高數(shù)同濟大一下學期期末復習PPT學習教案

1、會計學1高數(shù)同濟大一下學期期末復習高數(shù)同濟大一下學期期末復習（一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，空間曲面的切平面（1）設(shè)則第1頁/共62頁（2）曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線要點：I：曲面在某點處的切平面（1）設(shè)曲面方程為第一步：計算第二步：計算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程第2頁/共62頁（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計算曲面的法向量第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程第3頁/共62頁要點II：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線 的方程第一步：確定點第二步：計算第三步：利用對稱式和點法式分別寫出切線和法平面的方程第4頁/共62頁

2、（2）設(shè)空間曲線 的方程第5頁/共62頁解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例題第6頁/共62頁例2：設(shè)直線 L 和平面 的方程分別為則必有（ ）解：C第7頁/共62頁例3：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點為第8頁/共62頁例:(1)已知曲線在點P處的切線平行于平面，求P點的坐標第9頁/共62頁（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值（1）多元函數(shù)在某點的定義域、極限和連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限1、利用函數(shù)在一點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則2、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì)3、利用

3、變量對換化為一元函數(shù)極限4、利用夾逼準則與兩個重要極限第10頁/共62頁例：求下列函數(shù)的極限：第11頁/共62頁第12頁/共62頁解：求極限第13頁/共62頁解：求極限第14頁/共62頁（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值第15頁/共62頁（1）多元函數(shù)的定義域、在某點的極限、連續(xù)要點：II：用定義求二元函數(shù)在某點的偏導數(shù)（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值第16頁/共62頁典型例題例1：設(shè)求解：第17頁/

4、共62頁典型例題例2：設(shè)求解：第18頁/共62頁典型例題例3：設(shè)求解：第19頁/共62頁二元函數(shù)的連續(xù)性要點：III：多元函數(shù)的連續(xù)性第20頁/共62頁(2) 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性第21頁/共62頁例： 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性解取其值隨k的不同而變化，極限不存在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)第22頁/共62頁（2）方向?qū)?shù)、復合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分要點：I、方向?qū)?shù)II ：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算；III ：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算；例1：設(shè)答案：IV ：多元函數(shù)全微分的計算；第23頁/共62頁例:(1)函數(shù) 在點 處沿哪個方向 的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?/p>

5、數(shù)的最大值.例1：設(shè)例3：設(shè)求(2)求函數(shù)在點處沿到點的方向上的方向?qū)?shù)第24頁/共62頁例3：設(shè)求解：zxyuxyu第25頁/共62頁例4：設(shè)答案：要點：I、方向?qū)?shù)II ：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算；III ：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算；IV ：多元函數(shù)全微分的計算；（2）方向?qū)?shù)、復合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分第26頁/共62頁例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得第27頁/共62頁例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得第28頁/共62頁拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問題 1 的所有可能的極

6、值點。問題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）。（3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3） 條件極值。第29頁/共62頁例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。 由于 d 中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題 1 轉(zhuǎn)化為下面的等價問題第30頁/共62頁問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。（1）作拉格

7、朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組第31頁/共62頁（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點：對應(yīng)的距離為第32頁/共62頁例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。求得兩個駐點：對應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以最近距離為最遠距離為第33頁/共62頁三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標下的計算；第34頁/共62頁答案：例1：計算二重積分答案：第35頁/共62頁三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（2）二重積分中二次積分的交換次序；答案:例2：試證：

8、第36頁/共62頁解積分區(qū)域分為兩塊第37頁/共62頁例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域 D 由圖可知 D 又可以寫成X 型區(qū)域第38頁/共62頁（3）利用極坐標計算二重積分；再根據(jù) D 的極坐標表示，將極坐標下的二重積分化為累次積分。例3:計算由直線 y = x 及曲線所圍平面區(qū)域。第39頁/共62頁（4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算二重積分；在二重積分的計算過程中，要注意對稱性。例5：計算其中 D 由直線 y = x , y = 1 , 及x = 1 所圍平面區(qū)域第40頁/共62頁解第41頁/共62頁（5）三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；例6：提示：再對用“ 先二后一 ” 的

9、方法計算，并用對稱性給出另外兩項的結(jié)果。第42頁/共62頁例7：提示：利用對稱性、被積函數(shù)奇偶性及 “先二后一” 法（6）利用柱面坐標計算三重積分例8：繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面 z = 8 所圍空間立體第43頁/共62頁四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)、第一、二類曲面積分、格林公式、高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分第44頁/共62頁（3）基本應(yīng)用：1.格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2. 平面曲線積分“ 封口法 ” 和 “ 挖洞法 ”。與路徑無關(guān)在單連

10、通區(qū)域 G 內(nèi)第45頁/共62頁（4）基本計算技巧1. 利用對稱性；2. 利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù)；3. 利用關(guān)系式將對不同的坐標的曲面積分化為同一個曲面積分；4. 利用積分與路徑無關(guān)，適當改變積分路徑，簡化平面曲線積分。第46頁/共62頁例1：設(shè)橢球面 的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對稱性例2：設(shè)則提示：利用曲線方程及對稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。第47頁/共62頁例4：設(shè) f (x) 在 ( 0 , + ) 上有連續(xù)的導數(shù)，L 是由點提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：A ( 1 , 2 ) 到點 B ( 2 , 8 ) 的直線段，計算（30）例5：計

11、算 由拋物面與圓柱面及坐標面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標第48頁/共62頁第49頁/共62頁例6：計算再由坐標原點沿 x 軸到 B (2 , 0)。解：其中，L 為由點 A (1 , 1) 沿曲線到坐標原點，分析：應(yīng)用格林公式補充：第50頁/共62頁五、數(shù)項級數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對收斂、冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)求和函數(shù)。（1）數(shù)項級數(shù)收斂性判別1. 正項級數(shù)比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件幾何級數(shù)、P 級數(shù)和調(diào)和級數(shù)2. 交錯級數(shù)：萊布尼茨定理3. 任意項級數(shù)：絕對收斂和條件收斂。第51頁/共62頁任意項級數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1

12、）檢驗（3）用正項級數(shù)審斂法檢驗是否收斂？則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的則原級數(shù)也發(fā)散。是否成立？若否，則原級數(shù)發(fā)散若是或難求，則進行下一步；若是，否則，進行下一步；（2）若原級數(shù)為正項級數(shù)或交錯級數(shù)，則可用正項級數(shù) 或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。第52頁/共62頁（2）冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間 處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項”。（2）對冪級數(shù)要先做變換第53頁/共62頁（3）求冪

13、級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間 處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項”。（2）對冪級數(shù)要先做變換第54頁/共62頁性質(zhì)3：冪級數(shù)逐項積分后所得級數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂域 I 上可積，并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。 （3）求冪級數(shù)的和函數(shù)第55頁/共62頁性質(zhì)4：冪級數(shù)逐項求導后所得級數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂區(qū)間內(nèi)可導，并有逐項求導公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。 說明：求和函數(shù)一定要先求收斂域。第56頁/共62頁典型例題例1：若冪級數(shù)在 x = - 2 處收斂，則此冪級數(shù)在 x = 5 處（ ） （A）一定發(fā)散。（B）一定條件收斂。（C）一定絕對收斂。（D）收斂性不能確定。