微分中值定理及其應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1微分中值定理微分中值定理(dngl)及其應(yīng)用及其應(yīng)用第一頁(yè)，共81頁(yè)。問(wèn)題問(wèn)題(wnt)的提出的提出)(xf,ba( , )a b，( , )a b( ) ( )1ff ，等等等等(dn dn)0( )d( )f xxf；3( )( ).1 2ff第2頁(yè)/共81頁(yè)第二頁(yè)，共81頁(yè)。問(wèn)題問(wèn)題(wnt)的提出的提出)(xf( , )a b，( ,( ),( )( ) ( ) 10Fffff ，等等等等(dn dn)0( )( )d( )0Fff xxf，；3( )( ,( )( )( )0.1 2fFfff，即證明存在一個(gè)中值即證明存在一個(gè)中值滿足某一個(gè)方程或微分方程。滿足某一個(gè)方程或微分

2、方程。第3頁(yè)/共81頁(yè)第三頁(yè)，共81頁(yè)。第4頁(yè)/共81頁(yè)第四頁(yè)，共81頁(yè)。第5頁(yè)/共81頁(yè)第五頁(yè)，共81頁(yè)。 二、思路二、思路(sl)點(diǎn)撥點(diǎn)撥)(xf,ba上連續(xù)上連續(xù)(linx)，第一類第一類 : 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh)在在( , )a b，使得使得( )0.Ff，證明存在一點(diǎn)證明存在一點(diǎn)特點(diǎn)：待證的方程中不含導(dǎo)數(shù)。特點(diǎn)：待證的方程中不含導(dǎo)數(shù)。第6頁(yè)/共81頁(yè)第六頁(yè)，共81頁(yè)。 證明證明(zhngmng)思路：思路：想辦法想辦法(bnf)在在 上找兩個(gè)點(diǎn)上找兩個(gè)點(diǎn)使得使得(1)將欲證的等式將欲證的等式(dngsh)中的中的 改寫成改寫成 并并移項(xiàng)使得等式移項(xiàng)使得等式(dngsh)(2) 的

3、一端為零，另一端記為的一端為零，另一端記為 ，(3) 設(shè)輔助函數(shù)為設(shè)輔助函數(shù)為從而利用零點(diǎn)定理從而利用零點(diǎn)定理得到得到證證明明。, x)(xfxF，( )( )xF xf x，,ba1212,(),x xxx0)()(21xx(2)利用題設(shè)條件，利用題設(shè)條件，第7頁(yè)/共81頁(yè)第七頁(yè)，共81頁(yè)。其中其中(qzhng) 是恒正函數(shù)。是恒正函數(shù)。(3)若對(duì)若對(duì) 不易驗(yàn)證零點(diǎn)不易驗(yàn)證零點(diǎn)(ln din)定理，或是定理，或是 不滿足不滿足 零點(diǎn)零點(diǎn)(ln din)定理的條件，則令輔助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為定理的條件，則令輔助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 )(x( )( ),xF xf x，或或( )d( )( ),xx F xf

4、 x，)(d x)(x(4) 求出求出 然后利用然后利用(lyng)題設(shè)條件驗(yàn)證題設(shè)條件驗(yàn)證 滿足羅爾定理的條件，從而證得所求的結(jié)論。滿足羅爾定理的條件，從而證得所求的結(jié)論。( ),x)(x第8頁(yè)/共81頁(yè)第八頁(yè)，共81頁(yè)。例例1 設(shè)不恒為設(shè)不恒為 的函數(shù)的函數(shù)(hnsh) 在在 上上連續(xù)，且連續(xù)，且 ，證明：存在實(shí)數(shù)，證明：存在實(shí)數(shù) ，使得使得 。x)(xf),(xxff)()(f第9頁(yè)/共81頁(yè)第九頁(yè)，共81頁(yè)。第10頁(yè)/共81頁(yè)第十頁(yè)，共81頁(yè)。第11頁(yè)/共81頁(yè)第十一頁(yè)，共81頁(yè)。例例2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 連續(xù)，且連續(xù)，且證明：至少存在證明：至少存在(cnzi)一點(diǎn)一點(diǎn) ，使得，使得

