彈性力學2016年10月27日1

1、標標 量量（零階張量）（零階張量）例如：質量，溫度例如：質量，溫度 質量密度質量密度 應變能密度，等應變能密度，等其值與坐標系選取無關。其值與坐標系選取無關。 矢量矢量（一階張量）（一階張量）位移，速度，位移，速度，加速度，力，加速度，力，法向矢量，等法向矢量，等 Appendix A.11 0 ijijije e矢矢 量量矢量矢量u在笛卡爾坐標系中分解為在笛卡爾坐標系中分解為31 12 23 31iiuuuuiueeeeAppendix A.1其中其中u1, u2, u3 是是u的三個分量，的三個分量，e1, e2, e3是單位基矢量。是單位基矢量。張量基本概念矢矢 量量Appendix A

2、.1n 既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量;n 其分量與坐標系選取有關，滿其分量與坐標系選取有關，滿足坐標轉換關系；足坐標轉換關系；n 遵從相應的矢量運算規(guī)則遵從相應的矢量運算規(guī)則張量基本概念矢量矢量( (可推廣至張量可推廣至張量) )的三種記法：的三種記法： 實體記法實體記法： u 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法：Appendix A.1iu31 12 23 31iiuuuuiueeee張量基本概念Appendix A.1指標符號用法1. 三維空間中任意點三維空間中任意點P的坐標（的坐標（x, y, z）可縮寫成可縮寫成 xi , 其中其中x1=x, x2=y,

3、x3=z。2. 兩個矢量兩個矢量a和和b的分量的的分量的點積點積(或稱或稱數(shù)量積數(shù)量積)為：為：31 1223 31= iiia ba ba baba b張量基本概念愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定 如果在表達式的某項中，某指標重復地出現(xiàn)兩如果在表達式的某項中，某指標重復地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷求次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷求和。該重復的指標稱為和。該重復的指標稱為啞指標啞指標，簡稱，簡稱啞標啞標。Appendix A.131 1223 3131 12 23 31 = =iiiiiiiiuuuuua ba ba bab abiiueeeeea b張量基本

4、概念Appendix A.1 由于由于aibi=biai，即矢量點積的順序可以交換：，即矢量點積的順序可以交換：由于啞標由于啞標 i 僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交換。例如換。例如：= jjmma ba ba b只要指標只要指標 j 或或 m 在同項內僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍在同項內僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和和 i 相同。相同。 iiaba b = b a =張量基本概念約定： 如果不標明取值范圍，則拉丁指標如果不標明取值范圍，則拉丁指標i, j, k, 表示三維指標，取值表示三維指標，取值1, 2, 3; 希臘指標希臘指標, , , 均為二維指標，取值均為二

5、維指標，取值1, 2。張量基本概念張量基本概念1 1223 31 12 23 3= = iikkuuuua ba ba ba bueeeea b 拉丁指標拉丁指標1 1221 12 2= uuua ba ba bueeea b 希臘指標希臘指標二階張量二階張量應變應變 ，應力，速度梯度，變形梯度，等。，應力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量三階張量壓電張量，等。壓電張量，等。四階張量四階張量彈性張量，等。彈性張量，等。Appendix A.1二階（或高階）張量的來源二階（或高階）張量的來源 描述一些復雜的物理量需要二階（或高階）張量描述一些復雜的物理量需要二階（或高階）張量 低階張量的梯度低階

6、張量的梯度 低階張量的并積低階張量的并積 更高階張量的縮并，等。更高階張量的縮并，等。Appendix A.1張量基本概念應力張量應力張量Appendix A.1張量的三種記法：張量的三種記法： 實體記法實體記法： 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法：Appendix A.1ij11 1 112 1 213 1 321 2 122 2 223 2 331 3 132 3 233 3 3 + + e ee ee ee ee ee ee ee ee e 張量基本概念 愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定Appendix A.11 12233ijjiiiinnnnT張量基本概念11 1122133

7、1nnnT21 12222332nnnT31 13223333nnnTAppendix A.1采用指標符號后，線性變換表示為采用指標符號后，線性變換表示為111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 利用愛因斯坦求和約定，寫成：利用愛因斯坦求和約定，寫成：iijjxa x 其中其中 j 是啞指標，是啞指標，i 是自由指標。是自由指標。張量基本概念 例如一點的應力狀態(tài)要用應力張量來表示，它是具例如一點的應力狀態(tài)要用應力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為有二重方向性的二

