第七章_位移法

1、1第七章 位移法7-1 位移法基本概念7-2 等截面直桿的剛度方程7-3 無側移剛架和有側移剛架的計算7-6 支座移動、溫度變化及具有彈簧支座7-4 剪力分配法結構的計算7-5 對稱結構的計算2位移法與力法一樣，是計算超靜定結構的一種方法，它比力法有更大的優(yōu)越性。位移法也可用來解靜定結構，也就是說位移法比力法具有更大的通用性。矩陣位移法：隨計算機的發(fā)展而形成的；漸近法：力矩分配法、無剪力分配法；分層計算法(多層多跨剛架受豎向荷載作用時)；近似法反彎點法(多層多跨剛架受水平荷載作用時)；D值法(廣義反彎點法)。位移法37-1 位移法基本概念一、位移法的基本思路將結構拆成桿件，再由桿件過渡到結構。

2、即：結構拆成桿件結構搭接成第一步第二步第一步：桿件分析 找出桿件的桿端力與桿端位移之間的關系。即：建立桿件的剛度方程。第二步：結構分析 找出結構的結點力與結點位移之間的關系。即：建立結構的位移法基本方程。4位移法的實施過程，是把復雜結構的計算問題轉變?yōu)楹唵螚U件的分析與綜合的問題。桿件分析是結構分析的基礎，桿件的剛度方程是位移法基本方程的基礎。所以位移法又稱為剛度法。二、基本未知量力法：力法的基本未知量是多余未知力；位移法：位移法的基本未知量是結構的結點位移(角位移和線位移)。位移法與力法一樣，求解的第一步就要是確定結構的基本未知量。5基本未知量的確定：基本未知量數(shù)目n=結點角位移（）數(shù)+獨立的

3、結點線位移（）數(shù)結點角位移數(shù)=結構的剛結點數(shù)(容易確定)ABCDE BCABCBABCD BC附加轉動約束：只阻止結點的轉動，不阻止結點的線位移。6獨立的結點線位移數(shù)的確定方法：將所有的剛結點變成鉸后，若有線位移則體系幾何可變，通過增加鏈桿的方法使體系變成無多余約束的幾何不變體系(靜定結構)時，需要增加的鏈桿數(shù)就是獨立的線位移數(shù)。n=2(D、F)+1(D、E、F點的水平側移F)=3附加鏈桿 附加轉動約束FEDCBA(a)確定線位移圖確定角位移圖FEDCBA(b)7n=3(C、D、 E)+2(D、E點的水平側移D、E)=5n=1(D)+2(C、F點的水平側移C、F)=3EDCBA(a)確定角位移

4、圖(a)FEDC BAG確定角位移圖確定線位移圖ECB(b)DADCEDED(b)確定線位移圖FEDC BAGCD8ABCDBHCHBDC ABCDEBHBEA為有限值BHCHEA BHCHABCDABCD附加鏈桿 附加轉動約束9習題7-1 確定用位移法計算時結構的基本未知量個數(shù)。(a)EIEA(1) 當EI、EA為無窮大時，(3)(2) 當EI、EA為有限值時，(6)(1) 當0時，(10)(2) 當=0時，(9)(b) (1) 當不考慮軸向變形時，(4)(2) 當考慮軸向變形時，(9)(c)(1) 當0時，(3)(2) 當=0時，(2)(d)10 2、選取內(nèi)部結點的位移作為未知量就滿足了變

5、形協(xié)調條件；位移法方程是平衡方程，滿足平衡條件。 3、附加支桿和附加轉動約束后的體系稱為原超靜定結構的基本結構。小結： 1、位移法的基本未知量是結構內(nèi)部結點（ 不包括支座結點）的轉角或線位移。 4、支座結點的可能位移不作為位移法基本未知量的原因是： 1）減少未知量的數(shù)目； 2）單跨超靜定梁的桿端彎矩表達式中已經(jīng)反映了支座可能位移（轉角、線位移）的影響，如下圖示。 1128FABqlM ABq212FFABBAqlMMqAB42BAABAAMiMiAB/iEI lA3ABAMiBA/iEI lA 5、位移法的基本結構可看作為單跨超靜定梁的組合體系。為順利求解，必須首先討論單跨超靜定梁在荷載及桿端

6、位移作用下的求解問題。12三、位移法的解題步驟（解題途徑）示例1：作圖示兩跨連續(xù)梁的彎矩圖。1、確定基本未知量 取結點B的轉角B作為基本未知量，這就保證了AB桿與BC桿在B截面的位移協(xié)調。qABCllEIEIB2、在B結點加附加轉動約束( )。 此時B結點產(chǎn)生固端彎矩。1320 8FFBABCqlMM qCBFBCMqABC0B 3、令B結點產(chǎn)生轉角 。 此時AB、BC桿類似于B端為固端且產(chǎn)生轉角 的單跨超靜定梁。BB( )BBCi3BiACBiiBEIil3BiAiBB1400BBABCMMM2338BABBCBqlMiMi4、桿端彎矩表達式（兩種情況疊加）由結點B平衡可得5、建立位移法方程

7、223308608BBBq liiq li223308608BBBq liiq li6、求解基本未知量B2()48Bqli157、求桿端彎矩作彎矩圖B將求得的 代入桿端彎矩表達式得到：2222223348163816816BABBCBqlqlMiiiqlqlqlqlMi M 圖ABC2332ql216ql16主要介紹位移法的解題途徑。1、確定基本未知量 A、 A= 2、設法求出A、 方法：把結構拆成桿件（圖b、c）(b)qAMABAB示例2：作圖a示剛架的彎矩圖。qABCAAFP變形圖(c)ACMACAFP(a)qABCFPlEI、lEI、(1) 桿件分析：就是桿件在已知端點位移和已知荷載作用

