāng)當(dāng)然然，第第七七章章中中精精確確求求解解金金屬屬中中電電子子系系統(tǒng)統(tǒng)的的薛薛定定諤諤方方程程時(shí)時(shí)，必必 須須更更仔仔細(xì)細(xì)地地考考慮慮電電子子之之間間的的相相互互作作用用。當(dāng)當(dāng)考考慮慮了了電電子子之之間間的的相相互互作作用用后后，系系統(tǒng)統(tǒng)就就不不再再是是理理想想自自由由電電子子氣氣了了，各各個(gè)個(gè)電電子子的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)不不再再是是獨(dú)獨(dú)立立的的、而而是是相相互互關(guān)

3、關(guān)聯(lián)聯(lián)的的。本本節(jié)節(jié)用用下下述述“正正電電荷荷凝凝膠膠加加電電子子氣氣”模模型型討討論論電電子子系系統(tǒng)統(tǒng)： “金金屬屬被被簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化為為含含 N N 個(gè)個(gè)正正電電荷荷和和 N N 個(gè)個(gè)電電子子的的中中性性系系統(tǒng)統(tǒng)。但但 N N 個(gè)個(gè)正正電電荷荷被被看看成成固固定定的的均均勻勻帶帶正正電電凝凝膠膠，充充滿(mǎn)滿(mǎn)電電子子所所在在的的全全空空間間，提提供供一一個(gè)個(gè)均均勻勻恒恒定定的的背背景景勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)。N N 個(gè)個(gè)電電子子除除了了受受到到均均勻勻恒恒定定正正電電荷荷背背景景的的庫(kù)庫(kù)侖侖吸吸引引作作用用以以外外，電電子子之之間間還還存存在在相相互互庫(kù)庫(kù)侖侖排排斥斥作作用用。電電子子服服從從量量子子統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)的的

4、費(fèi)費(fèi)密密- -狄狄喇喇克克分分布布。金金屬屬的的邊邊界界為為一一定定高高度度的的勢(shì)勢(shì)壘壘” 。電子之間的相互作用使各個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)不再是獨(dú)立的。這意味著電子之間的相互作用使各個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)不再是獨(dú)立的。這意味著我們不能再求解單電子薛定諤方程，而必需求解整個(gè)電子氣系統(tǒng)的多我們不能再求解單電子薛定諤方程，而必需求解整個(gè)電子氣系統(tǒng)的多電子薛定諤方程電子薛定諤方程（取均勻恒定正電荷背景庫(kù)侖勢(shì)為零） ：（取均勻恒定正電荷背景庫(kù)侖勢(shì)為零） ： ),(),(|81)2(21212221NNjiNjioiNiXXXEXXXrrem上式中上式中 X Xi i代表了第代表了第 i i 個(gè)電子的空間坐標(biāo)和自旋。哈密頓中

5、電子之間的個(gè)電子的空間坐標(biāo)和自旋。哈密頓中電子之間的庫(kù)侖相互作用項(xiàng)是所有麻煩的根源，至今仍困擾著物理學(xué)家們。一個(gè)庫(kù)侖相互作用項(xiàng)是所有麻煩的根源，至今仍困擾著物理學(xué)家們。一個(gè)直接后果是，該項(xiàng)耦合了所有直接后果是，該項(xiàng)耦合了所有 N N 個(gè)電子的坐標(biāo)，使方程無(wú)法分離變量，個(gè)電子的坐標(biāo)，使方程無(wú)法分離變量，因而也無(wú)法求解。因而也無(wú)法求解。 以下我們不從波函數(shù)著手，而從電子數(shù)密度著手討論，因?yàn)榈入x以下我們不從波函數(shù)著手，而從電子數(shù)密度著手討論，因?yàn)榈入x子體振蕩實(shí)際上是電荷密度的起伏。所用工具不是量子力學(xué)的，而是子體振蕩實(shí)際上是電荷密度的起伏。所用工具不是量子力學(xué)的，而是電動(dòng)力學(xué)的。電動(dòng)力學(xué)的。一一 等