5、 )(xf)(,baba0)(xf),(ba( )d( )d .baf xxf xx第12頁(yè)/共81頁(yè)第十二頁(yè)，共81頁(yè)。第13頁(yè)/共81頁(yè)第十三頁(yè)，共81頁(yè)。例例3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)，且上連續(xù)，且 證明：至少存在一點(diǎn)證明：至少存在一點(diǎn)(y din) ，使得使得 )(xf( )0.f), 0 101( )( )d, lim0.2xf xf xxx 0,)第14頁(yè)/共81頁(yè)第十四頁(yè)，共81頁(yè)。第15頁(yè)/共81頁(yè)第十五頁(yè)，共81頁(yè)。第16頁(yè)/共81頁(yè)第十六頁(yè)，共81頁(yè)。第17頁(yè)/共81頁(yè)第十七頁(yè)，共81頁(yè)。例例4. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)。上連續(xù)。證明：存在一點(diǎn)證明：存在一點(diǎn)(y d

6、in) ，使得，使得( )( )f xg x， , a b()a b,( )( )d( )( )d .bafg x xgf x x第18頁(yè)/共81頁(yè)第十八頁(yè)，共81頁(yè)。第19頁(yè)/共81頁(yè)第十九頁(yè)，共81頁(yè)。第20頁(yè)/共81頁(yè)第二十頁(yè)，共81頁(yè)。第21頁(yè)/共81頁(yè)第二十一頁(yè)，共81頁(yè)。例例5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)上連續(xù)(linx)，且且 證明存在一點(diǎn)證明存在一點(diǎn) ， 使得使得 )(xf0,10,11100()d()d .fxxxfxx0( )d0.f xx第22頁(yè)/共81頁(yè)第二十二頁(yè)，共81頁(yè)。第23頁(yè)/共81頁(yè)第二十三頁(yè)，共81頁(yè)。第24頁(yè)/共81頁(yè)第二十四頁(yè)，共81頁(yè)。第25頁(yè)/共81

7、頁(yè)第二十五頁(yè)，共81頁(yè)。例例6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)，且上連續(xù)，且 證明證明(zhngmng)：存在：存在 ，使得，使得 )(xf0,10,110(0)0( )d0.ff xx，0( )d( ).f xxf第26頁(yè)/共81頁(yè)第二十六頁(yè)，共81頁(yè)。第27頁(yè)/共81頁(yè)第二十七頁(yè)，共81頁(yè)。第二類第二類 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh) 在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 在在 內(nèi)可導(dǎo)，證明存在一內(nèi)可導(dǎo)，證明存在一 點(diǎn)點(diǎn) ，使得，使得 )(xf,ba),(ba),(ba0)(),(ffF，)(f 特點(diǎn)：欲證的等式特點(diǎn)：欲證的等式(dngsh)中增加中增加了一項(xiàng)了一項(xiàng) 。第28頁(yè)/共81頁(yè)第二十八頁(yè)，共81頁(yè)。 證

8、明證明(zhngmng)思路：思路：得到得到(d do)形式為形式為 的通解（其中的通解（其中C為常數(shù)）；為常數(shù)）； (1)將欲證的等式將欲證的等式(dngsh)中的中的 改寫成改寫成 并移項(xiàng)并移項(xiàng)使得等式使得等式(dngsh)(2) 的一端為零，另一端記為的一端為零，另一端記為 ， , x( )=Cx(2)求解以求解以 為未知函數(shù)的微分方程，為未知函數(shù)的微分方程，( )( )F xf xfx，( )( )=0F xf xfx，)(xf其中其中 ( )( )( )xF xf xfx，第29頁(yè)/共81頁(yè)第二十九頁(yè)，共81頁(yè)。即即(3)設(shè)輔助設(shè)輔助(fzh)函數(shù)為函數(shù)為 ， )(x滿足滿足(mnz