8、下的計算問題。17 AB桿的計算條件是：B端固定，A端有已知位移A、 ，并承受已知荷載q的作用。得到的是桿件的剛度方程。此時，可以獲得各桿端彎矩的表達式。qAMABAB AC桿的計算條件是： C端簡支，A端有已知位移A，并承受已知荷載FP的作用。ACMACAFP)(12642線剛度lEIiqlliiMAAB形常數(shù)載常數(shù)（固端彎矩）1633lFiMPAAC載常數(shù)形常數(shù)18（2）整體分析(將桿件搭接成結構)桿件搭接時利用在A端各桿位移是相同的。作為變形協(xié)調條件。再利用結點A及結構AC桿的平衡條件，即可得到位移法的兩個基本方程?；痉匠淌怯媒Y點位移表示的平衡方程。AMACMAB0ACABMM）（al

9、FqlliiPA01631267200QABFxFQABMABFPAC如何求出FQAB呢？19（3）求基本未知量A、聯(lián)立求解方程(a)和(b)即可獲得結點位移A、 。 ABFQABMABMBAqFPACFQABFQBA0202qlMlFMABQABB12764)2(2qlliliqllMFAABQAB)(0127642bqlliliA即：位移法求解的關鍵就是求得結點位移。結點位移一旦求出，余下的問題就是桿件的計算問題。203、作彎矩圖。（1）將求得的A、代入桿端彎矩表達式，可求出桿端彎矩的值。（2）根據(jù)桿端彎矩的值，利用與靜定結構作彎矩圖的相同方法可獲得超靜定結構的彎矩圖。這里主要是介紹的位移

10、法求解超靜定結構的基本過程與方法，具體的計算后面給出。 值得指出的是： 在確定結構的基本未知量之前引入假設：對于受彎桿件，忽略軸向變形和剪切變形的影響。217-2 等截面直桿的剛度方程位移法計算的基礎是：單跨超靜定梁具有支座移動和外荷載作用時的桿端力的計算。位移法將整體結構拆成的桿件不外乎三種“單跨超靜定梁”：兩端固定梁；一端固定、一端簡支梁；一端固定、一端滑動梁。用到的數(shù)據(jù)是：形常數(shù)和載常數(shù)。(1) 已知桿端位移求桿端彎矩形常數(shù)；(2) 已知荷載作用時求固端彎矩載常數(shù)。22一、符號規(guī)則1、桿端彎矩 規(guī)定桿端彎矩順時針方向為正，逆時針方向為負。桿端彎矩的雙重身份： 1）對桿件隔離體，桿端彎矩是

11、外力偶，順時針方向為正，逆時針方向為負。 2）若把桿件裝配成結構，桿端彎矩又成為內(nèi)力，彎矩圖仍畫在受拉邊。MBAMCB ABCMBC232、結點轉角 結點轉角以順時針方向為正，逆時針方向為負。 桿件兩端相對側移的正負號與弦轉角 的正負號一致。而以順時針方向為正，逆時針方向為負。3、桿件兩端相對側移BAlABlABCDC( )B( )FP241、兩端固定梁二、等截面直桿的剛度方程（形常數(shù)）EIilABEIMABMBAABlABEIABlAiBA4ABAMi2BAAMi6ABBAiMMlABiMABMBAAiBB2ABBMi4BABMi25642ABABiMiil624BAABiMiil64262

12、4ABABBAiMiiliiiMl 式中系數(shù)4i、2i、6i/l 稱為剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位桿端位移所需施加的桿端力矩。由上圖可得：可寫成：上式就是兩端固定梁的剛度方程。262、一端固定、一端滾軸支座的梁 33ABAiMilBAiA3ABAMiBAi3ABiMl BAEIAlEIilABM其剛度方程為：273、 一端固定、一端滑動支座的梁ABAMiBAAMi BAEIMABMBAAEIil其剛度方程為：284、 等截面直桿只要兩端的桿端位移對應相同，則 相應的桿端力也相同。 64ABAiMil62BAAiMil1)BAMABMBAEIilABAMABMBAEIilA29ABAMiBAAMi 33

13、ABAiMilBAMABMBAAEIilBAMABMBAAEIil3)2)BAMABEIilABAMABEIilA301、兩端固定梁8FFPABBAF lMM三、固端彎矩（載常數(shù)）212FFABBAqlMMFPAB/2l/2l8PF l8PF l8PF lqABl212ql224ql212ql 單跨超靜定梁在荷載作用下產(chǎn)生的桿端彎矩稱為固端彎矩。固端彎矩以順時針方向為正，逆時針方向為負。312、一端固定、一端輥軸支座的梁28FABqlM 316FPABF lM ABl216qlq28qlFPBA/2l/2l532PF l316PF l323、 一端固定、一端滑動支座的梁 23FABqlM 26

14、FBAqlM 2FPABF lM 2FPBAF lM 各種單跨超靜定梁的固端彎矩可查教材附表。ABlFP2PF l2PF lABl23ql26qlq33321兩兩端端固固支支固固 端端 剪剪 力力固端彎矩固端彎矩(以順時針轉向為正以順時針轉向為正)簡簡 圖圖編號編號qABlqABl121222qlMqlMFBAFAB22qlFqlFFQBAFQAB203022qlMqlMFBAFAB207203qlFqlFFQBAFQAB2222lbaFMlabFMPFBAPFAB)21()21(2222lblaFFlalbFFPFQBAPFQABFPABba346一一端端固固定定另另一一端端鉸鉸支支5兩兩端