8、階張量，記為 (或或 )。 矢量和標量是特殊的張量，矢量為矢量和標量是特殊的張量，矢量為一階張量一階張量，標量，標量為為零階張量零階張量。Appendix A.1張量基本概念Appendix A.1在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內出現(xiàn)兩次，若在同項內出現(xiàn)兩次則是啞指在同項內出現(xiàn)兩次，若在同項內出現(xiàn)兩次則是啞指標。例：標。例：,0ji jif 若若i為自由指標為自由指標,0ji jiif張量基本概念Appendix A.1自由指標表示：若輪流取該指標范圍內的任何值，自由指標表示：若輪流取該指標范圍內的任何值，關系式將始終成立。關系式

9、將始終成立。例如：表達式例如：表達式 在自由指標在自由指標 i 取取1 1，2 2，3 3時該式始終成立，即有時該式始終成立，即有iijjxa x 111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 張量基本概念同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指標應防止重名。標應防止重名。 自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現(xiàn)自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現(xiàn)的同名自由指標全部改成同一個新名字。的同名自由指標全部改成同一個新名字

10、。Appendix A.1,0ji jif,0ji jif,0jk jkfi換成換成k張量基本概念Appendix A.1指標符號也適用于微分和導數(shù)表達式。例如，三維指標符號也適用于微分和導數(shù)表達式。例如，三維空間中線元長度空間中線元長度 ds 和其分量和其分量 dxi 之間的關系之間的關系2222123ddddsxxx可簡寫成：可簡寫成：2dddiisxx場函數(shù)場函數(shù) f(x1, x2, x3) 的全微分：的全微分：ddiiffxx張量基本概念Appendix A.1可用同項內出現(xiàn)兩對可用同項內出現(xiàn)兩對( (或幾對或幾對) )不同啞指標的方法來不同啞指標的方法來表示多重求和。表示多重求和。例

11、如：例如：3311ijijijijija x xa x x 若要對在同項內出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和，若要對在同項內出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和，一般應加求和號。如：一般應加求和號。如：31 1 12223 3 31iiiia bca b ca b cabc 張量基本概念Appendix A.1一般說不能由等式一般說不能由等式iiiiabac兩邊消去兩邊消去ai導得導得iibc但若但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立殊值使得上式成立張量基本概念Appendix A.1小結通過啞指標可把許多項縮寫成一項，通過自由指標通過啞

12、指標可把許多項縮寫成一項，通過自由指標又把許多方程縮寫成一個方程。又把許多方程縮寫成一個方程。一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，若有一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，若有k個獨立的自由指標，其取值范圍是個獨立的自由指標，其取值范圍是1n，則這個方，則這個方程代表了程代表了nk 個分量方程。在方程的某項中若同時出個分量方程。在方程的某項中若同時出現(xiàn)現(xiàn)m對取值范圍為對取值范圍為1n的啞指標，則此項含相互迭的啞指標，則此項含相互迭加的加的nm個項。個項。張量基本概念平衡微分方程0iiijF,220tuFzyxxzxyxx00zzyzzyzyyxyFzyxFzyx2.4 平衡方程平衡方程2如果

13、應力張量能夠描述一點的應力狀態(tài)，則如果應力張量能夠描述一點的應力狀態(tài)，則1.應力張量可以描述其它應力參數(shù)；應力張量可以描述其它應力參數(shù)；2. 坐標變換與應力張量關系；坐標變換與應力張量關系；3. 最大應力及其方位的確定。最大應力及其方位的確定。公式表明：已知應力公式表明：已知應力9個分量，可以確定任意個分量，可以確定任意方位微分面的應力矢量。方位微分面的應力矢量。當然可以確定正應力當然可以確定正應力 n與切應力與切應力 n。jijinp應力矢量與應力分量的關應力矢量與應力分量的關系系2.5 應力狀態(tài)應力狀態(tài)2zzyzxyzyyxxzxyxijl 應力不僅隨位置改變而變化，應力不僅隨位置改變而變

14、化，而且隨截面方位改變而變化。而且隨截面方位改變而變化。l 同一點由于截面的法線方向不同一點由于截面的法線方向不同，截面上的應力也不同。同，截面上的應力也不同。l 討論應力分量在坐標變換時的討論應力分量在坐標變換時的變化規(guī)律。變化規(guī)律。 2.5應力狀態(tài)應力狀態(tài)32.5應力狀態(tài)應力狀態(tài)3xyzl1m1n1l2m2n2l3m3n3xyz zyzxzzyyxyzxyxxj izzyzxyzyyxxzxyxij2.5應力狀態(tài)應力狀態(tài)3111111111nmlfnmlfnmlfzyzxzzxzyyxyyxzxyxxxx32132eeeeee1,單位矢量321efefeffzxyxxxx333222111

