10-123曲線積分ppt課件

1、第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分一一 問題的提出問題的提出二二 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念三三 對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算四四 幾何與物理意義幾何與物理意義五五 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 第一節(jié)第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii 設(shè)平面曲線設(shè)平面曲線AB弧弧的線密度的線密度),(yx 為為求其質(zhì)量求其質(zhì)量is ),(ii ni 10lim M. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量 Ldsyx),( 一一 問題的提出問題的提出實例實例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量定義定義),(yxf設(shè)設(shè)面內(nèi)

2、面內(nèi)在在xoyL的的光光滑滑曲曲線線弧弧 上有界上有界)1(:T分割分割 ,1s ,2s ns )2(is :取取點點近近似似， ),(ii )3(:求和求和is ),(iif ni 1)4(:取取極極限限is ),(iif ni 10lim ，若其若其 則稱之為則稱之為),(yxf上上在曲線弧在曲線弧L對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分記為記為 Ldsyxf),(二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii iiiisfdm ),( 另另外外說說明明：),(yxf若若上連續(xù)，上連續(xù)，在平面光滑曲線弧在平面光滑曲線弧 L則則.),(存存在在

3、 Ldsyxf dszyxf),(is ),(iiif ni 10lim ,同理同理上連續(xù)，上連續(xù)，在空間光滑曲線弧在空間光滑曲線弧 L封閉時，記為封閉時，記為曲線弧曲線弧 L.),(),(dszyxfdsyxf 或或),(z zy yx xf f若若(充分條件充分條件)假設(shè)假設(shè) L 為空間曲線為空間曲線o0性質(zhì)性質(zhì) ),(),(yxgyxf、設(shè)設(shè)上可積上可積在在LdsyxgyxfL),(),( Ldsyxf),( Ldsyxg),( 21LLL 若若則則 Ldsyxf),( 1),(Ldsyxf 2),(Ldsyxf6.無方向性無方向性 dsyxfdsyxf),(),(1.線性性質(zhì)線性性質(zhì)2

4、.區(qū)域可加性區(qū)域可加性3.不等式性不等式性,),(),(),(Lyxyxgyxf 若若 LLdsyxgdsyxf),(),(4. 估值性質(zhì)估值性質(zhì) 5. 中值定理中值定理與重積分完全相似與重積分完全相似ABBA:L )(ty )(tx t. )()(22dtttds 三、對弧長曲線積分的計算三、對弧長曲線積分的計算寫寫成成參參數(shù)數(shù)方方程程設(shè)設(shè)曲曲線線LoxyABiM1 iMdydx ds 22dydxds . )()(22dttt 注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨獨立立中中yxyxf Ldsy

5、xf),(),(),( :tytxL 曲線曲線. t. )()(22dtttds 由于由于f (x, y)定義在定義在L上，上，故故 f (x, y)中變量中變量x, y滿足曲線滿足曲線L的方程的方程.（區(qū)別于前面講過的二重積分）（區(qū)別于前面講過的二重積分）)0( ds.)(用等式表示用等式表示用不等式表示，用不等式表示，LD ),(tf )(t . )()(22dttt 1. 一換一換2. 二變二變3. 三定限三定限化為關(guān)于化為關(guān)于 t t 的定積分！的定積分！2例例I求求 Lxyds是是L422 yx圓圓位位于于第一象限第一象限中的部分中的部分解解:Ltxcos2 tysin220 t I

6、 20 tcos2tsin2 dttt 20cossin8 4 dtdt2 d dt tt tt t2222cossin t t? d ds sRdtRdtdsds d ds sd dt t2 2024xxIdxxx2241 202 dxx解法解法 2:. 20,4:2 xxyL例例3I求求 xyzds: ,costax ,sintay ktz 的一周的一周解解 20 t I 20tacostasin kt 222)cos()sin(ktata dt22221kaka dtttkaka 2sin220222 4例例.L222ayx 滿足：滿足：其中其中 L)(22yx dsL L2ads2a

7、a 2 L22,)dsyx（計計算算曲曲線線積積分分注注: 點點 (x,y) 在曲線上，所以滿足曲線方程在曲線上，所以滿足曲線方程.23a .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc . .),(:dycyyyxL . )(12dyyds .)(:)1(bxaxyL . ).(,:bxaxyxxL . )(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .參數(shù)方程的特殊情況參數(shù)方程的特殊情況它視為它視為用其他形式表示時，將用其他形式表示時，將當(dāng)平面曲線當(dāng)平面曲線 L.),(:)3( L極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式. ,sin)