15、端固固支支74固固 端端 剪剪 力力固端彎矩固端彎矩(以順時針轉向為正以順時針轉向為正)簡簡 圖圖編號編號FPABl/2l/2t1ABt2 t = t1- -t2qABlqABl88lFMlFMPFBAPFAB22PFQBAPFQABFFFF88lFMlFMPFBAPFABhtEIMhtEIMFBAFAB00FQBAFQABFF82qlMFAB152qlMFAB8385qlFqlFFQBAFQAB1052qlFqlFFQBAFQAB35101198一一端端固固定定另另一一端端鉸鉸支支固固 端端 剪剪 力力固端彎矩固端彎矩(以順時針轉向為正以順時針轉向為正)簡簡 圖圖編號編號qABlFPABba

16、FPABl/2l/2t1ABt2 t = t1- -t22222)(lblbFMPFAB4011409qlFqlFFQBAFQAB12072qlMFAB323222)3(2)3(lalaFFlblbFFPFQBAPFQAB163plMFAB1651611PFQBAPFQABFFFFhtEIMFAB23hltEIFFFQBAFQAB233615141312一一端端固固定定另另一一端端滑滑動動支支承承固固 端端 剪剪 力力固端彎矩固端彎矩(以順時針轉向為正以順時針轉向為正)簡簡 圖圖編號編號qABlFPABbaABlFP+t1AB+t2 t = t1- -t20FQBAFQABFqlF6322ql

17、MqlMFBAFABlaFMallaFMPFBAPFAB2)2(220FQBAPFQABFFF2lFMMPFBAFAB0RQBPLQBPFQABFFFFF00FQBAFQABFFhtEIMhtEIMFBAFAB37四、正確判別固端彎矩的正負號28FBAqlMABlq28FABqlM ABlq28FABqlMqBA28FABqlMBAq387-3 無側移剛架和有側移剛架的計算一、無側移剛架的位移法求解建立位移法方程有兩種方法：1）直接利用平衡條件建立位移法方程。2）利用位移法基本體系建立位移法方程。無側移剛架：若剛架的各結點(不包括支座)只有角位移而沒有線位移，這種剛架稱為無側移剛架。連續(xù)梁的計

18、算屬于無側移剛架問題。39（一）連續(xù)梁的位移法計算 (a)ABC20kN2kN/m3m3m6mAB梁是兩端固定梁，在跨中有集中荷載作用，且在B端有轉角B。BC梁是B段固定、C端簡支的梁，梁上有均布荷載作用，且在B端有轉角B。例7-3-1作圖a所示兩跨連續(xù)梁的彎矩圖(EI=常數(shù))。解：1、確定基本未知量只有B點的轉角B2、計算各桿的固端彎矩40MBAMBCB(b)即：位移法基本方程為：)41-7(1586208序號查表mkNlFMMPFBAFAB)61-7(9862822序號查表mkNqlMFBC 3、寫出各桿端彎矩的表達式(各桿線剛度 ) lEIi/93315441522BFBCBBCBFBA

19、BBABFABBABiMiMiMiMiMiM4、建立位移法基本方程(取結點B為隔離體如圖b) 00BCBABMMM067Bi415、求基本未知量B (解基本方程)（逆時針方向）iB76/6、計算各桿端彎矩(將B 代入桿端彎矩的表達式)mkNiiMmkNiiMmkNiiMBCBAAB57.119)76(357.1115)76(472.1615)76(27、作彎矩圖（負號表示彎矩為逆時針方向）根據(jù)各桿端彎矩的值，利用疊加原理作M圖如圖c。(c)11.5716.7215.853.21M圖(kNm)309428、討論若在B點作用有集中力偶，位移法基本方程如何建立。(a)20kN20kNm2kN/mAB

20、C3m3m6m集中力偶的處理：對B點的集中力偶，求固端彎矩時不考慮，建立位移法基本方程時考慮。取B結點為隔離體如右圖(b)所示?；痉匠虨椋?0kNmB(b)MBAMBC0200BCBABMMMiiBB/20147有：(c)3011233137.5M 圖(kNm)943解： 1、利用平衡條件建立位移法方程例7-3-2 用位移法求圖示剛架的M圖，各桿EI 相同。4EIi ABCDE8kN/miii4m4m4mi1）未知量：B D( ) ( )（二）無側移剛架的位移法計算 442）列出桿端彎矩表達式（幾種情況的疊加）a) 固端彎矩ABCDE8kN/miiii0B0Db) B 產(chǎn)生桿端彎矩iABCD

21、Eiii0DB( )BmkNMmkNMmkNMmkNMFEDFDEFDBFBD33.2167.4267.1067.10BABBBAiMiM244544210.67BABBDBDMiMii32410.6742.67DCDDBBDDEDMiMiiMi2ABBMi21.33EDDMi c) D 產(chǎn)生桿端彎矩iABCDEiiiD0BD( )DEDDDEDDCDDBDBDiMiMiMiMiM342三種情況疊加得出各桿端彎矩表達式如下：463）建立位移法方程并求解0BM0BABDMM0DM0DBDCDEMMM由結點B和結點D的平衡條件可得：8210.670BDii28320BDii120.356/ ( )

