第6章-電路分析

1、電路分析簡明教程電路分析簡明教程6-1 正弦量的特征正弦量的特征 6-2 相量分析法基礎相量分析法基礎 6-3 復阻抗與復導納復阻抗與復導納 6-4 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法 6-5 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 第六章第六章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法 *6-6 含耦合電感元件的正弦穩(wěn)態(tài)電路分析含耦合電感元件的正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 *6-7 正弦穩(wěn)態(tài)電路的頻率特正弦穩(wěn)態(tài)電路的頻率特性性 *6-8 多個不同頻率正弦激勵穩(wěn)態(tài)電路的分析多個不同頻率正弦激勵穩(wěn)態(tài)電路的分析*6-9 三相電路分析概述三相電路分析概述*6-10 應用實例應用實例*6-11

2、 計算機仿真分析正弦穩(wěn)態(tài)電路計算機仿真分析正弦穩(wěn)態(tài)電路本章學習要求本章學習要求電路分析簡明教程電路分析簡明教程 本章中心內容本章中心內容n主要討論正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本分析方法主要討論正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本分析方法相相量分析法。量分析法。從介紹從介紹正弦交流電正弦交流電的特征的特征入手，入手，引出引出正弦量的相量表示正弦量的相量表示，基爾霍夫定律和電基爾霍夫定律和電路元件路元件VAR的相量形式、復阻抗的相量形式、復阻抗的概念等。的概念等。在此基礎上，利用相量法研究了幾種典型正在此基礎上，利用相量法研究了幾種典型正弦穩(wěn)態(tài)電路的電壓、電流和功率的計算等。弦穩(wěn)態(tài)電路的電壓、電流和功率的計算等。n 第六章第六

3、章電路分析簡明教程電路分析簡明教程 6-1 正弦量的特征正弦量的特征 正弦穩(wěn)態(tài)電路在工程上泛稱交流電路交流電路，它是指在單一頻率的一個或多個正弦電壓、電流激勵下，處于穩(wěn)定狀態(tài)的線性非時變動態(tài)電路，它的暫態(tài)響應已經消失，它的全部穩(wěn)態(tài)響應（各支路的電壓、電流）是與激勵相同頻率的正弦量。 正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術領域占有十分重要的地位。正弦函數是周期函數，其加、減、求導、積分運算后仍是同頻率的正弦函數；正弦信號容易產生、傳送和使用。 正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。 不論在實際應用中還是在理論分析中，正弦穩(wěn)態(tài)分析都是十分重要的。n 6-1電路分析簡明

4、教程電路分析簡明教程 一、正弦量的三要素一、正弦量的三要素 1、正弦量 (1) 正弦波，如右圖(a)、(b)所示。 隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流等物理量統(tǒng)稱為正弦量。 正弦量的表示方法： (2) 函數式，稱為正弦量的瞬時值表達式 。既可以采用正弦函數形式，也可以采用余弦函數形式，本課程采用正弦函數 。 i=Imsint 對應于圖(a) i= Imsin(t +i ) 對應于圖(b)正弦電壓和電流是周期電壓和電流 的基本形式。(a) (b)n 6-1電路分析簡明教程電路分析簡明教程 (1) 幅值 (振幅、最大值) 2、正弦量的三要素 i=Imsin(t +i ) 反映正弦量變化幅度的大小，它

5、是正弦量在整個變化過程中的最大值。如電流表達式中Im是幅值。 (2) 周期T、頻率f、角頻率 T、f 和 都是用來表示正弦量變化快慢的參數。 正弦量每重復變化一次所需要的時間稱為周期 T，單位是秒(S)；每秒時間內正弦量重復變化的次數稱為頻率f，單位為赫茲(Hz)；正弦量在單位時間內變化的角度稱為角頻率，單位為弧度每秒（rad/s）。 T、f 和 三個參數之間的關系是 Tf22Tf22n 6-1電路分析簡明教程電路分析簡明教程i= Imsin(t+i ) (3)相位角(相位)、初相位(初相) 相位反映了正弦量變化的進程，如電流表達式中的(t +i ) 是相位；不同時刻的相位不同，正弦量的瞬時值

6、也不同 。相位的單位是弧度(rad)或度 。 初相是t =0 時的相位，是正弦波的正半波的起始點到計時起點（坐標原點）的相位角，如電流表達式中的 i 是初相。n 6-1 初相的大小與所選取的計時起點有關。如右圖u1的波形，其初相 u=70。若計時起點在虛線u 軸，則u = 0。 u電路分析簡明教程電路分析簡明教程 幅值、角頻率（頻率、周期）和初相稱為正弦量的三要素。一個正弦量在參考方向確定的條件下，可由這三個參數完全確定。 如果計時起點選在正半波的區(qū)間，則初相為正值；若選在負半波的區(qū)間，則其初相位為負值，例如右圖u2的波形，其u =40。 習慣上規(guī)定：n 6-1-40o電路分析簡明教程電路分析

7、簡明教程 例例 已知右圖元件通過的正弦電流的Im=10mA，f =1Hz，初相 = rad。試寫出該電流的函數表達式，并求出當t=0.5s 和t=1.25s時電流瞬時值的大小及實際方向。 解解 該電流的角頻率 =2f=2rad/s故電流的函數表達式為 i=10sin(2t + )mA n 6-1i為負值，表示電流的實際方向與參考方向相反。i為正值，表示電流的實際方向與參考方向相同。當t=0.5s時 i=10sin(20.5 + )mA=7.07mA當t=1.25s時 i=10sin(21.25 + )mA=7.07mA電路分析簡明教程電路分析簡明教程 二、相位差二、相位差 兩個同頻率正弦量的相