8、(cos)(: yxL. 22 dds.sin,cos),(22 dfdsyxfL)( 注注：ds處處理理.2是是一一元元函函數(shù)數(shù)上上，被被積積函函數(shù)數(shù)在在曲曲線線),(L),( .yxfyx1定定積積分分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為例例5.:,)(222的的上上半半圓圓周周其其中中求求RyxLdsyxIL 解解 ds sincosRyRx I)sin(cos R 0,sincos:RyRxL Rd Rd 022R RxRxRyL ,:22另解另解dxxRRxRxIRR 2222)(dxRRR 例例6.)( :,)(222ayaxLdsyxIL 其其中中求求解解adtttaI 20)sincos1(?:L L

9、adtds 22 a ,cos:t ta aL L2 的極坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程注注,sincos: taytaaxL 20t? tt.22 t d dt tt ta at ta at tt tt ta aI I2222222sincos)sin(coscos adtadtdsds2 .,cos:D2220 t tt ta a的的表表示示方方法法區(qū)區(qū)域域例例7:,LxdsIL其中其中求求 解解dxxx21041 2xy xyo)0 , 1(A)1 , 1(B 1)1(LxdsI.)1 , 1(,:)1(21間間的的一一段段弧弧到到從從BOxyL ).1 , 1(),0 , 1(),0 , 0(O

10、AB:)2(2BAOL組組成成，由由折折線線).155(121)41(328110232 x 2)2(LxdsI ABoAxdsxds oAoAxdsxds ABdyxds1011.23 I1L LOABOABL L :2 10 xdxxdx21 ？上上直直線線 d ds sO OA A當(dāng)曲線是平行當(dāng)曲線是平行 x,y x,y 軸軸的直線時就是定積分的直線時就是定積分Ex8解解直直是是由由曲曲線線其其中中計計算算 , . 222 22ayxLdseLyx 形形邊邊界界。在在第第一一象象限限中中所所圍圍的的圖圖和和線線 , 0 xyx dseLyx 22xyo2 2 aAB.0 , 0 :ayx

11、oA .dyds dseoAyx 22dyeay 0022 dyeay 0. 1 aed ds se eo oA Ay yx x 22d ds se ed ds se eo oB By yx xA AB By yx x 2222 xyo2 2 aABdtdte ea a a 24 .24 ,sin ,cos : ttaytaxABdseAByx 22adtadtdsds .4aea .2 20 , :axxyoB . 1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 xyo2 2 aABdxeax 2220 2 . 1 aed ds se eL Ly yx x 22)1(4)1( aa

12、aeeae . 2)42( aea t ts sd d ,d)(s sz zy yx xI I 計計算算例例9【解】【解】,012 s s: 10 t t20 21 22t tt tI Id)(513 t td5 1 z z.B(1,1,1)A(3,2,1):的一段直線的一段直線到到從從為為其中其中 化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 t tx x21 t ty y 1那么那么011121 z zy yx x: 10.259 t d d s例例10 10 計算計算,d)(222szyxI 其中其中為球面為球面【解】【解】, 11)(:24122121 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2

13、)sin2( 18d22920 I d2 cos221 z. 的的交交線線與與平平面面1 z zx x29222 z zy yx x化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2 x sin2 y那么那么.,的的交交線線與與平平面面為為球球面面其其中中計計算算曲曲線線積積分分例例01122222z zy yx xa az zy yx xL Ld ds sz zL L【解】【解】由輪換對稱性知：由輪換對稱性知：L Ldsdsx x2L Ld ds sy y2L Ldsdsz z2L LL Ldsdsz zy yx xdsdsz z)(222231L Ldsdsa a32a aa a 232.323a a

14、 四、幾何與物理意義四、幾何與物理意義的的質(zhì)質(zhì)量量的的線線密密度度時時表表示示當(dāng)當(dāng)LLyx,),() 1 ( ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長長時時當(dāng)當(dāng),),( ),()3(處的高時處的高時柱面在點柱面在點上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz ,)4(軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量軸及軸及曲線弧對曲線弧對yx. , 22 LyLxdsxIdsyI 曲線弧的重心坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo))5(., LLLLdsdsyydsdsxx .)6(曲曲線線弧弧對對質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力.,量量及及關(guān)關(guān)于于對對稱稱軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)

15、動動慣慣的的均均勻勻圓圓弧弧的的重重心心中中心心角角為為求求半半徑徑為為例例 212a a【解】【解】: cosa ax x sin a ay y那那么么 ),(0a a,0y y dsdsdsdsx xx x dsdsy yI Ix x2 2 a aadada acos sina a a ad da a22sin)sin( 23 a a五、小結(jié)五、小結(jié)1. 1 f Ldsyxf),(第第型或?qū)￠L的曲線積分型或?qū)￠L的曲線積分一、幾何意義和物理背景一、幾何意義和物理背景二、性質(zhì)二、性質(zhì)三、計算三、計算四、應(yīng)用四、應(yīng)用 f. 21.線性線性 2.可加可加 3.不等式不等式 4. 估值估值 5.

