隨機(jī)信號分析_第四章_隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)

1、第四章第四章 隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)內(nèi)容：內(nèi)容：一、線性系統(tǒng)的知識一、線性系統(tǒng)的知識二、時(shí)間連續(xù)和離散線性系統(tǒng)的分析二、時(shí)間連續(xù)和離散線性系統(tǒng)的分析三、白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析三、白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析四、線性系統(tǒng)輸出的特性四、線性系統(tǒng)輸出的特性4.1 線性系統(tǒng)的基本知識線性系統(tǒng)的基本知識 電子技術(shù)中，通常把電子系統(tǒng)分成電子技術(shù)中，通常把電子系統(tǒng)分成線性系統(tǒng)（如線性放大器、線性濾波器線性系統(tǒng)（如線性放大器、線性濾波器等）和非線性系統(tǒng)（如檢波器、限幅器、等）和非線性系統(tǒng)（如檢波器、限幅器、調(diào)制解調(diào)器等）兩大類。調(diào)制解調(diào)器等）兩大類。 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)與輸入

2、信號與輸入信號x(t)之間的關(guān)系可以用示意圖來表示：之間的關(guān)系可以用示意圖來表示： y(t)Lx(t) L表示對輸入信號進(jìn)行某種運(yùn)算，稱表示對輸入信號進(jìn)行某種運(yùn)算，稱作算子。作算子。4.1.1 時(shí)不變線性系統(tǒng)時(shí)不變線性系統(tǒng)L*x(t)y(t) 如果系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)如果系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；間信號，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；如果系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信如果系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號，則稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。號，則稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。 如果輸入信號是從如果輸入信號是從t = - 開始一開始一直作用于系統(tǒng)，則輸入信號稱為雙側(cè)信直作用于系統(tǒng)，則輸入

3、信號稱為雙側(cè)信號，系統(tǒng)稱為雙側(cè)系統(tǒng)；而從號，系統(tǒng)稱為雙側(cè)系統(tǒng)；而從t = 0 開開始作用于系統(tǒng)的輸入信號為單側(cè)信號，始作用于系統(tǒng)的輸入信號為單側(cè)信號，系統(tǒng)為單側(cè)系統(tǒng)。系統(tǒng)為單側(cè)系統(tǒng)。定義定義 如果系統(tǒng)對于任意的常數(shù)如果系統(tǒng)對于任意的常數(shù)a和和b、輸、輸入信號入信號x1(t)和和x2(t)，有：，有： Lax1(t)+bx2(t)= aLx1(t)+b Lx2(t) 則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)的輸出和輸入信號具有相如果系統(tǒng)的輸出和輸入信號具有相同的時(shí)間位移特性，即：同的時(shí)間位移特性，即： y(t-c)Lx(t-c) c為常數(shù)，則該系統(tǒng)就被稱為時(shí)不變系統(tǒng)。為常數(shù)，則該系

4、統(tǒng)就被稱為時(shí)不變系統(tǒng)。定義定義 線性時(shí)不變系統(tǒng)可以有多種描述方線性時(shí)不變系統(tǒng)可以有多種描述方法，通常有三種：法，通常有三種：1. 輸入輸出關(guān)系法（即用單位沖激輸入輸出關(guān)系法（即用單位沖激響應(yīng)函數(shù)或者傳遞函數(shù)來表示）；響應(yīng)函數(shù)或者傳遞函數(shù)來表示）；2. 常微分方程法；常微分方程法；3. 狀態(tài)變量法。狀態(tài)變量法。 其中第其中第1種方法最常用。種方法最常用。描述線性系統(tǒng)的方法描述線性系統(tǒng)的方法 對于連續(xù)對于連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入時(shí)不變線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號為單位沖激函數(shù)信號為單位沖激函數(shù)(t)的時(shí)候，的時(shí)候，系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出的輸出h(t)被定義為系統(tǒng)的單位沖激響被定義為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。則對于任意

5、輸入信號應(yīng)。則對于任意輸入信號x(t)，系統(tǒng)的，系統(tǒng)的輸出輸出y(t)可以由卷積積分得到：可以由卷積積分得到：4.1.2 連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)dthxdhtxthtxty)()()()()(*)()( 如果如果x(t)和和h(t)絕對可積，即：絕對可積，即： 則此系統(tǒng)被稱為是穩(wěn)定的。則此系統(tǒng)被稱為是穩(wěn)定的。dtthdttx| )(| )(| 兩者的傅利葉變換存在，有：兩者的傅利葉變換存在，有： H()被稱作連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的傳被稱作連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它與遞函數(shù)，它與h(t)構(gòu)成一對傅利葉變換構(gòu)成一對傅利葉變換對，即：對，即：dtethHdtetxXtjtj)()()()(