8、位之差稱為相位差，用j 表示，習慣上規(guī)定|j |180。 設 u= Umsin(t+u ) i= Imsin(t+i )則它們的相位差為j =(t +u)-(t +i)=u-i 兩個同頻率正弦量的相位差等于它們的初相位之差，是不隨時間而改變的常量，也與正弦量的計時起點無關。 在比較兩個正弦量的相位差時，必須：兩者的頻兩者的頻率相同率相同，函數形式相同函數形式相同，函數前面的符號都為正或函數前面的符號都為正或都為負都為負，初相位的單位相同初相位的單位相同。否則不能比較。 n 6-1電路分析簡明教程電路分析簡明教程 兩個同頻率正弦量的相位關系 (a) u超前i 在圖(a)中，j =u-i0，則稱u

9、 超前于i(或者說 i 滯后于u)，其意義是u比i先到達最大值(或零值) 。 在圖(b)中，j =u-i 0，則稱u滯后于i(或者說 i超前于u)。n 6-1(b) u滯后i電路分析簡明教程電路分析簡明教程 兩個同頻率正弦量的特殊相位關系 (a) 同相 ，兩個同頻率正弦量的相位差 j 0，表示兩個正弦量同時達到正最大值、負最大值和零值 。 (b) 反相 ，兩個同頻率正弦量的相位差j 180 ， 表示一個正弦量為正最大值時，另一正弦量為負最大值。 (c) 正交 ，兩個同頻率正弦量的相位差j 90，表示一個正弦量(u) 超前另一個正弦量(i) 90。 n 6-1電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例

10、例 (1)已知正弦電壓 u1 = -10sin(100t+40)V， u2= 8cos(100t + )V，求它們的相位差。(2)若正弦電壓 則u1與u2的相位差為 j =-140-150=-290=70 (2)由于u1與u2的頻率不同，故它們的相位差不能進行比較。n 6-1u2=8cos(100t + )V=8sin(100t +60+90)V=8sin(100t +150)Vu1=10sin(100t+40)V，u2=8cos(200t+60)V，求它們的相位差。 解解 (1) u1和u2是同頻率的正弦量，但它們的函數形式不同，函數前面的符號也不同，初相位的單位不同，故必須將u1和u2改變

11、為u1=-10sin(100t +40)V=10sin(100t-140)V電路分析簡明教程電路分析簡明教程 三、有效值三、有效值 正弦交流電壓和電流的瞬時值隨時間變化而變化，工程上通常采用有效值來表示其大小。電壓、電流的有效值分別用大寫字母U、I表示。 有效值是根據電流的熱效應來確定的。當周期電流 i 流過電阻R時，在一個周期T 內所消耗的電能為 若直流電流 I 流過電阻R 時，在相同時間T 內所消耗的電能為n 6-1tRiWT02交d 當上述兩者消耗的電能相等時，則這個直流電流 I 的數值就稱為周期電流的有效值，即TRIW2直電路分析簡明教程電路分析簡明教程 TtuTU02d1tiTITd

12、102上式為周期電流的有效值的定義式，又叫方均根值，它適用于一切周期量。同理，可得周期電壓的有效值為 對于正弦交流電流 i= Imsin(t+i )的有效值為同理可得正弦電壓有效值n 6-1電路分析簡明教程電路分析簡明教程可知正弦電流、電壓的最大值與有效值的關系分別是 UU2mII2m若交流電壓有效值為 U=220V， U=380V 注意：通常所說的正弦電流、電壓值，不作特殊說明，都指的是有效值。例如，日常生活中的交流電為220V、380V，指的是有效值；交流電表測量的電流和電壓一般是有效值；各種交流電氣設備銘牌上所標的額定電流和額定電壓也是有效值。 嚴格區(qū)分電流、電壓的瞬時值、最大值、有效值

13、的符號： 其最大值為 Um311V ， Um537VUUuIIi、；、mmn 6-1電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例 已知某正弦電流，當 t =0時，其值 i(0) =1A，并已知其初相位為60，試求其有效值。 解解 根據題意，寫出該正弦電流的瞬時值表達式為060sinA1 i= Imsin(t+60)當t =0時 i(0)= Imsin60=1A求得 Im = =1.15A故有效值為 0.813AA21.152mIIn 6-1電路分析簡明教程電路分析簡明教程 6-2 相量分析法基礎相量分析法基礎 一、正弦量的相量表示一、正弦量的相量表示 正弦穩(wěn)態(tài)電路是指在單一頻率正弦電壓、電流激勵下處

14、于穩(wěn)態(tài)的線性、非時變動態(tài)電路。n 6-2 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析的基本依據仍然是基爾霍夫定律和元件的VAR兩類約束。 由于電感元件和電容元件的VAR是微分關系，因此，按兩類約束列寫的電路方程是非齊次微分方程，若用一般的數學方法（如待定系數法）求解其穩(wěn)態(tài)響應（即微分方程的特解）將是很麻煩的。電路分析簡明教程電路分析簡明教程當正弦量用“相量”表示后，則可將求解微分方程的問題轉化為求解復數代數方程的問題，并且，使直流電阻電路的分析方法得以移植到正弦穩(wěn)態(tài)電路分析之中。用相量表示正弦量，實質是用復數表示正弦量復數表示正弦量。n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 1、復數 122ba (1)復數的表示形式

