第52 邏輯代數(shù)

1、2022-6-261 2022-6-262（255）10= （ ）2 =（ ）8 =（ ）16 =（ ）8421BCD請(qǐng)列舉所學(xué)習(xí)過(guò)的二進(jìn)制代碼。BCD碼：8421、5421、余3碼；格雷碼（循環(huán)碼）、2022-6-263內(nèi)容提要 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算；邏輯函數(shù)及其表示方法（真值表、邏 輯表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖）；邏輯代數(shù)的運(yùn)算公式和基本規(guī)則；2022-6-264邏輯：一定的因果關(guān)系。邏輯代數(shù)是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是進(jìn)行邏輯分析與綜合的數(shù)學(xué)工具。因?yàn)樗怯?guó)數(shù)學(xué)家喬治布爾(George Boole)于1847年提出的,所以又稱(chēng)為布爾代數(shù)。邏輯代數(shù)有其自身獨(dú)立的規(guī)律和運(yùn)算法則，不同于普

2、通代數(shù)。相同點(diǎn)：都用字母A、B、C表示變量；不同點(diǎn)：邏輯代數(shù)變量的取值范圍僅為“0”和“1”，且無(wú)大小、正負(fù)之分。邏輯代數(shù)中的變量稱(chēng)為邏輯變量?！?”和“1”表示兩種不同的邏輯狀態(tài)：是和非、真和假、高電位和低電位、有和無(wú)、開(kāi)和關(guān)等等。 2022-6-2651. 三種基本邏輯運(yùn)算 （1）與運(yùn)算 當(dāng)決定某一事件的全部條件都具備時(shí)，該事件才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱(chēng)為與邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)與邏輯。 開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合滅閉合斷開(kāi)滅閉合閉合亮ABY000010100111A A、B B全1，Y Y才為1。設(shè)定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對(duì)應(yīng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)的狀態(tài)；1閉合，0斷開(kāi)；邏輯函數(shù)：Y，

3、對(duì)應(yīng)燈的狀態(tài)， 1燈亮，0燈滅。2022-6-266邏輯表達(dá)式： YA BAB符號(hào)“”讀作“與”（或讀作“邏輯乘”）；在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱(chēng)作與門(mén)，與邏輯和與門(mén)的邏輯符號(hào)如圖1-1(b)所示，符號(hào)“&”表示與邏輯運(yùn)算。 2022-6-267 若開(kāi)關(guān)數(shù)量增加，則邏輯變量增加。 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 11A A、B B、C C全1，Y Y才為1。YA B CABC2022-6-268（2）或運(yùn)算 當(dāng)決定某一事件的所有條件中，只要有一個(gè)具備，該事件就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系叫做或邏輯關(guān)系

4、 ，簡(jiǎn)稱(chēng)或邏輯 。 開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合亮閉合斷開(kāi)亮閉合閉合亮ABY000011101111A、B有1，Y就為1。2022-6-269邏輯表達(dá)式： YAB符號(hào)“”讀作“或”（或讀作“邏輯加”）。實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱(chēng)作或門(mén)，或邏輯和或門(mén)的邏輯符號(hào)如圖1-2(b)所示，符號(hào)“1”表示或邏輯運(yùn)算。 2022-6-2610（3）非運(yùn)算 當(dāng)某一條件具備了，事情不會(huì)發(fā)生；而此條件不具備時(shí)，事情反而發(fā)生。這種邏輯關(guān)系稱(chēng)為非邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)非邏輯。A與Y相反開(kāi)關(guān)A燈Y斷開(kāi)亮閉合滅AY01102022-6-2611實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱(chēng)作非門(mén)，非邏輯和非門(mén)的邏輯符號(hào)如圖1-3(b)所示。 邏輯符號(hào)中用小圓

5、圈“ 。”表示非運(yùn)算，符號(hào)中的“1”表示緩沖。邏輯表達(dá)式： Y YA A符號(hào)“ ”讀作“ 非 ” 。2022-6-26122. 復(fù)合邏輯運(yùn)算 在數(shù)字系統(tǒng)中，除應(yīng)用與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算之外，還廣泛應(yīng)用與、或、非的不同組合，最常見(jiàn)的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或和同或等。 （1） 與非運(yùn)算“與”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱(chēng)為與非運(yùn)算。 邏輯表達(dá)式： Y YABCABCA B CY0 0 010 0 110 1 010 1 111 0 011 0 111 1 011 1 10圖1-4 與非邏輯的邏輯符號(hào) “有0必1，全1才0” 2022-6-2613 （2） 或非運(yùn)算“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱(chēng)

6、為或非運(yùn)算。 邏輯表達(dá)式： Y YA A+ +B B+ +C CA B CY0 0 010 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 10“有1必0，全0才1” 圖1-5 或非邏輯的邏輯符號(hào) 2022-6-2614 （3） 與或非運(yùn)算“與”、“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱(chēng)為與或非運(yùn)算。 邏輯表達(dá)式： Y YABAB+ +CDCD圖1-6 與或非邏輯的邏輯符號(hào) 2022-6-2615 （4） 異或運(yùn)算所謂異或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為0，取值不相同時(shí)輸出為1 1。 “相同為0，相異為1” 圖1-7 異或邏輯的邏輯符號(hào) 邏輯表達(dá)式： Y Y = = A A

7、B B = = A BA B + + A BA B式中符號(hào)式中符號(hào)“ ”表示異或運(yùn)算。表示異或運(yùn)算。 ABY0000111011102022-6-2616 （5） 同或運(yùn)算所謂同或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為1，取值不相同時(shí)輸出為0。 “相同為1，相異為0” 圖1-8 同或邏輯的邏輯符號(hào) ABY001010100111邏輯表達(dá)式： Y Y = = A AB B = = A BA B + + A BA B = = A AB B 式中符號(hào)式中符號(hào)“ ”表示同或運(yùn)算。表示同或運(yùn)算。 2022-6-26171. 邏輯函數(shù) 輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為邏輯函數(shù)，寫(xiě)作 Y = F