6、離子體振蕩等離子體振蕩1 1沒(méi)有振蕩的平衡態(tài)沒(méi)有振蕩的平衡態(tài)設(shè)設(shè) n n 是電子的平均數(shù)密度，則電子平均電荷密度是電子的平均數(shù)密度，則電子平均電荷密度 o o = - en = - en，正電荷的電荷密度正電荷的電荷密度 o o+ + = en = en。假定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)沒(méi)有振蕩，。假定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)沒(méi)有振蕩，則電子電荷密度等于平均電荷密度則電子電荷密度等于平均電荷密度o o，系統(tǒng)內(nèi)處處保持電中性，系統(tǒng)內(nèi)處處保持電中性，沒(méi)有電場(chǎng)、磁場(chǎng)，從電磁學(xué)觀(guān)點(diǎn)看就好像真空一樣。沒(méi)有電場(chǎng)、磁場(chǎng)，從電磁學(xué)觀(guān)點(diǎn)看就好像真空一樣。2 2電子氣集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)電子氣集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（1 1） 等離子體振蕩：設(shè)想由

7、于某種原因引起電子密度漲落。在某一等離子體振蕩：設(shè)想由于某種原因引起電子密度漲落。在某一微小區(qū)域電子密度低于平均密度，該微小區(qū)域的正電荷背景就會(huì)吸引微小區(qū)域電子密度低于平均密度，該微小區(qū)域的正電荷背景就會(huì)吸引周?chē)碾娮樱粞a(bǔ)充而來(lái)的電子數(shù)太多了，電子間的庫(kù)侖排斥作用會(huì)周?chē)碾娮?，若補(bǔ)充而來(lái)的電子數(shù)太多了，電子間的庫(kù)侖排斥作用會(huì)驅(qū)使電子再離開(kāi)該處。這樣形成電子密度有節(jié)奏的起伏，就是等離子驅(qū)使電子再離開(kāi)該處。這樣形成電子密度有節(jié)奏的起伏，就是等離子體振蕩。體振蕩。（2 2）電子密度起伏運(yùn)動(dòng)所滿(mǎn)足的方程）電子密度起伏運(yùn)動(dòng)所滿(mǎn)足的方程令電子電荷密度為令電子電荷密度為 (r,t)(r,t)，電荷密度起伏

8、為電荷密度起伏為 - -o o （某一微小區(qū)域內(nèi)的凈電荷） ，（某一微小區(qū)域內(nèi)的凈電荷） ，與此電荷密度起伏對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)與此電荷密度起伏對(duì)應(yīng)的電場(chǎng) E E 由泊松方程確定：由泊松方程確定：)(1ooE - - - (1) - - - (1)在此電場(chǎng)作用下，不考慮散射阻力，電子運(yùn)動(dòng)方程為在此電場(chǎng)作用下，不考慮散射阻力，電子運(yùn)動(dòng)方程為 Eedtvdm - - - (2) - - - (2)另外，空間任一點(diǎn)滿(mǎn)足電荷守衡定律另外，空間任一點(diǎn)滿(mǎn)足電荷守衡定律0)(vt - - - (3) - - - (3) 聯(lián)立解以上三個(gè)方程，即得系統(tǒng)電子密度聯(lián)立解以上三個(gè)方程，即得系統(tǒng)電子密度(r,t)(r,t)。（3

9、 3）微小電子密度起伏）微小電子密度起伏考慮考慮 - -o o o o 的情況，公式的情況，公式（3 3）可近似寫(xiě)成）可近似寫(xiě)成)(vto - - - (4) - - - (4)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并利用公式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并利用公式（1 1）和）和（2 2） ：） ：tvvttoo)(22)()(ooooomeEmeEme)(2oomne - - - (5) - - - (5) 上式又可寫(xiě)成上式又可寫(xiě)成 0)()(222oPot - - - (6) - - - (6) 其中等離子體振蕩頻率其中等離子體振蕩頻率 mneoP22 - - - (7) - - - (7)方程方程（6 6）的解可設(shè)為）的