16、 中值中值1.質(zhì)量質(zhì)量 2.轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 3.重心重心 4. 引力引力三、計算三、計算.)(:) 3(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL . )(12dyyds .)(:)2(bxaxyL . )(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL dtttttfdsyxfL )()()( ),(),(22,)()( :)1( ttytxL. )()(22dtttds . ,sin)(cos)(:)4( yxL. 22 dds.)sin,cos(),(22 dfdsyxfL 練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)題答案練習(xí)題答案第二節(jié)第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的

17、曲線積分一、問題的提出一、問題的提出二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題常力沿直線所作的功常力沿直線所作的功 jFiFFyx 設(shè)常力設(shè)常力使質(zhì)點沿平面直線使質(zhì)點沿平面直線L L，從點，從點A A 移到點移到點B,B,則力則力 所作的功為所作的功為 FxxSFW oxy一、問題的提出一、問題的提出,yxyxSSFF ABFW AB FABFW 常力與位移不在同一直線上所作的功常力與位移不在同一直線上所作的功FLA B xSySyFxFyySF jy

18、xQiyxPyxF),(),(),( oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy ),(iiF ),(iiP ix ),(iiQ iy ni 10lim WjyixMMiiii)()(1 實例實例質(zhì)點在變力作用下沿平面曲線質(zhì)點在變力作用下沿平面曲線 L 從從 A 運動到運動到 B 所作的功所作的功 L.),(),(dyyxQdxyxP記為，記為，1. 分割分割2. 近似近似3. 求和求和4. 取極限取極限ABFW 定定義義oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy ),(ii ),(yxP設(shè)設(shè)在有向光滑在有向光滑曲線弧曲線弧上上AB有有界界)1(分分割割 :AB,21MMnnM

19、M1 ix 設(shè)設(shè),1 iixx,1x ,2x nx ,)2(iiMM1 :取取點點近近似似， ),(ii )3(作和：作和：),(iiP ix ni 1)4(取取極極限限：),(iiP ix ni 10lim ，若其若其 則稱之為則稱之為),(yxP上上AB在在的的對坐標(biāo)對坐標(biāo)x曲線積分曲線積分記為記為 L),(yxPdx,32MM,1AM二、對二、對 坐標(biāo)的曲線積分的概念坐標(biāo)的曲線積分的概念x或第或第型的曲線積分型的曲線積分 L),(yxQdy L),(yxPdx LdyyxQdxyxP),(),( LSdF其中其中, jQiPF jdyidxSd 可可積積的的在有向光滑在有向光滑 曲線弧曲

20、線弧上上AB連連續(xù)續(xù)則則 LdyyxQdxyxP),(),(.存在存在),(),(yxQyxP若若充充分分條條件件：同理定義同理定義 y 坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分 L),(yxQdy dzzyxR),(iz ),(iiiR ni 10lim dxzyxP),(dyzyxQ),( dzzyxR),( 注注意意：,為有向曲線為有向曲線曲線曲線 L L L:它它的的反反向向曲曲線線記記為為 LdyyxQdxyxP),(),( LdyyxQdxyxP),(),( 同理定義同理定義 空間曲線空間曲線L上對坐標(biāo)的曲線積分上對坐標(biāo)的曲線積分定定理理、設(shè)設(shè)),(yxP),(yxQ在有向光滑在有向光滑 曲線

21、弧曲線弧上上AB連續(xù)，連續(xù)，AB:L )(tx )(ty t當(dāng)當(dāng) 單調(diào)地單調(diào)地從從 變到變到沿沿),(yxABBA運運動動到到從從、)(t )(t 具有具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，0)()(22 tt 且且則則 LdxyxP),(dyyxQ),( 且且 ),(tP )(t )(td ),(tQ )(t )(td 時，時，注意注意 . 不不一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算 :t其它情形其它情形,)()(: tytxL .: t LdyyxQdxyxP),(),(.)()(),()()(),(dttttQtttP .)(:)1

