材料力學(xué)(I)第九章

1、1第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定9- -1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念9- -2 細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式9- -3 不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的 歐拉公式歐拉公式壓桿的長度因數(shù)壓桿的長度因數(shù)9- -4 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖9- -5 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)9- -6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的合理截面壓桿的合理截面29- -1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念實(shí)際的受壓桿件 實(shí)際的受壓桿件由于: 1. 其軸線并非理想的直線而存在初彎曲，2. 作用于桿上的

2、軸向壓力有“偶然”偏心，3. 材料性質(zhì)并非絕對均勻，因此在軸向壓力作用下會(huì)發(fā)生彎曲變形，且由此引起的側(cè)向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定3 對于細(xì)長的壓桿(大柔度壓桿)，最終會(huì)因?yàn)閺椥缘膫?cè)向位移過大而喪失承載能力； 對于中等細(xì)長的壓桿(中等柔度壓桿)則當(dāng)側(cè)向位移增大到一定程度時(shí)會(huì)在彎壓組合變形下發(fā)生強(qiáng)度破壞(壓潰)。 對于實(shí)際細(xì)長壓桿的上述力學(xué)行為，如果把初彎曲和材質(zhì)不均勻的影響都?xì)w入偶然偏心的影響，則可利用大柔度彈性直桿受偏心壓力作用這一力學(xué)模型來研究。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定4 圖a為下端固定，上端自由的實(shí)際壓桿的力學(xué)模型；為列出用來尋求Fd 關(guān)系所需

3、撓曲線近似微分方程而計(jì)算橫截面上的彎矩時(shí),需把側(cè)向位移考慮在內(nèi)，即 M(x)=F(e+d-w)，這樣得到的撓曲線近似微分方程EIz w=F(e+d -w)和積分后得到的撓曲線方程便反映了大柔度桿偏心受壓時(shí)側(cè)向位移的影響。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)5 按照這一思路求得的細(xì)長壓桿在不同偏心距 e 時(shí)偏心壓力F 與最大側(cè)向位移d 的關(guān)系曲線如圖b所示。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b) 由圖可見雖然偶然偏心的程度不同 (e3e2e1)，但該細(xì)長壓桿喪失承載能力時(shí)偏心壓力Fcr卻相同。其它桿端約束情況下細(xì)長壓桿的Fd 關(guān)系曲線其特點(diǎn)與圖b相同。6抽象的細(xì)長中心受壓直桿 由圖b可知，當(dāng)偶然偏

4、心的偏心距e0時(shí)，細(xì)長壓桿的F-d 關(guān)系曲線就逼近折線OAB，而如果把細(xì)長壓桿抽象為無初彎曲，軸向壓力無偏心，材料絕對均勻的理想中心壓桿，則它的F-d 關(guān)系曲線將是折線OAB。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定7 由此引出了關(guān)于壓桿失穩(wěn)(buckling)這一抽象的概念：當(dāng)細(xì)長中心壓桿上的軸向壓力F小于Fcr時(shí)，桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)FFcr時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡(d0)，也可以在微彎狀態(tài)下保持平衡，也就是說FFcr時(shí)理想中心壓桿的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，壓桿在軸向壓力Fcr作用下會(huì)喪失原有的直線平衡狀態(tài)，即發(fā)生失穩(wěn)。 Fcr則是壓桿直線狀態(tài)的平衡由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的臨界力(criti

5、cal force)。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定8 從另一個(gè)角度來看，此處中心受壓桿的臨界力又可理解為：桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力。 顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實(shí)際壓桿的一種抽象。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定9壓桿的截面形式及支端約束 壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關(guān)，因此壓桿橫截面的彎曲剛度應(yīng)盡可能大；圖a為鋼桁架橋上弦桿(壓桿)的橫截面，圖b為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚至阻止桿端轉(zhuǎn)動(dòng)。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定109-2 細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 本節(jié)以兩端球形鉸支(簡稱兩端鉸

6、支)的細(xì)長中心受壓桿件(圖a)為例，按照對于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力這一概念，來導(dǎo)出求臨界力的歐拉(L.Euler)公式。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)11 在圖a所示微彎狀態(tài)下，兩端鉸支壓桿任意x截面的撓度(側(cè)向位移)為w，該截面上的彎矩為M(x)=Fcrw（圖b）。桿的撓曲線近似微分方程為 (a) crwFxMwEI 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)(a)上式中負(fù)號(hào)是由于在圖示坐標(biāo)中，對應(yīng)于正值的撓度w，撓曲線切線斜率的變化率 為負(fù)的緣故。 xyxwdddd12令k2=Fcr /EI，將撓曲線近似微分方程(a)改寫成該二階常系數(shù)線性微分方程(b)的通

