概率統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)精要

1、第八章假設(shè)檢驗(yàn)8.1 假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想8.2 正態(tài)總體未知參數(shù)的 假設(shè)檢驗(yàn)8.3 單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn) 上一章介紹了對(duì)總體中未知參數(shù)的估計(jì)方法。 本章將討論統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要方面統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。出于某種需要，對(duì)未知的或不完全明確的總體給出某些假設(shè)，用以說(shuō)明總體可能具備的某種性質(zhì)，這種假設(shè)稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如正態(tài)分布的假設(shè)，總體均值的假設(shè)等。這個(gè)假設(shè)是否成立，還需要考察，這一過(guò)程稱為假設(shè)檢驗(yàn)，并最終作出判斷，是接受假設(shè)還是拒絕假設(shè)。 本章主要介紹假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想和常用的檢驗(yàn)方法，重點(diǎn)解決正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 。 1假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想一、 假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的提出 二、假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想 三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)

2、誤 統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要問(wèn)題是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。在總體的分布函數(shù)未知或只知其形式，但不知其參數(shù)的情況下，為了推斷總體的某些性質(zhì)，提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。例如，提出總體服從泊松分布的假設(shè)，又如，對(duì)于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)期望 0的假設(shè)等。 這里，先結(jié)合例子來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想和做法。 假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷：是接受，還是拒絕。例1 某煉鐵廠的鐵水含碳量X在某種工藝條件下服從正態(tài)分布N(4.55，0.1082)?，F(xiàn)改變了工藝條件，測(cè)了五爐鐵水，其含碳量分別為： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，總體的方差2= 0.1082一般不會(huì)改變。試問(wèn)工藝條件改變

3、后，鐵水含碳量的均值有無(wú)改變？ 顯然，這里需要解決的問(wèn)題是，如何根據(jù)樣本判斷現(xiàn)在冶煉的鐵水的含碳量是服從4.55的正態(tài)分布呢？還是與過(guò)去一樣仍然服從 =4.55的正態(tài)分布呢？假設(shè)是前者，可以認(rèn)為新工藝對(duì)鐵水的含碳量有顯著的影響；假設(shè)是后者，那么認(rèn)為新工藝對(duì)鐵水的含碳量沒(méi)有顯著影響。通常，選擇其中之一作為假設(shè)后，再利用樣本檢驗(yàn)假設(shè)的真?zhèn)巍?例2 某自動(dòng)車床生產(chǎn)了一批鐵釘，現(xiàn)從該批鐵釘中隨機(jī)抽取了11根，測(cè)得長(zhǎng)度(單位：mm)數(shù)據(jù)為： 10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64， 10.82， 10.49，10.38，10.59，10.54。試問(wèn)鐵釘?shù)拈L(zhǎng)度X是否服從正態(tài)

4、分布？ 而在本例中，我們關(guān)心的問(wèn)題是總體X是否服從正態(tài)分布。 如同例1那樣，選擇“是或“否作為假設(shè)，然后利用樣本對(duì)假設(shè)的真?zhèn)巫鞒雠袛唷?以上兩例都是實(shí)際問(wèn)題中常見的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。 我們把問(wèn)題中涉及到的假設(shè)稱為原假設(shè)或稱待檢假設(shè)，一般用H0表示。而把與原假設(shè)對(duì)立的斷言稱為備擇假設(shè)，記為H1。 如例1，假設(shè)原假設(shè)為H0：= 0=4.55，那么備擇假設(shè)為H1：4.55。 假設(shè)例2的原假設(shè)為H0：X服從正態(tài)分布，那么備擇假設(shè)為H1：X不服從正態(tài)分布。 當(dāng)然，在兩個(gè)假設(shè)中用哪一個(gè)作為原假設(shè)，哪一個(gè)作為備擇假設(shè)，視具體問(wèn)題的題設(shè)和要求而定。 在許多問(wèn)題中，當(dāng)總體分布的類型時(shí)，只對(duì)其中一個(gè)或幾個(gè)未知參數(shù)作出

