固體物理電子教案51布洛赫定理

1、第一節(jié)第一節(jié) 布洛赫定理布洛赫定理5.1.1 5.1.1 布洛赫定理布洛赫定理5.1.3 5.1.3 布里淵區(qū)布里淵區(qū)5.1.2 5.1.2 波矢的取值和范圍波矢的取值和范圍本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :5.1 布洛赫定理5.1.1 布洛赫定理1.晶格的周期性勢(shì)場(chǎng) (3) (3)理想晶體中原子排列具有周期性，晶體內(nèi)部的勢(shì)場(chǎng)具理想晶體中原子排列具有周期性，晶體內(nèi)部的勢(shì)場(chǎng)具有周期性；有周期性； (1) (1)在晶體中每點(diǎn)勢(shì)能為各個(gè)原子實(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的勢(shì)能之在晶體中每點(diǎn)勢(shì)能為各個(gè)原子實(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的勢(shì)能之和；和； (2) (2)每一點(diǎn)勢(shì)能主要決定于與核較近的幾個(gè)原子實(shí)每一點(diǎn)勢(shì)能主要決定于與核較近的幾

2、個(gè)原子實(shí)( (因?yàn)閯?shì)因?yàn)閯?shì)能與距離成反比能與距離成反比) )； (4) (4)電子的影響：電子均勻分布于晶體中，其作用相當(dāng)于在晶電子的影響：電子均勻分布于晶體中，其作用相當(dāng)于在晶格勢(shì)場(chǎng)中附加了一個(gè)均勻的勢(shì)場(chǎng)，而不影響晶體勢(shì)場(chǎng)的周期性。格勢(shì)場(chǎng)中附加了一個(gè)均勻的勢(shì)場(chǎng)，而不影響晶體勢(shì)場(chǎng)的周期性。 ervm 222 nrrvrv nr其中其中 為任意格點(diǎn)的位矢。為任意格點(diǎn)的位矢。電子在一個(gè)具有晶格周期性的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子在一個(gè)具有晶格周期性的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)2. 布洛赫定理當(dāng)勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性時(shí)，波動(dòng)方程的解具有如下性質(zhì)：當(dāng)勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性時(shí)，波動(dòng)方程的解具有如下性質(zhì)：),r()rr(nrk in e其中其

3、中 為電子波矢，為電子波矢， k332211anananrn 是格矢。是格矢。 在晶格周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)在晶格周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱(chēng)為幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱(chēng)為布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)。?aaa )()()(321 、 nkkrruru 3.證明布洛赫定理(1)(1)引入平移對(duì)稱(chēng)算符引入平移對(duì)稱(chēng)算符)(nrt(2)(2)說(shuō)明說(shuō)明: :0, ht(3)(3) tnrkinr e)( 根據(jù)布洛赫定理波函數(shù)寫(xiě)成如下形式：根據(jù)布洛赫定理波函數(shù)寫(xiě)成如下形式：)()()(nnrrfrfrt )2()()()()(2nn

4、nnrrfrrfrtrfrt (1)(1)平移對(duì)稱(chēng)算符平移對(duì)稱(chēng)算符)(nrt)()()(nnlrlrfrfrt )()()()(rhrrvrf，可以是 )(222rvmh ),()(nrrvrv (2)(2)0, ht)()(22222222nrrzyxr 233222222112)()()(anzanyanx 晶體中單電子哈密頓量晶體中單電子哈密頓量 具有晶格周期性。具有晶格周期性。h)()()()()(nnnrrrrhrrhrt )()()(rrtrhn 平移對(duì)稱(chēng)操作算符與哈密頓算符是對(duì)易的。平移對(duì)稱(chēng)操作算符與哈密頓算符是對(duì)易的。0, ht在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中： 由于對(duì)易的算符有

5、共同的本征函數(shù)，所以如果波函數(shù)由于對(duì)易的算符有共同的本征函數(shù)，所以如果波函數(shù) 是是 的本征函數(shù)，那么的本征函數(shù)，那么 也一定是算符也一定是算符 的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。)(r h)(r )(nrt，則則有有對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的本本征征值值為為設(shè)設(shè))()(nnrrt )()()()()(rrrrrrtnnn 根據(jù)平移特點(diǎn)根據(jù)平移特點(diǎn))()()()()(332211332211antantantananantrtn 321)()()(321nnnatatat (3)(3) tnrkinr e)( 可得到可得到 )()()()()()()()(321321raaarrrrtnnnnn 即即 321)()()

6、()(321nnnnaaar ?aaa )()()(321 、,321321個(gè)個(gè)原原胞胞、方方向向各各有有、設(shè)設(shè)晶晶體體在在nnnaaa )()()()()()(332211anrranrranrr 由周期性邊界條件由周期性邊界條件根據(jù)上式可得到根據(jù)上式可得到 )()()()()(111111ranrrarantn 1)(11 na 1121e)(nlia 同理可得：同理可得：,anli2222e)( 3323e)(nlia 這樣這樣 的本征值取下列形式的本征值取下列形式)(nrt)(2333222111e)(nlnnlnnlninr 引入矢量引入矢量333222111nblnblnblk 式

