實(shí)變函數(shù)論課件5

1、目的：掌握n維空間中集合的內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、 聚點(diǎn)、開集、閉集等概念，熟練理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆蓋定理，能運(yùn)用這些定理解決一些 問題。重點(diǎn)與難點(diǎn)：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆蓋定理。一聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)與Bolzano- Weirstrass定理問題問題1 1：給定給定R Rn n中一個(gè)集合中一個(gè)集合E E及點(diǎn)及點(diǎn)P P，P P與與 E E有幾種可能的關(guān)系？有幾種可能的關(guān)系？定義定義1 設(shè) ，（i）若存在 ，使 ，則稱 為 的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)。（ii）若對(duì)任意 ， 則稱 為 的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)。（iii）若對(duì)任意 ， 中總有 中

2、除 外的 點(diǎn)，即 ,則稱 為 聚點(diǎn)聚點(diǎn)。nnRPRE0,0EPO),(00PE,)(),(,),(0ERPOEPOnEPPO),(0000),(0PO0P0PEEE0P 不難看到，如果對(duì)任意 ， ， 則 中一定含 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。定義定義2 2 若 ，則 的聚點(diǎn)全體記作 ，稱為 的導(dǎo)集， 稱為 的閉包，記為 。定理定理1 1 的充要條件是的充要條件是 為為 的一個(gè)極限點(diǎn)，的一個(gè)極限點(diǎn)， 即存在一串互異的即存在一串互異的 ，使得，使得 。 0EPPO),(00),(0POEnRE EEEEEEEEP0E0P)(0),(nPPnEPn 證明：充分性由聚點(diǎn)的定義不難得到。為證必要性，令 ，由于 ，故

3、，取 中可能有相同者，為避免這種情況發(fā)生，不妨取 ，則存在 ，使nn11nEP0EPPOn),(00nnnPEPPOP,),(00EPPOP),(0101 ，再取 ，假如已取到 個(gè)互不相同的點(diǎn) ，且 ，則取 ，顯然) 1, 2 , 1(),(0001nmiEPPOPini)(ijjjnn),(,min0ininPPimmmPP,1),(101PPn), 2 , 1(),(00miEPPOPmniEPPOPn),(0021但 ，于是可取從而 互不相同。由歸納法知可找到一串互異的點(diǎn) 滿足 。證畢。EPPOmn),(00EPPOPmnm),(00111,mPP kP0),(0knkPP定理定理2 2

4、 若若 ，則，則 。定理定理3 3 若若 ， 則則 nRBABAnnRBRA,BABA)(定理3的證明： 由于 ，由定理2立得 ?，F(xiàn)設(shè) ，則對(duì)任意 ， ，從而 含 或 中點(diǎn)，由定理1，知存在一串互異的點(diǎn) ，使BABBAA,)(BABA)(),(BAPPOB)(BAPA0),(PPOBAPn 中必有無(wú)窮多個(gè)都屬于 或都屬于 ，不妨設(shè) ，則由 ，知 。如果有無(wú)窮多個(gè)在 中，則將會(huì)有 ，總之 。從而 。 綜上 。證畢。 , 0),(nnPPP), 2 , 1( ,iAPinBABA)(AAPB0),(PPinBBPBAPBABA)(* *定理定理4 4 （波爾察諾（波爾察諾- -外爾斯特拉斯（外爾斯

5、特拉斯（BolzanoBolzano- - Weierstrass Weierstrass）定理）若）定理）若 是是 中一中一 個(gè)有界的無(wú)窮集合，則個(gè)有界的無(wú)窮集合，則 至少有一個(gè)至少有一個(gè) 聚點(diǎn)聚點(diǎn) ，即，即 。EEnREPBolzano- Weirstrass定理的證明： 為簡(jiǎn)單計(jì)，只就 的情形證之，一般情形可類似證明，只需將正方形換成 維立方體便可。因?yàn)?有界，故有常數(shù) ，使 ，用坐標(biāo)軸將 分為四個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)顯然為 ，由 是無(wú)窮的，顯然四個(gè)小正方形中，至少有一個(gè)閉正方形含 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，記此小正方形為 ，再次用平行于坐標(biāo)軸的直線將 分為四個(gè)2nnE| ,|),(1KyKx