5、假設(shè)，這類問(wèn)題通常稱之為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，如例1。 而在有些問(wèn)題中，當(dāng)總體的分布完全不知或不確切知道，就需要對(duì)總體分布作出某種假設(shè)，這種問(wèn)題稱為分布假設(shè)檢驗(yàn)，如例2。 接下來(lái)我們要做的事是：給出一個(gè)合理的法那么，根據(jù)這一法那么，利用巳知樣本做出判斷是接受假設(shè)H0 ，還是拒絕假設(shè)H0。二、假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想 假設(shè)檢驗(yàn)的一般提法是：在給定備擇假設(shè)H1下，利用樣本對(duì)原假設(shè)H0作出判斷，假設(shè)拒絕原假設(shè)H0，那就意味著接受備擇假設(shè)H1，否那么，就接受原假設(shè)H0。 換句話說(shuō)，假設(shè)檢驗(yàn)就是要在原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1中作出拒絕哪一個(gè)和接受哪一個(gè)的判斷。究竟如何作出判斷呢？對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的依據(jù)是所謂小概率

6、原理，即 概率很小的事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生! 假設(shè)檢驗(yàn)采用的是概率反證法：先假設(shè)原假設(shè)成立，在此根底上用樣本值進(jìn)行運(yùn)算，在一定的標(biāo)準(zhǔn)下，樣本運(yùn)算的結(jié)果導(dǎo)致小概率事件發(fā)生，那么拒絕原假設(shè)；否那么，接受原假設(shè)。參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟： (1)根據(jù)所討論的實(shí)際問(wèn)題建立原假設(shè)H0及備擇假設(shè)H1； (2)選擇適宜的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z，并明確其分布； (3)對(duì)預(yù)先給定的小概率0，由P|Z|z/2= 確定臨界值z(mì)/2 ； (4)由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z(mì)，并作出判斷，假設(shè)|z|z/2 ，那么拒絕H0，接受H1；假設(shè)|z| z/2 ，那么接受H0。 例1 某煉鐵廠的鐵水含碳量X在某種工藝條件下服

7、從正態(tài)分布N(4.55，0.1082)?，F(xiàn)改變了工藝條件，測(cè)了五爐鐵水，其含碳量分別為： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，總體的方差2= 0.1082一般不會(huì)改變。試問(wèn)工藝條件改變后，鐵水含碳量的均值有無(wú)改變？(1)假設(shè)H0：= 0=4.55，H1：4.55； (2)選擇檢驗(yàn)用統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)于給定小正數(shù)，如=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分表得到臨界值z(mì)/2 =z0.025 =1.96； 因?yàn)閨 z|=3.91.96，所以拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為新工藝改變了鐵水的平均含碳量。(4)具體計(jì)算：這里n=5，故Z的觀察值解：三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)誤 第類錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0為真

8、時(shí)，卻作出拒絕H0的判斷，通常稱之為棄真錯(cuò)誤，由于樣本的隨機(jī)性，犯這類錯(cuò)誤的可能性是不可防止的。假設(shè)將犯這一類錯(cuò)誤的概率記為 ，那么有P拒絕H0|H0為真=。 第類錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0不成立時(shí)，卻作出接受H0的決定，這類錯(cuò)誤稱之為取偽錯(cuò)誤，這類錯(cuò)誤同樣是不可防止的。假設(shè)將犯這類錯(cuò)誤的概率記為 ，那么有P接受H0|H0為假= 。 自然，我們希望一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)所作的判斷犯這兩類錯(cuò)誤的概率都很小。事實(shí)上，在樣本容量n固定的情況下，這一點(diǎn)是辦不到的。因?yàn)楫?dāng)減小時(shí)，就增大；反之，當(dāng)減小時(shí)，就增大。 那么，如何處理這一問(wèn)題呢？ 事實(shí)上，在處理實(shí)際問(wèn)題中，一般地，對(duì)原假設(shè)H0，我們都是經(jīng)過(guò)充分考慮的情況下建立的