7、中式中 為晶格三個(gè)倒格基矢，由于為晶格三個(gè)倒格基矢，由于 ,321bbb、ijjiba 2 nrk inr e)( )(e)(rrrnrk in -布洛赫定理布洛赫定理 rurkrkik e nkkrruru 再證明布洛赫波函數(shù)具有如下形式：再證明布洛赫波函數(shù)具有如下形式： 可以看出平面波可以看出平面波 能滿足上式。因此矢量能滿足上式。因此矢量 具有波矢的具有波矢的意義。當(dāng)波矢增加一個(gè)倒格矢意義。當(dāng)波矢增加一個(gè)倒格矢 ，平面波，平面波 也滿足上式。也滿足上式。rk i ekhkrkkih )(e因此電子的波函數(shù)一般是這些平面波的線性疊加因此電子的波函數(shù)一般是這些平面波的線性疊加 hrkihrk

8、 ihrkkihkhhkkakkar)e(e)e()()( hrkihkhkkaru)e()(設(shè)則上式化為則上式化為)(e)(rurkrk ik )()(rurruknk 即晶體中電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。22)()(rrrknk )(e)(rrrnrk in 可以認(rèn)為電子在整個(gè)晶體中自由運(yùn)動(dòng)。布洛赫函數(shù)的平面可以認(rèn)為電子在整個(gè)晶體中自由運(yùn)動(dòng)。布洛赫函數(shù)的平面波因子描述晶體中電子的共有化運(yùn)動(dòng)，而周期函數(shù)的因子描述波因子描述晶體中電子的共有化運(yùn)動(dòng)，而周期函數(shù)的因子描述電子在原胞中運(yùn)動(dòng)，這取決于原胞中電子的勢(shì)場(chǎng)。電子在原胞中運(yùn)動(dòng)，這取決于原胞中電子的勢(shì)場(chǎng)。5.1.2 的取值和范圍k個(gè)個(gè)

9、原原胞胞，、方方向向各各有有、設(shè)設(shè)晶晶體體在在321321nnnaaa )()()()()()(332211anrranrranrrkkkkkk 由周期性邊界條件由周期性邊界條件1e jjank i)()(11ranrkk )(e)(1111ruanrkanrkik )(ee11rukrkianki )(rk 332211bbb 333222111nblnblnblk ,baijjj 2 jjjln （其中（其中l(wèi)j為任意整數(shù)為任意整數(shù)) )，jjjnl 只能取一些分立的值。只能取一些分立的值。)()(rrhkkk 可以證明可以證明是倒格矢。是倒格矢。nk整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) jj ,nkkkk

10、 換成換成相當(dāng)于波矢相當(dāng)于波矢khkk 態(tài)和態(tài)和態(tài)是同一電子態(tài)，而同一電子態(tài)對(duì)應(yīng)同一態(tài)是同一電子態(tài)，而同一電子態(tài)對(duì)應(yīng)同一故故 。)()(hkkeke 個(gè)能量，個(gè)能量， 為使本征函數(shù)和本征值一一對(duì)應(yīng)，即使電子的波矢與本征為使本征函數(shù)和本征值一一對(duì)應(yīng)，即使電子的波矢與本征值值 一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，必須把波矢一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，必須把波矢 的值限制在一個(gè)倒格子的值限制在一個(gè)倒格子原胞區(qū)間內(nèi)，通常取：原胞區(qū)間內(nèi)，通常?。?(kek)3 , 2 , 1( ,22 ibkbiii)3 , 2 , 1( ,22 inlniii 在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原

11、胞數(shù)目目n= =n1 1n2 2n3 3。在波矢空間內(nèi)，由于在波矢空間內(nèi)，由于n n的數(shù)目很大，波矢點(diǎn)的分的數(shù)目很大，波矢點(diǎn)的分布是準(zhǔn)連續(xù)的。一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的體積為：布是準(zhǔn)連續(xù)的。一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的體積為：c*vnnnbnbnb33332211)2()2()( 一個(gè)波矢代表點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為：一個(gè)波矢代表點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為：電子的波矢密度為：電子的波矢密度為： 3)2(cvcv3)2()()(rrnkkk 下面我們證明下面我們證明證明：根據(jù)布洛赫定理證明：根據(jù)布洛赫定理 hrkihkkrk ikhkkaru,rur)e()()(e)( hrkkkihnkkhnnkkkar)()e()( lrkkillkka

12、)()e( hrkkihhrkihrkikhhkkakkar)()e()e(e)( lhnkkk 令令)(rk 例例1：一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)：一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù) 應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理，若晶格常量為定理，若晶格常量為a，電子波函數(shù)為電子波函數(shù)為 , f為某一確定函數(shù)，試求電子在這些狀態(tài)的波矢為某一確定函數(shù)，試求電子在這些狀態(tài)的波矢。 )()()(maxfixmmk )(xk 解：據(jù)布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)具有以下特點(diǎn)：解：據(jù)布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)具有以下特點(diǎn)：)(e)(xnaxkiknak )()()(manaxfinaxmmk )()()()

