函數(shù)的極值與導數(shù)

1、 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)函數(shù)的極值與導數(shù)目標引領(lǐng)：目標引領(lǐng)：1 1、利用上節(jié)課導數(shù)的單調(diào)性作鋪墊、利用上節(jié)課導數(shù)的單調(diào)性作鋪墊, ,借助函數(shù)圖形的直觀性探索歸納出導數(shù)借助函數(shù)圖形的直觀性探索歸納出導數(shù)的極值定義的極值定義, ,利用定義求函數(shù)的極值利用定義求函數(shù)的極值. .2 2、感受導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中一般性、感受導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中一般性和有效性，通過學習體會極值是函數(shù)的和有效性，通過學習體會極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，增強數(shù)形結(jié)合的思維意識。局部性質(zhì)，增強數(shù)形結(jié)合的思維意識。 aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x) 為這個區(qū)為這個

2、區(qū)間內(nèi)的間內(nèi)的增函數(shù)增函數(shù);如果在這個區(qū)間如果在這個區(qū)間內(nèi)內(nèi)f/（x）0 得得f(x)的單調(diào)的單調(diào)遞增區(qū)間遞增區(qū)間; 解不等式解不等式 f/（x）0 得得f(x)的單調(diào)的單調(diào)遞減區(qū)間遞減區(qū)間.3 3、已知函數(shù)、已知函數(shù) f( (x)=2)=2x3 3-6-6x2 2+7+7，求，求f( (x) )的單調(diào)的單調(diào)區(qū)間區(qū)間, ,并畫出其圖象并畫出其圖象; ;復習回顧：復習回顧：觀察畫出的圖象，回答下面觀察畫出的圖象，回答下面問題：問題：問題問題1：在點：在點x=0附近的圖象附近的圖象有什么特點？有什么特點？問題問題2：函數(shù)在：函數(shù)在x=0處的函數(shù)處的函數(shù)值和附近函數(shù)值之間有什么值和附近函數(shù)值之間有什

3、么關(guān)系？關(guān)系？問題問題3：在點：在點x=0附近的導數(shù)附近的導數(shù)符號有何變化規(guī)律？符號有何變化規(guī)律？問題問題4：函數(shù)在：函數(shù)在x=0處的導數(shù)處的導數(shù)是多少？是多少？x=0 x0單調(diào)遞增單調(diào)遞增f (x)0單調(diào)遞減單調(diào)遞減f (x)2x2x2x=2 f (x)+0 -f (x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增f (2)單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小極小值點值點極小極小值值 你能嘗試給出極大值的定義嗎？你能嘗試給出極大值的定義嗎？【函數(shù)極小值的定義】【函數(shù)極小值的定義】 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y= =f( (x) )在在x= =x0 0及其附近有定義及其附近有定義若若x0滿足滿足1. f/(x)=0. 2.在在x0的兩側(cè)的導數(shù)異號的兩

4、側(cè)的導數(shù)異號,滿足滿足“左負右左負右正正”,o oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xf極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,x,x0 0叫做函數(shù)的叫做函數(shù)的極值點極值點. .思考思考3、觀察圖、觀察圖1.3.10，回答以下問題：，回答以下問題：問題問題1：找出圖中的極值點，并說明哪些點為極：找出圖中的極值點，并說明哪些點為極大值點，哪些點為極小值點？大值點，哪些點為極小值點？問題問題2：極大值一定大于極小值嗎？：極大值一定大于極小值嗎？問題問題3：函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值和極小值具：函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值和極小值具有唯一性嗎？有唯一性嗎？問題

5、問題4：區(qū)間的端點能成為極值點嗎？：區(qū)間的端點能成為極值點嗎？問題問題5：極值是相對于函數(shù)的定義域而言的嗎？：極值是相對于函數(shù)的定義域而言的嗎？(1)(1)極值是一個極值是一個局部概念局部概念, ,反映了函數(shù)在某一點附反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況近的大小情況; ;(2)(2)極值點極值點是是自變量的值自變量的值，極值極值指的是指的是函數(shù)值函數(shù)值; ;(3)(3)函數(shù)的極大函數(shù)的極大( (小小) )值可能不止一個值可能不止一個, ,而且而且函數(shù)的函數(shù)的極大值未必大于極小值極大值未必大于極小值; ;【關(guān)于極值概念的幾點說明】【關(guān)于極值概念的幾點說明】(4)函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端

6、函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點。點不能成為極值點。例例1.（1）下圖是函數(shù)的圖象）下圖是函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點試找出函數(shù)的極值點,并指出哪些是極大值點并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點？哪些是極小值點？（2）如果把函數(shù)圖象改為導函數(shù)的圖象，哪些是）如果把函數(shù)圖象改為導函數(shù)的圖象，哪些是極大值點極大值點,哪些是極小值點哪些是極小值點?x yOf ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 當f (x)=0時，x =0，而x =0不是該函數(shù)的極值點.f (x0) =0 =0 x0 是可導函數(shù)是可導函數(shù)f(x)的極值點的極值點 x0左右側(cè)導數(shù)異號左右側(cè)導數(shù)異號 x

7、0 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的極值點的極值點 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件是函數(shù)取得極值的必要不充分條件思考4：導數(shù)為0的點一定是極值點嗎？能舉例說明嗎？導數(shù)為0是可導函數(shù)在此處取極值點的什么條件？例例、求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值 4431)(3 xxxf例題講解例題講解解：解：)2)(2(42 xxxy當當x變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy , +00+極大值極大值y2(-2,2)-2xy )2,( ), 2( 32834 極小值極小值令令 ，解得，解得2, 221 xx0 y當當 時，時，y有極大值，并且有極大值，

8、并且2 x328 極大值極大值y當當 時，時，y有極小值，并且有極小值，并且2 x34 極極小小值值y（1） 求導數(shù)求導數(shù)f/(x)；（2） 解方程解方程 f/(x)=0（3） 通過列表檢查通過列表檢查f/(x)在方程在方程f/(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號，進而確定函的根的左右兩側(cè)的符號，進而確定函數(shù)的極值點與極值數(shù)的極值點與極值.【求函數(shù)極值的步驟】【求函數(shù)極值的步驟】1yxxxX1+0-0+( )fx( )f x所以，當所以，當x=-1是，函數(shù)的極大值是是，函數(shù)的極大值是-2，當，當x=1時，函數(shù)的時，函數(shù)的極小值是極小值是21,0 xxx解：f(x)=所以導函數(shù)的正負是交替出現(xiàn)的嗎？不

9、是不是22211( )1xfxxx ，( )01fxx 時，x當 變化時，f(x),f(x)變化如下表極大值極大值極小值極小值求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域）確定函數(shù)的定義域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格若干個開區(qū)間，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符號，來判斷的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況在這個根處取極值的情況 若若f (x)左正右負，則左正右負，則f(x)為極大值；為極大值； 若若 f (x)左負右正，則左負右正，則f(x)為極小值為極小值+-x0-+x0求導求導求極點求極點列表列表求極值求極值注意注意：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是的，是局部性質(zhì)局部性質(zhì)。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有上可能有多個極大值或極小值多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來，并對同一個函數(shù)來說，在某說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值一點的極大值也可能小于另一點的極小值。練習練習1.判斷下面判斷下面4個命題，其中是真命題序號為個命題，其中是