10、解可設(shè)為 )(exptrqiAPqo - - - (8) - - - (8) 更普遍的解應(yīng)寫(xiě)為更普遍的解應(yīng)寫(xiě)為 )(exptqrqiAqqo - - - (9) - - - (9)由于方程由于方程（6 6）是近似公式）是近似公式（4 4）的結(jié)果，沒(méi)有對(duì)的梯度，）的結(jié)果，沒(méi)有對(duì)的梯度，把把（9 9）式代入）式代入（6 6）不能得到）不能得到 q q 色散關(guān)系。色散關(guān)系。詳細(xì)的理論計(jì)算是詳細(xì)的理論計(jì)算是 D.Pines D.Pines 和博姆完成的，得到色散關(guān)系和博姆完成的，得到色散關(guān)系 222253)(qvqFP - - - - - - （1010） v vF F是費(fèi)密速度。是費(fèi)密速度。（4 4

11、） 討論討論等離子體振蕩頻率等離子體振蕩頻率 P P 10 101616 s s-1-1 ，而電導(dǎo)過(guò)程的弛豫時(shí)間而電導(dǎo)過(guò)程的弛豫時(shí)間 10 10-12-12 s s ，所以，所以 P P 1 1說(shuō)明前面略去阻尼力是合理的，同時(shí)也表明等離子體振蕩是在沒(méi)說(shuō)明前面略去阻尼力是合理的，同時(shí)也表明等離子體振蕩是在沒(méi)有碰撞情況下存在的一種電子集體運(yùn)動(dòng)。有碰撞情況下存在的一種電子集體運(yùn)動(dòng)。由于等離子體振蕩是一種密度起伏振蕩，只能是縱波。由于等離子體振蕩是一種密度起伏振蕩，只能是縱波。二二 等離體子等離體子（plasmonplasmon）1. 1. 若對(duì)電荷密度起伏的解若對(duì)電荷密度起伏的解（9 9）進(jìn)行二次量

12、子化，可得到熟悉的簡(jiǎn)諧）進(jìn)行二次量子化，可得到熟悉的簡(jiǎn)諧振子能量解振子能量解 PnE)21( 等離子體振蕩的能量量子等離子體振蕩的能量量子 P稱(chēng)為等離體子稱(chēng)為等離體子（plasmonplasmon） 。像聲子一樣，） 。像聲子一樣，等離體子是一種準(zhǔn)粒子，有能量、動(dòng)量，是玻色粒子，服從玻色統(tǒng)計(jì)等離體子是一種準(zhǔn)粒子，有能量、動(dòng)量，是玻色粒子，服從玻色統(tǒng)計(jì)分布。分布。請(qǐng)注意：聲子和等離體子都是準(zhǔn)粒子，或稱(chēng)元激發(fā)。它們實(shí)際上是代請(qǐng)注意：聲子和等離體子都是準(zhǔn)粒子，或稱(chēng)元激發(fā)。它們實(shí)際上是代表系統(tǒng)某種集體運(yùn)動(dòng)形態(tài)的量子。因此離開(kāi)這系統(tǒng)，這些量子就失去表系統(tǒng)某種集體運(yùn)動(dòng)形態(tài)的量子。因此離開(kāi)這系統(tǒng)，這些量子就

