線性系統(tǒng)理論課件7

1、第二章 穩(wěn)定性2.1 運動穩(wěn)定性的概念2.1.2 運動及其穩(wěn)定性考慮系統(tǒng)式中xRn, f是n維向量值函數(shù),時間tR,假定f充分光滑以保證方程有關(guān)的初值問題的解的存在唯一性以及解對初值的連續(xù)依賴性,為簡單起見,假定解對所有tR存在.在上述假定下, 每一個初始狀態(tài)x(t0)=x0確定唯一解. 為了表示該解是由初始條件t0, x0確定的, 常記為x(t)= x(t; x0, t0).)2 . 1 . 2(),(txfx 一個系統(tǒng)隨初態(tài)不同有很多解, 設(shè)我們所關(guān)心的的一個運動為g(t)= x(t; x0, t0)稱它為給定運動或未被擾運動. 若在受到擾動, 狀態(tài)由x0變?yōu)?,由 確定的運動 稱為被擾運

2、動.定義定義1.2.1 在系統(tǒng)(2.1.1)的給定運動g(t)的某個鄰域中, 式中H0.0 x0 x),;(00txtxHtgtx)()(如果對于任意給定的正數(shù)0(0,對于滿足 的任一初態(tài) , 0, T=T(, t0, )0, 使得 tt0+T3)若 00, 0, , t1 t0, 使得則稱g(t)不穩(wěn)定. ),;()(00txtxtx0)()(limtgtxt)(000trxx0 x0 x)()(tgtx0 x000)()(tgtxxx注1: 穩(wěn)定性定義中只考慮g(t)的H-鄰域中運動的性態(tài). 也就是說穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定都是局部的概念.注2: 給定運動g(t)的穩(wěn)定性實際上就是方程(2.1.1)

3、的解對初始狀態(tài)x0= x(t0)相對于所有的tt0,)一致連續(xù)性:例2.1.1 考察一維運動方程:),;(),;(lim000000txtgtxtxxx002)(0,xtxaxax因此,得到給定運動方程為而從 出發(fā)的運動為 ,因而有若取=, 則當(dāng) 時,且有由定義可知,給定運動 是漸近穩(wěn)定的.)(002)(ttaextg0 x)(002ttaex00)()(0)(0)()(020202xxeexextgtxttattatta00 xx0,)()(tttgtx0lim)()(lim00)(02xxetgtxttatt)(002)(ttaextg若運動方程為則由于 , 無論 如何小都有|x(t)-g

4、(t)|, (t ). 因此g(t)不穩(wěn)定.例2.1.2 考察一維系統(tǒng)解方程得到給定運動為 .若初態(tài) , 則相應(yīng)的解為002)(, 0,xtxaxax000)(,)()(02ttxxetgtxtta00 xx , 1)0(,1xtxx teetgtt)1 (2)(texetxtt)1 (2)(00)0(xx顯然,對 0, 取=, 則由 可知因而g(t)穩(wěn)定, 同時還有所以g(t)還漸近穩(wěn)定. 但是當(dāng)t時, 卻有g(shù)(t)-, 即運動g(t)無界. 這說明運動的穩(wěn)定性與運動的有界性不是一回事.,1)()(0 xetgtxt10 x. 0,1)()(0txetgtxt01lim)()(lim0 xe

5、tgtxttt2.1.3 零平衡態(tài)的穩(wěn)定性平衡狀態(tài)給定系統(tǒng) , 我們稱滿足 的點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài), 也即解x(t)=xe(常向量), 所以平衡狀態(tài)滿足2. 運動的擾動方程考慮 y(t)=x(t)-g(t), 式中g(shù)(t)是從x0出發(fā)的給定運動, x(t)是從 出發(fā)的被擾運動, 稱為初始擾動, y(t)稱為擾動. 由于g(t), x(t)都是運動方程的解, 因而給定運動g(t)的擾動方程),(txfx 0 x 0),(txfe0 x000)(xxty滿足:且有F(0,t)=0. 這樣我們得到:系統(tǒng) 的給定運動g(t)的穩(wěn)定性, 等價于給定運動g(t)的擾動方程 的零平衡態(tài)的穩(wěn)定性. 因此, 我們

6、只需研究擾動方程 零平衡態(tài)的穩(wěn)定性.3. 穩(wěn)定性定義的改述由于對運動穩(wěn)定性的研究歸結(jié)為對零平衡態(tài)穩(wěn)定),(),(),()(),(),()()()(ttyFttgfttgtyfttgfttxftgtxty),(txfx ),()(ttyFty),()(ttyFty性的研究, 因此穩(wěn)定性的定義我們改述為關(guān)于零平衡態(tài)原點的各種穩(wěn)定性的定義.定義2.1.2 給定系統(tǒng)f充分光滑以使通過任一點(x0,t0)存在唯一解. 考慮原點的H-鄰域|x|0(H), = (, t0), 使得 |x(t)|0, 0, T=T(, t0, x0)0, 使當(dāng)| x0 |r | x(t; t0, x0)|0, 0, x0,