9、)(4) 利用羅爾定理或零點(diǎn)利用羅爾定理或零點(diǎn)(ln din)定理，即可定理，即可證得：存在證得：存在( )=0然后然后利用題設(shè)條件尋找利用題設(shè)條件尋找1212,(),x xxx12()= ()xx等式的兩個(gè)點(diǎn)等式的兩個(gè)點(diǎn)12( ,)( , ),x xa b使得使得( )= ( , ( ),( )=0Fff因而得證。因而得證?；驖M足或滿足12()()0 xx等式的兩個(gè)點(diǎn)等式的兩個(gè)點(diǎn)12,x x第30頁(yè)/共81頁(yè)第三十頁(yè)，共81頁(yè)。例例1 設(shè)設(shè) 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，且且 證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) ，存在，存在(cnzi) ，使得，使得)(xf0,10,1) 1 ,

10、 0(1(0)(1)0, ( )1.2fff( ) ( )1.ff第31頁(yè)/共81頁(yè)第三十一頁(yè)，共81頁(yè)。第32頁(yè)/共81頁(yè)第三十二頁(yè)，共81頁(yè)。第33頁(yè)/共81頁(yè)第三十三頁(yè)，共81頁(yè)。第34頁(yè)/共81頁(yè)第三十四頁(yè)，共81頁(yè)。第35頁(yè)/共81頁(yè)第三十五頁(yè)，共81頁(yè)。例例2 設(shè)設(shè) 在在 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且存在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且存在 證明證明(zhngmng)：存在：存在 ，使得，使得)(xf, a b( , ),( )0.ca bfc),(ba( )( )( ).ff afba第36頁(yè)/共81頁(yè)第三十六頁(yè)，共81頁(yè)。第37頁(yè)/共81頁(yè)第三十七頁(yè)，共81頁(yè)。第38頁(yè)/共81頁(yè)第三十八頁(yè)，共81頁(yè)。第3

11、9頁(yè)/共81頁(yè)第三十九頁(yè)，共81頁(yè)。第三類第三類 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 在在 內(nèi)二階可導(dǎo)，證明內(nèi)二階可導(dǎo)，證明(zhngmng) 存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) ，使得，使得 )(xf,ba),(ba),(ba( ,( ),( )( )0Ffff,特點(diǎn)特點(diǎn)(tdin)：欲證的等式中增加了一：欲證的等式中增加了一項(xiàng)項(xiàng) 。( )f第40頁(yè)/共81頁(yè)第四十頁(yè)，共81頁(yè)。 證明證明(zhngmng)思路：思路：(1)將欲證的等式中的將欲證的等式中的 改寫成改寫成 并移項(xiàng)使得并移項(xiàng)使得(sh de)等式等式(2) 的一端為零，另一端記為的一端為零，另一端記為 ， , x(2)對(duì)對(duì)( )( )F xfx

12、fx，( ( )( )( )F f x fx fx,( ,( )( )( )F x f x fx fx,或或或或則方程則方程(fngchng)變?yōu)樽優(yōu)閮煞N形式的微分方程，令兩種形式的微分方程，令( )( )=0F xfxfx，和和( ( )( )( )=0F f x fx fx,( )= ( )f xp x( )( )=0F x p x p x,和和( ( ) ( )( )=0F f x p x p x,此時(shí)方程轉(zhuǎn)化為第二類的問(wèn)題。此時(shí)方程轉(zhuǎn)化為第二類的問(wèn)題。第41頁(yè)/共81頁(yè)第四十一頁(yè)，共81頁(yè)。 證明證明(zhngmng)思路：思路：(3)求解以求解以 為未知函數(shù)為未知函數(shù)(hnsh)的微