22、(bxaxxyyL ，終終點點起起點點橫橫坐坐標(biāo)標(biāo).)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL .)(:)2(dycyyxxL ，終終點點起起點點縱縱坐坐標(biāo)標(biāo).),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則則則x換換. 1y換換. 2限限換換. 3例例1 1解法解法1 1xyo1)1, 1( A)1 , 1(B. 0 , 1 xx終終點點起起點點. )1 , 1( )1 , 1( , 2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxydxL .xy oBAoLxydxxydxxydx的定積分的定積分化為對化為對 x.oBAoL ,xy

23、 :Ao ,xy :oB. 10:xdxxx 10 oBAoLxydxxydxxydx故故 .54 dxxx 01 )(dxx 1023 2xy 2xyo1)1, 1( A)1 , 1(B的定積分的定積分化為對化為對 y, :2yxL . 11: y ABLxydxxydx 1122 dyyy 1142dyy.54 1044dyy解法解法2 2xy 2),(),(yxgyxf、設(shè)設(shè)上上可可積積在在L LsdF LsdG 21LLL 若若3.有方向性有方向性1.線性性質(zhì)線性性質(zhì)2.區(qū)間可加性區(qū)間可加性不等式性不存在！向量函數(shù)無法比較大小。不等式性不存在！向量函數(shù)無法比較大小。四、對坐標(biāo)的曲線積分

24、性質(zhì)四、對坐標(biāo)的曲線積分性質(zhì) s sd dG GF FL L )(s sd dF FL L s sd dF FL L 1s sd dF FL L 2s sd dF FL L s sd dF FL L 例例2,2dxyL 求求:L)0 ,(a)0 ,( a 沿沿)2(:2L直線段直線段0 xy1L2L解解:1Ltaxcos taysin:t 0dxyL 2 0ta22sintdacos334a :2L0 y:xaa dxyL 2 aadx00 )1(:1L 上半圓周上半圓周222ayx 注意：起終點相同注意：起終點相同, 積分路徑不同，積分積分路徑不同，積分結(jié)果不同結(jié)果不同.A B例例3dxxy

25、L 2求求dyx2 )1 , 1()0 , 0(沿沿)1(:1L2xy )2(:2L2yx )3(:3L折折線線O)0 , 1(A)1 , 1(B0 xy1L2LAB解解:)1(1L10:,2 xxy 10 x22x dx2x 2dx14103 dxxdxxyOA 2dyx2 10:, 0 xy0 :AB10:, 1 yxdxxyAB 2dyx2 10dy1 1223 dyxdxxyL積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)只與起點終點有關(guān)只與起點終點有關(guān):)2(2L10:,2 yyxdyyydyy421022 :)3(OAdyxdxxyL212 dyxdxxyL222 15104 dyy4例例計計算算

26、dxx3dyzy23 dzxy2 : 沿直線沿直線)1 , 2 , 3(A)0 , 0 , 0(B解解s 1 , 2 , 3 102030 zyx: t tx3ty2 tz :t10 dxx3dyzy23 dzxy2 01327ttd3t 3 24t td2t 3 24t dt493 BA 1, 2, 3 AB112233: zyx. 10:,12233: ttztytxozyx【例【例5】求】求,d)(d)()(zyxyzxdxyz 其中其中,2122 zyxyx從從 z 軸正向往負(fù)向看為順時針方向軸正向往負(fù)向看為順時針方向.【解】【解】 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程,sin,costytx

27、)02:(sincos2 tttz 20Itttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos tt d)cos41(220 )sin)(cos2(tt 2 L，求重力作的功？，求重力作的功？滑到滑到從從沿一條光滑曲線沿一條光滑曲線鉛直平面上，鉛直平面上，的質(zhì)點受重力的作用在的質(zhì)點受重力的作用在設(shè)有質(zhì)量為設(shè)有質(zhì)量為例例BAL6m m),(),(2211y yx xB By yx xA A其中：其中：, 0mgmgF F 0 xyL LAB解：解：,dydydxdxs sd d s sd dF Fw wL L dydymgmgL L 12yy).(21yymg 注注；