7、解為02 wkw(b)kxBkxAwcossin(c)第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定此式中有未知量A和B以及隱含有Fcr的k，但現(xiàn)在能夠利用的邊界條件只有兩個(gè)，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，顯然這不可能求出全部三個(gè)未知量。這種不確定性是由F = Fcr時(shí)桿可在任意微彎狀態(tài)下(d可為任意微小值)保持平衡這個(gè)抽象概念所決定的。事實(shí)上，對于所研究的問題來說只要能從(c)式求出與臨界力相關(guān)的未知常數(shù)k就可以了。13 將邊界條件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根據(jù)(c)式并利用邊界條件x=l，w=0得到0sinklA第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定kxBkxAwcossin(c)(a)注意

8、到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否則(c)式將成為w 0而壓桿不能保持微彎狀態(tài)，也就是桿并未達(dá)到臨界狀態(tài)。由此可知，欲使(c)成立，則必須sinkl=014滿足此條件的kl為，2 ,0kl或即，2 0crlEIF 由于 意味著臨界力Fcr 0，也就是桿根本未受軸向壓力，所以這不是真實(shí)情況。在kl0的解中，最小解 klp 相應(yīng)于最小的臨界力，這是工程上最關(guān)心的臨界力。0crlEIF第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定由klp有crlEIF22crlEIF亦即15從而得到求兩端鉸支細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式：22crlEIF 此時(shí)桿的撓曲線方程可如下導(dǎo)出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式

9、(c)得xlAwsin第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定注意到當(dāng)x= l /2 時(shí) w=d，故有 A=d。從而知，對應(yīng)于klp，亦即對應(yīng)于Fcr=p2EI/l 2，撓曲線方程為lxwsind可見此時(shí)的撓曲線為半波正弦曲線。16需要指出的是，盡管上面得到了A=d，但因?yàn)闂U在任意微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)d為不確定的值，故不能說未知量A已確定。事實(shí)上，在推導(dǎo)任何桿端約束情況的細(xì)長中心壓桿歐拉臨界力時(shí)，撓曲線近似微分方程的通解中，凡與桿的彎曲程度相關(guān)的未知量總是不確定的。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)179-3 不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界力的 歐拉公式歐拉公式壓桿的長度因數(shù)

10、壓桿的長度因數(shù) 現(xiàn)在通過二個(gè)例題來推導(dǎo)另一些桿端約束條件下求細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定18 例題例題9- -1 試推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求壓桿相應(yīng)的撓曲線方程。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小的平面，亦即桿最容易發(fā)生彎曲的平面。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定19 解：解：根據(jù)該壓桿失穩(wěn)后符合桿端約束條件的撓曲線的大致形狀可知，任意x橫截面上的彎矩為 wFxMdcr桿的撓曲線近似微分方程則為wFwEI dcr這里，等號(hào)右邊取正號(hào)是因?yàn)閷?yīng)于正值的(d -w)， 亦為正。將上式改寫為 xyxwddddd EIFwEIFwcrcr

11、第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定20并令 有EIFkcr2d22kwkw 此微分方程的通解為dkxBkxAwcossin從而亦有kxBkkxAkwsincos 根據(jù)邊界條件x=0，w =0得Ak=0；注意到 不會(huì)等于零，故知A0，從而有wBcoskx+d。再利用邊界條件x=0，w=0得B=-d。于是此壓桿的撓曲線方程成為EIFkcr第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a) cos1kxwd21至此仍未得到可以確定隱含F(xiàn)cr的未知量k的條件。為此，利用 x = l 時(shí) w = d 這一關(guān)系，從而得出從式(a)可知d不可能等于零，否則w將恒等于零，故上式中只能coskl = 0。滿足此條件的kl的最小值

12、為kl = p/2，亦即 從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：2crlEIF 2222cr24lEIlEIF(b)klcos1dd0cos kld亦即第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定22 以 kl = p/2 亦即 k = p/(2l)代入式(a)便得到此壓桿對應(yīng)于式(b)所示臨界力的撓曲線方程：lxw2cos1d第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定23 例題例題9-2 試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求該壓桿相應(yīng)的撓曲線方程。圖(a)中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)24 解：解：1. 在推導(dǎo)臨界力公式時(shí)需要注意，在符合桿端約束條件的

13、微彎狀態(tài)下，支座處除軸向約束力外還有無橫向約束力和約束力偶矩。 在推導(dǎo)臨界力公式時(shí)這是很重要的一步，如果在這一步中發(fā)生錯(cuò)誤，那么得到的結(jié)果將必定是錯(cuò)誤的。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b) 圖b示出了該壓桿可能的微彎狀態(tài)，與此相對應(yīng)，B處應(yīng)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的約束力偶矩MB，并且根據(jù)整個(gè)桿的平衡條件MB 0可知，桿的上端必有向右的水平約束力Fy；從而亦知桿的下端有向左的水平約束力Fy 。252. 桿的任意x截面上的彎矩為 xlFwFxMycr從而有撓曲線近似微分方程：crxlFwFwEIy 上式等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)是因?yàn)閷?yīng)于正值的w， 為負(fù)而加的。 xyxwdddd第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)