6、deHthtj)(21)( 如果如果Y()是輸出是輸出y(t)的傅利葉變換，的傅利葉變換，則有：則有： 在實(shí)際分析中，通常用在實(shí)際分析中，通常用s=+j代代替替j來表示復(fù)頻率，上式可以寫成拉普來表示復(fù)頻率，上式可以寫成拉普拉斯變換的形式：拉斯變換的形式：)()()(HXY)()()(sHsXsY H(s)與與h(t)構(gòu)成一對拉氏變換對，構(gòu)成一對拉氏變換對，即：即：dtethsHst)()(jjstdsesHjth)(21)( 如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足：如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足： h(t)0，當(dāng)，當(dāng)t0的時(shí)候的時(shí)候 則該系統(tǒng)被稱為是因果系統(tǒng)。所有實(shí)際則該系統(tǒng)被稱為是因果系統(tǒng)。所有實(shí)際存在的物

7、理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。那存在的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。那么對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)來說，么對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)來說，tdthxdhtxthtxty)()()()()(*)()(0 物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)傳遞函數(shù)物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)的所有極點(diǎn)都位于的所有極點(diǎn)都位于s平面的左半平平面的左半平面（不包含虛軸）。面（不包含虛軸）。 對于離散對于離散時(shí)不變線性系統(tǒng)，時(shí)不變線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的系統(tǒng)的輸出輸出y(n)與輸入與輸入x(n)之間的關(guān)系為：之間的關(guān)系為： h(n)為單位沖激響應(yīng)。為單位沖激響應(yīng)。4.1.3 離散時(shí)不變線性系統(tǒng)離散時(shí)不變線性系統(tǒng)kkknhkxkhknxnhnxny)()()()

8、()(*)()( 如果如果x(n)和和h(n)絕對可和，即：絕對可和，即： 則此系統(tǒng)被稱為是穩(wěn)定的。則此系統(tǒng)被稱為是穩(wěn)定的。nnnhnx| )(| )(| 兩者的離散傅利葉變換存在，設(shè)兩者的離散傅利葉變換存在，設(shè)T=1，有：有： njnnjnenhHenxX)()()()( H()被稱作離散時(shí)不變系統(tǒng)的頻率被稱作離散時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)或者傳遞函數(shù)，它的傅利葉反變換響應(yīng)或者傳遞函數(shù)，它的傅利葉反變換就是就是h(n) 。 如果如果Y()是輸出是輸出y(n)的離散傅利葉變的離散傅利葉變換，則有：換，則有：deHnhnj)(21)()()()(HXY 如果取如果取z=ej，上式可以寫成：，上式可以寫

9、成： 式中式中Y(z),X(z),H(z)分別代表的是分別代表的是y(n), x(n) 和和 h(n)的的Z變換。變換。)()()(zHzXzY h(n)和和H(z)構(gòu)成一對構(gòu)成一對Z變換。即：變換。即： 式中式中l(wèi)表示表示H(z)zn-1包含所有極點(diǎn)的包含所有極點(diǎn)的單位圓。單位圓。lnnndzzzHjnhznhzH1)(21)()()( 如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足：如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足： h(n)0，當(dāng)，當(dāng)n=0 其中其中|r|1。求輸出。求輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)。的自相關(guān)函數(shù)。 例例4.10 P259解：解： 根據(jù)幾何級數(shù)求和公式：根據(jù)幾何級數(shù)求和公式： 對于非負(fù)的對于非負(fù)的m，得

10、到輸出的自相關(guān)，得到輸出的自相關(guān)函數(shù)：函數(shù)：1|,|11|0rrrkk22022020021)()(rrrrrrjkmrrmRmkkmkkmkkjjkY 同理，對于負(fù)的同理，對于負(fù)的m，有：，有： 2202220021)()(rrrrrrjkmrrmRmkkmmkkmkkjjkY 可以統(tǒng)一寫成：可以統(tǒng)一寫成： 輸出的平均功率為：輸出的平均功率為：2|21)(rrmRmY2221)0()(rRnYEY 根據(jù)上面的討論，若離散根據(jù)上面的討論，若離散時(shí)不變線時(shí)不變線性系統(tǒng)的輸入隨機(jī)信號是寬平穩(wěn)的，則性系統(tǒng)的輸入隨機(jī)信號是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的。可以借助于系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的?？梢越柚?/p>

11、Z變換或者離散傅利葉變換來分析系統(tǒng)變換或者離散傅利葉變換來分析系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性。輸出的統(tǒng)計(jì)特性。 設(shè)設(shè)H(z)為為h(n)的的Z變換，變換，RY(m)與與SY(z)互為互為Z變換對（其它類似），將前變換對（其它類似），將前面討論的幾個(gè)式子求面討論的幾個(gè)式子求Z變換，則有：變換，則有：4.3.2 頻域分析法頻域分析法)()()()()()()()()()()()()()(| )(|)()(1111010zSzHzSzHzSzHzHzSzSzHzSzSzHzSzHmzkhmkhmmYXXYXYXYXXXYzXkzkXkXY 如果將如果將z=ej代入，可以得到離散傅代入，可以得到離散傅利葉變換的形