9、，或者認(rèn)為犯棄真錯(cuò)誤會(huì)造成嚴(yán)重的后果。因此，在H0與H1之間，我們主觀上往往傾向于保護(hù)H0，即H0確實(shí)成立時(shí)，作出拒絕H0的概率應(yīng)是一個(gè)很小的正數(shù)，也就是將犯棄真錯(cuò)誤的概率限制在事先給定的范圍內(nèi)，這類假設(shè)檢驗(yàn)通常稱為顯著性假設(shè)檢驗(yàn)，小正數(shù)稱為檢驗(yàn)水平或稱顯著性水平。 8.2 正態(tài)總體下未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 一、單個(gè)正態(tài)總體情形 1均值的檢驗(yàn) 原假設(shè)H0： = 0，備擇假設(shè)H1： 0。 (a)2 由上節(jié)的討論可知，在H0成立的條件下，選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 對(duì)給定的檢驗(yàn)水平，查正態(tài)分布表得臨界值z(mì)/2，再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z(mì)并與z/2比較 ，假設(shè)|z|z/2 ，那么拒絕H0，接受H1；假設(shè)|

10、z| z/2 ，那么接受H0。這種檢驗(yàn)法常稱為Z檢驗(yàn)法。一、單個(gè)正態(tài)總體情形 例1 設(shè)某車床生產(chǎn)的鈕扣的直徑X服從正態(tài)分布，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車床工作正常時(shí)，生產(chǎn)的鈕扣的平均直徑0=26mm，方差2 =2.62。某天開機(jī)一段時(shí)間后，為檢驗(yàn)車床工作是否正常，隨機(jī)地從剛生產(chǎn)的鈕扣中抽檢了100粒，測(cè)得均值為26.56。假定方差沒(méi)有什么變化。試分別在1=0.05，2=0.01下，檢驗(yàn)該車床工作是否正常？ 由1=0.05及2=0.01，查正態(tài)分布表，得臨界值z(mì)1/2 = z0.025=1.96，z2/2 = z0.005=2.58。而解：原假設(shè)H0： = 0，備擇假設(shè)H1： 0。 因此，| z |=2

11、.151.96，但| z |=2.152.58，故在檢驗(yàn)水平1=0.05下，應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為該天車床工作不正常；而在檢驗(yàn)水平2=0.01下，應(yīng)當(dāng)接受H0，即認(rèn)為該天車床工作是正常的。上例說(shuō)明：1對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，同一個(gè)樣本，由于檢驗(yàn)水平不一樣，可能得出完全相反的結(jié)論。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，如何合理地選擇檢驗(yàn)水平是非常重要的。 (b) 2未知由于2未知，因此，不能用Z作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，但注意到樣本方差 是2的無(wú)偏估計(jì)量，因此，我們自然會(huì)想到用s2代替2，而在第六章的定理3也已經(jīng)證明，在H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量 于是，對(duì)給定的顯著性水平0，查t分布表可得臨界值t/2，使P|t| t/2=成

12、立。再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t，并與t/2比較，假設(shè)| t |t/2，那么拒絕H0，接受H1；假設(shè)| t |t/2，那么接受H0。這種檢驗(yàn)法也稱為t 檢驗(yàn)法。 例2 某廠利用某種鋼生產(chǎn)鋼筋，根據(jù)長(zhǎng)期資料的分析，知道這種鋼筋強(qiáng)度X服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取六根鋼筋進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，測(cè)得強(qiáng)度X(單位：kg/mm2)為 48.5，49.0，53.5，56.0，52.5，49.5。試問(wèn)：能否據(jù)此認(rèn)為這種鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0 kg/mm2(=0.05)? 解 設(shè)XN(，2)， 依題意建立假設(shè)H0： = 0，H1： 0。 這里2未知，故在H0成立的條件下應(yīng)選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 由 =0.05，查t分布表

13、得臨界值 t/2 =t0.025(61)=2.571。 又由樣本值算得 因?yàn)?，| t |0.412.571，故接受H0，即可以認(rèn)為這種鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0 kg/mm2。 2方差的檢驗(yàn) 設(shè)總體XN(，2)，均未知，(X1，X2，Xn)來(lái)自總體X的樣本，要求進(jìn)行的檢驗(yàn)(設(shè)顯著性水平為0)為 原假設(shè)H0： = ，備擇假設(shè)H1： 。 是 的無(wú)偏估計(jì)量，因此由第六章的定理3知當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 因此對(duì)給定檢驗(yàn)水平 0，由2分布表求得臨界值 (n1)及 (n1)使 再由樣本值(x1, x2, , xn)具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量2的觀察值 判斷：這種檢驗(yàn)法稱為2檢驗(yàn)法。 例4 某種電子元件的壽命(單位：h)