15、 代數形式： A =a+jb j = 為虛數單位 指數形式： 在電路分析中，通常將復數的指數形式寫成極坐標形式： 在上列式中，a 和b為復數的實部和虛部， 和 為復數的模和幅角。它們之間的關系為 a=cos b=sin 復數可以在復平面上用一有向線段表示，如上圖所示。n 6-2 三角形式：(cossin)Aj電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例 把下列復數化成極坐標形式： (1) A=4-j5； 解解 用極坐標形式表示復數，必須求出復數的模和幅角。其?？倿檎?，而求幅角時，必須要把a和b的符號保留在分子、分母內，以便按右圖正確判斷角所在象限，并注意取 180。 (2) A=-2+j8；(3)

16、 A=-6-j4。 (1) A=4-j5= /arctg(-5/4) =6.4/-51.34 (幅角在第四象限) (2) A= -2+j8= /arctg（8/-2） = 8.25/180-75.96=8.25/104.04 (3 ) A= -6-j4= /arctg-4/-6 =7.21/-180+33.69=7.21/-146.31n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 2、相量和相量圖 相量表示正弦量的復數。 依據：一個正弦量是由它的幅值（或有效值）、頻率和初相三要素決定的。而正弦量乘以常數、微分、積分，幾個同頻率正弦量代數相加，其結果仍為同頻同頻率的正弦量率的正弦量。因此，在單一頻

17、率的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各支路的電壓和電流（穩(wěn)態(tài)響應），都是與激勵相同頻率的正弦量。n 6-2 所以在正弦穩(wěn)態(tài)電路分析中，正弦量的頻率是已知的，求解正弦量的三要素可簡化為求解二要素，即幅值（或有效值）和初相。而復數也有兩要素，即模和幅角，它們與正弦量的二要素有一一對應的關系。于是，正弦量可用復數(相量)表示。電路分析簡明教程電路分析簡明教程 (2)復數的運算 乘除運算采用極坐標形式 例例 已知復數 A1=3+j5 和 A2=4-j3，求它們的和、差、積及商。 解解 A1=3+j5 = /59 加減運算采用代數式 故 A1+A2=3+j5+4-j3=7+j2 n 6-2 A2=4-j3 = /-37

18、=5/-37 A1-A2=3+j5-4+j3= -1+j8 A1A2= /595/-37=29.15/22電路分析簡明教程電路分析簡明教程 正弦量的相量表示：用復數的模表示正弦量的有效值，用復數的幅角表示正弦量的初相。 相量是一個表示正弦量的復數。為了和一般復數相區(qū) 別，強調相量是代表正弦量的復數，相量用大寫字母上 加一點表示，如 等 。 例如，己知正弦電壓、正弦電流 則其相量分別為 u= Umsin(t +u ) i= Imsin(t +i ) 以上相量的模是正弦量有效值，亦稱為有效值相量。相量的模也可以用正弦量的幅值，稱為“幅值”相量，即今后，除非特別申明，本課程中的相量均為有效值相量。

19、n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 同樣，若已知相量，也可直接寫出它表示的正弦量，但必須給出正弦量的角頻率。若題中未給出頻率，則設定其角頻率為。 相量可以在復平面上用有向線段表示，有向線段的長度表示正弦量的有效值，有向線段與實軸的夾角表示正弦量的初相。此圖叫相量圖，如右圖所示，圖中畫出了表示電壓相量和電流相量的相量圖。在相量圖上能夠清晰的看出各相同頻率正弦量的大小和相位關系，例如，圖中電壓u超前電流i的相位角為（u-i）。n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例1 1 已知電壓 u =5cos（1000t-30）V和電流 i = -10sin（1000t+30）A，求其相量，并

20、繪相量圖。 解解 u=5cos（1000t-30）=5sin（1000t+60）V i = -10sin（1000t+30）A=10sin（1000t-150）Au和i的有效值為 U= V I= A2525210則其相量為/60V210/-150A相量圖如右圖所示。n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程I m=8 A 解解 題中 、 相量的模為有效值，則其幅值為 例例2 2 已知電壓相量 10/-60V和電流相量 8/150 A，f =50Hz，求其所表示的正弦電壓u和電流i。 Um=10 V角頻率 =2f =250rad/s =314rad/s 注意：在u與 、i 與 之間不能畫等號，因

21、為，正弦量是隨時間i 變化的實數，而相量是不隨時間變化的復常數。因此，只能說正弦量可用相量表示；反之，若已知一相量，也可以求出它表示的正弦量。它們這一關系可用雙箭頭符號“ ”表示，即 u而n 6-2iui和10 2sin(31460 )Vut8 2sin(314150 )Ait電路分析簡明教程電路分析簡明教程 二二、基爾霍夫定律的相量形式、基爾霍夫定律的相量形式 兩類約束仍然是分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本依據，為了借助“相量”來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，首先必須導出這兩類約束的相量形式。 在單一頻率的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各支路電流 i和各支路電壓 u 均為同頻率正弦量，將它們分別用相量 和 表示后，KCL和KV

22、L的瞬時值形式，可分別表示為相量形式如下： n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程32 =220( + j )V 例例 已知 ， ，試求u = u1+u2及其有效 值，并繪出相量圖。23 解解 寫出電壓u1、u2的相量為 =220/-150V=220cos(-150)+jsin(-150) V = 220(- - j )V 2121 = -220/-30V=220/150V得 = + = -220 V=380/180 V 3則 u=380 sin（314t+180）V2故有效值為380V。相量圖如右上圖所示 。n 6-21220 2sin(314150 )Vut2220 2sin(3143