22、Bi3.911/ ( )DiMBDMBABMDBMDCMDED4）求解基本未知量475）求各桿端彎矩作彎矩圖0.71.ABMKN m1.42.BAMKN m1.42.BDMKN m 27.02.DBMKN m11.73.DCMKN m38.76.DEMKN m 25.24.EDMKN m 將求得的 B 、 D 代入桿端彎矩表達式得：M 圖(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.73482、利用位移法基本體系建立位移法方程 現(xiàn)介紹位移法基本體系： 位移法的基本體系與力法的基本體系是不同的，力法基本體系是通過撤除多于約束而獲得的靜定結構，而位移法的基本體系

23、是在結構可能發(fā)生位移的地方附加支桿和附加轉動約束而獲得的超靜定次數(shù)更高的體系。 附加約束的目的就是將結構拆成桿件，使結構的整體計算問題，變成單個桿件的計算問題，計算被簡化。49原題如右圖a。解題過程如下：（1）確定基本未知量（選取基本體系） B、D的轉角 為基本未知量，引入廣義符號 ，有DB、21DB、4EIi ABCDE8kN/miii4m4m4mi（a） 選取基本體系（圖b）：在B、D兩點附加轉動約束，附加約束力 ，為使原結構各桿成為單跨超靜定梁，位移法的計算就是圍繞基本體系進行的。21FF 、50（2）列位移法方程 基本體系轉化成原結構的條件就是位移法方程。 基本體系的作用：基本體系是用

24、來計算原結構的工具或橋梁。它包括兩個特點： 基本體系可轉化為原結構，可以代表原結構； 基本體系的計算比較簡單。 提出的問題是：基本體系怎樣才能轉化為原結構？ 轉化條件位移法基本方程(b)ABCDE8kN/miiii基本體系1F2F0B0D51 基本體系與原結構的區(qū)別：通過增加人為約束，把基本未知量由被動位移變成受人工控制的主動位移。 基本體系轉化為原結構的條件是：基本體系在給定荷載以及結點位移1和2共同作用下，在附加約束中產(chǎn)生的總約束力F1和F2應等于零。即：0021FFF1和F2的計算利用“疊加原理”，分別考慮外荷載和1、2單獨作用時，基本體系中的附加約束力。5210B 2D0 0F2PD1

25、0.6742.67F2P= -3210.670F1PBF1P= -10.67荷載單獨作用：相應的約束力為F1P和F2P(圖c)PPPFFcM21、），求圖（圖作可以通過查表7-1 獲得各桿的彎矩圖（載常數(shù)）F1PF2P10.6742.6721.67ABCDEMP 圖10.67（c）530k21D2ik21=2i04i4ik11Bk11=8i單位位移1=1單獨作用：相應的約束力為k11和k21(圖d)。12111kkdM、），求圖（圖作形常數(shù)2D0 11()B k11k212i4i2i4iABCDE1M 圖（d）543ik22D4ik22=8ii2i0k12Bk12=2i 單位位移2=1單獨作用

26、：相應的約束力為k12和k22(圖d)。22212kkeM、），求圖（圖作形常數(shù)10B 2D1() k12k22ABCDE2ii4i3i2M 圖（e）55利用“疊加原理”求F1、F2PPFkkFFkkF22221122121211110021FF0022221121212111PPFkkFkk位移法典型方程。，；，自由項；反力互等定理副系數(shù)，且；主系數(shù)，且其中：0000)(0iPiPijijiPjiijijiiiiFFkkFkkkkk56F1P= -10.67 F2P= -32k11=8ik12=k21=2ik22=8i 位移法典型方程的物理意義：剛結點附加轉動約束的反力矩之和等于零，所以方程

27、右端恒等于零。位移法方程是平衡方程。1122PMMMM 由本題，可知：12128210.6702832 0iiii 所以有：與前相同（3）求基本未知量 ， 1B 2D （4）作彎矩圖 （彎矩圖同前） M57（三）多個基本未知量的位移法典型（基本）方程 當結構有n個未知量時，其位移法的基本方程為：0002211222222121111212111nPnnnjnjnnPnnjjPnnjjFkkkkFkkkkFkkkk其中各系數(shù)組成的矩陣成為結構的剛度矩陣：nnnnnnkkkkkkkkk212222111211其中系數(shù)稱為結構的剛度系數(shù)，kii稱為主系數(shù)（大于零）；kij稱為副系數(shù)，有kij= kj

28、i，且可大于、等于、小于零。58例7-3-3（書中典型例題） 作圖a剛架的M圖，各桿EI 不同。注意此題的解題特點(a)q=20 kN/mABCDEF3I04I04I05I03I06m4m4m5m4m解：利用平衡條件建立位移法方程。(1)確定基本未知量：B，C。mkNqlMFBA408420822 (2) 求桿端彎矩（固端彎矩可以查表）FBCFBCMmkNqlM7 .4112259各桿剛度取相對值，設EI0=1，則有各桿線剛度如下：2163434314415514400000EIiEIiEIiEIiEIlEIiCFBECDBCABBACFCCCFBEBBBECCDCBCBCBBCBFBABBA

29、BAMMMMMMMMiM25 . 1337 .41427 .41244033用疊加法可列出各桿桿端彎矩如下：60(3) 列位移法方程結點B平衡 (圖b)BMBAMBCMBE(b)CMCBMCDMCF(c)(4) 求基本未知量解(1)、(2)兩方程，得) 1 (07 . 121000CBBEBCBABMMMM結點C平衡 (圖c)2(07 . 149200CBCFCDCBCMMMM4.981.15CB61(5) 求桿端彎矩（由桿端彎矩表達式得）(6) 作彎矩圖（圖d）M 圖(單位 kNm)3.4ABCDEF1.734.899.814.724.546.943.54062.5(d)注意：本題中采用本題

