隱函數(shù)求導(dǎo)64963PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)11) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02Cyx當(dāng) C 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問(wèn)題 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共33頁(yè)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)第

2、2頁(yè)/共33頁(yè)0)(,(xfxF兩邊對(duì) x 求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共33頁(yè)若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF)(yxFFxxyxxydd則還有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共33頁(yè)01sinyxeyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxx

3、y解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 并求第5頁(yè)/共33頁(yè)0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx第6頁(yè)/共33頁(yè)0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyyc

4、os兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時(shí)1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex 利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共33頁(yè)若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0),(zyxF在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確機(jī)動(dòng) 目錄

5、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共33頁(yè)0),(,(yxfyxF兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)yxFyxfz則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共33頁(yè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 再對(duì) x 求導(dǎo)第10頁(yè)/共33頁(yè)設(shè)zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo))2(2

6、2zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共33頁(yè)zxFFxz xz設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故第12頁(yè)/共33頁(yè)對(duì)方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFF

7、yFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共33頁(yè)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即雅可比 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共33頁(yè),0),(0000vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)

8、數(shù)設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG, ),(000yxuu 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(000yxvv 第15頁(yè)/共33頁(yè)),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvu

9、GFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P34-P35)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxGFyyGFxxGFyyGF第16頁(yè)/共33頁(yè)0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu,0vuvuGGFFJ在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故得系數(shù)行列式第17頁(yè)/共33頁(yè)同樣可得),(),(1vyGFJyu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(

10、),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv第18頁(yè)/共33頁(yè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案:由題設(shè)故有第19頁(yè)/共33頁(yè)在點(diǎn)(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內(nèi). ),(, ),(

11、yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn) (u, v) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共33頁(yè)),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 第21頁(yè)/共33頁(yè)

12、, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從方程組解得同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1第22頁(yè)/共33頁(yè), 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從方程組解得同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1第23頁(yè)/共33頁(yè)xuxvsin,cosryrx的反變換的導(dǎo)數(shù) .),(),(ryxJxrx同樣有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos2

13、2yxxryJ 122yxyrr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第24頁(yè)/共33頁(yè)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式練練 習(xí)習(xí)1. 設(shè), ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第25頁(yè)/共33頁(yè)zx ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

14、回 結(jié)束 第26頁(yè)/共33頁(yè)),(zyxzyxfz,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由d y, d z 的系數(shù)即可得第27頁(yè)/共33頁(yè))()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分別由下列兩式確定 :),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 又函數(shù)設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,

15、dsin0tttezxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解得因此第28頁(yè)/共33頁(yè) zxFyFy0zFz fx)1 (y)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第29頁(yè)/共33頁(yè)0),(),(zyxFyxfxz對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可得第30頁(yè)/共33頁(yè)222111cyb