23、0 )Vut 電路分析簡明教程電路分析簡明教程 三、三、 電阻、電感、電容元件的伏安關系的相量形式電阻、電感、電容元件的伏安關系的相量形式 1、電阻元件2 (a) 電路圖 設右圖(a)所示電阻元件R中的電流為 i= Isin(t +i ) 根據歐姆定律及上式，則有 u=Ri= RIsin(t +i ) = Usin(t +u ) 2上式中在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電阻元件中的電流與它兩端的電壓是兩個同頻率、同相位的正弦量，它的波形如右上圖(b)所示。2n 6-2(b) 波形圖U=RIi =u及電路分析簡明教程電路分析簡明教程 由以上正弦電流i、電壓u的瞬時值表示式，可得它們的相量分別為 由于以上已得出

24、 U=RI 及u=i 則 (c)相量模型(d)相量圖 即 上式是電阻元件的VAR的相量形式， 用相量表示的電阻電路如右上圖(c)所示，這種電路模型亦稱為相量模型。該電路中電壓、電流相量圖如右圖(d)所示。 它既表明了電阻上電壓和電流之間的大小關系（U=RI），也表明了它們之間的相位關系（同相位，即u=i）。n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例 已知4電阻兩端的電壓u=10 sin（100t-60）V，試利用u、i的相量關系求通過電阻的電流i，并畫相量圖。設電路中u、i的參考方向一致。2 解解 分三個步驟 (1)寫出已知正弦量u的相量 (2)利用電阻元件VAR的相量式，可得=10/-

25、60V= 10/-60V4 = 2.5/-60A(3)根據 寫出i i=2.5 sin（100t-60）A2其相量圖如右上圖所示。n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 2、電感元件 設右圖(a)所示電感元件L中的電流為 i= Isin(t +i ) (a)電路圖 根據電感元件的VAR及上式，則有 u=L = LIcos(t +i ) = LIsin(t +i +90) = Usin(t +u ) 上式中比較上兩式可知，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件中的電流和電壓都是同頻率的正弦量，電感電壓的幅值等于電流的幅值乘以L，在相位上電壓超前電流90。u、i的波形如上圖(b)所示。 2222n 6-2

26、(b)波形圖及電路分析簡明教程電路分析簡明教程 由以上正弦電流i、電壓u的瞬時值表示式，可得它們的相量分別為IU由于以上已得出U=LI 及 i =u+90 則= U =LI / +90=jL 即式中 j= /90 上式是電感元件的VAR的相量形式。它既表明了電感上電壓和電流之間的大小關系（U=LI），也表明了它們之間的相位關系（電壓超前于電流90）。 用相量表示的電感電路（相量模型）如右圖(c)所示，該電路中電壓、電流相量圖如右圖(d)所示。(c)相量模型(d)相量圖n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 稱為感抗，單位為歐姆 ()。 感抗表示電感元件對正弦電流的阻礙作用。因為 U=LI，

27、即I=U/L，若U一定，L越大，則I 越小。 感抗和頻率成正比。當f時， XL，電感相當于開路；當f =0（直流）時XL=0，電感相當于短路。感抗與頻率的關系如上圖所示。電感元件具有通低頻阻高頻的性質。 采用感抗后，電感元件的VAR的相量形式可寫成jXL 感抗的倒數稱為感納 ，即BL=1/L=1/2f L，表示電感元件對正弦電流的導通能力，單位為西(S) 。n 6-2XL=L=2f L電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例1 1 已知一線圈的電感L=1H，電阻略去不計，現把它接在電壓220V、頻率為50Hz的交流電源上。試求：(1)感抗；(2)通過線圈的電流；(3)畫相量圖。解解 (1) XL

28、=2f L=2501=314 (2) 設電壓的初相為零，根據電感元件的VAR的相量形式得/0Vj314=0.7/-90A220 (3)相量圖如右圖所示，可見電流滯后于電壓90。為簡便計，相量圖未畫復平面的實軸和虛軸。今后，畫相量圖均可按此畫法。n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例2 2 圖(a)所示為某正弦穩(wěn)態(tài)電路的一部分，圖中電流表A1、A2的讀數均為10A，求電流表A的讀數。 設定 U/0。故首先在水平方向上繪出電壓相量 ；然后利用元件電流、電壓的相位關系繪出各元件的電流相量：電阻元件的電流 與 同相，電感元件中的 滯后 90；總電流 = + ，作出相量圖如圖(b)所示。則電流

29、表A的讀數為(a) 原電路(b) 相量圖 解解 用相量圖求解。并聯(lián)電路的相量圖一般以電壓相量作為參考相量。2222211010 IIIA=14.14An 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 = CUsin(t+u +90) = Isin(t+i ) 3、電容元件tudd 設右圖(a)所示電容元件C中兩端的電壓為u= Usin(t+u )(a) 電路圖 根據電容元件的VAR及上式，則有 i=C = CUcos(t+u )上式中在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容元件中的電流和它兩端的電壓都是同頻率的正弦量，電容電流的幅值等于電壓的幅值乘以C，在相位上電流超前電壓90。u、i的波形如上圖(b)所示。n 6-

30、2(b) 波形圖及電路分析簡明教程電路分析簡明教程 類似于電感元件的VAR的相量形式的推導過程，可得 或(c) 相量模型 (d) 相量圖 上式是電容元件的VAR的相量形式。它既表明了電容中電壓和電流之間的大小關系（I=CU），也表明了它們之間的相位關系（電流的相位超前于電壓的相位90）。 用相量表示的電容電路（相量模型）如右圖(c)所示，該電路中電壓、電流相量圖如右圖(d)所示。n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 稱為容抗，單位為歐姆 ()。 容抗表示電容元件對正弦電流的阻1/C 越大，則I 越小。礙作用。因為I= ，若U一定，容抗和頻率成反比。當f時， XC0，說明高頻電流容易通過電

