傅里葉描述子

1、 傅里葉描述子傅里葉描述子 報(bào)告人：張衡報(bào)告人：張衡引言引言對(duì)圖像目標(biāo)的識(shí)別首先需要抽取目標(biāo)的特征然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表示對(duì)目標(biāo)進(jìn)行描述。對(duì)目標(biāo)特征提取的算子稱(chēng)為目標(biāo)檢測(cè)子，對(duì)目標(biāo)描述的算子稱(chēng)為描述子。下面將重點(diǎn)闡述傅里葉描述子：傅里葉描述子簡(jiǎn)介傅里葉描述子簡(jiǎn)介圖像的目標(biāo)區(qū)域的邊界是一條封閉的曲線，因此相對(duì)于邊界上某一固定的起始點(diǎn)來(lái)說(shuō)，沿邊界曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化則是一個(gè)周期函數(shù)。通過(guò)規(guī)范化之后，這個(gè)周期函數(shù)可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)而傅里葉級(jí)數(shù)中的一系列系數(shù)是直接與邊界曲線的形狀有關(guān)的，可作為形狀的描述，稱(chēng)為傅里葉描繪子目標(biāo)區(qū)域邊界的象素點(diǎn)可以用以弧長(zhǎng)為函數(shù)的曲線切線角來(lái)表示，也可以用復(fù)變函數(shù)來(lái)表

2、示。傅里葉描述子定義傅里葉描述子定義假設(shè)C是復(fù)平面上的封閉曲線（邊界）。以逆時(shí)針?lè)较蜓刂@個(gè)曲線保持恒定的速度移動(dòng)，得到一個(gè)復(fù)函數(shù)z(t),這里t是時(shí)間變量。速度應(yīng)該選擇為使得環(huán)繞邊界一周的時(shí)間為 ;然后沿曲線做多次里邊得到一個(gè)周期為2的周期函數(shù)。這就允許了z(t)的傅里葉表示：其中級(jí)數(shù) 稱(chēng)為曲線C的傅里葉描述子2int( )nnz tT enT傅里葉描述子概念傅里葉描述子概念考慮到曲線距離s對(duì)照于時(shí)間會(huì)更有用，因此做如下變換:其中L是曲線長(zhǎng)度。傅里葉描述子 則表示如下：對(duì)傅里葉描述子 進(jìn)行傅里葉反變換可重構(gòu)會(huì)原輪廓曲線傅里葉描述子反映原曲線的形狀特征2/ts LnT(2 / )01( )Li

3、L nsnTz s edsLnT曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程令C表示區(qū)域R的邊界，通常是一條簡(jiǎn)單的封閉曲線。s表示從C上的起始點(diǎn) 到沿曲線C反時(shí)針?lè)较蛏夏骋粍?dòng)點(diǎn) 之間的弧長(zhǎng)。 表示輪廓曲線C的周長(zhǎng)。動(dòng)點(diǎn)b的坐標(biāo) 既是x、y的函數(shù)又是弧長(zhǎng)s的函數(shù)。曲線的參數(shù)方程可用復(fù)數(shù)形式表示為：它是一個(gè)周期函數(shù)，即：0bbL( ( ), ( )b x s y s( )( )( )U sx sjy s()( ),0U sLU ssL曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程對(duì)于方程 ，令 ，則方程可以表示為：式中的 是一個(gè)以2為周期的周期函數(shù)，其傅里葉展開(kāi)式為：( )Us2/ts L( )( )( ),02U tx tjy

4、tt ( )U t20 , )()(10tepeppeptUnntjnjntnnjntn曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程曲線的傅里葉級(jí)數(shù)為：描述子受曲線形狀及曲線初始點(diǎn)的影響。.2, 1, 0,)(2120ndtetUpjntn通過(guò)邊界鏈碼計(jì)算通過(guò)邊界鏈碼計(jì)算傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)在數(shù)字圖像中，區(qū)域的邊界輪廓線往往用邊界的方向鏈碼 來(lái)表示，此鏈?zhǔn)茄厍€C的反時(shí)針?lè)较蚨鴺?gòu)成的。將 區(qū)域劃分為由傅里葉級(jí)數(shù)為：上式中， 對(duì)應(yīng)于起始點(diǎn)，因此 項(xiàng)是與坐標(biāo)有關(guān)的Mccc,212 , 0MmLStmm, 2 , 1 , 0,2; 0,)()(2112100nttUtUUpmMmmm0,)()(2111ntUtUe

