大物實驗5：數(shù)據(jù)處理

1、要求：要求： 要把原始數(shù)據(jù)和必要的要把原始數(shù)據(jù)和必要的 運算過程中的中間結果運算過程中的中間結果 引入表中。引入表中。 必須標明個符號所代表必須標明個符號所代表 的物理量的意義，并寫的物理量的意義，并寫 明單位。明單位。 表中的數(shù)據(jù)要正確地反表中的數(shù)據(jù)要正確地反 映測量結果的有效數(shù)字。映測量結果的有效數(shù)字。次數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.3 35.0 40.0 45.0 50.0 10.32 10.51 10.64 10.79 10.94 11.08 11.22 11.36 11.53 11.66 通過測量溫度通過測量溫度t

2、和在溫度和在溫度t下銅的電阻下銅的電阻Rt來來測量銅的電阻溫度系數(shù)，得到測量銅的電阻溫度系數(shù)，得到t與與Rt的數(shù)的數(shù)據(jù)列表如下：據(jù)列表如下：）關關系系溫溫度度（）電電阻阻（tRt)(樣品：銅樣品：銅)( Ct)(tR1.1.作圖的應用作圖的應用A.圖線是依據(jù)許多圖線是依據(jù)許多數(shù)據(jù)點描出的平滑數(shù)據(jù)點描出的平滑曲線，因而具有取曲線，因而具有取平均的效果，從圖平均的效果，從圖線我們可以看出偶線我們可以看出偶然誤差的大小以及然誤差的大小以及判斷是否存在系統(tǒng)判斷是否存在系統(tǒng)誤差。誤差。B.直接得到經(jīng)驗公式直接得到經(jīng)驗公式(求斜率與截距）求斜率與截距）直線方程為直線方程為 y=ax+ba =y2 y1x2

3、 x1斜率為斜率為截距為截距為b=y3 y2 y1x2 x1x3C.內(nèi)插與外推內(nèi)插與外推從圖線可得到非測量點的數(shù)據(jù)。如圖所示：從圖線可得到非測量點的數(shù)據(jù)。如圖所示：利用內(nèi)插或外推使利用內(nèi)插或外推使測量范圍得到了擴測量范圍得到了擴展，并且方便快捷、展，并且方便快捷、避免了復雜的計算。避免了復雜的計算。*當數(shù)據(jù)在測量范圍內(nèi)時為當數(shù)據(jù)在測量范圍內(nèi)時為內(nèi)插內(nèi)插（X1,Y1）*當數(shù)據(jù)在測量范圍外時為當數(shù)據(jù)在測量范圍外時為外推外推（X2,Y2）)(ZHf )()(ZSZHfHf次數(shù)12345低精度信號源2 25 5. .0 05 50 0. .0 07 75 5. .0 01 10 00 0. .0 01

4、 12 25 5. .0 0高精度信號源2 26 6. .1 14 48 8. .0 07 77 7. .0 01 10 00 0. .0 01 12 24 4. .0 0修正值1 1. .1 1- -2 2. .0 02 2. .0 00 0. .0 0- -1 1. .0 0D.校正曲線校正曲線一信號源的輸出頻率有較大的誤一信號源的輸出頻率有較大的誤差，可利用高精度的信號源對它差，可利用高精度的信號源對它進行校正，校正結果如下：進行校正，校正結果如下：利用校正曲線可以提高儀器的準確度。利用校正曲線可以提高儀器的準確度。E.曲線改直曲線改直為為常常數(shù)數(shù)。、baaxyb,).1( 為為常常數(shù)數(shù)

5、。、baaeybx,).2( 為為常常數(shù)數(shù)。、baabyx,).3( 。，截截距距為為斜斜率率為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)，為為則則abxyaxbylglglg,lglglg 。，截截距距為為斜斜率率為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)，為為則則abxyabxylnln,lnln 。，截截距距為為斜斜率率為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)，為為則則abxyaxbylglglg,lg)(lglg 為為常常數(shù)數(shù)。CCI,).4( 為為常常數(shù)數(shù)。ppxy,2).5(2 。斜斜率率為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)，為為則則CI ,CI 11 。斜斜率率為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)，為為則則pxy,xpy222121 a a、b b為為常常

6、數(shù)數(shù)。, ,b bx xa ax x( (6 6) ). .y y 為為常常數(shù)數(shù)。、avattvS020,21).7( 斜斜率率為為a a，截截距距為為b b。的的線線性性函函數(shù)數(shù)，x x1 1為為y y1 1b b, ,x x1 1a ay y1 1則則 。，截截距距為為斜斜率率為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)，為為則則002,21vattsatvts 測量單擺的周期測量單擺的周期T隨擺長隨擺長L的變化，函數(shù)關系為：的變化，函數(shù)關系為：224TgL LT曲線為拋物線。曲線為拋物線。若進行曲線改直作若進行曲線改直作LT2曲線。結果將得到一條通過原點的直線。曲線。結果將得到一條通過原點的直線。其斜率等于