31、容元件；當f=0（直流）時，XC，電容相當于開路，這就是電容具有隔直作用的原因。容抗與頻率的關系如上圖所示。電容元件具有阻低頻通高頻的性質。 采用容抗后，電容元件的VAR的相量形式可寫成-j XC 容抗的倒數稱為容納 ，即BC=1/ XC = C ，表示電容元件對正弦電流的導通能力，單位為西(S) 。n 6-2XC =1/C電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例1 1 已知一電容C=5F，接在電壓220V、頻率為50Hz的交流電源上。試求：(1)容抗；(2)通過電容的電流；(3)畫相量圖。 XC= = = =637解解 (1)n 6-2 (2) 設電壓的初相為零，根據電容元件的VAR的相量形式

32、得/0V-j637= 220= 0.345/90A (3) 相量圖如右圖所示，可見電流的相位超前于電壓的相位90。電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例2 2 在圖(a)的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電壓表V1、V2、V3的讀數分別為80V、180V、120V，求電壓表V的讀數。 解解 用相量圖求解。繪串聯(lián)電路的相量圖一般宜以電流相量作為參考相量。設定 =I/0。根(a) 原電路 (b) 相量圖據R、L、C元件電流、電壓的相位關系可知：電阻元件 的相位應與 同相，電感元件 超前 90，電容元件 滯后 90；總電壓 = + + ；作出相量圖如圖(b)所示， 與 、( + )構成一個直角三角形，故電壓表V的讀

33、數為n 6-2電路分析簡明教程電路分析簡明教程 6-3 復阻抗與復導納復阻抗與復導納 一、復阻抗一、復阻抗 在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，由線性時不變元件組成的不含獨立源的線性二端網絡如圖(a)所示 ，(a)不含獨立源的線性二端網絡在其端口u、i一致的參考方向下，則端口的等效復阻抗（輸入阻抗）定義為 式中 阻抗模(簡稱阻抗)復阻抗Z是一個復數，但不是表示正弦量的復數，其單位為歐姆()。 阻抗角(一般 90)n 6-3電路分析簡明教程電路分析簡明教程 由復阻抗定義式，可得R、L、C元件的復阻抗分別為 由復阻抗定義式可知其代數形式為Z=|Z|(cosj Z+jsinj Z)=R+jX 式中，R稱為復阻抗的電阻

34、分量；X稱為復阻抗的電抗分量。(c) 阻抗三角形 R、X和|Z|之間的關系可用一個直角三角形表示，如圖(c)所示，稱為阻抗三角形。n 6-3電路分析簡明教程電路分析簡明教程 根據復阻抗的電抗分量X可判斷二端網絡的性質： 若X0，即 0，則表明端口電壓超前于電流，該網絡呈電感性；若X0，即 0，則表明端口電壓滯后于電流，該網絡呈電容性；若X = 0，即 = 0，則表明端口電壓與電流同相，該網絡呈電阻性，是電路中的一種特殊現象，將在6-8中討論。n 6-3j Zj Z j Z電路分析簡明教程電路分析簡明教程 二、復導納二、復導納 復導納的定義是電流相量與電壓相量之比(復阻抗的倒數)，即 式中導納角

35、( 不含受控源時 90) 復導納也是一個復數，亦不是表示正弦量的復數，其單位為西(S)。 由復導納定義式，可得R、L、C元件的復導納分別為n 6-3導納模(簡稱導納)電路分析簡明教程電路分析簡明教程 由復導納定義式可知其代數形式為 Y=|Y|(cosj Y+jsinj Y)=G+jB式中G稱為復導納的電導分量，B稱為復導納的電納分量。 G、B和|Y |之間的關系可用一個直角三角形表示見圖(d)，稱為導納三角形。(d) 導納三角形 對二端網絡來說，同樣可以根據B0(j Y 0)、B0(j Y 0)、B=0(j Y =0)來判斷該網絡為電容性、電感性、電阻性。n 6-3電路分析簡明教程電路分析簡明

36、教程 三、復阻抗與復導納的等效互換三、復阻抗與復導納的等效互換 由復阻抗和復導納的定義可知，對于同一個不含獨立源的線性二端網絡的復阻抗和復導納之間有著互為倒數的關系： 或即或設復阻抗 Z=R+jX，則它的復導納為由上式可見n 6-3電路分析簡明教程電路分析簡明教程 設復導納Y = G+jB，則它的復阻抗為 故 由上式可見，雖然復阻抗和復導納互為倒數，但在雖然復阻抗和復導納互為倒數，但在一般情況下一般情況下 四、歐姆定律的相量形式四、歐姆定律的相量形式 對于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任一不含獨立源的二端網絡，其端口的VAR的相量形式為 稱為歐姆定律的相量形式，在正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中是十分有用的。n 6-3

37、電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例1 1 已知圖(a)所示并聯(lián)電路中，R=100，L=0.1H， (a) 原電路(b) 相量模型 解解 將原電路轉換為相量模型n 6-3C=10F。試計算角頻率分別為 (1)=314rad/s (2)=1000rag/s，(3)=4000rad/s時，此電路的復阻抗Zab和復導納Yab，并說明該電路的性質。電路分析簡明教程電路分析簡明教程(b) 相量模型則根據KCL的相量形式得由復導納定義式得n 6-3電路分析簡明教程電路分析簡明教程 下面依據不同的分別計算如下： n 6-3則由于B0），故此并聯(lián)電路在=314rad/s時呈電感性。(2)=1000rad/s