14、26令 k2=Fcr /EI，將上式改寫為xlEIFwkwy 2亦即xlFFkwkwy cr22第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定此微分方程的通解為(a) cossincrxlFFkxBkxAwy從而亦有(b) sincoscrFFkxBkkxAkwy式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。27 對于此桿共有三個(gè)邊界條件。由邊界條件x=0，w =0 得 A=Fy /(kFcr)。又由邊界條件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。將以上A和B的表達(dá)式代入式(a)有(c) cossin1crxlkxlkxkFFwy第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(a)再利用邊界條件x=l，w=0，由上式得0cos

15、sin1crkllklkFFy28由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零，故由上式得 滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即 ，從而得到此壓桿求臨界力的歐拉公式：49. 4crlEIF2222cr7 . 049. 4lEIlEIF0cossin1kllklkklkl tan亦即第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定29 3. 將 kl = 4.49，亦即 k = 4.49/l 代入式(c)即得此壓桿對應(yīng)于上列臨界力的撓曲線方程：lxkxkxFlFwy1cos49. 4sincr利用此方程還可以進(jìn)一步求得該壓桿在上列臨界力作用下?lián)锨€上的拐點(diǎn)在 x = 0.3l 處(圖b)。第九章第九章

16、壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(b)30壓桿的長度因數(shù)和相當(dāng)長度第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定31 表9-1中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，桿端約束越強(qiáng)，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫成了同一的形式：22cr lEIF式中， 稱為壓桿的長度因數(shù)，它與桿端約束情況有關(guān)； l 稱為壓桿的相當(dāng)長度(equivalent length)，它表示某種桿端約束情況下幾何長度為l的壓桿，其臨界力相當(dāng)于長度為 l 的兩端鉸支壓桿的臨界力。表9-1的圖中從幾何意義上標(biāo)出了各種桿端約束情況下的相當(dāng)長度 l。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定32 運(yùn)用歐拉公式計(jì)算

17、臨界力時(shí)需要注意：(1)當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)縱向平面內(nèi)相同時(shí)(例如球形鉸)，歐拉公式中的 I 應(yīng)是桿的橫截面的最小形心主慣性矩 Imin。(2)當(dāng)桿端約束在各個(gè)縱向平面內(nèi)不同時(shí)，歐拉公式中所取用的I應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時(shí)的彎曲平面相對應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定33對應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，22cr5 . 0lEIFz對應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支，22crlEIFy而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定xyz軸銷349- -4 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式

18、的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖. 歐拉公式應(yīng)用范圍 在推導(dǎo)細(xì)長中心壓桿臨界力的歐拉公式時(shí)，應(yīng)用了材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公式只可應(yīng)用于壓桿橫截面上的應(yīng)力不超過材料的比例極限sp的情況。 按照抽象的概念，細(xì)長中心壓桿在臨界力Fcr作用時(shí)可在直線狀態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡，故其時(shí)橫截面上的應(yīng)力可按scrFcr /A來計(jì)算，亦即(a) /222222crcrsEilEAlEIAF第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定35式中，scr稱為臨界應(yīng)力； 為壓桿橫截面對于失穩(wěn)時(shí)繞以轉(zhuǎn)動(dòng)的形心主慣性軸的慣性半徑；l /i為壓桿的相當(dāng)長度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長細(xì)比(slend

19、erness)或柔度，記作，即AIi/il 根據(jù)歐拉公式只可應(yīng)用于scrsp的條件，由式(a)知該應(yīng)用條件就是p22crssE亦即 p2sEp 或?qū)懽鞯诰耪碌诰耪?壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定36可見 就是可以應(yīng)用歐拉公式的壓桿最小柔度。對于Q235鋼，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有p2psE100Pa10200Pa10206692p2psE 通常把p的壓桿，亦即能夠應(yīng)用歐拉公式求臨界力Fcr的壓桿，稱為大柔度壓桿或細(xì)長壓桿，而把p的壓桿，亦即不能應(yīng)用歐拉公式的壓桿，稱為小柔度壓桿。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定37 圖中用實(shí)線示出了歐拉公式應(yīng)用范圍內(nèi)(p)的scr -曲線，它是一條雙曲線，稱為歐拉臨界力曲線，簡稱歐拉曲線。需要指出的是，由于實(shí)際壓桿都有初彎曲，偶然偏心和材質(zhì)不勻，所以從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來分析，可以應(yīng)用歐拉公式求臨界力的最小柔度比這里算得的p要大一些。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定38. 壓桿的臨界應(yīng)力總圖 臨界應(yīng)力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應(yīng)力scr隨柔度 變化的關(guān)系曲線。第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 在p的部分，有歐拉公式scr p2E/2表達(dá)scr關(guān)系；但在壓桿柔度很小時(shí)，由于該理論存在的不足，計(jì)算所得scr可能會(huì)大于材料的屈服極限s