13、失去存在的根基。存在的根基。2. 2. 常溫下的等離子體振蕩常溫下的等離子體振蕩對(duì)于金屬，對(duì)于金屬，P大約在大約在 5 5 30 eV 30 eV 之間之間（很大） 。（很大） 。因因 1 K 1 K 10 10-4-4 eV eV，故常溫下很難激發(fā)等離子體振蕩，故常溫下很難激發(fā)等離子體振蕩（n = 0n = 0） 。） 。但存在量子力學(xué)的零點(diǎn)振蕩能但存在量子力學(xué)的零點(diǎn)振蕩能 P21，因此常溫時(shí)金屬中的電子氣處，因此常溫時(shí)金屬中的電子氣處在零點(diǎn)振蕩的狀態(tài)，存在電荷密度的零點(diǎn)起伏。在零點(diǎn)振蕩的狀態(tài)，存在電荷密度的零點(diǎn)起伏。原因：這種集體運(yùn)動(dòng)來(lái)自電子間庫(kù)侖作用的長(zhǎng)程部分，使電子之間在原因：這種集體

14、運(yùn)動(dòng)來(lái)自電子間庫(kù)侖作用的長(zhǎng)程部分，使電子之間在長(zhǎng)距離范圍相互關(guān)聯(lián)，形成縱向長(zhǎng)波振動(dòng)。長(zhǎng)距離范圍相互關(guān)聯(lián)，形成縱向長(zhǎng)波振動(dòng)。3. 3. 等離體子的實(shí)驗(yàn)測(cè)量等離體子的實(shí)驗(yàn)測(cè)量 p 131-132 p 131-132 圖圖 6.166.16三庫(kù)侖屏蔽勢(shì)和準(zhǔn)電子三庫(kù)侖屏蔽勢(shì)和準(zhǔn)電子電子之間的庫(kù)侖相互作用使電子的運(yùn)動(dòng)情況變得十分復(fù)雜。除了電子之間的庫(kù)侖相互作用使電子的運(yùn)動(dòng)情況變得十分復(fù)雜。除了等離子體振蕩這種電子集體運(yùn)動(dòng)形式外，每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)也變成準(zhǔn)電等離子體振蕩這種電子集體運(yùn)動(dòng)形式外，每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)也變成準(zhǔn)電子運(yùn)動(dòng)形式。子運(yùn)動(dòng)形式。1. 1. 短程的庫(kù)侖屏蔽勢(shì)短程的庫(kù)侖屏蔽勢(shì)電荷之間的庫(kù)侖相互作用原本

15、是長(zhǎng)程勢(shì)，但在等離子體中，由于電荷之間的庫(kù)侖相互作用原本是長(zhǎng)程勢(shì)，但在等離子體中，由于高密度電子的迅速流動(dòng)和重新分布，會(huì)在一個(gè)電荷周?chē)a(chǎn)生屏蔽，使高密度電子的迅速流動(dòng)和重新分布，會(huì)在一個(gè)電荷周?chē)a(chǎn)生屏蔽，使該電荷的庫(kù)侖勢(shì)變成短程的。該電荷的庫(kù)侖勢(shì)變成短程的。以一個(gè)正點(diǎn)電荷以一個(gè)正點(diǎn)電荷 e eo o為例。我們知道，為例。我們知道，e eo o在真空中產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)是在真空中產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)是reoo41?，F(xiàn)在討論這個(gè)正點(diǎn)電荷。現(xiàn)在討論這個(gè)正點(diǎn)電荷 e eo o在等離子體中產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)是什么在等離子體中產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)是什么樣的。以下討論中假定等離子體沒(méi)有振蕩樣的。以下討論中假定等離子體沒(méi)有振蕩（也沒(méi)有零

16、點(diǎn)振蕩） 。（也沒(méi)有零點(diǎn)振蕩） 。假定等離子體原本處于沒(méi)有振蕩的平衡態(tài)，空間每一處的正電荷假定等離子體原本處于沒(méi)有振蕩的平衡態(tài)，空間每一處的正電荷密度等于電子電荷密度，因此就像在真空中那樣空間處處都是電中性。密度等于電子電荷密度，因此就像在真空中那樣空間處處都是電中性?，F(xiàn)在在原點(diǎn)處放入正點(diǎn)電荷現(xiàn)在在原點(diǎn)處放入正點(diǎn)電荷 e eo o（固定不動(dòng)） ，則等離子體中的電子要重（固定不動(dòng)） ，則等離子體中的電子要重新分布，同時(shí)形成了勢(shì)新分布，同時(shí)形成了勢(shì)(r)(r)。設(shè)系統(tǒng)重新穩(wěn)定后。設(shè)系統(tǒng)重新穩(wěn)定后（沒(méi)有振蕩）的電子（沒(méi)有振蕩）的電子密度為密度為 dEEgreEfrn)()()( - - - (11)