38、時由于B=0（X=0），故此并聯(lián)電路在=1000rad/s時呈電阻性。則(1)=314rad/s時電路分析簡明教程電路分析簡明教程 (3)=4000rad/s時 則 一般情況下，復阻抗、復導納是角頻率的函數，同一個電路在不同的頻率下所呈現的復阻抗、復導納是不同的，并且電路的性質也會發(fā)生變化。所以對于一個實際電路，在不同的頻率下有不同的等效電路，它的復阻抗、復導納都是針對某一特定頻率的。n 6-3由于B0（XUs 。而在電阻電路中（不含受控源），任一元件的電壓不可能大于外施電源電壓。電路分析簡明教程電路分析簡明教程 (5)作出相量圖，如圖(c)所示。 n 6-4(c) 相量圖 由于本題中復阻抗角

39、 ，故該電路性質為電容性；若就u和i的相位差而言，i超前u 45，也知該電路呈電容性。045ozj電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例2 2 電路如圖(a)所示，已知us=4 sin(3t+45)V，n 6-4R1=R2=2，L= H ，C= F，試求電路中的電流i、iC和iL，并作電流相量圖。 (a)時域模型 (b)相量模型解解 (1)寫出已知正弦量us的相量為 (2)作出與電路時域模型相對應的相量模型如圖(b)所示，其中電路分析簡明教程電路分析簡明教程 (b)相量模型 (3)由相量模型知該電路的輸入阻抗則 n 6-4電路分析簡明教程電路分析簡明教程n 6-4(b)相量模型利用分流公式算得

40、電路分析簡明教程電路分析簡明教程(4) 將求得的各個相量寫出對應的正弦量為i=1.49 sin(3t+18.4)AiC=0.665 sin(3t+135)AiL=1.88 sin3t A(5)作出相量圖如圖 (c)所示。 (c)相量圖n 6-4電路分析簡明教程電路分析簡明教程 二、復雜電路的分析二、復雜電路的分析 仍用第二章中分析電阻電路的方法，其關鍵仍是繪出電路的相量模型。 例例1 1 在圖(a)所示電路中，己知R=10，L=40mH ，C=500F，u1=40 sin400tV，u2=30 sin(400t+90) V，試用網孔電流法求電阻兩端電壓uR。 (a) 時域模型 解解 寫出已知正

41、弦電源電壓的相量為 =40/0V 計算各元件的復阻抗 jL=j4004010-3=j16n 6-4=30/90V電路分析簡明教程電路分析簡明教程 作出與電路時域模型相對應的相量模型如圖(b)所示。 設網孔電流相量 、 的參考方向如圖(b)所示，根據相量模型列網孔相量方程，得(b) 相量模型代入數據得 （10 +j16） - 10 = 40/0- 10 +（10 - j5） = - 30/90n 6-4電路分析簡明教程電路分析簡明教程求解，得故因此 uR=38.22 sin(400t+148.32)Vn 6-4M1M24.71105.36.8472.79II(b) 相量模型電路分析簡明教程電路分

42、析簡明教程 例例2 2 圖(a)是選頻電路，它常用于正弦方波發(fā)生器中，當輸出端開路時，若適當選(a) 時域模型 解解 用節(jié)點電壓法求解。首先作出圖(a)相對應的相量模型如圖(b)所示，列節(jié)點方程為n 6-4擇電路中的參數，可在某一頻率下使輸出電壓u2與輸入電壓u1的相位相同。若R1=R2=250K，C1=0.01F， f=1000Hz。試求u2與u1相位相同時，C2應是多少？ (b) 相量模型電路分析簡明教程電路分析簡明教程n 6-4則當虛部為零時，電路為電阻性，u2與u1必同相，故有 電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例3 3 試用疊加定理求圖(a)所示電路的電壓uC。已知us=50 si

43、ntV，is=10 sin(t+300)A， 解解 題中電路的兩電源頻率相同，故可以利用同一相量模型運用疊加定理求解。 n 6-4(a) 時域模型L=5H，C= F。 (b) 相量模型 (1)作出對應于圖(a)時域模型的相量模型如圖(b)所示，其中 =50 V =10 AjL=j15=j522電路分析簡明教程電路分析簡明教程 (2)先計算電壓源 單獨作用時的 ，這時電流源開路，如圖(c)所示，求得(c) 電壓源單獨作用的 相量模型50/0V= -75V (3)再計算電流源 單獨作用時的 ，這時電壓源短路，如圖(d)所示，求得n 6-4(d) 電流源單獨作用的 相量模型電路分析簡明教程電路分析簡

44、明教程 10/30V=75/-60V(4)應用疊加定理求總響應-75V+ 75/-60V =(-75+37.5-j64.9)V=75/-1200V(5)寫出對應的正弦函數式uc=75 sin(t -1200)Vn 6-4(d) 電流源單獨作用 的相量模型電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例4 4 已知圖(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中， ，試用戴維寧定理求iL。 解解 寫出已知正弦電源電壓的相量為 (a) 時域模型(b) 相量模型=20/0V作出與電路時域模型相對應的相量模型如圖(b)所示， 其中n 6-46s( )20 2sin10 Vu tt電路分析簡明教程電路分析簡明教程(d) 求 的相量模型