5、jnpMmmmjntnm000jyxU0p通過(guò)邊界鏈碼計(jì)算通過(guò)邊界鏈碼計(jì)算傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)為了建立鏈碼與傅里葉系數(shù)的關(guān)系，設(shè)：周長(zhǎng)L：參變量：Mkccakkk, 2 , 12, 1為奇數(shù)若，為偶數(shù)若MkkaS1MmaaSStMkkmkkmm.3 , 2 , 1,/ )2(211通過(guò)邊界鏈碼計(jì)算通過(guò)邊界鏈碼計(jì)算傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)現(xiàn)將周長(zhǎng)L和參變量的公式代入式傅里葉系數(shù)的公式后分別得到MmaajcmMkkmkkmeaUp2400111, 2, 1211)24(111neanjpMmaancjmnMkkmkkm通過(guò)邊界鏈碼計(jì)算通過(guò)邊界鏈碼計(jì)算傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)這時(shí)傅里葉系數(shù) 和 僅與邊界鏈碼

6、 有關(guān)，而 也完全由 所確定。因此我們可通過(guò)邊界鏈碼來(lái)計(jì)算傅里葉系數(shù)。Fourier系數(shù) 表示輪廓曲線C的形心位置。若將坐標(biāo)原點(diǎn)移至形心，那么曲線的方程可改寫(xiě)成：傅里葉系數(shù) 與輪廓曲線C的形狀有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。0pnpkckakc0p20 , )()(1tepeptUnjntnjntn0p通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征圓形度：當(dāng)傅里葉系數(shù) 中除 之外其它項(xiàng)全為零時(shí)， 表示輪廓曲線C的形狀是以 為半徑的一個(gè)圓。也就是說(shuō)，當(dāng)C為一個(gè)圓時(shí)，相應(yīng)的圓形度特征 。當(dāng)C為其他形狀時(shí)有 。不難證明 特征在平移、旋轉(zhuǎn)、尺寸、起始點(diǎn)等條件變化下都是一個(gè)不變量。111)(nnnpppFnp1

7、pjteptU1)(1p11F101F1F通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征細(xì)長(zhǎng)度令 表示形狀C的擬合橢圓，其長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度為 ，短半軸長(zhǎng)度為 ,長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)度之比可反映形狀的橢圓度(或稱(chēng)細(xì)長(zhǎng)度)。當(dāng)C接近于圓時(shí),其長(zhǎng)短軸長(zhǎng)度之比接近于1，因此 。當(dāng)C為其它形狀時(shí)，有 。 特征同樣具有不變量的性質(zhì)111121ppppF jtjtepeptE1111 pp11 pp02F102 F2F通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征散射度(或稱(chēng)密集度)式中的L是輪廓曲線C的周長(zhǎng)，面積A也可由傅里葉系數(shù)來(lái)表征。ALF423122)(nnnppnA通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征因此散射度可表示為：散射度特征同樣具有不變量的性質(zhì)。 )(441222223nnnppnSASF通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征凸凹度當(dāng)曲線 為一個(gè)圓時(shí)， ；而當(dāng)曲線C具有較多凹處時(shí)，則 。凸凹度也具有不變量的性質(zhì)。212122134ppppnFnnn14F14F通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過(guò)傅里葉系數(shù)提取形狀特征形心偏差度對(duì)于兩條曲線 C 和 N ,分別通過(guò)博里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)獲得各自的博里葉系數(shù) 和 ，其零次項(xiàng)系數(shù) 和 分別表示