17、 - - - (11)這里這里 f f 是分布函數(shù)，是分布函數(shù)，g(E)g(E)是能態(tài)密度是能態(tài)密度當(dāng)當(dāng) e e(r)(r)為小量時(shí)，分布函數(shù)偏離不大，可在能量為小量時(shí)，分布函數(shù)偏離不大，可在能量 E E 處展開(kāi)處展開(kāi) )()()()()()(reEEEfreEfEfreEfF所以所以 dEEgreEEEfrnF)()()()()( )()(FoEgren其中其中 n no o是原來(lái)系統(tǒng)平衡時(shí)的均勻電子密度，它與均勻恒定正電荷背景是原來(lái)系統(tǒng)平衡時(shí)的均勻電子密度，它與均勻恒定正電荷背景抵消，不產(chǎn)生電場(chǎng)和電位勢(shì)。抵消，不產(chǎn)生電場(chǎng)和電位勢(shì)。因因此此電電子子電電荷荷密密度度的的變變化化 )()()(2

18、FoEgrenrne - - - - - - ( (1 12 2) )位位于于原原點(diǎn)點(diǎn)的的正正點(diǎn)點(diǎn)電電荷荷 e eo o、電電子子電電荷荷密密度度的的變變化化和和勢(shì)勢(shì)滿(mǎn)滿(mǎn)足足泊泊松松方方程程 )()()(1)(1)(22rEgererrFooo - - - - ( (1 13 3) )作作傅傅立立葉葉展展開(kāi)開(kāi) )exp()()2(1)(3rq iqqdr - - - - - - ( (1 14 4) ) )exp()2(1)(3rq iqdr - - - - - - ( (1 15 5) )代入泊松方程代入泊松方程（1313） qdrq iqEgeerq iqqdFoo)exp()()()2(

19、1)exp()()2(12323 0)exp()()()()2(1223qdrq iqEgeeqqFoo 所以所以 0)()()(22qEgeeqqFoo )/ )()()(2222oFooFooEgeqeEgeqeq )(22cooqqe - - - (16) - - - (16) 其中其中 22222)(FoFocmkeEgeq - - - (17) - - - (17) 這里能態(tài)密度采用了這里能態(tài)密度采用了“量子力學(xué)的理想自由電子氣模型”的“量子力學(xué)的理想自由電子氣模型”的 結(jié)果結(jié)果 222223)2/()3/(2323)(FFFFFmkmkkEnEg把把（1616）代入）代入（1414

20、）式，）式， qdrq iqqercoo)exp()()2(1)(223 取取 r r 沿沿 z z 方向方向 dqddqiqrqqecoosin)cosexp(1)2(22200203 dqqiqriqrqqecoo202202)cosexp(114 dqeeiqqqreiqriqrcoo142202 dqqqqrqrecoo2202)sin(2 )exp(222rqrecoo 所以所以 )exp(41)(rqrercoo - - - (18) - - - (18)2. 2. 討論：討論： 公式公式（1818）表明，正點(diǎn)電荷）表明，正點(diǎn)電荷 e eo o在等離子體中產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)是按指在等離子