28、重力作的功與路徑無關(guān)重力作的功與路徑無關(guān)1有關(guān)；有關(guān)；第一型曲線積分與路徑第一型曲線積分與路徑2.3 無關(guān)無關(guān)有關(guān)有關(guān)第二型曲線積分與路徑第二型曲線積分與路徑dymg mgh ,)()( tyytxxL：設(shè)平面有向曲線弧設(shè)平面有向曲線弧其上任一點的切向量為其上任一點的切向量為,)()()(cost ty yt tx xt tx x22 .)coscos( LdsQP ).( ),(tytxT , 的的方方向向角角為為的的切切向向量量設(shè)設(shè)T TL L,)()()(cost ty yt tx xt ty y22 LQdyPdx那那么么 .的方向一致的方向一致的方向應(yīng)與的方向應(yīng)與 LT注意注意 Ld

29、ttytxtytxtyQtytxtxP)()()()()()()()(222222五、兩類曲線積分之間的聯(lián)系五、兩類曲線積分之間的聯(lián)系xyL LAB T T cos,cos 0T T.cos,cos,cos切切向向量量的的方方向向余余弦弦是是曲曲線線其其中中 推廣推廣 .)coscoscos( dsRQPRdzQdyPdx ,)()()( tzztyytxxL：設(shè)空間有向曲線弧設(shè)空間有向曲線弧那那么么 ,)()()()(cos222tztytxtx ,)()()()(cos222tztytxty .)()()()(cos222tztytxtz .的方向一致的方向一致的方向應(yīng)與的方向應(yīng)與 T注意

30、注意 ,zyxT cos,cos,cos0 T,)()( tyytxxL：設(shè)平面有向曲線弧設(shè)平面有向曲線弧.)coscos( LdsQP ).( ),(tytxT LQdyPdx.的方向一致的方向一致的方向應(yīng)與的方向應(yīng)與 LT注意注意 五、兩類曲線積分之間的聯(lián)系五、兩類曲線積分之間的聯(lián)系xy T T cos,cos 0T T,coscos dsdydsdx Ldsyxf),( Ldxyxf cos1),( Ldyyxf.cos1),( 例例7 7解解. )1 ,( ) ,( ,),(),( 的弧段的弧段到點到點從點從點是沿是沿其中其中曲線積分曲線積分化為對弧長的化為對弧長的將將1002A AO

31、 Ox xy yL Ldydyy yx xQ Qdxdxy yx xP PL L . 10: ,2 xxyxxL：.21 xyx,411cos2x ,412cos2xx LdyyxQdxyxP),(),( 于于是是，.41),(2),(2 LdsxyxxQyxP rdA，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos0 T其其中中(有向弧元素有向弧元素)對坐標(biāo)曲線積分還可表示為向量形式對坐標(biāo)曲線積分還可表示為向量形式 RdzQdyPdx .,dzdydxrd dsTA0的單位切向量的單位切向量曲線曲線 的方向一致的方向一致方向與方向與 ,cos,cos,cos 0T T兩類曲線積分的計算法的比較

32、兩類曲線積分的計算法的比較 , )()(:bxaxfy dsyxP),(dxxfxfxPba )(1)(,2)()(,)(,xdfxfxQdxxfxPba dyyxQdxyxP),(),(, )()(:bxaxfy 兩類曲線積分的轉(zhuǎn)兩類曲線積分的轉(zhuǎn)化化 dsdydsdx coscos dyyxQdxyxP),(),( dsyxQyxP cos),(cos),( dsyxP),(dxyxP cos1),(dxxfxfxPba )(1)(,2兩類空間曲線上積分的計算法兩類空間曲線上積分的計算法 , )()()()(: ttzztyytxx dszyxf),().()()()()(),(),(222

33、 dttztytxtztytxf RdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),(tytztytxQtxtztytxP .:終點終點起點起點 t.)()(),(),(dttztztytxR )()()(:tzztyytxx, )( t 第三節(jié)第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用一、格林公式一、格林公式二、格林公式簡單應(yīng)用二、格林公式簡單應(yīng)用三、曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、曲線積分與路徑無關(guān)的條件四、小結(jié)四、小結(jié)一一、格格林林公公式式回憶：回憶：一元微積分學(xué)中最基本的公式一元微積分學(xué)中最基本的公式問題：能否推廣到二重積分？問題：能否推廣到二重積分？ LDdxdxdy) ? () ?