7、其斜率等于24g。由此可算出試驗所在地的重力加速度。由此可算出試驗所在地的重力加速度g電容的放電過程電容的放電過程RcteQq 式中式中R，c為未知量，可以為未知量，可以用作圖的方法確定。兩邊取對數(shù)得：用作圖的方法確定。兩邊取對數(shù)得：QLntRcqLn 1作作 曲線，設圖線的斜率為曲線，設圖線的斜率為 截距為截距為 。由此可算出電路參數(shù)由此可算出電路參數(shù)R和和 c。tqLnRc1 QLn2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則作圖一定要用坐標紙，測量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)作圖一定要用坐標紙，測量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上也應是可靠的，即圖紙上一小格對應字在圖上也應是可靠的，即圖紙上一小格對應數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位，而誤

8、差位在小格數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位，而誤差位在小格之間估計。之間估計。2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 標明坐標軸和圖名標明坐標軸和圖名2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 標點標點2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 連線連線3.3.作圖舉例作圖舉例(1).直角坐標舉例。測得銅電阻與溫度對直角坐標舉例。測得銅電阻與溫度對應的一組數(shù)據(jù)如表所示，試用直角坐標作應的一組數(shù)據(jù)如表所示，試用直角坐標作圖表示出電阻與溫度的函數(shù)關系。圖表示出電阻與溫度的函數(shù)關系。 測量次數(shù)12345678910銅電阻 Rt10.2010.2010.3510.3510.5110.5110.6410.6410.7610.7610.9410.9411.081

9、1.0811.2211.2211.3611.3611.5311.53溫度 t0.00.05.05.010.010.015.015.020.020.025.025.030.030.035.035.040.040.045.045.0)()( C在圖中任選兩點在圖中任選兩點 和和 ，將兩點代入式中可得：將兩點代入式中可得：最后，得到電阻隨溫度的變化關系為：最后，得到電阻隨溫度的變化關系為：)(.201003140 tRt0314. 00 .130 .4860.1070.11 a由于有由于有x=0的坐標點，故的坐標點，故20.10 b)70.11, 0 .48(1P)60.10, 0 .13(2P (

10、2).用電勢差計校準量程為用電勢差計校準量程為1mV的毫伏的毫伏表，測量數(shù)據(jù)如下（表中單位均為表，測量數(shù)據(jù)如下（表中單位均為mV）。）。在如圖所示的坐標中畫出毫伏表的校準曲線，在如圖所示的坐標中畫出毫伏表的校準曲線，并對毫伏表定級別。并對毫伏表定級別。 毫伏表讀數(shù)毫伏表讀數(shù)0.1000.2000.3000.4000.500 電勢差計讀數(shù)電勢差計讀數(shù)0.10500.21500.31300.40700.5100 修正值修正值U0.0050.0150.0130.0070.0100.6000.7000.8000.9001.0000.60300.69700.78500.89201.00700.003-0

11、.003-0.015-0.0080.007 毫伏表讀數(shù)毫伏表讀數(shù) 電勢差計讀數(shù)電勢差計讀數(shù) 修正值修正值U%5 . 1%10000. 1015. 0%100%amax 量量程程 毫伏表的級別為：毫伏表的級別為：為為1.5級表級表1.1.逐差法的含義逐差法的含義 把實驗測量數(shù)量（因變量）進行逐把實驗測量數(shù)量（因變量）進行逐項相減或依順序分為兩組實行對應項測項相減或依順序分為兩組實行對應項測量數(shù)據(jù)相減之差作因變量的多次測量值。量數(shù)據(jù)相減之差作因變量的多次測量值。然后求出最佳值然后求出最佳值算術平均值的處理算術平均值的處理數(shù)據(jù)的方法。數(shù)據(jù)的方法。次數(shù)（K）12345678910電壓 V（V）02.0

12、04.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00電流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04伏安法測電阻伏安法測電阻,試用逐差法求出電流試用逐差法求出電流I的的最佳值并算出電阻最佳值并算出電阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK.若按逐項相減，則有若按逐項相減，則有 1111101nkkkIII)( 9102312.1101IIIIII 1101101II IVR 解：解：根據(jù)伏安公式根據(jù)伏安公

13、式次數(shù)（K）12345678910電壓 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00電流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04.若按順序分為兩組（若按順序分為兩組（15為一組，為一組，610為一組）為一組）mAI99. 9596. 993. 903.1001.1004.10 實行對應項相減，其結果如表：實行對應項相減，其結果如表：可以利用這種分組法計算因變量可以利用這種分組法