8、(A、B、C、D) A、B、C、D為有限個(gè)輸入邏輯變量；F為有限次邏輯運(yùn)算（與、或、非）的組合。表示邏輯函數(shù)的方法有：真值表、邏輯函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖。2022-6-2618真值表是將輸入邏輯變量的所有可能取值與相應(yīng)的輸出變量函數(shù)值排列在一起而組成的表格。1個(gè)輸入變量有0和1兩種取值， n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。例：邏輯函數(shù)Y=AB+BC+AC A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11三個(gè)輸入變量，八種取值組合 2. 真值表ABBCAC2022-6-2619A B CY0 0 000 0 100 1 000

9、1 111 0 001 0 111 1 011 1 11真值表的特點(diǎn)： 唯一性; 按自然二進(jìn)制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會(huì)重復(fù) ）。 n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。 2022-6-2620例：控制樓梯照明燈的電路。 兩個(gè)單刀雙擲開(kāi)關(guān)A和B分別裝在樓上和樓下。無(wú)論在樓上還是在樓下都能單獨(dú)控制開(kāi)燈和關(guān)燈。設(shè)燈為L(zhǎng)，L為1表示燈亮，L為0表示燈滅。對(duì)于開(kāi)關(guān)A和B，用1表示開(kāi)關(guān)向上扳，用0表示開(kāi)關(guān)向下扳。ABL0010101001112022-6-26213. 邏輯表達(dá)式 按照對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系，把輸出變量表示為輸入變量的與、或、非三種運(yùn)算的組合，稱(chēng)之為邏輯函數(shù)表達(dá)式（簡(jiǎn)稱(chēng)邏輯表達(dá)式）。由真值

10、表可以方便地寫(xiě)出邏輯表達(dá)式。方法為： 找出使輸出為1的輸入變量取值組合； 取值為1用原變量表示，取值為0的用反變量表示，則可寫(xiě)成一個(gè)乘積項(xiàng)； 將乘積項(xiàng)相加即得。 ABL001010100111L = A B + A BL = A B + A BA BA BA BA B2022-6-26224. 邏輯圖 用相應(yīng)的邏輯符號(hào)將邏輯表達(dá)式的邏輯運(yùn)算關(guān)系表示出來(lái)，就可以畫(huà)出邏輯函數(shù)的邏輯圖。ABL001010100111L = A B + A BL = A B + A B2022-6-2623邏輯函數(shù)的相等：已知Y = F1 (A、B、C、D)W= F2 (A、B、C、D)問(wèn)：?jiǎn)枺?Y = W的條件？的

11、條件？?jī)H當(dāng)A、B、C、D的任一組取值所對(duì)應(yīng)的的任一組取值所對(duì)應(yīng)的Y和和W都都相同，具體表現(xiàn)為二者的真值表完全相同時(shí)， Y = W 。等號(hào)“”不表示兩邊數(shù)值相等，僅表示一種等價(jià)、等效的邏輯關(guān)系。因?yàn)檫壿嬜兞亢瓦壿嫼瘮?shù)的取值0和1是不能比較大小的，僅表示一種狀態(tài)。結(jié)論：可用真值表驗(yàn)證邏輯函數(shù)是否相等。ABY000010100111ABW0010101001112022-6-26241. 基本公式 （1）常量之間的關(guān)系 0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 請(qǐng)?zhí)貏e注意請(qǐng)?zhí)?/p>

12、別注意與普通代數(shù)與普通代數(shù)不同之處不同之處與或2022-6-2625（2）常量與變量之間的關(guān)系普通代數(shù)結(jié)普通代數(shù)結(jié)果如何？果如何？（3）與普通代數(shù)相似的定理 交換律交換律AB = BAA + B = B + A結(jié)合律結(jié)合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)2022-6-2626（4）特殊的定理 De De morgen morgen定理定理2022-6-26272022-6-26282. 常用公式 B B：互補(bǔ)：互補(bǔ)A A：公因子：公因子A A是是ABAB的因子的因子2022-6-2629A A的反函

13、數(shù)的反函數(shù)是因子是因子與互補(bǔ)變量與互補(bǔ)變量A A相與的相與的B B、C C是第三項(xiàng)是第三項(xiàng)添加項(xiàng)添加項(xiàng)2022-6-2630需記憶2022-6-2631在任何一個(gè)邏輯等式（如 FW ）中，如果將等式兩端的某個(gè)變量（如B）都以一個(gè)邏輯函數(shù)（如Y=BC）代入，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則就叫代入規(guī)則。3. 運(yùn)算規(guī)則 （1）代入規(guī)則 推廣利用代入規(guī)則可以擴(kuò)大公式的應(yīng)用范圍。理論依據(jù)：任何一個(gè)邏輯函數(shù)也和任何一個(gè)邏輯變量一樣，只有邏輯0和邏輯1兩種取值。因此，可將邏輯函數(shù)作為一個(gè)邏輯變量對(duì)待。 2022-6-2632 （2）反演規(guī)則運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)，要注意運(yùn)算的優(yōu)先順序（先括號(hào)、再相與，最后或） ，必要時(shí)可加或減擴(kuò)號(hào)。1)(0DCBAYCDBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié) 作反演變換，可得Y 的反函數(shù) Y 。這個(gè)規(guī)則叫做反演規(guī)則。 反演變換：“”“”“”“” “0” “1”“1” “0”，原變量反變量反變量原變量2022-6-2633 對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié) 作對(duì)偶變換，可Y的對(duì)偶式Y(jié)。 （