30、中采用相對剛度相對剛度，所求位移，所求位移并非真并非真值值。若求。若求位移的真值位移的真值，剛度也必須采用真值剛度也必須采用真值。mkNMmkNMmkNMmkNMmkNMmkNMmkNMmkNMFCCFEBBECDCBBCBA89. 478. 91.733.44.714.5246.943.562。、值已知時，可求出，當是真值、。，此時得到的位移為：。，則有：中，令值得說明：如果在本題CBBCBCFBECDBCBAEIiiiiiiiiiiEIi00 /202. 1/282. 02344/例7-3-4 如圖所示的剛架，求作彎矩圖。EI=常數(shù)8mABCDE F6m8m1m(a)mkN /10kN20

31、對于此題，值得注意的是：EF桿F端的荷載對E點的作用相當于一個結點力偶矩。63由結點E平衡，即 ME=0，有：基本未知量為E，令i=EI/8，基本方程為：計算結果為：ABCDE F54.292034.2917.1480M 圖(單位 kNm)(b)020 ECEDMMECMEDMmkN 20E0607EiiE/57. 8注意：作圖時不要忘記MEF64有側移剛架：剛架除有結點轉角位移外，還有結點線位移(獨立的結點線位移)。注意：計算中忽略軸力對變形的影響。這樣可以減少結點線位移的個數(shù)，使計算得到簡化。二、有側移剛架的位移法求解(a)(c)CAPBDFPEF2211(b)FPDABEFCCDDDCC

32、ABFP65由于忽略了桿件的軸向變形，每個圖的同層橫梁上結點的水平側移相等(即獨立的結點線位移只有一個)，可以用一個線位移符號表示。 下面用例題說明位移法解有側移剛架的基本步驟與過程。 例7-3-5 用位移法求圖示剛架內(nèi)力圖。4m1m4m2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i) 解： 1、利用平衡條件建立位移法方程 1）確定未知量D( )EH( )24EIi 662）列出桿端彎矩表達式固端彎矩：45 . 1375. 0623375. 0264EHFBEEHBEBEBEEHDEHDADADDAADDDDEDEEHDEHDADADDADAiMliMiiliiMiiMii

33、liiM各桿端彎矩表達式：（各桿線剛度已標于圖中）mkNMmkNqlMDCFBE1444281822；先看下頁圖到68頁67a）固端彎矩2kN/m14kNEABCDii/22i0D0EHb）D 產(chǎn)生的桿端彎矩EABCDii/22iD0EHD( )EHEHEABCDii/22i0DEH( )c） 產(chǎn)生的桿端彎矩EH各桿端彎矩表達式的意義從圖中可以看出。但是我們在求解時，這些圖是不必畫出的。此處作為對比回前頁683）建立位移法方程并求解0DM0DCDADEMMMMDCMDAMDED由結點D平衡：50.75140DEHii0AM1()41 (31.5)4 0.750.375QDADAADDEHDEH

34、FMMiiii DA柱：作隔離體如右圖，求柱剪力。1B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBE690BM1242441 ( 1.54)44 0.3753QEBBEEHEHFMii EB柱0 xF 0QDAQEBFF( 0.750.375)(0.3753)0DEHEHiii0.750.7530DEHiiCE梁22kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBE708()EHi 解方程組、，得4()Di 5）計算桿端彎矩16.BEMkN m4820.752 ()0.75 ()862.DADEMiiiiiikN m 14.DCMkN m12.DEMkNm2.ADMkN

35、 m4）求基本未知量71EABCD173()NFkN圖141433DFNDA= -17kN0FNDE= 03EFNEB=3kN300EABCD1412216EABCD1438.MkN m圖()()QFkN圖6）作內(nèi)力圖724m1m4m2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)24EIi 2、利用位移法基本體系建立位移法方程解：（1）確定基本未知量（選取基本體系圖a）基本未知量：( )1D ( )2EH （2）列位移法方程0022221121212111PPFkkFkk a）基本體系2kN/m14kNEABCDii/22i0D0EH73（3）求剛度系數(shù)kij和FiP12

36、PMMM作、圖，F(xiàn)1P=14kN.mF2P14kN1020EABC D2kN/m4kN.mF1PMP圖14kN.m取結點D， 0DMD14F1P(2 4 24)/43FQEBF B042kN/m14kNEACDF2P3FQEBFF1P取DE桿分析， 0 xFF2P=3kN74 3ik11D 2i2011() k11EABCD i i/2 2i2i i3 i1M圖21k取結點D， 0DM取DE桿分析， 0 xFk11=5ik21= -0.75i-0.75i 0iEACDBk212i11kiFQDA75. 075k12D 0.75i21() 10 1.5ik12EABCDii/2 2i 0.75i

37、 0.75ik222M 圖取結點D， 0DM取DE桿分析， 0 xFk12= -0.75ik22=0.75i值得注意：由 圖求k12要比由 圖求k12簡單。2M1M0.375i0.375i 0.75i 0.75iEACDBk22 1.5ik12iFFQEBQDA375. 076（4）求基本未知量k11=5i， k12= k21 = -0.75i， k22=0.75i， F1P=14， F2P=3121250.751400.750.7530iiii 附加轉動約束的反力矩之和等于零附加鏈桿上的反力之和等于零28()EHi （5）求桿端彎矩作內(nèi)力圖1122PMMMM 14( )Di 內(nèi)力圖見前。21