15、nfmflfnfmflfnfmflfzxyxxxzxzxyxxxyxzxyxxxx2.5應力狀態(tài)應力狀態(tài)31331133113313131311221122112212121211111112121222mlmlnlnlnmnmnnmml lmlmlnlnlnmnmnnmml lmlnlnmmlxyxzyzzyxzxxyxzyzzyxyxxyzxyzyxx通過坐標軸輪換可得其余6個應力分量，詳見書本。 任意斜截面的應力任意斜截面的應力 轉軸公式轉軸公式 應力分量應力分量滿足滿足張量張量變化規(guī)則變化規(guī)則 應力張量應力張量為二階對稱張量為二階對稱張量 轉軸公式表明：新坐標系下的六個應力分量可通過原

16、坐標轉軸公式表明：新坐標系下的六個應力分量可通過原坐標系的應力分量確定。系的應力分量確定。 應力張量應力張量可以確定一點的可以確定一點的應力狀態(tài)應力狀態(tài)。 坐標軸轉軸后，應力分量發(fā)生改變。但是作為整體所描述坐標軸轉軸后，應力分量發(fā)生改變。但是作為整體所描述的的應力狀態(tài)沒有變化應力狀態(tài)沒有變化。 2.5應力狀態(tài)應力狀態(tài)4jjiiijjinn平面應力狀態(tài)轉軸公式平面應力狀態(tài)轉軸公式彈性力學以坐標系定義應力分量；彈性力學以坐標系定義應力分量； 材料力學以變形效應定義應力分量。材料力學以變形效應定義應力分量。正應力二者定義沒有差異正應力二者定義沒有差異而切應力定義方向不同而切應力定義方向不同2.45應

17、力狀態(tài)應力狀態(tài)5)sin(cossincos)()sin(coscossin)sincossincos221222222xyyxyxxyyxyxyyxx轉軸公式描述了應力隨坐標轉動的變化規(guī)律描述了應力隨坐標轉動的變化規(guī)律結構強度分析需要簡化和有效的參數(shù)結構強度分析需要簡化和有效的參數(shù)最大正應力、最大切應力以及以及方位主應力和和主平面應力狀態(tài)分析重要參數(shù)應力狀態(tài)分析重要參數(shù)應力不變量進一步探討進一步探討應力狀態(tài) 主應力和主平面 主應力分析主應力分析0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx關于l，m，n的齊次線性方程組，非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即0zzyz

18、xyzyyxxzxyx2.6 主應力主應力2展開 032213IIInfmflfvzvyvx,032213IIIzyxI1其中：其中： 主元之和主元之和 ij2222xzyzxyxzzyyxI代數(shù)主子式之和代數(shù)主子式之和zzyzxyzyyxxzxyxI3應力張量元素應力張量元素構成的行列式構成的行列式主應力特征方程2.6 主應力主應力3 應力狀態(tài)特征方程應力狀態(tài)特征方程 確定彈性體內部任意一點主應力和應力主軸方向。確定彈性體內部任意一點主應力和應力主軸方向。 主應力和應力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，主應力和應力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標軸的選取無關。與坐標軸的選取無

19、關。 因此，特征方程的根是確定的，即因此，特征方程的根是確定的，即I1 1、I2 2、I3 3的值是不隨坐的值是不隨坐標軸的改變而變化的。標軸的改變而變化的。 I1 1、I2 2、I3 3 分別稱為應力張量的分別稱為應力張量的第一、第二和第三第一、第二和第三不變量不變量。2.6 主應力主應力4特征方程有三個實數(shù)根特征方程有三個實數(shù)根 1 1， 2 2， 3 3分別表示這三個根，代表某點三個分別表示這三個根，代表某點三個主應力。主應力。對于對于應力主方向應力主方向，將，將 1 1， 2 2， 3 3分別代入分別代入和和 l2+m2+n2=1則可求應力主方向。則可求應力主方向。0)(0)(0)(n