13、分方程的微分方程 (4)對(duì)形式對(duì)形式(xngsh)為為( )p x( ,( )( )x f x fxC,( ,( )( )( )=0F x f x fx fx,設(shè)輔助函數(shù)為設(shè)輔助函數(shù)為或或的微分方程，的微分方程，,并設(shè)輔助并設(shè)輔助( , ( )=Cx p x并將其通解表示為并將其通解表示為( )( )=0F x p x p x,( ( ) ( )( )=0F f x p x p x,函數(shù)為函數(shù)為( , ( ).x p x嘗試對(duì)方程的兩端求不定積分，得到等式嘗試對(duì)方程的兩端求不定積分，得到等式( ,( )( )x f x fx,第42頁(yè)/共81頁(yè)第四十二頁(yè)，共81頁(yè)。(5)在在 上尋找滿足上尋找

14、滿足 的點(diǎn)，的點(diǎn)， ,利用利用(lyng)羅爾定理即可證得：存羅爾定理即可證得：存 在在 ，使得，使得 即得即得,ba)()(21xx1212,()x x xx12( ,)( , )x xa b0)( ),( )( )0.Ffff， 證明證明(zhngmng)思路：思路：第43頁(yè)/共81頁(yè)第四十三頁(yè)，共81頁(yè)。例例1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上二階可導(dǎo)，且上二階可導(dǎo)，且 試證至少存在試證至少存在(cnzi) ，使得，使得 )(xf10,21(0)(0), ()0.2fff)21, 0(3( )( ).1 2ff第44頁(yè)/共81頁(yè)第四十四頁(yè)，共81頁(yè)。第45頁(yè)/共81頁(yè)第四十五頁(yè)，共81頁(yè)。第46頁(yè)

15、/共81頁(yè)第四十六頁(yè)，共81頁(yè)。第47頁(yè)/共81頁(yè)第四十七頁(yè)，共81頁(yè)。第48頁(yè)/共81頁(yè)第四十八頁(yè)，共81頁(yè)。第49頁(yè)/共81頁(yè)第四十九頁(yè)，共81頁(yè)。第50頁(yè)/共81頁(yè)第五十頁(yè)，共81頁(yè)。例例2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh) 在在 上二階可導(dǎo)，上二階可導(dǎo)，且且 試證存在試證存在 ，使得，使得)(xf0,10,1(0)(0)0.ff 22 ( )( ).(1)ff第51頁(yè)/共81頁(yè)第五十一頁(yè)，共81頁(yè)。第52頁(yè)/共81頁(yè)第五十二頁(yè)，共81頁(yè)。第53頁(yè)/共81頁(yè)第五十三頁(yè)，共81頁(yè)。第四類第四類 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh) (hnsh) 在在 上連續(xù)上連續(xù), ,在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)( (二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)

16、) )，證明存在，證明存在 )(xf,ba),(ba( )( )( )fCfCfC使得，或a,b()第54頁(yè)/共81頁(yè)第五十四頁(yè)，共81頁(yè)。思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥： 在拉格朗日中值定理的證明過(guò)程中在拉格朗日中值定理的證明過(guò)程中，所構(gòu)造的輔助函數(shù)具有如下的形式，所構(gòu)造的輔助函數(shù)具有如下的形式(xngsh)(xngsh)其中其中 為一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，它滿足為一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，它滿足 由此由此F(x)F(x)就有兩個(gè)零點(diǎn)，從而就可應(yīng)用就有兩個(gè)零點(diǎn)，從而就可應(yīng)用羅爾定理得到命題的證明羅爾定理得到命題的證明. .這就啟發(fā)我們這就啟發(fā)我們?cè)谧C明中值在證明中值 存在性的問(wèn)題中，借存在性的問(wèn)題中，借鑒此思路，構(gòu)造類似