38、 、將系數(shù)和自由項代入位移法方程得出：77例7-3-5 作圖a所示結構的彎矩圖。lABCDFP=3qlqii1iliiEllF(a)此題中，基本未知量個數(shù)為2，即B點的轉角B和C(F)點的側移(C、F)。由結點B力矩平衡：MB=0）（有：1 086706483 22qlliiliiqliBBB033121260222qllilililiFBx，取橫梁CF的水平分力投影方程：78ABCDEF0.270.570.850.850.280.430.270.125M圖( ql2 )(b)本題應注意以下幾點：(1) 因CF桿的線剛度為無窮大，所以C點無轉動，只有側移，基本未知量為2。）（可得：203276

39、 2qlliiB聯(lián)解兩方程可得：iqliqlB204921361932(2) 彎矩MCF的值由C點的力矩平衡求出。(3) 取CF桿為隔離體時，必須切斷所有的桿件，79并注意列方程時不要忘記作用在C點的水平集中荷載P。 (4) 查表計算固端彎矩m時，注意所求結構的桿件與所查表中桿件的支承情況，注意固端彎矩的正負號。關于校核：在位移法中，一般以校核平衡條件為主。這是因為在選取位移法的基本未知量時已經(jīng)考慮了變形連續(xù)條件，而且剛度系數(shù)的計算比較簡單，不易出錯，因面變形連續(xù)條件在位移法中不作為校核的重點。80 解帶斜桿的剛架，關鍵是如何確定斜桿兩端的相對側移。 確定斜桿兩端的相對側移需要畫位移圖。其思路

40、是：根據(jù)已知兩個結點線位移的大小和方向確定第三個結點的線位移。 如下頁圖示裝置，已知結點A、B線位移的大小和方向，求結點C的線位移。 三、斜桿剛架的計算81多邊形 為所求位移圖。12CC C C CB C A B C2 A C AABBC1 C C2 C C1 處理方法：將AC、BC桿在C結點拆開，CA桿平移到 ，CB桿平移到 。然后， 桿繞 旋轉， 桿繞 旋轉，兩桿交點為 ，則 即為結點C的線位移。1A C2B C1ACA2B CBCCC82B C BCA AO 3）C結點線位移為 。OCC 右圖即為所求的位移圖。作位移圖具體步驟： 2）過A作AC垂線，過B作CB垂線，兩垂線交點為C。 1）

41、取極點O，過O作 與 平行線，并截取 ， 。OAA OBB AABB83例7-3-6 作圖示剛架M圖。解： 1）未知量A B C i 2i dFP d/2d2）畫位移圖，確定各桿相對側移 。 2BABC 2A ,oCB2A B C dFP d/2d( )B( )BH 84626442BABBiiMiidd3 2 ()123 26/2BCBBiiMiidd62ABBiMid(2 )BA()BC 4）建立位移法方程并求解0BABCMM61 00Biid結點B0BM13）桿端彎矩表達式85取AB桿為隔離體，求剪力FQBA 。1112()(6)22QBAABBABiFMMiddd A B C o MB

42、AMABMBAFQBAFP2 /2dFyC/2d考慮BC部分平衡：2022PQBABAddFFM21126(6)40222PBBddiiFiiddd121702BPiiF ddO0M28625()162PF di 解方程組、，得：5）作彎矩圖727BAPMF d 29ABPMF d 727BCPMF d()54PBF di M 圖29PF d727PF dA B C 87例7-3-7 作圖示結構 M 圖。解： 1）未知量A B C D EI EI 2EI (i) (2i) (0.8i) 4m 4m 4m 3m 1kN/mB C 4353O, D( )BH iiiiiiEIiBDBCAB28 .

43、 04；，則：令882）畫位移圖，確定各桿相對側移。 BD 53BC 321.54DBiMi 23 0.851()1 40.82538CBiMi 3）桿端彎矩表達式B C 4353O, D4）建立位移法方程并求解8910.3754QBDDBFMi 考慮ABC部分平衡：3240QBDCBFM3 0.37580.820ii 5.195()i 1.925100i 取桿BD為隔離體，求剪力FQBD 。O0MA B C D 1kN/m MDBMCBFQDBFQBD2kN4m4m3moB 905）作彎矩圖7.79.DBMkN m2.16.CBMkN m M 圖(kN.m)2.163.0827.79A B

44、C D 注意：疊加法作彎矩圖時，水平均布荷載作用下，BC桿的桿長為水平投影長度。91 注意：帶滑動支座單跨斜梁固端彎矩及剛度系數(shù)的求解。= B C q a)B C q = B C q b)q B C 924BCBMi2CBBMiB C Bie)C FP 0FCBMB C FP 0FFBCCBMMB c)d)93 7-4 剪力分配法 1）橫梁抗彎剛度EI的剛架（EA總認為趨于無窮大）。2）鉸接排架中，橫梁EA的結構。 用位移法求解時，若結構的結點位移未知量中只有線位移而沒有角位移，除少數(shù)情況外，均適用剪力分配法。下列兩類結構可能滿足上述條件：94EI EI EA B EA EA 95一、水平結點