20、mlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx2.6 主應力主應力5主應力和應力主方向取決于結構外力和約束條件，與坐標系無關。因此特征方程的三個根是確定的。特征方程的三個根，即一點的三個主應力均為實數(shù)。根據(jù)三次方程性質可以證明。任意一點三個應力主方向是相互垂直的三個應力主軸正交的。應力不變量性質應力不變量性質坐標系的改變導致應力張量各分量變化，但應力狀態(tài)不變。應力不變量正是對應力狀態(tài)性質的描述。2.6 主應力主應力6不變性實數(shù)性正交性應力不變量性質應力不變量性質2.6 主應力主應力6 極值性主應力1和3是一點正應力的最大值和最小值。在主坐標系中，任意斜截面上正應力的表達式：222112233

21、=n 2211222331 =()() 2213123233 =()() 下面證明下述結論：下面證明下述結論：1.若若123，特征方程無重根；特征方程無重根； 應力主軸必然相互垂直應力主軸必然相互垂直；2.若若123，特征方程有兩重根；特征方程有兩重根； 1和和 2的方向必然垂直于的方向必然垂直于 3的方向。而的方向。而 1和和 2的方向可以的方向可以是垂直的，也可以不垂直；是垂直的，也可以不垂直；3. 若若1=2=3，特征方程有三重根；特征方程有三重根； 三個應力主軸可以垂直，也可以不垂直，三個應力主軸可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是應任何方向都是應力主軸力主軸。2.6 主應力主應力7

22、設1，2，3 的方向分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），則 0)(0)(0)(111111111111nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx0)(0)(0)(222222222222nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx0)(0)(0)(333333333333nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx分別乘以l2，m2，n2 分別乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得 0)(21212121nnmml l0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmll2.6 主應力主應力80)(21212121nnmml

23、l0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmll如果 123000313131323232212121nnmmllnnmmllnnmmll3個應力主方向相互垂直 如果 1=2300313131323232nnmmllnnmmll212121nnmmll可以等于零，也可以不等于零。 3與1和2的方向垂直，而1和2的方向可以垂直或不垂直。3的垂直方向都是1和2的應力主向。2.6 主應力主應力9如果 1=2=3則 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可為零或者不為零。任何方向都是應力主方向。 因此問題可證。1.若123，應

24、力主軸必然相互垂直；2.若123，1和2必然垂直于3。而1和2可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若1=2=3，任何方向都是應力主軸。2.6 主應力主應力10例：已知受力物體中某點的應力分量為（單位：MPa）試求主應力分量及主方向余弦。100,160,140,40,120,0 xyzxyyzzx 100400401601200120140ij 解：此點的應力狀態(tài)張量的矩陣形式為：321230III1222222231203640023456000 xyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxyIII 首先，求出應力不變量為于是，特征方程為321203640034560000求

25、解此特征方程，得三個主應力分別為32120364003456000 0123214.688.2182.8 2220001xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmnlmn將三個主應力值依次分別代入上式中的任意兩式，并利用關系式 ，聯(lián)立求解即可得到三個主方向的方向余弦。例如為求1的方向余弦，l1、m1、n1，將1214.6代入上式的前兩式得2221lmn1111122211157.32002027.36001lmlmnlmn1110.3140.9000.305lmn 主應力 & 應力不變量同樣可得其余兩組方向余弦為：主應力：主方向方向余弦：1123212321230.3140.900

26、0.3050.9480.282+0.1460.0480.3370.940 eeeeeeeee123214.6, 88.2, 182.8 (0.948, 0.282, 0.146); ( 0.048, 0.337, 0.940) 主應力是一點所有微分面上最大或最小的正應力。主應力是一點所有微分面上最大或最小的正應力。 主應力和主平面分析確定最大正應力及其作用方位；主應力和主平面分析確定最大正應力及其作用方位； 最大切應力的確定。最大切應力的確定。 討論任意截面正應力和切應力的變化趨勢討論任意截面正應力和切應力的變化趨勢應力圓。 最大切應力以及方位的確定。最大切應力以及方位的確定。2.6 主應力主

27、應力112.7 切應力切應力應力圓最大切應力方位在主應力坐標系中：約束條件：11122233322222222211223322221 122332222222()iiniiniiii eee22212310f 應力張量的分解應力張量的分解 應力球量改變單元體體積，應力球量改變單元體體積， 應力偏量改變單元體形狀。應力偏量改變單元體形狀。 Chapter 3.3 應力偏量將應力張量分解成球形張量和偏斜張量其中球形應力張量：0I00000000100 300ijijkk 00ijijIe eChapter 3.3應力偏量ijije e 1101213021220233132330ijijij 0kk 八面體單元八面體單元13212