17、的輔助函數(shù)。鑒此思路，構(gòu)造類似的輔助函數(shù)。 ( )( )( )F xf xP x=( )P x( , )a b( )( ), ( )( ),P af a P bf b第55頁(yè)/共81頁(yè)第五十五頁(yè)，共81頁(yè)。例例1 設(shè)設(shè) 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)二階可導(dǎo)，內(nèi)二階可導(dǎo)，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A(0,f(0)與與B(1,f(1)的直線與曲線的直線與曲線y=f(x)相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)c(c,f(c),其中其中(qzhng)0c1. 證明存在證明存在使得使得)(xf0,10,1) 1 , 0( )0f第56頁(yè)/共81頁(yè)第五十六頁(yè)，共81頁(yè)。分析：分析： 由要證的結(jié)論可以看出，如果我們由要證的結(jié)論可以看出，如果我們

18、(w men)(w men)能在能在0,10,1上找到三個(gè)點(diǎn)，使得上找到三個(gè)點(diǎn)，使得f(x)f(x)在這三個(gè)點(diǎn)處的值相等，然后再兩次使在這三個(gè)點(diǎn)處的值相等，然后再兩次使用羅爾定理便可得到本題的結(jié)論。由此設(shè)輔用羅爾定理便可得到本題的結(jié)論。由此設(shè)輔助函數(shù)為助函數(shù)為其中其中 為一次多項(xiàng)式函數(shù)，它必須滿足為一次多項(xiàng)式函數(shù)，它必須滿足 亦即亦即 F(0)=F(C)=F(1), F(0)=F(C)=F(1),對(duì)對(duì)F(x)F(x)兩次應(yīng)用羅爾兩次應(yīng)用羅爾定理，即得命題的結(jié)論。定理，即得命題的結(jié)論。 ( )( )( )F xf xP x=( )P x(0)(0), ( )( ), (1)(1)PfP cf c

19、 Pf第57頁(yè)/共81頁(yè)第五十七頁(yè)，共81頁(yè)。證明：證明： 顯然連接顯然連接A,C,BA,C,B三點(diǎn)的直線方程（一次三點(diǎn)的直線方程（一次多項(xiàng)式）就滿足上述多項(xiàng)式）就滿足上述(shngsh)(shngsh)的條件。令的條件。令設(shè)輔助函數(shù)為設(shè)輔助函數(shù)為依題意有依題意有 對(duì)對(duì)F(x)F(x)兩次應(yīng)用羅爾定理，便可得到本題的兩次應(yīng)用羅爾定理，便可得到本題的結(jié)論。結(jié)論。 ( )(0) (1)(0)P xfffx(0)( )(1)FF cF( )( )( )( )(0) (1)(0)F xf xP xf xfffx第58頁(yè)/共81頁(yè)第五十八頁(yè)，共81頁(yè)。例例2 設(shè)設(shè) 在在 上二階可導(dǎo)，且上二階可導(dǎo)，且 證

20、明證明(zhngmng)存在存在 使得使得)(xf0,40,4(1)=1, (4)=2,ff1( )3f (0)=0,f第59頁(yè)/共81頁(yè)第五十九頁(yè)，共81頁(yè)。分析：分析： 本題要求本題要求(yoqi)(yoqi)的是經(jīng)過(guò)已知三個(gè)的是經(jīng)過(guò)已知三個(gè)點(diǎn)的拋物線點(diǎn)的拋物線 ( (二次多項(xiàng)式二次多項(xiàng)式) )，即所求的拋物，即所求的拋物線與曲線線與曲線y=f(x)y=f(x)有三個(gè)交點(diǎn)處。令有三個(gè)交點(diǎn)處。令容易求的過(guò)容易求的過(guò) 的拋物線為的拋物線為 由此設(shè)輔助函數(shù)為由此設(shè)輔助函數(shù)為 ( )( )( )F xf xP x=( )P x(0,0),(1,1),(4,2)2( )P xaxbxc217( )6