45、荷載作用的情況例7-4-1 作圖示結構 M 圖。解： 1）未知量A C E B D F I1 I2 I3 h1 h2 h3 EA EA FP 2）桿端彎矩表達式113BAiMh 223DCiMh 333FEiMh ( )AHCHEH 312123123,EIEIEIiiihhh各桿線剛度：963）建立位移法方程并求解112113BAQABMiFkhh 222223DCQCDMiFkhh 332333FEQEFiMFkhh 求各柱剪力：11213ikh22223ikh33233ikh k1、k2、k3稱為柱的側移剛度，在數(shù)值上等于該柱兩端產(chǎn)生相對側移=1時柱的剪力值。MBAFQABMDCMFEF

46、QCDFQEFFPB AC D F E h1 h2 h3 EA EA 97考慮ACE部分平衡 0 xF 0QABQCDQEFPFFFF123()PkkkF 123PPFFkkkk 123kkkkMBAFQABMDCMFEFQCDFQEFFPB AC D F E h1 h2 h3 EA EA 984）求各柱剪力并畫彎矩圖111QABPPkFkFFk 222QCDPPkFkFFk 333QEFPPkFkFFk 11kk22kk33kk i 稱為剪力分配系數(shù)，且有 =1?？梢?，總剪力FP 按剪力分配系數(shù)確定的比例分配給各柱。9911BAPMF h22DCPMF h33FEPMF h各柱端彎矩為：M

47、圖FPB AC D F E 1PF2PF3PF33PF h11PF h22PF h 可見：此時，荷載是按照各柱的剛度比進行分配的，分配后的力乘以各桿長度，即得結構的彎矩圖。下面給出剪力分配法解題步驟。100剪力分配法解題步驟：iikkQiPFFPF 為層總剪力1）求各柱側移剛度k2）求剪力分配系數(shù)；3）求各柱剪力并作M 圖。231212iEIkhh2333iEIkhhEI,h k1EI,h 11EI,h 101例7-4-2 作圖示剛架M圖。40.85ACBDEIiiEIii1）求各柱側移剛度2212120.754ACACACiikih2212120.80.3845BDBDBDiikih解：令A

48、BFPCDEIEIEI 4m5m1022）求剪力分配系數(shù) 0.750.3841.134kiii0.750.6611.134ACACkiki0.3840.3391.134BDBDkiki3）求各桿剪力并作彎矩圖0.661QCAACPPFFF0.339QDBBDPPFFF將剪力置于彎矩零點即柱中點，作彎矩圖如右圖示。M 圖(m)FPABCD0.661FP0.339FP1.32FP1.32FP0.848FP0.848FP103例7-4-3 作圖示剛架M圖。題1)30.215AC33ACEIkh0.2QACPFF120.815DB312DBEIkh0.8QDBPFFABFPCDEIEIhhEI M 圖

49、FPABCD0.2FP0.8FP0.2FPh0.4FPh0.4FPh求各柱側移剛度k、剪力分配系數(shù)和剪力，作M圖。104120.815CA312CAEIkh0.8QCAPFF30.215DB33DBEIkh0.2QDBPFF題2)ABFPCDEIEIhhEI FP0.8FP0.2FP0.4FPh0.4FPh0.2FPhM圖ABCD求各柱側移剛度k、剪力分配系數(shù)和剪力，作M圖。105二、 非水平結點荷載的處理非結點載荷固端彎矩218qh= + DCEI,hABEI,hqDCABq2116qh138PFqhEI 等效水平結點載荷2340qhDCAB138PFqh310qh340qh2320qh23

50、20qh2320qhM 圖215qh2140qh2320qhDCAB106三、近似法 多跨多層剛架在水平結點荷載作用下，當剛架橫梁線剛度ib 與柱線剛度ic 的比值大于或等于3，可忽略剛結點轉角的影響，采用剪力分配法進行計算。 此時，底層柱的反彎點（彎距為0的截面）取在2h/3處，其余各層之反彎點仍在柱中點。這是因為底層柱下端為固定端，轉角為零，而底層柱上端結點實際上有轉角，反彎點并不在柱中點，如下頁圖示。10720kN10kN15kNi=222i=22222i=2i=8i=8i=8i=8i=8i=86.6711.67156.6711.67156.6711.67152m4m6m6m6m108

51、7-5 對稱結構的計算 結構對稱是指結構的幾何形狀、支座條件、材料性質及各桿剛度EA、EI、GA均對稱。 利用結構對稱性簡化計算，基本思路是減少位移法的基本未知量。一、奇數(shù)跨剛架 分析與對稱軸相交截面的位移條件，在根據(jù)對稱性取半邊結構時，該截面應加上與位移條件相應的支座。109對稱結構在對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均對稱。000BBHBV 在取半邊結構時，B截面加上滑動支座，但橫梁線剛度應加倍。 與對稱軸相交截面B的位移條件為:未知量C FP FP B i2 i1i12i2 i1BC FP1、對稱荷載110 B i i1 i2 i i1 i2i FP FP0 ,0 ,0BBHBVi i1 i2

52、2iBC A未知量,AC FP1110,0,0,0BHBVBB左右2、反對稱荷載 對稱結構在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均反對稱。 FPi2 i1BC未知量C FP FP B i2 i1 i1 i21120,0,0BBHBV未知量,CCHB 2i2 i1 C FP FPBi2 i1 i1 FP C1130,0,0BBHBV二、偶數(shù)跨剛架偶數(shù)跨剛架不存在與對稱軸相交的截面。1、 對稱荷載 FP FPBi2i ii2i1 FP Bi2 i1142. 反對稱荷載FPBII1/2I2 將中柱分成慣性矩各為I1/2的兩個柱，兩柱間跨度為dl ，則原結構變?yōu)槠鏀?shù)跨。利用奇數(shù)跨結構在反對稱荷載作用下的結論