21、體中產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)是按指數(shù)數(shù) exp(-q exp(-qc cr)r)的形式衰減。勢(shì)的形式衰減。勢(shì)(r)(r)衰減的原因是電子氣對(duì)位于原點(diǎn)處衰減的原因是電子氣對(duì)位于原點(diǎn)處的正電荷的正電荷 e eo o的屏蔽作用。公式中的屏蔽作用。公式中 reoo41 代表沒(méi)有屏蔽作用時(shí)，正電代表沒(méi)有屏蔽作用時(shí)，正電荷荷 e eo o產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)，而產(chǎn)生的庫(kù)侖勢(shì)，而 )exp(41rqrecoo 代表有屏蔽作用時(shí)的庫(kù)侖勢(shì)。代表有屏蔽作用時(shí)的庫(kù)侖勢(shì)。通常定義通常定義 cq1 為屏蔽長(zhǎng)度，對(duì)于金屬為屏蔽長(zhǎng)度，對(duì)于金屬 10 10-10-10 m m，大約與原子，大約與原子間距相當(dāng)。因此正點(diǎn)電荷間距相當(dāng)。因此正點(diǎn)電荷

22、e eo o在等離子體中時(shí)，對(duì)距離外的電子已近在等離子體中時(shí)，對(duì)距離外的電子已近似無(wú)直接庫(kù)侖作用，從這個(gè)意義上說(shuō)，原本長(zhǎng)程的裸庫(kù)侖相互作用變似無(wú)直接庫(kù)侖作用，從這個(gè)意義上說(shuō)，原本長(zhǎng)程的裸庫(kù)侖相互作用變成了短程的或屏蔽的庫(kù)侖相互作用。成了短程的或屏蔽的庫(kù)侖相互作用。3. 3. 準(zhǔn)電子準(zhǔn)電子 現(xiàn)在把正點(diǎn)電荷現(xiàn)在把正點(diǎn)電荷 e eo o換成電子，則上述結(jié)論同樣成立。公換成電子，則上述結(jié)論同樣成立。公式（式（1818）表明，每個(gè)電子周?chē)郊恿艘粋€(gè)半徑約為（）表明，每個(gè)電子周?chē)郊恿艘粋€(gè)半徑約為（cq1）的正電屏蔽層。也就是說(shuō)，由于庫(kù)侖相互作用的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，的正電屏蔽層。也就是說(shuō)，由于庫(kù)侖相互作用的關(guān)聯(lián)效

23、應(yīng)，電子將排開(kāi)臨近的電子，形成隨電子運(yùn)動(dòng)的正的屏蔽電荷云。電子將排開(kāi)臨近的電子，形成隨電子運(yùn)動(dòng)的正的屏蔽電荷云。這時(shí)電子的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)和多電子系統(tǒng)分不開(kāi)了，只能認(rèn)為是多這時(shí)電子的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)和多電子系統(tǒng)分不開(kāi)了，只能認(rèn)為是多電子系統(tǒng)中的準(zhǔn)電子。準(zhǔn)電子是費(fèi)密子，遵從費(fèi)密電子系統(tǒng)中的準(zhǔn)電子。準(zhǔn)電子是費(fèi)密子，遵從費(fèi)密狄喇克狄喇克統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)。 由于二個(gè)電子的最近距離由于二個(gè)電子的最近距離 cq1，因此等離子體的最，因此等離子體的最小波長(zhǎng)小波長(zhǎng) ，所以，所以 q qc c 是等離子體振蕩的是等離子體振蕩的最大波矢值。最大波矢值。 4 4. . 電電子子集集體體運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的物物理理圖圖象象在在實(shí)實(shí)際際情情況況中中

24、，電電子子將將排排開(kāi)開(kāi)臨臨近近的的電電子子，而而由由于于電電子子離離開(kāi)開(kāi)時(shí)時(shí)，總總是是沖沖過(guò)過(guò)了了平平衡衡位位置置，又又被被電電子子周周?chē)鷩牡恼牡钠疗帘伪坞婋姾珊稍圃评鼗?，于于是是電電子子往往?fù)復(fù)地地振振動(dòng)動(dòng)。另另外外，電電子子氣氣還還有有零零點(diǎn)點(diǎn)振振蕩蕩能能。所所以以，電電子子氣氣的的振振蕩蕩與與電電子子的的屏屏蔽蔽作作用用總總是是密密切切地地聯(lián)聯(lián)系系著著的的。電電子子氣氣中中的的勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)可可以以看看成成是是公公式式（1 1）確確定定的的與與電電荷荷密密度度起起伏伏對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的變變化化電電場(chǎng)場(chǎng) E E 和和公公式式（1 18 8）確確定定的的隨隨電電子子運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)( (r