12、式，有：利葉變換的形式，有： SXY()=H(ej) SX() SYX()=H(e-j) SX() SY() =H(ej) H(e-j) SX() =| H(ej) |2 SX()解：解： 系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為：例例4.11 P261（例（例4.10 的頻域計(jì)算）的頻域計(jì)算）cos21| )(|)()(11)(|,11)()(2222210rreHSSreeHrzrzzkhzHjYXjjkk又4.4 白化濾波器白化濾波器 一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入為具有單位一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入為具有單位功率譜密度的白噪聲激勵(lì)下，其輸出功率譜密度的白噪聲激勵(lì)下，其輸出的功率譜密度為：的功率譜密度為： SY(s)=H(s

13、)H(-s)或者或者SY()=|H()|2 SY(z)=H(z)H(z-1)或者或者SY()=|H(ej)|2 根據(jù)第三章的討論，對于實(shí)平穩(wěn)根據(jù)第三章的討論，對于實(shí)平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號，其功率譜密度可連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號，其功率譜密度可以寫為：以寫為： SY(s)= S-Y(s) S+Y(s) 其中其中S-Y(s) 為有理函數(shù)，它的極點(diǎn)全為有理函數(shù)，它的極點(diǎn)全部在部在s平面的左平面、零點(diǎn)全部在左平面的左平面、零點(diǎn)全部在左平面或者虛軸上。我們可以令平面或者虛軸上。我們可以令 H(s) S-Y(s) 同理，對于實(shí)平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)同理，對于實(shí)平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)信號，可以令信號，可以令 H(z) S-Y(z

14、) 其中其中S-Y(z)為有理函數(shù)，它的零、極點(diǎn)為有理函數(shù)，它的零、極點(diǎn)全部在全部在z平面的單位圓內(nèi)。平面的單位圓內(nèi)。 我們就可以設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)，使其我們就可以設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)，使其輸入為具有單位功率譜密度的白噪聲輸入為具有單位功率譜密度的白噪聲情況下，輸出為實(shí)平穩(wěn)的隨機(jī)信號。情況下，輸出為實(shí)平穩(wěn)的隨機(jī)信號。 設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，使其設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，使其在具有單位譜的白噪聲激勵(lì)下，輸出在具有單位譜的白噪聲激勵(lì)下，輸出信號的功率譜為信號的功率譜為例例4.13 P2709104925)(242YS解：解： 系統(tǒng)函數(shù)用系統(tǒng)函數(shù)用s復(fù)頻域表達(dá)為：復(fù)頻域表達(dá)為：)3)(1(75)()()3)(1)

15、(3)(1()57)(75(9102549)(242ssssSsHssssssssssSYY 在實(shí)際問題的分析中，還可以遇在實(shí)際問題的分析中，還可以遇到將輸入的有色噪聲變成白噪聲的情到將輸入的有色噪聲變成白噪聲的情況。完成這一功能的系統(tǒng)稱為白化濾況。完成這一功能的系統(tǒng)稱為白化濾波器。其實(shí)現(xiàn)方法可以根據(jù)前面的討波器。其實(shí)現(xiàn)方法可以根據(jù)前面的討論，令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：論，令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： H(s) 1/S-Y(s) 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間 H(z) 1/S-Y(z) 離散時(shí)間離散時(shí)間 該系統(tǒng)也是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。該系統(tǒng)也是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 設(shè)計(jì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的白化濾波設(shè)計(jì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的白化濾波器，可

16、以使具有功率譜為器，可以使具有功率譜為 的有色噪聲輸入時(shí)，輸出白噪聲。的有色噪聲輸入時(shí)，輸出白噪聲。例例4.14 P27125. 1cos04. 1cos4 . 0)(XS解：解： 系統(tǒng)函數(shù)用系統(tǒng)函數(shù)用z表達(dá)為：表達(dá)為：2 . 05 . 0)(1)(5 . 02 . 05 . 02 . 0)(5 . 024. 1)(2 . 004. 1)()(5 . 024. 1)(2 . 004. 1)(1111zzzSzHzzzzzzzzzSeeeeSXXjjjjX4.5 白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析 實(shí)際中很多平穩(wěn)隨機(jī)信號都可實(shí)際中很多平穩(wěn)隨機(jī)信號都可以看作是受白噪聲激勵(lì)的線性系統(tǒng)以