53、就可以得到圖示簡化結果。FPFPBIII1I2 I2 dlFPFPBIII1/2 I1/2I2 I2 FPBII1/2I2 115例7-5-1 作圖示結構 M 圖。三、舉例解：將荷載分解為對稱和反對稱兩組FPi0i0i1i12i1i0i0i1i12i1FP/2FP/2M=0FN= -FP/2 FN= -FP/2 2i1i0i0i1i1FP/2FP/2FP/2i0i1i1116M圖（FP h）BFP/42i0i13FP h/28FP h/7AChFP32832832831427171732801)ii(令i0i1i1FP/4FP/4M=0FN= -FP/4 i0i1i1FP/4FP/4FP/2i

54、0i1i101()ii令對稱荷載下無彎矩圖，只需計算反對稱荷載情況。117例7-5-2 作下圖示結構M 圖。解:FPFP/2FP/20CBIIII2IIIlllFP/2FP/20IIIIBCIIIBCFP/4FP/4IBFP/4IIIIBCFP/4FN= -FP /4M=01183 26CACCMii18CBCPMiF l18BCCPMiF l 0 CM 0CACBMM1708CPiF l M圖（FP l）3283283283281/71 / 72ii=EI/lFP/4BACC( )1()56CPF li2iFP/4Bi=EI/lI119例7-5-3確定對稱結構的基本未知量并選取半邊結構。(a

55、)CBFPFP(b)CBFPFP(c)CBFPFP(a)CB基本未知量3個(A、D、A)ADFP(b)CB基本未知量3個(A、D、A)ADFP(c)CB基本未知量3個(A、D、A)ADFP120(d)FPFP(e)CBFPFP(e)CB基本未知量4個(A、D、A、D)ADFP(d)CB基本未知量4個(A、D、A、D)ADFP121四、對稱溫度變化時的求解1、奇數(shù)跨剛架取半邊結構求解。I1I1IB30。C30。C30。C10。CIBI1CA未知量C( )30。C30。C10。C1222、偶數(shù)跨剛架例7-5-4 作下圖a)示結構M圖。剛架各桿為矩形截面，截面高為0.6m，各桿EI相同。解：B( )

56、取如圖b)半邊結構，未知量為 。a)t2=-30 CABCDEFl=6m l=6m h=4m t2=-30 C t2=-30 C t1=10 C t1=10 C t2=-30 C b)ACDl=6m h=4m B t2=-30 C t2=-30 C t1=10 C t1=10 C 1231）各桿兩端相對側移桿AB縮短040t h桿CD伸長040t h桿BC縮短060t l60AB則AB、BC桿相對側移為:(4040 )80BC c)ABCDt0=-10 C t0=-10 C t0=10 C ABBC正負號與弦轉角正負規(guī)定有關1242）求固端彎矩（兩部分：平均溫度、溫差）2666022.54FF

57、ABBAABiEIMMEIh266( 80 )13.36FFBCCBBCiEIMMEIl-4066.670.6FFABBAEIMMEI-4066.670.6FFBCCBEIMMEId)ACDl=6m h=4m Bt= 40 C t= 40 C t= 0 C 相對側移 產(chǎn)生的固端彎矩為:ABBC、超靜定結構溫度低的一側受拉 桿兩端溫差 產(chǎn)生的固端彎矩為:t可查表獲得1253）桿端彎矩表達式：2222.566.70.589.24FABABBABBBEIMiMEIEIEIEI4422.566.71.044.24FBAABBBABBEIMiMEIEIEIEI4413.366.70.6753.36FBC

58、BC BBCBBEIMiMEIEIEIEI2213.366.70.3380.06FCBBCBCBBBEIMiMEIEIEIEI4）建立位移法方程并求解：0BM0BABCMM1.044.20.66753.30BBEIEIEIEI1.679.10BEIEI5.4 ()B1265）回代求桿端彎矩并畫彎矩圖0.589.20.55.489.286.5ABBMEIEIEIEIEIBA49.6MEIBC49.6MEI CB81.8MEI 在溫度變化作用下，超靜定結構內(nèi)力與桿件EI 的絕對值成正比。CBADFEM 圖49.6EI86.5EI81.8EI49.6EI86.5EI1277-6 支座移動、溫度變化及

59、具有 彈簧支座結構的計算一、支座移動時的位移法求解思路：1）鎖住結點，即令結點位移未知量等于零； 2）令結構產(chǎn)生已知的支座移動，此時各桿產(chǎn)生固端彎矩（僅此與前面不同）； 3）令結構分別產(chǎn)生結點位移，此時各桿產(chǎn)生桿端彎矩； 4）疊加2)、3)的結果求得各桿最終的桿端彎矩。128例7-6-1 作下圖示結構 M 圖。解：1）確定基本未知量( )BEIil2）桿端彎矩表達式64BABiMil62ABBiMil33BCBiMilABCEIEIllA0BBCEIEIllABCEIEIllB1293）建立位移法方程并求解4）計算桿端彎矩并作彎矩圖263630444.28677BABiiiEIMiilllll 233330334.28677BCBiiiEIMiilllll 263636225.14377ABBiiiEIMiilllll 0BABCMM63430BBiiiill 0BM3()7Bl370Biil 130 在支座移動作用下，超靜定結構內(nèi)力與桿件EI的絕對