21、6P xxx 第60頁(yè)/共81頁(yè)第六十頁(yè)，共81頁(yè)。證明：設(shè)輔助函數(shù)證明：設(shè)輔助函數(shù)(hnsh)(hnsh)則則對(duì)對(duì)F(x)F(x)兩次應(yīng)用羅爾定理可得兩次應(yīng)用羅爾定理可得即即從而有從而有 (0)(1)(2)FFF=( )0F( )( )( )0FfP217( )( )( )( )66F xf xP xf xxx1( )3f 第61頁(yè)/共81頁(yè)第六十一頁(yè)，共81頁(yè)。例例3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)二階可導(dǎo)，內(nèi)二階可導(dǎo)，證明證明(zhngmng)存在存在 ，使得，使得 )(xf,ba21( )( )2 ()()( ).24abf af bfbaf),(ba),(ba第62頁(yè)/

22、共81頁(yè)第六十二頁(yè)，共81頁(yè)。分析分析(fnx)(fnx)：記：記 , ,首先求過(guò)三點(diǎn)首先求過(guò)三點(diǎn) 的拋物線，再令輔助函數(shù)的拋物線，再令輔助函數(shù)為為則有則有故存在故存在 使得使得 由此立得由此立得結(jié)論。結(jié)論。 本題也可利用泰勒公式證明。本題也可利用泰勒公式證明。 ( ,( ),( ,( )a f ac f c( )0,F( )( )( ),F aF cF b( )( )( )( )F xf xP xf x 拋物線2abc( ,( )b f b,a b第63頁(yè)/共81頁(yè)第六十三頁(yè)，共81頁(yè)。 設(shè)設(shè) 在在 上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，證明，證明(zhngmng)存在存在 使得使

23、得)(xf1,11,1 , ( 1)=0, (1)1,(0)0fff ( )3f舉一反三舉一反三(j (j y fn sn)y fn sn)練習(xí)練習(xí)提示提示(tsh(tsh)：需要構(gòu)造三次多項(xiàng)式需要構(gòu)造三次多項(xiàng)式P(x)P(x)使之滿足：使之滿足：( 1)0,(1)1,(0)0,PPP需再附加一個(gè)條需再附加一個(gè)條件：件：P(0)=f(0).P(0)=f(0).本題也可用泰勒公式證明。本題也可用泰勒公式證明。第64頁(yè)/共81頁(yè)第六十四頁(yè)，共81頁(yè)。第五類第五類 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)二階可導(dǎo)，內(nèi)二階可導(dǎo)，證明證明(zhngmng)存在存在 ，使得，使得 或把或把max換成換

24、成min，其中，其中k為常數(shù)。為常數(shù)。)(xf,ba),(ba),(ba , , ( ),max( ),max |( )|xa bxa bfkfxkf xk第65頁(yè)/共81頁(yè)第六十五頁(yè)，共81頁(yè)。證明思路：證明思路： 在在 內(nèi)選取某個(gè)特殊點(diǎn)內(nèi)選取某個(gè)特殊點(diǎn) (例如例如極值點(diǎn)，最值點(diǎn)，題設(shè)條件給定的點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、區(qū)極值點(diǎn)，最值點(diǎn)，題設(shè)條件給定的點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、區(qū)間中點(diǎn)等間中點(diǎn)等)，然后分別在，然后分別在 與與 上對(duì)上對(duì) 應(yīng)用應(yīng)用拉格朗日定理拉格朗日定理(dngl)，得到，得到 和和 ，再對(duì)，再對(duì) 在在 上應(yīng)用拉格朗日定理上應(yīng)用拉格朗日定理(dngl)。),(ba0 x,0 xa,0bx)(xf),(01xa),(02bx)(xf,21第66頁(yè)/共81頁(yè)第六十六頁(yè)，共81頁(yè)。(2)將將 在特殊點(diǎn)在特殊點(diǎn) 處展成二階泰勒公式，再將處展成二階泰勒公式，再將適當(dāng)?shù)倪m當(dāng)