45、而整理可得所以即n 6-4求等效阻抗求等效阻抗Zeq，由節(jié)點電壓法求得電路分析簡明教程電路分析簡明教程 求開路電壓相量求開路電壓相量 ，其相量模型如圖(c)。由于端口開路， =0，則受控電流源 =0，受控電流源以開路代替。由該相量模型得(c) 求 的相量模型n 6-4 畫出戴維寧等效電路相量模型,得/ 121A故 iL= 6.86 sin (106t 121)A電路分析簡明教程電路分析簡明教程 通過以上四例，將常用于直流電阻電路中的網孔電流法、節(jié)點電壓法、疊加定理和戴維定寧理，推廣應用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中。同理，只要將正弦穩(wěn)態(tài)電路的時域模型變換為相量模型，直流電阻電路的其它分析方法，如支路電

46、流法、電源的等效變換、星形聯(lián)結與三角形聯(lián)結的電阻電路的等效變換等，均可推廣應用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析。 n 6-4電路分析簡明教程電路分析簡明教程 三、用相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路三、用相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 利用相量圖求解電路的方法稱為相量圖法。它是先定性的畫出相量圖，利用相量圖的幾何關系來分析和簡化計算，從而求得所需值。 它和前述的相量解析法同屬相量分析法。在相量解析法中，一般也畫出相量圖，但那是根據電路計算結果而畫出的，起著驗證和陪襯的作用。 相量圖的的要點是，選好一個參考相量，這個參考相量的選擇，必須能方便地作出電路中其它的電壓、電流相量。 n 6-4電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例

47、例1 1 應用三表法可測定某電感線圈的參數L和R，其測量電路如圖(a)所示。用交流電壓表V1、V2和V分別測得電阻R1、電感線圈和電源兩端的電壓為80V、70V和120V；已知電源頻率f =50Hz，R1=57。試求電感線圈的參數L和R。(a) 測量電路 解解 本題是串聯(lián)電路，宜以電流 為參考相量。n 6-4電路分析簡明教程電路分析簡明教程(b) 相量圖 首先在水平方向作 ；顯然 與 同相、 超前 一個角度，分別作出 和 。 為了求R和L，還必須作出 和 。由于 ，且 與 同相， 的相位超前 90，故分別作出 和 ，且 、 與 組成直角三角形。通過以上步驟，畫出相量圖如圖(b)所示。 因為 、

48、 和 均為已知(測得 V1=80V ， V2=70V ， V=120V)，根據余弦定理可得n 6-4 據KVL有 由此可以作出 。電路分析簡明教程電路分析簡明教程 n 6-4(b) 相量圖故又因為 U1+UR=R1I+RI=Ucos所以 R=70.98-R1=(70.98-57) =13.98電路分析簡明教程電路分析簡明教程 解解 本題為并聯(lián)電路，以電壓 為參考相量。 例例2 2 在圖(a)所示電路中，正弦電壓Us=220V，f =50Hz，電容可調，當C =877.2F時，交流電流表A的讀數最小，其值為45.5A，試求圖中交流電流表A1的讀數，并求參數R和L。 (a) 原電路n 6-4(b)

49、 相量圖電路分析簡明教程電路分析簡明教程(b) 相量圖 首先在水平方向作 ；由于 是感性負載中的電流，則 滯后 一個 角；而 是電容元件的電流，則 超前 90，依次作出 和 ；據KCL有 ，當C 變化使 值最小時，則它與 同相，故可以作出 ，且 、 與 組成直角三角形。畫出相量圖如圖(b)所示。IC=CUs=250877.210-6220A=60.6A由相量圖可見75.78AA6 .605 .4522221CIIII1為交流電流表A1的讀數。n 6-4由于電路分析簡明教程電路分析簡明教程而 (b) 相量圖由阻抗三角形求得 故(a) 原電路 從以上二例可見，有些電路采用相量圖法分析，將比較直觀和

50、簡便。相量圖法分析電路的要點是，選好一個參考相量，這個參考相量的選擇，必須能方便地作出電路中其它的電壓、電流相量。n 6-4電路分析簡明教程電路分析簡明教程 6-5 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 有關功率和能量的基本概念已在第一章討論過，但是，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，由于通常包含有電感、電容儲能元件，所以，其功率計算要比電阻電路的功率計算復雜，需要引入一些新的概念。 正弦交流電路的負載一般可等效為一無源二端網絡，如右圖所示。設該無源二端網絡中含有R、L、C元件，端口上的電流 i 和電壓u分別為 為簡化，設 ，而 ，則上兩式可寫為n 6-50iiuj電路分析簡明教程電路分析簡明教程式中的 是電

51、壓與電流的相位差，亦即二端網絡等效 阻抗的阻抗角，隨電路的性質不同，可正、可負，也可能為零。在無源二端網絡中， 。 一、正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率一、正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 1、瞬時功率 電路在某一瞬時吸收或發(fā)出的功率稱為瞬時功率，用小寫字母p表示。當圖示無源二端網絡u和i的參考方向一致時，瞬時功率為 p = ui = Usin(t + ) Isint =UIcos -cos(2t + ) 它時而為正，時而為負。為正表示二端網絡吸收功率，為負表示釋放功率，這是網絡內部存在儲能元件所致。n 6-52 sin()2sin()iItuUtj電路分析簡明教程電路分析簡明教程 是電壓與電流的相位差，亦即二端網絡等效