14、XN (，2)，其中，2未知?，F(xiàn)檢測(cè)了16只電子元件，其壽命如下： 159，280，101，212，224，279，179，264， 222，362，168，250，149，260，485，170。試問(wèn)元件壽命的方差2是否等于1002(=0.05)？ 解 依題意，假設(shè)H0：2=1002，H1：21002，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 因此對(duì)給定檢驗(yàn)水平 =0.05，由2分布表求得臨界值又據(jù)樣本值算得： 因?yàn)?.26212.8127.488，所以，應(yīng)接受H0，即可以認(rèn)為電子元件壽命的方差2與1002無(wú)顯著差異。 在實(shí)際應(yīng)用中，常常遇到兩正態(tài)總體參數(shù)的比較問(wèn)題，如兩個(gè)車間生產(chǎn)的燈泡壽命是否相同；兩批電子元件的電

15、阻是否有差異；兩臺(tái)機(jī)床加工零件的精度是否有差異等等。一般都可歸納為兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。 因此，對(duì)給定顯著性水平0，可查t分布表求得臨界值t/2(n1+n22)。再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t，并與t/2(n1+n22)比較，假設(shè)|t| t/2(n1+n22) ，那么拒絕H0，接受H1；假設(shè)|t| t/2(n1+n22) ，那么接受H0。 例5 從甲、乙兩煤礦各抽樣數(shù)次，測(cè)得其含灰率(%)如下： 甲礦：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4； 乙礦：18.2，16.9，20.2，16.7假設(shè)各煤礦含灰率都服從正態(tài)分布且方差相等。試問(wèn)甲、乙兩煤礦含灰率有無(wú)顯著差異(=0.05

16、)？ 解 依題意，假設(shè)H0：1=2，H1：12。 對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 =0.05，查t分布表得臨界值 又由樣本觀察值算得 ： 由于2.2452.365，故接受H0，即可以認(rèn)為兩煤礦的含灰率無(wú)顯著差異。 注意到2.245與臨界值2.365比較接近，為慎重起見，最好再抽樣一次，并適當(dāng)增加樣本容量，重新進(jìn)行一次計(jì)算再作決定。 例6 下面分別給出兩個(gè)文學(xué)家馬克吐溫(Mark Twain)的8篇小品文以及斯諾特格拉斯(Snodgrass)的10篇小品文中由3個(gè)字母組成的詞的比例： 馬克吐溫： 0.225，0.262，0.217，0.240，0.230，0.229，0.235，0.217 斯諾特格拉斯：0.

17、209，0.205，0.196，0.210，0.202，0.207，0.224，0.223，0.220，0.201 設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別來(lái)自正態(tài)總體,且兩總體方差相等,兩樣本相互獨(dú)立.問(wèn)兩個(gè)作家所寫的小品文中包含3個(gè)字母組成的詞的比例是否有顯著的差異(取 =0.05)? 對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 =0.05，查t分布表得臨界值 拒絕H0 ，即認(rèn)為兩個(gè)作家所寫的小品文中包含由3個(gè)字母組成的詞的比例有顯著的差異。 2、兩總體方差比 的檢驗(yàn)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。因此，當(dāng)H0成立時(shí)，即 ，我們可取對(duì)給定的正數(shù)0，由 可得臨界值 ： 再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的觀察值 f 之值，并與臨界值相比較： 那么拒絕H0，接受H1；

18、 那么接受H0。這種檢驗(yàn)法稱為F 檢驗(yàn)法。 例5 從某鋅礦的東,西兩支礦脈中,各抽取樣本容量分別為9與8的樣本進(jìn)行測(cè)試,得樣本含鋅平均數(shù)及樣本方差如下:東支: =0.230. =0.1337. =9；西支: =0.269, =0.1736, =8。 若東、西兩支礦脈的含鋅量都服從正態(tài)分布，問(wèn)東、西兩支礦脈 含鋅量的平均值是否可以看作一樣(=0.05)?解：此題是在未知方差，又沒(méi)有說(shuō)明方差是否相等的情況下要求檢驗(yàn)兩總體均值是否相等的問(wèn)題，首先必須檢驗(yàn)方差是否相等： 12=22,即檢驗(yàn)假設(shè)H0: 12=22。 因0.204f=0.7702 t/2(n1+n2-2),由n1=9，n2=8, =0.0