13、()(anmxfiianmxfinmmnmm 令令m- -n=l，)()()()()(xilaxfiinaxknllnk 據(jù)布洛赫定理，據(jù)布洛赫定理，niknai)(e 即即iika e232 ska在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中，即在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中，即，aka 1. 布里淵區(qū)定義 在在倒格空間中以中以任意一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他所一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他所有倒格點(diǎn)連線的中垂面有倒格點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線或中垂線)，這些中垂面，這些中垂面(或中垂線或中垂線)將倒將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱(chēng)為格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱(chēng)為布里淵區(qū)布里淵區(qū)。5.1.3 布里淵區(qū) 第一布里淵區(qū)第一布里淵

14、區(qū)( (簡(jiǎn)約布里淵區(qū)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)) )：圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域；：圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域；ak2 取取對(duì)于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫(huà)布里淵區(qū)呢對(duì)于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫(huà)布里淵區(qū)呢? ? 第第n+1+1布里淵區(qū)布里淵區(qū)：從原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)：從原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)n個(gè)中垂面?zhèn)€中垂面( (或中垂線或中垂線) )才才能到達(dá)的區(qū)域能到達(dá)的區(qū)域( (n為正整數(shù)為正整數(shù)) )。2.布里淵區(qū)作圖法晶體晶體結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)布拉維布拉維晶格晶格倒格點(diǎn)倒格點(diǎn)排列排列 中垂面中垂面( (中垂線中垂線) )區(qū)分布區(qū)分布里淵區(qū)里淵區(qū)倒格基矢倒格基矢321bbb、332211bhbhbhkh 正格基矢正格基矢,321aaa、aa 例例2：下圖是一

15、個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，畫(huà)出它的第一：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，畫(huà)出它的第一、第二第二、第三布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)。aaiaa 1jaa 2jaaiaa 21jabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji ij第一布第一布里淵區(qū)里淵區(qū)第三布第三布里淵區(qū)里淵區(qū)第二布第二布里淵區(qū)里淵區(qū)a2a2布里淵區(qū)的面積布里淵區(qū)的面積= =倒格原胞的面積倒格原胞的面積 高序號(hào)布里淵區(qū)的各個(gè)分散的碎片平移一個(gè)或幾個(gè)倒格高序號(hào)布里淵區(qū)的各個(gè)分散的碎片平移一個(gè)或幾個(gè)倒格矢進(jìn)入簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡(jiǎn)約區(qū)圖。矢進(jìn)入簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡(jiǎn)約區(qū)圖。第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第三區(qū)布里淵區(qū)的簡(jiǎn)約區(qū)圖

16、布里淵區(qū)的簡(jiǎn)約區(qū)圖布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖ija 2a 2第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第三區(qū)第四區(qū)第四區(qū)第五區(qū)第五區(qū)第六區(qū)第六區(qū)第七區(qū)第七區(qū)第八區(qū)第八區(qū)第九區(qū)第九區(qū)第十區(qū)第十區(qū)二維正方晶格的布二維正方晶格的布里淵區(qū)的簡(jiǎn)約區(qū)圖里淵區(qū)的簡(jiǎn)約區(qū)圖abjbaiaa 21jbbiab2221 ijjiba 2)(2ji )(0ji iaa 1jba 2倒格仍為矩形。倒格仍為矩形。 例例3 3：畫(huà)出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的：畫(huà)出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖和簡(jiǎn)約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長(zhǎng)分別為擴(kuò)展區(qū)圖和簡(jiǎn)約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長(zhǎng)分別為 。ba，解解: :ij第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)

17、第二區(qū)b2a2例例4：畫(huà)出面心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)面心立方晶格常量為：畫(huà)出面心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)面心立方晶格常量為a。 jiaakiaakjaa222321解：解：面心立方正格基矢：面心立方正格基矢： 213132321222aabaabaab332141)(aaaa 倒格基矢倒格基矢: kjiakjiakjia 2221a3a2ai ajaka面心立方的倒格是面心立方的倒格是邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為4 / /a體心立方。體心立方。 kjiabkjiabkjiab222321倒格基矢：倒格基矢：已知體心立方正格基矢已知體心立方正格基矢: : kjiaakjiaakjiaa222321 0002 o,a：x 0012 ,ax：l 2121212 ,al：k 043432 ,ak：例例5 5：畫(huà)出體心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)體心立方晶格常量為：畫(huà)出體心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)體心立方晶格常量為a。 kjiaakjiaakjiaa222321解：正格基矢：解：正格基矢：332121)(aaaa jiakiakja 222 213132321222aabaabaab倒格基矢：倒格基矢：iajaka1a3a2a體心立方倒格是邊長(zhǎng)體心立方倒格是邊長(zhǎng)為為 4 / /a的的面心立方。面心立方。 jiabkiabkjab222321 jiaaki