17、看作是受白噪聲激勵(lì)的線性系統(tǒng)的輸出。因此對白噪聲通過線性系的輸出。因此對白噪聲通過線性系統(tǒng)的研究就等價(jià)于對這些平穩(wěn)隨機(jī)統(tǒng)的研究就等價(jià)于對這些平穩(wěn)隨機(jī)信號的研究。信號的研究。 設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H()，其輸入是功率譜密度為其輸入是功率譜密度為SX()N0/2的白的白噪聲，則系統(tǒng)輸出的功率譜密度為：噪聲，則系統(tǒng)輸出的功率譜密度為： SY()|H() |2N0/2 輸出的自相關(guān)函數(shù)為：輸出的自相關(guān)函數(shù)為：0020)()(2| )(|4)(duuhuhNdeHNRjY4.5.1 白噪聲通過線性系統(tǒng)白噪聲通過線性系統(tǒng) 輸出的平均功率為：輸出的平均功率為： 表明輸出隨機(jī)信

18、號的功率譜密度主要由表明輸出隨機(jī)信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的幅頻特性|H() |決定。決定。0202| )(|2)(dHNtYE 如果如果H()比較復(fù)雜，直接計(jì)算系統(tǒng)比較復(fù)雜，直接計(jì)算系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性比較困難。通常用一個(gè)輸出的統(tǒng)計(jì)特性比較困難。通常用一個(gè)理想系統(tǒng)來等效，這個(gè)理想系統(tǒng)的帶寬理想系統(tǒng)來等效，這個(gè)理想系統(tǒng)的帶寬就被稱為是等效噪聲帶寬，用就被稱為是等效噪聲帶寬，用e來表來表示。等效的原則是：理想系統(tǒng)與實(shí)際系示。等效的原則是：理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一個(gè)白噪聲激勵(lì)下，兩個(gè)系統(tǒng)的統(tǒng)在同一個(gè)白噪聲激勵(lì)下，兩個(gè)系統(tǒng)的輸出功率相等且理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)輸出功率相等且理想系統(tǒng)的增益等

19、于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益。際系統(tǒng)的最大增益。Ke|H()|HI()|H()|max|H(0)|00實(shí)際低通系統(tǒng)實(shí)際低通系統(tǒng) 理想低通系統(tǒng)理想低通系統(tǒng) 如果系統(tǒng)輸入白噪聲的功率譜密度如果系統(tǒng)輸入白噪聲的功率譜密度為為N0/2 ，輸出負(fù)載為單位電阻，則系統(tǒng)，輸出負(fù)載為單位電阻，則系統(tǒng)輸出的總平均功率為：輸出的總平均功率為： 實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為：實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為：2max020| )(|22HNKNee022max| )(| )(|1dHHe 系統(tǒng)輸出信噪比的定義：系統(tǒng)輸出信噪比的定義： S/N輸出信號平均功率輸出信號平均功率/輸出噪聲平均功率輸出噪聲平均功率 求例求例4.1中中RC電路的

20、等效噪聲帶寬。電路的等效噪聲帶寬。解：解： RC電路的傳遞函數(shù)為：電路的傳遞函數(shù)為： 可得可得|H()|max =H(0)=1例例4.15 P275RCbjbbH1,)(RCfbbarctgbdbbdHHeee4122/| )/(| )(| )(|100222022max一、白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)一、白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng) 理想低通線性系統(tǒng)的幅頻特性為：理想低通線性系統(tǒng)的幅頻特性為：othersAH, 02/|,| )(|4.5.2 白噪聲通過理想線性系統(tǒng)白噪聲通過理想線性系統(tǒng)A /20| H ( ) | /2- 設(shè)輸入白噪聲的物理譜設(shè)輸入白噪聲的物理譜SX()N0，則系統(tǒng)輸出的物理譜

21、為：則系統(tǒng)輸出的物理譜為：othersANSHSXY, 02/0,)(| )(|)(202系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)（物理可觀測）為：系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)（物理可觀測）為：系統(tǒng)輸出的平均功率為：系統(tǒng)輸出的平均功率為：)2(4cos)(21)(200SaANdSRYY4)(202ANtYE輸出的相關(guān)系數(shù)：輸出的相關(guān)系數(shù)：輸出的相關(guān)時(shí)間：輸出的相關(guān)時(shí)間：)2()0()()0()()(SaRRKKrYYYYYfdrY21)(00二、白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)二、白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng) 理想帶通系統(tǒng)的幅頻特性為理想帶通系統(tǒng)的幅頻特性為 其它, 02/|,| )(|0AH 設(shè)輸入白噪聲的物理譜設(shè)輸入白噪聲的物理譜SX()N0，則系統(tǒng)輸出的物理譜為：則系統(tǒng)輸出的物理譜為：othersANSHSXY, 02/|,)(| )(|)(0202系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)（物理可觀測）為：系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)（物理可觀測）為：)2(2)(cos)(cos)2(2