19、5, 得t /2(n1-1，n2-2)=t0.025(15)=2.1315。因此H0 的拒絕域?yàn)閨t|2.1315。 因t 沒(méi)有落入拒絕域，故H0 相容，認(rèn)為東、西兩支礦脈的平均含鋅量可以看作一樣，無(wú)顯著差異。樣本均值之間的差異可以認(rèn)為是由隨機(jī)性所導(dǎo)致的，而不是系統(tǒng)偏差。8.3 單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn) 以上介紹的假設(shè)檢驗(yàn)，歸納起來(lái)為下面兩種形式： (1)原假設(shè)H0：=0，備擇假設(shè)H1：0，其中0為某一常數(shù)； (2)原假設(shè)H0： 1=2，備擇假設(shè)H1： 12，其中1，2分別為兩相互獨(dú)立的總體X與Y的參數(shù)。 這類假設(shè)的共同特點(diǎn)是，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值與臨界值比較，無(wú)論是偏大還是偏小，都應(yīng)否認(rèn)H0，接受H1。

20、因此，通常也稱為雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)。 但在某些實(shí)際問(wèn)題中，例如，對(duì)于設(shè)備、元件的壽命來(lái)說(shuō)，壽命越長(zhǎng)越好，而產(chǎn)品的廢品率當(dāng)然越低越好，同時(shí)均方差越小也是我們所希望的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，除了上述的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)之外，還有許多其它形式的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：(3)原假設(shè)H0：0(或0)， 備擇假設(shè)H1：0(或0)。其中為總體X的未知參數(shù)，0為一常數(shù)； (4)原假設(shè)H0：12(或12)， 備擇假設(shè)H1：12(或12)。其中1，2為相互獨(dú)立的總體X與Y的未知參數(shù)。 (3)、(4)兩種統(tǒng)計(jì)假設(shè)，常稱之為單側(cè)假設(shè)，相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)稱為單側(cè)左、右假設(shè)檢驗(yàn)。 例1 某廠生產(chǎn)的電子元件的壽命(單位：h)XN(，2)，其中未知。但

21、據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，電子元件的壽命一直穩(wěn)定在0=200小時(shí)，現(xiàn)該廠對(duì)生產(chǎn)工藝作了某些改進(jìn)，為了了解技術(shù)革新的效果，從剛生產(chǎn)的電子元件中任意抽取16只，測(cè)得壽命如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。試問(wèn)：工藝改進(jìn)后，在檢驗(yàn)水平=0.05下是否可以認(rèn)為元件的平均壽命有了顯著的提高？ 解 顯然，該問(wèn)題是要判斷新產(chǎn)品的壽命是否服從200小時(shí)的正態(tài)分布？由此，建立假設(shè)原假設(shè)H0：0=200，備擇假設(shè)H1：200。 分兩種情況討論 ：1)當(dāng)=0時(shí)，由于2未知，取統(tǒng)計(jì)量 因此，對(duì)給定的小正數(shù)，由P tt(n-1)得臨界

22、值t(n-1)。顯然， 是概率為的小概率事件或t t(n-1)是H0的拒絕域。 2)當(dāng)0，只要由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值tt(n-1)，就應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1；否那么就接受H0。 現(xiàn)在我們來(lái)解決例1。 由樣本觀察值具體計(jì)算得: 由=0.05查t分布表得臨界值 所以，應(yīng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為經(jīng)過(guò)工藝改進(jìn)后，元件的平均壽命有了顯著的提高。 其它類似的情況見書P178頁(yè)表8-1。例2某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃料率X服從正態(tài)分布N(，2)， =40cm/s， =2cm/s?，F(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器,從中隨機(jī)地取n=25只,測(cè)得燃燒率的樣本均值為 =41.25cm/s.設(shè)在新方法下總體均