52、 阻抗的阻抗角，由于在無源二端網絡中， ，故1cos 0。本式是計算正弦穩(wěn)態(tài)電路平均功率的一般公式，亦適用于單個元件平均功率的計算。 2、平均功率和功率因數 瞬時功率在工程中實用價值不大。通常電路中的功率是指瞬時功率在一個周期內的平均值，稱為平均功率，亦稱為有功功率，用大寫字母P表示，它的單位是瓦（W），毫瓦（mW），千瓦（kW）。一般交流用電設備的銘牌上標的功率值都是指平均功率。 無源二端網絡的平均功率為式中， 稱為功率因數； 稱為功率因數角，前已述 n 6-5電路分析簡明教程電路分析簡明教程 當二端網絡中只含有電阻元件或等效為一個電阻，即 時，則 P=UIcos 0 = UI = = 該式

53、和直流電阻電路中的功率表達式完全一樣。 當二端網絡中只含有電感元件或等效為一個電感，即 時，則 P= UIcos 90= 0說明電感元件不消耗功率，所以電感不是耗能元件，而是儲能元件。 當二端網絡中只含有電容元件或等效為一個電容，即 時，則 P= UIcos(-90)= 0所以電容元件也不消耗功率，不是耗能元件，而是儲能元件。n 6-5o0jo90jo90j電路分析簡明教程電路分析簡明教程平均功率不僅與電壓、電流的有效值乘積有關，而且與兩者的相位差角 的余弦(即功率因數cos )有關，這是交流和直流的很大區(qū)別, 主要由于電壓、電流存在相位差。 根據能量守恒原理，無源二端網絡所吸收的總平均功率P

54、應為各支路吸收的平均功率之和，而各支路只有電阻元件的平均功率不等于零，故無源二端網絡的平均功率是網絡中各電阻元件吸收的平均功率的總和，即 式中，Rk為二端網絡中第k個電阻元件的電阻，Ik是通過其中的電流。當無源二端網絡中各元件參數已知時，該式經常被用來計算其平均功率。n 6-5電路分析簡明教程電路分析簡明教程 3、無功功率 無源二端網絡中，無功功率的定義式為 當二端網絡中只含有電阻元件或等效為一個電阻，即 時，則 Q=UIsin 0= 0 當二端網絡中只含有電感元件或等效為一個電感，即 時，則 Q=UIsin90=UI=0n 6-5Q=UIsin它的單位為乏（var）及千乏（kvar）。該式是

55、計算正弦穩(wěn)態(tài)電路無功功率的一般公式，亦適用于單個元件無功功率的計算。o0jo90j電路分析簡明教程電路分析簡明教程 當二端網絡中只含有電容元件或等效為一個電容，即 時，則 可以推論，對于感性電路（ 0），Q0；對于容性電路（ 0）Q0；所以，習慣上常把電感看作“消耗”無功功率，而把電容看作“產生”無功功率。 Q=UIsin(-90)= -UI=-0無功功率存在的原因是無源二端網絡中含有儲能元件，于是在無源二端網絡與電源之間就產生能量交換。無功功率用來度量此能量交換的規(guī)模。 無源二端網絡的無功功率等于各儲能元件無功功率的代數和，即 n 6-5o90j電路分析簡明教程電路分析簡明教程 式中， XL

56、k為二端網絡中第k個電感元件的感抗，ILk是通過其中的電流；XCk二端網絡中第k個電容元件的容抗，ICk是通過其中的電流。當無源二端網絡中各元件參數已知時，該式經常被用來計算其無功功率。 在電工技術中，把電壓有效值和電流有效值的乘積稱為視在功率，用大寫字母S表示，即 4、視在功率和額定容量 S=UI 視在功率的單位為伏安（VA）及千伏安（kVA）。 交流發(fā)電機、變壓器等電氣設備是按照額定電壓UN和額定電流IN設計的，兩者的乘積，即額定視在功率用來表示其額定容量，它說明了該電氣設備允許提供的最大平均功率。 n 6-5電路分析簡明教程電路分析簡明教程平均功率P、無功功率Q及視在功率S之間的關系為：

57、 故 可見，可以用一個直角三角形來描述它們之間的關系，如右上圖所示，該三角形稱為功率三角形。 以上得出的各個功率計算式，不僅適用于無源二端網絡，也適用于單個電路元件或任何一段電路。n 6-5jjjjsinsincoscosSUIQSUIP電路分析簡明教程電路分析簡明教程 例例 在圖所示電路中，已知R=100，L=0.4H ，C=5F，電源電壓u=220 sintV，=500rad/s，求電源發(fā)出的平均功率、無功功率和視在功率。 解法一解法一 根據一般公式計算 先計算 = 223.6/63.43故n 6-5=0.55/90A電路分析簡明教程電路分析簡明教程而=0.984/-63.43A 則 =0

58、.55/-36.87A所以 P=UIcos =2200.55cos36.87=96.8W Q=UIsin =2200.55sin36.87=72.6var S=UI=2200.55VA=121VAn 6-5=(0.55/90+0.984/-63.43)A= 0-(-36.87)=36.87iuj電路分析簡明教程電路分析簡明教程 解法二解法二 根據能量守恒原理計算 P=RI22=1000.9842 =96.8W Q=QL+QC=XLI22-XCI12=(2000.98422-4000.5522)var =72.6varn 6-5電路分析簡明教程電路分析簡明教程 二、復功率二、復功率 工程上為了計算方便，引入了復功率的概念，復功率以 表示，它的定義式為復功率是一個復數，它的實部是平均功率，虛部是無功功率。復功率的單位與視在功率相同，為伏安（VA）。顯然，復功率的模等于視在功率S，即 由于 和 ，代入復功率的定義式， 得式中 為二端網絡端口u、i的相位差，即代入上式，得n 6-5QPSjSjcosUIP jsinUIQ jjsinjcosUIUISiujj電路分析簡明教程電路分析簡明教程上