14、計算因變量 的平均值的平均值根據(jù)歐姆定律得根據(jù)歐姆定律得)(1000. 11099. 900. 2533 IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)( I 2.2.有關逐差法的幾點說明有關逐差法的幾點說明使用條件：使用條件： 自變量等間隔變化（對一次逐差必須自變量等間隔變化（對一次逐差必須 是線性關系，否則先進行曲線改直）是線性關系，否則先進行曲線改直）用數(shù)據(jù)進行用數(shù)據(jù)進行直線直線擬合（一次逐差）擬合（一次逐差） 優(yōu)點：優(yōu)點： 充分利用測量數(shù)據(jù)（取平均的效果）充分利用測量數(shù)據(jù)（取平均的效果）作用：作用： 驗證函數(shù)是否線性關系（一次逐差）驗證函數(shù)是否線性關系（一次逐差）作圖法：作圖法： 直觀、

15、簡便。但主觀隨意性大（粗略）直觀、簡便。但主觀隨意性大（粗略）逐差法：逐差法： 粗略的近似計算方法（要滿足一定條件）粗略的近似計算方法（要滿足一定條件）回歸分析法：回歸分析法： 最準確的計算方法最準確的計算方法1.1.回歸分析法定義：回歸分析法定義：由數(shù)理統(tǒng)計的方法處理數(shù)據(jù)，通過計算確定由數(shù)理統(tǒng)計的方法處理數(shù)據(jù)，通過計算確定其函數(shù)關系的方法。其函數(shù)關系的方法。步驟：步驟：1.推斷函數(shù)形式（回歸方程）推斷函數(shù)形式（回歸方程）2.由實驗數(shù)據(jù)確定參數(shù)由實驗數(shù)據(jù)確定參數(shù)a、b、 c等的最佳值。等的最佳值。3.根據(jù)實驗數(shù)據(jù)檢驗函數(shù)關系根據(jù)實驗數(shù)據(jù)檢驗函數(shù)關系 是否合理。是否合理。y=aebx+c (指數(shù)

16、關系）指數(shù)關系）如如 y=a+bx (線性關系）線性關系）2.2.用最小二乘法進行一元線性回歸用最小二乘法進行一元線性回歸（1）最小二乘法原理）最小二乘法原理給定函數(shù)關系為給定函數(shù)關系為 y = a + bx最小乘數(shù)最小乘數(shù)a和和b的值是能使各次測的值是能使各次測量值誤差平方和為最小的那個值。量值誤差平方和為最小的那個值。數(shù)學表達式為：數(shù)學表達式為： Kiiyy12min)(（2）一元線性回歸（直線擬合）一元線性回歸（直線擬合）函數(shù)形式函數(shù)形式bxay （1）實驗數(shù)據(jù)為實驗數(shù)據(jù)為.,.,2121kkyyyxxx對對應應由于由于x和和y的測量存在誤差，將的測量存在誤差，將kkyyyxxx.,.,

17、2121和和代入（代入（1）式，等式兩邊并不相等。）式，等式兩邊并不相等。等式兩端的差值用等式兩端的差值用k .,21表示，則表示，則)(111bxay )(222bxay )(kkkbxay .按最小二乘法原理，按最小二乘法原理，a、b最佳值應滿足：最佳值應滿足： kiiikiimin)bxay(1212 （2）由于由于 最小，最小， kii12 （2）式對）式對a和和b求偏導應為求偏導應為0。 kiiikiibxaya11202 kiiiikiixbxayb11202 整理后得整理后得 kiikiikiiikikiiixbxayxxbkay12111100（3）由于由于xxkkii 11y

18、ykkii 112121xxkkii xyyxkkiii 11 002xbxaxyxbay222xxxyxyxa xayxxxyyxb 22代入（代入（3）式有：）式有：（3）相關系數(shù)）相關系數(shù)相關系數(shù)：定量描述相關系數(shù)：定量描述x、y變量之間線性相關程度的好壞變量之間線性相關程度的好壞yyxxxyLLL kiikiikiiixyyxkyxL111121121 kiikiixxxkxL21121 kiikiiyyykyL式中式中 0 擬合曲線斜率為正擬合曲線斜率為正 0 斜率為負斜率為負 =0 則則x和和y無線性關系無線性關系(a)(b)(c)(d)（4）舉例）舉例還是以銅電阻還是以銅電阻溫度關系為例，測得的一組數(shù)溫度關系為例，測得的一組數(shù)據(jù)如表所示。已知據(jù)如表所示。已知Rt和和t的函數(shù)關系為的函數(shù)關系為Rt=a+bt，試用最小二乘法求出試用最小二乘法求出a、b。次數(shù)K 1 2 3 4 5 6 7 8 電阻Rt 1 10 0. .3 35 5 1 10 0. .5 51 1 1 10 0. .6 64 4 1 10 0. .7 76 6 1 10 0. .9 94 4 1 11 1. .0 08 8 1 11 1. .2 22 2 1 11 1. .3 36 6 溫度t 5 5. .0 0 1 10 0. .0 0 1 15 5. .0 0 2