34、 (DL格林公式：格林公式： N-L公式公式 b ba aa aF Fb bF Fdxdxx xF F)()()(反映了定積分與區(qū)間端點函數(shù)值之間的關(guān)系！反映了定積分與區(qū)間端點函數(shù)值之間的關(guān)系！區(qū)域區(qū)域D上二重積分與區(qū)域邊界上二重積分與區(qū)域邊界L上曲線積分之間的關(guān)系上曲線積分之間的關(guān)系)(Green, LDPdxdydxyP LDQdxdydxxQ一一、格格林林公公式式回憶：回憶：一元微積分學(xué)中最基本的公式一元微積分學(xué)中最基本的公式問題：能否推廣到二重積分？問題：能否推廣到二重積分？ LDdxdxdy)()( ? ? ? ? DL格林公式：格林公式： N-L公式公式 b ba aa aF Fb

35、 bF Fdxdxx xF F)()()(反映了定積分與區(qū)間端點函數(shù)值之間的關(guān)系！反映了定積分與區(qū)間端點函數(shù)值之間的關(guān)系！區(qū)域區(qū)域D上二重積分與區(qū)域邊界上二重積分與區(qū)域邊界L上曲線積分之間的關(guān)系上曲線積分之間的關(guān)系)(Green, LDPdxdydxyP. LDQdxdydxxQ證證0 xyab)(1xyy )(2xyy LdxyxP),( badxxyxP)(,1 abdxxyxP)(,2 DyP dxdy badx )()(21xyxyyP dy ba)(,1xyxPdxxyxP)(,2 ( , )( , )P x y dxP x y dx1212LLLL1L2L LDPdxdydxyPD

36、L badxyxPxyxy)()(21),( LDQdydxdyxQ (2)+(1)： LPdxQdy DxQ ()yP dxdy-格林公式格林公式同理：同理：dxdyyPxQQdypdxDL LDPdxdydxyP定理定理1 1D設(shè)有界閉區(qū)域設(shè)有界閉區(qū)域由分段光滑由分段光滑L曲線曲線圍圍成成，、),(yxP),(yxQ上上在在D具有具有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)則則dxdyyPxQQdyPdxDL)( 的的方方向向其其中中L的的邊邊界界線線的的正正向向。為為D閉曲線閉曲線DL格林公式格林公式連成連成與與由由21LLL組組成成與與由由21LLL邊界曲線邊界曲線L L的正向的正向: : 當(dāng)觀察者沿

37、邊界行走時當(dāng)觀察者沿邊界行走時, ,區(qū)域區(qū)域D D 總在他的左邊總在他的左邊. .2LD1L2L1LD連通區(qū)域連通區(qū)域DD連通區(qū)域連通區(qū)域單單復(fù)復(fù)平面區(qū)域與邊界平面區(qū)域與邊界外逆時針方向外逆時針方向內(nèi)順時針方向內(nèi)順時針方向DABCDEFGH1D2D 1D DABBG GFE ED 2D BCDDE EHG GB :兩式作和兩式作和 D 外外L逆時針逆時針 內(nèi)內(nèi)L順時針順時針立立！公公式式對對復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域也也成成GreendxdyyPxQQdyPdxDL)( 結(jié)結(jié)論論：格林公式格林公式對對復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域 亦成立亦成立 LPdxQdy DxQ ()yP dxdy定理定理1 1D設(shè)有界

38、閉區(qū)域設(shè)有界閉區(qū)域由分段光滑由分段光滑L曲線曲線圍圍成成，、),(yxP),(yxQ上上在在D具有具有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)則則 LPdxQdy DxQ ()yP dxdy其中其中 的方向的方向L的的指指D邊界線邊界線的正向的正向注意三點：注意三點： (1)(1)封閉的邊界曲線封閉的邊界曲線 (2)(2)正方向正方向 (3)(3)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)定理定理1 (Green 1 (Green 公式公式) )上上具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域、設(shè)設(shè)D),(Q),(yxyxP則則的整個邊界。的整個邊界。為為其中其中DLdxdyyPxQQdyPdxLD 連續(xù)連

39、續(xù)yPxQ , LPdxQdy DxQ ()yP dxdy1例例求求 Ldxy4dyxy34 :L422 yx的正向的正向解解 Ldxy4dyxy34 D34( ydxdyy )43 0 2例例求求dyxxedxxeyLy)4()(3 :L 正方形正方形)1, 1()1, 1()1 , 1()1 , 1( 、解解 Ldxxey)(3 dyxxey)4( D4( yedxdyey) 16 PQ二、格林公式應(yīng)用二、格林公式應(yīng)用請注意：請注意：P ,Q偏導(dǎo)連續(xù)顯然！偏導(dǎo)連續(xù)顯然！的逆時針方向。的逆時針方向。,d)(d)3(22yxyxyxL 其中其中L 為上半為上半24xxy 從從 O (0, 0)