7、t1 t0, 使得| x0 |0, a0, 使得|x(t)|Me-a(t-t_0) | x0|則稱原點是全局指數(shù)穩(wěn)定的, 簡稱按指數(shù)穩(wěn)定.按指數(shù)穩(wěn)定不僅可以保證原點漸近穩(wěn)定,而且表明了任意擾動至少具有e-at的衰減率. 常數(shù)a稱為穩(wěn)定度或衰減度., 0), 0(),(tftxfx 2.2 Lyapunov直接法2.2.1 穩(wěn)定性概念的進一步擴展定義2.2.1 (一致穩(wěn)定) 給定系統(tǒng)若0(H), = (), 使得|x0| |x(t)|, tt0,則稱原點一致穩(wěn)定. )3 . 1 . 2(, 0), 0(),(tftxfx 定義2.2.2 (等度漸近穩(wěn)定) 在系統(tǒng)(2.1.3)中, 若1)原點穩(wěn)定

8、2)在區(qū)域|x|0, 0, T=T(, r, t0)0, 使當(dāng)| x0 |r(t0), tt0+T | x(t; t0, x0)|0(r0, T=T()0, 使得| x0 |r| x(t; t0, x0)|,tt0+T,t0則稱原點一致漸近穩(wěn)定.注: 等度穩(wěn)定性中, 要求解對x0一致趨于零, 而一致漸近穩(wěn)定要求對x0和初始時刻t0兩者都要一致趨于零. 因此, 一致漸近穩(wěn)定首先是等度穩(wěn)定的, 同時r, T均與t0無關(guān). 但是, 它仍是局部概念, 即只考慮與原點充分靠近的初值,r可以充分小.定義2.2.4 (全局漸近穩(wěn)定) 如果系統(tǒng)(2.1.3)在整個空間Rn內(nèi)有定義且原點穩(wěn)定;若r為可以任意大的

9、正實數(shù), 當(dāng)x0滿足| x0 |0,T=T(,r, t0)0, 使得 tt0+T| x(t; t0, x0)|,則稱原點全局漸近穩(wěn)定.如果存在某個常數(shù)B=B(t0, x0), 使得對于t t0, 有| x(t; t0, x0)|B, 則稱運動是有界的. 如果對一切|x0|r, 都有| x(t; t0, x0)|0和t0, 當(dāng)|x0|0, T=T(,r, t0),使|x(t; x0, t0)|0, B=B(r), 使得|x0|r |x(t; x0, t0)| B,t t0, t0.3) r0, (r可以任意大) 0,T=T(,r)0, 使得| x0 |r| x(t; t0, x0)|, T t0

10、+T則稱原點全局一致漸近穩(wěn)定.l對于線性時變系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定全局漸近穩(wěn)定；一致漸近穩(wěn)定一致全局漸近穩(wěn)定l對于定常系統(tǒng)，穩(wěn)定一致穩(wěn)定；漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定全局漸近穩(wěn)定全局一致漸近穩(wěn)定2.2.2 V函數(shù)法的基本思想Lyapunov提出了研究穩(wěn)定性的兩種方法:1.間接法: 基于將 的右端函數(shù)展成級數(shù),逐漸考慮高次項來判斷原點的穩(wěn)定性.2.直接法或V函數(shù)法.),(txfx 考慮系統(tǒng)取一個函數(shù)式中當(dāng)0C0內(nèi)的連續(xù)函數(shù)W(x). W(x)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 并且有W(0)=0.1) 若W(x)0, 僅當(dāng)x=0時, W(x)=0, 則稱W(x)是正定的.)(2)(42()26()(222121212212211

11、xxxxxxxxxxxVxxVxV0)(xV2) 若有W(x)0, 則稱W(x)是半正定的.3) 若-W(x)是正定的, 則稱W(x)是負(fù)定的. 若-W(x)0, 則稱W(x)是半負(fù)定的.4) 若W(x)不是上述四種情況, 則稱其為變號的或不定的.現(xiàn)在考慮在給定區(qū)域:t t0, |x|H (2.2.2)上定義的函數(shù)V(t,x), 且V(t,x)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 并且V(t,0)=0.定義2.2.6 如果在區(qū)域|x|H內(nèi)存在正定函數(shù)W(x), 使得V(t,x)滿足V(t,x) W(x), 則稱V(t,x)是正定的; 如果V(t,x)- W(x),則稱V(t,x)是負(fù)定的.正定性的這種定義保證當(dāng)|x|為常數(shù)時, V(t,x)不會因t的變化而從正值趨向零. 例如, 函數(shù)盡管V(t,x)0(x0), 但它不是正定的, 因為當(dāng)x固定時, V(t,x)0, t0.)(),(2221xxextVt定義2.2.7 若在區(qū)域(2.2.2)內(nèi), 存在常數(shù)L0, 使得|V(t,x)|0, 不論其如何小, 均可找到異于零的正數(shù)h, 使得只要|x|h,就有|V(t,x)| , tt0,注: 顯然, 若V不依賴時間t, 由其連續(xù)性可知, 其必然具有無窮小上界. 但依賴于t的函數(shù)V(t