25、 r) )的的疊疊加加。把把等等離離體體子子和和準(zhǔn)準(zhǔn)電電子子理理解解為為相相互互作作用用電電子子系系統(tǒng)統(tǒng)集集體體效效應(yīng)應(yīng)的的兩兩個(gè)個(gè)方方面面。四四單粒子激發(fā)單粒子激發(fā)金屬電子氣中除了有集體運(yùn)動(dòng)的激發(fā)外，還有單粒子激發(fā)。金屬電子氣中除了有集體運(yùn)動(dòng)的激發(fā)外，還有單粒子激發(fā)。電子氣的基態(tài)：費(fèi)密球內(nèi)所有狀態(tài)被電子占滿(mǎn)，費(fèi)密球外的狀態(tài)是電子氣的基態(tài)：費(fèi)密球內(nèi)所有狀態(tài)被電子占滿(mǎn)，費(fèi)密球外的狀態(tài)是 空的?？盏摹ｋ娮託饧ぐl(fā)態(tài)：費(fèi)密球內(nèi)電子氣激發(fā)態(tài)：費(fèi)密球內(nèi) k k 狀態(tài)電子激發(fā)到球外狀態(tài)電子激發(fā)到球外 k+q k+q 的空狀態(tài)，產(chǎn)的空狀態(tài)，產(chǎn) 生一個(gè)電子生一個(gè)電子- -空穴對(duì)：球內(nèi)一個(gè)空穴對(duì)：球內(nèi)一個(gè) k k

26、 空穴，球外一個(gè)空穴，球外一個(gè) k+qk+q 電子。電子。激發(fā)所需能量：激發(fā)所需能量： )2(222)(222222qkqmmkmqkE - (19) - (19) 由球內(nèi)空穴由球內(nèi)空穴 Fkk 球外電子球外電子 Fkqk|在在 q q q qc c的長(zhǎng)波區(qū)域，等離體子的能量的長(zhǎng)波區(qū)域，等離體子的能量 P大于電子大于電子 - -空穴對(duì)個(gè)別激空穴對(duì)個(gè)別激發(fā)能量發(fā)能量 E Emaxmax，個(gè)別電子，個(gè)別電子- -空穴對(duì)激發(fā)不可能產(chǎn)生等離體子，集體激發(fā)也空穴對(duì)激發(fā)不可能產(chǎn)生等離體子，集體激發(fā)也不能衰變成為個(gè)別電子不能衰變成為個(gè)別電子- -空穴對(duì)。等離子體振蕩是一種穩(wěn)定的集體運(yùn)動(dòng)空穴對(duì)。等離子體振蕩是

27、一種穩(wěn)定的集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。狀態(tài)。在在 q q q qc c的短波區(qū)域，等離子體振蕩的波長(zhǎng)太短，不穩(wěn)定。這時(shí)只有的短波區(qū)域，等離子體振蕩的波長(zhǎng)太短，不穩(wěn)定。這時(shí)只有個(gè)別電子個(gè)別電子- -空穴對(duì)激發(fā)存在?？昭▽?duì)激發(fā)存在。以下估計(jì)單位體積中等離體子的模式總數(shù)以下估計(jì)單位體積中等離體子的模式總數(shù) N Np p。 在波矢空間，等離體子的波矢是處在半徑為在波矢空間，等離體子的波矢是處在半徑為 q qc c的球內(nèi)，的球內(nèi)，q qc c由公由公 式式（1717）給出）給出 22222)(FoFocmkeEgeq 模式總數(shù)為模式總數(shù)為 23336)34(81ccPqqN - - - (22) - - - (22)