40、 到到 A (4, 0).【解】【解】 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線添加輔助線段段,AO它與它與L 所圍所圍圓周圓周區(qū)域為區(qū)域為D , 那那么么【例【例3】計算】計算yA xoLD原式原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd4 OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx3648 LPdxQdy DxQ ()yP dxdyxQ 當(dāng)當(dāng)yP ,1時時 上上式式AD的的面面積積 A21 Lydx xdy注意：利用格林公式可以計算平面面積注意：利用格林公式可以計算平面面積取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù), 0,axxaxy 表

41、示表示,解解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa aadxxaxydxA00)(5例例求求 L LI I22yx xdyydx :L其中其中.的的方方向向取取順順時時針針方方向向L L解解0 xyL L222:ryxL trxcos trysin:t02 l22yx xdyydx 02 tr22costr22sin dt2r 2 222r ry yx x 能否用格林公式？能否用格林公式？ 2222,y yx xx xQ Qy y

42、x xy yp p x xQ Qy yx xx xy yy yP P 22222)(由由Green公式公式. 00 D DdxdydxdyI I5例例求求 L LI I22yx xdyydx :L其中其中.的的方方向向取取順順時時針針方方向向L L2解法解法0 xyL L l22yx xdyydx 222r ry yx x 由由Green公式公式 lydxxdyr21 Ddxdyr2125 例例求求 L22yx xdyydx 為一條不經(jīng)過原點為一條不經(jīng)過原點其中其中L L.，且且取取逆逆時時針針方方向向的的分分段段光光滑滑的的封封閉閉曲曲線線解解L設(shè)設(shè)所圍區(qū)域所圍區(qū)域D為為 P,22yxy Q

43、22yxx xQ 222)(yx 22yx x x2 yP L22yx xdyydx 0 0 xyLDL當(dāng)當(dāng))1(不不包包含含,原點時原點時D Dy yx x ),(5 例例求求 L22yx xdyydx L其其中中為一條為一條無重點無重點不過原點不過原點的分段光滑的分段光滑,封閉曲線封閉曲線 取逆時針取逆時針方向方向解解L當(dāng)當(dāng))2(包包含含原點時原點時0 xyL:l補(bǔ)線補(bǔ)線22yx 2r l內(nèi)內(nèi)在封閉線在封閉線L上上在在1D用格林公式用格林公式 lL22yx xdyydx 0 L22yx xdyydx l22yx xdyydx 0 :l 22yx 2r trxcos trysin:t 20

44、20tr22costr22sin dt2r 2 L22yx xdyydx 2 把把原原點點“挖挖掉掉”！故故 lLyxydxxdyyxydxxdy2222 lyxydxxdy221D三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件 1LQdyPdx 2LQdyPdx定義：定義： Gyxo1L2LBA的的曲曲線線，內(nèi)內(nèi)的的任任意意兩兩條條首首尾尾相相同同為為區(qū)區(qū)域域如如果果G,21L LL L都有都有例例物理背景：非保守力做功，如：麼擦力。物理背景：非保守力做功，如：麼擦力。保守力做功，如：重力，彈力保守力做功，如：重力，彈力物理背景：物理背景：【定理【定理2 2】

45、設(shè)設(shè)D D 是單連通域是單連通域 , ,),(),(yxQyxP在在D D 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,(1) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有.0dd LyQxP(2) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) 在在 D 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xQyP LyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下四個條件等價: :在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 )(),(),(,321 x

46、 xQ Qy yP Px xQ Qy yP P連連續(xù)續(xù)，且且 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu且且說明說明: 積分與路徑無關(guān)時積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為曲線積分可記為 設(shè)設(shè)21, LL 21ddddLLyQxPyQxP 1ddLyQxP 2ddLyQxP 21ddLLyQxP0 AB1L2L 2ddLyQxP 1ddLyQxP為為D 內(nèi)任意兩條由內(nèi)任意兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線, 那么那么(根據(jù)條件根據(jù)條件(1) BAyQxPdd AByQxPdd【證明】【證明】 (1) (2)在在D內(nèi)取定點內(nèi)取定點),(00yxA因曲線積分因曲線積分 ),

47、(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 那么那么),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),(同理可證同理可證yu ),(yxQ 因此有因此有yQxPuddd 和任一點和任一點B( x, y ),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),),(y yx xx xC C ),(yxB),(00yxA設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ),(),(00ddyxxyxyQxP ),(),(00ddyxyxyQxP【證明】【證明】 (2) (3)曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān), ),(),(00dd),(