23、方差仍為2cm/s,這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平=0.05。H1: 0即假設(shè)新方法提高了燃燒率解按題意需檢驗(yàn)假設(shè)H0: 0=40即假設(shè)新方法沒(méi)有提高燃燒率即z的值落在拒絕域中。所以我們?cè)陲@著性水平=0.05下，拒絕H0。即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著地提高。這是右側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，其拒絕域?yàn)?2)燈泡合格，即燈泡的使用壽命應(yīng)不顯著低于標(biāo)準(zhǔn)值 0=1000小時(shí)，因而屬單邊左側(cè)檢驗(yàn)。故待驗(yàn)假設(shè)應(yīng)為 注：題解中的能否換成H0： 1000， H1： 1000 (單邊右側(cè)檢驗(yàn))呢？答案是否認(rèn)的。 因?yàn)?，此時(shí)，t =1.81.75。故應(yīng)考慮接受H0： 1

24、000。但此時(shí)，既不能認(rèn)為這批元件是不合格的(有可能 =1000)，也不能認(rèn)為是合格的(有可能 1000)。由此可見，就此題的題設(shè)而言，待檢假設(shè)只能是H0： 1000， H0： 102。 (1)檢驗(yàn)假設(shè)H0： ，H1： 由于2未知，應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 由=0.05，查t分布表得臨界值 由樣本觀察值具體計(jì)算，得 因?yàn)?，故可以認(rèn)為平均每袋鹽的凈重為500g，即機(jī)器包裝沒(méi)有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。 (2)檢驗(yàn)假設(shè) 102， 。 這是方差的單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 由=0.05 ，查2分布表得臨界值 故拒絕 ，接受 ，即認(rèn)為其方差超過(guò)102。即包裝機(jī)工作雖然沒(méi)有系統(tǒng)誤差，但是不夠穩(wěn)定。因此，在顯著性水平=0

25、.05下，可以認(rèn)定該天包裝機(jī)工作不夠正常。 例6 有兩臺(tái)車床生產(chǎn)同一種型號(hào)的鋼球，根據(jù)已往的經(jīng)驗(yàn)可以認(rèn)為，這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的鋼球的直徑均服從正態(tài)分布。現(xiàn)從這兩臺(tái)車床生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出8個(gè)和9個(gè)鋼球，測(cè)得鋼球的直徑如下(單位：mm)：甲車床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8；乙車床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.9。試問(wèn)據(jù)此是否可以認(rèn)為乙車床生產(chǎn)的產(chǎn)品的方差比甲車床小(取=0.05)？ 解 提出假設(shè)H0 ： 1222，H1： 1222 選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 由=0.05 ，查F分布表得臨界值 由樣本觀

26、察值具體計(jì)算，得 故應(yīng)拒絕H0，接受H1，即可以認(rèn)為乙車床產(chǎn)品的直徑的方差比甲車床小。 例7 為了了解某種添加劑對(duì)預(yù)制板的承載力有無(wú)提高作用?，F(xiàn)用原方法(無(wú)添加劑)及新方法(添加該種添加劑)各澆制了10塊預(yù)制板，其承載數(shù)據(jù)(單位：kg/cm2)如下：原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3；新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1。設(shè)兩種方法所得的預(yù)制板的承載力均服從正態(tài)分布。試問(wèn)新方法能否提高預(yù)制板的承載力(取=0.05)？ 解 用X，Y分別表示兩種方法下預(yù)制板

27、的承載力。依題設(shè) ， ，因不知 ， ，是否相等，故首先應(yīng)檢驗(yàn)假設(shè) 由假設(shè)知應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 由=0.05 ，查F分布表得臨界值H0： = ，H1： 由樣本觀察值具體計(jì)算，得 因?yàn)?0.2481.494.03。故應(yīng)接受H0，即認(rèn)為兩種方法的方差無(wú)顯著差異，可以認(rèn)為相等，亦即其次在 的前提下，檢驗(yàn)假設(shè)： ：1 2， ： 1 2。 由于兩總體方差相等，因此可選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 由=0.05 ，查t分布表得臨界值 由于4.2951.734，所以應(yīng)拒絕，即認(rèn)為加進(jìn)添加劑生產(chǎn)的預(yù)制板承載力有明顯提高。 例8 按規(guī)定，每100g的罐頭，番茄汁中VC的含量不得少于21mg，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中任取17個(gè)，測(cè)得VC的含量單位：mg為16，22，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，