28、 單位體積電子氣的自由度總數(shù)為單位體積電子氣的自由度總數(shù)為 233Fkn ，因此，因此 3323236/6/3FcFcPkqkqnN - - - (23) - - - (23)6.6 6.6 維格納晶格維格納晶格1. 1. 屏蔽程度的強(qiáng)弱屏蔽程度的強(qiáng)弱由上節(jié)的公式由上節(jié)的公式（1717） 22222)(FoFocmkeEgeq 公式公式（1818） )exp(41)(rqrercoo 及及6.16.1 節(jié)的公式節(jié)的公式 3/12)3(nkF 在在“正電荷凝膠加電子氣”模型中，電子間的互作用是屏蔽的庫(kù)“正電荷凝膠加電子氣”模型中，電子間的互作用是屏蔽的庫(kù)侖作用侖作用(r)(r)，屏蔽效應(yīng)的程度由

29、，屏蔽效應(yīng)的程度由 q qc c2 2 來(lái)量度。來(lái)量度。電子密度高，電子密度高，k kF F值大，值大，q qc c2 2也大，屏蔽長(zhǎng)度也大，屏蔽長(zhǎng)度 cq1 小，屏蔽效應(yīng)強(qiáng)。小，屏蔽效應(yīng)強(qiáng)。在低密度的電子氣中，費(fèi)密球半徑小，屏蔽效應(yīng)很弱，電子間庫(kù)侖作在低密度的電子氣中，費(fèi)密球半徑小，屏蔽效應(yīng)很弱，電子間庫(kù)侖作用仍是長(zhǎng)程的，同時(shí)系統(tǒng)中電子的平均動(dòng)能用仍是長(zhǎng)程的，同時(shí)系統(tǒng)中電子的平均動(dòng)能FEE53小。小。2 2維格納晶格的物理圖象維格納晶格的物理圖象 當(dāng)電子氣密度足夠低時(shí)，電子平均動(dòng)能將小于均勻恒定正電荷背當(dāng)電子氣密度足夠低時(shí)，電子平均動(dòng)能將小于均勻恒定正電荷背景對(duì)電子的庫(kù)侖吸引勢(shì)，電子將不能自

30、由運(yùn)動(dòng)，即電子氣將發(fā)生景對(duì)電子的庫(kù)侖吸引勢(shì)，電子將不能自由運(yùn)動(dòng)，即電子氣將發(fā)生“凝“凝結(jié)” 。凝結(jié)的電子氣的分布將趨于使系統(tǒng)的總能量最低，即使電子間的結(jié)” 。凝結(jié)的電子氣的分布將趨于使系統(tǒng)的總能量最低，即使電子間的庫(kù)侖排斥能最小。電子系統(tǒng)將在均勻正電荷背景中形成電子晶格。這庫(kù)侖排斥能最小。電子系統(tǒng)將在均勻正電荷背景中形成電子晶格。這就是維格納晶格。就是維格納晶格。 取取 r ro o = r = rs sa aB B，a aB B為玻爾半徑，為玻爾半徑，r rs s是無(wú)量綱系數(shù)是無(wú)量綱系數(shù)（1 1）電子的平均動(dòng)能）電子的平均動(dòng)能 3/23223/22222)433(103)3(10325353oFFermnmmkEE 223/2223/2211)49(1031)49(103sBoramrm RyrRyrss223/221. 21)49(1023 - - - (2) - - - (2)（2 2） 球內(nèi)均勻正電荷與位于球心的電子的互作用能球內(nèi)均勻正電荷與位于球心的電子的互作用能 drddrrererdreEorooosin344141230020 sBoooroooraererdrre1183834322032 Ryrs3 - - - (3) - - - (3)（3 3）