48、yxyxyQxPyxuyQxPuddd .dd_),(的原函數(shù)的原函數(shù)稱為稱為yQxPyxu 時時，當(dāng)當(dāng)yQxPyxdudd),( ),(ddd),(),(),(),(22112211yxuyQxPyxyxyxyx ),(),(1122yxuyxu ),(yxu )2,2()1,1(yxyx例例dxxyL 2求求dyx2 )1 , 1()0 , 0(沿沿)1(:1L2xy )2(:2L2yx )3(:3L折折線線O)0 , 1(A)1 , 1(B0 xy1L2LAB積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān),只與起點終點有關(guān)只與起點終點有關(guān),2),(xyyxP ,),(2xyxQ xQx2yP ,),(2y

49、xyxu 又又 )1 , 1()0 , 0(22dyxxydx原式原式. 1)1 , 1()0 , 0(2 yx設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd 那那么么),(),(yxQyuyxPxu P, Q 在在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu 22所以所以從而在從而在D內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有xQyP xyuxQyxuyP 22,【證明】【證明】 (3) (4)設(shè)設(shè)L為為D中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖如圖) ,上上因此在因此在D xQyP 利用格林公式利用格林公式 , 得得yxyPxQyQxPLDdd)(dd DD

50、L0 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為【證明】【證明】 (4) (1)根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi)若在某區(qū)域內(nèi),xQyP 那那么么2) 求曲線積分時求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求可用積分法求 P dx + Q dy在域在域 D 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù) u :Dyx ),(00及動點及動點,),(Dyx yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或 yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為則原函數(shù)為 yyyyxQ0d),( xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲

51、線, 可添加輔助線可添加輔助線;取定點取定點1) 計算曲線積分時計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;yx),(yx【說明】【說明】【例【例6】【解】【解】,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 10100ydydx.21 yyxxyxdd22 是某個函數(shù)的全微分是某個函數(shù)的全微分, 并求并求出這個函數(shù)出這個函數(shù). 【解【解】,22yxQyxP 那么那么xQyxyP 2由定理由定理2 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使yyxxyxuddd22 ),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu

52、。),(yx)0 ,(x xxx0d0yyxyd02 yyxyd02 2221yx 利用曲線積分與路徑無關(guān)利用曲線積分與路徑無關(guān)設(shè)設(shè)【注】【注】所取起點不同，所所取起點不同，所求函數(shù)的最后結(jié)果求函數(shù)的最后結(jié)果中的常數(shù)可能不同中的常數(shù)可能不同. .【例【例7】驗證】驗證)0 , 0(【解【解 】不定積分法不定積分法( (求原函數(shù)的方法求原函數(shù)的方法) )由于由于ydyxdxxydu22 故故(1) 2xyxu (2) 2yxyu 由由(1)(1)式得式得)(2222yyxdxxyu )(為待定函數(shù)為待定函數(shù)y 求導(dǎo)得求導(dǎo)得)(2yyxyu 結(jié)合結(jié)合(2)(2)式得式得yxyyx22)( Cyy

53、)( 0)( Cyxyxu 2),( 22【解【解 】湊全微分法湊全微分法ydyxdxxy22 )(x xd dy yy yd dx xx xy y .2),( 22yxyxu xydxyxydxy 22ddyxxyyx 在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函內(nèi)存在原函數(shù)數(shù) , 并求出它并求出它. 【證】【證】 令令2222,yxxQyxyP 那么那么)0()(22222 xyQyxxyxP由定理由定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù) ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxyoxy yyxyx022d)0 ,( x)0 , 1()

54、,(yx【例【例8】驗證】驗證 ),(),(dd),(y yx xy yx xx xy yy yx xy yx xu u0022oxy)0 ,( x)0 , 1(),(yx ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或或), 1(y)0(arctan xxy作用下沿曲線作用下沿曲線L :L :xycos2 由由)2, 0( A移動到移動到, )0,2( B求力場所作的功求力場所作的功W W解解: : Lyrkxxrkydd22. )(22yxr 其中其中LBAyox),(2xyrkF rFWLd 【例【例9】設(shè)質(zhì)點在力場】設(shè)質(zhì)點在力場 Lyxyxxyk22ddxycos2 .20:,cos2: xxyL LryxxykW2dd22cos2cos2ddcos2 xxxxxx 20 20222cos4dsincos2 xx