6、yxSEK1S2KEE2S2S小正方形，則每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng) ，同理，其中至少有一個(gè)小閉正方形含中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，記此小 閉正方形為 。依此方式進(jìn)行下去，可得一串小閉正方形 ， 的邊長(zhǎng)為 ，且含 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。此外還有 ，于是由閉矩形套定理知 含唯一的點(diǎn)，記此點(diǎn)為 。則因?qū)θ我?， 是無(wú)窮集，任取 ，則 ，取 ，使 22K3SnSnSnK2EPnnSS11nnSnSESnKPP),(1)(11PESP1n ，則 ，取 ，則 ，假設(shè)已取了 個(gè)互異的點(diǎn) ， ，則取 使顯然 ，又取 ),(2211PPKn)(12PESPn11nSP 21PP m) 1, 2 , 1)(01nmiPESPinimPP1m

7、n),(min22PPKinm), 2 , 1(miSPmni)(1PESPmnm則 是 個(gè)互異點(diǎn)，且 ，這說(shuō)明 是 的極限點(diǎn)，從而 。證畢。 與聚點(diǎn)相對(duì)的概念是孤立點(diǎn)，集合 的邊界點(diǎn)若不是 的聚點(diǎn)，則稱為 的孤立點(diǎn)孤立點(diǎn)。當(dāng)然， 的孤立點(diǎn)一定在 中。如果 的每一點(diǎn)都是孤立點(diǎn)，則 稱 為孤立集合孤立集合。11mmPPP1mmnmKPP2),(PEEPEEEEEEE二開集與閉集問題問題3 3：回憶直線上的開區(qū)間與閉區(qū)間，它們：回憶直線上的開區(qū)間與閉區(qū)間，它們 有何異同？有何異同？定義定義3 3 若集合 的每一個(gè)點(diǎn)都它的內(nèi)點(diǎn)，則 稱 為開集。定義定義4 4 若 ，則稱 為閉集。按上述定義易得定理定

8、理5 5 ， 恒為閉集。恒為閉集。 EEEE EEE 證明：假設(shè) ，則對(duì) 的任意鄰域 ， ，任取 ，則由 知對(duì) 的任意鄰域 ，ExxOxO),(),(1E),(xOx)( ExExxO),(ExxOx),(1Ex11x),(1xO不妨設(shè) ，則 ，且 。任取 ，則 。這說(shuō)明， 的任意鄰域中均含 中除 外的點(diǎn)，從而 ，即 ，所以),(),(min11xxdistxxdist)(1xOx ),(),(1xOxOExxOx),(112ExxOx),(2 EE xExEx故而 是閉集。證畢。EEEEEEE) (E開集與閉集的關(guān)系： 定理定理6 6 假設(shè)假設(shè) ，則，則 是閉集當(dāng)且僅是閉集當(dāng)且僅 當(dāng)當(dāng) 是開

9、集。是開集。 推論推論1 1 若若 是開集，是開集， 是閉集，則是閉集，則 是開集，是開集， 是閉集。是閉集。 nRFFFRCFnFGFCGFGGFGCF開集、閉集的性質(zhì)：定理定理7 任意一簇閉集之交為閉集；任任意一簇閉集之交為閉集；任 意有限個(gè)閉集之并仍為閉集。意有限個(gè)閉集之并仍為閉集。 證明：不妨設(shè) 為閉集，因 ，故 ，從而 ，所以 是閉集。 下設(shè) 為閉集，則 ， 因此 為閉集。證畢。 FFFA,FFFFFFFFAAFniiiFFF1,FFFFFniiniinii111)(F定理定理8 8 任意一簇開集之并為開集，任任意一簇開集之并為開集，任 意有限個(gè)開集之交仍為開集。意有限個(gè)開集之交仍為

10、開集。 證明：設(shè) 為開集，則 ，由定理 6，每個(gè) 是閉集，再由定理7知 是閉集，從而 是開集。AAGGG)(,AnAncGRGRGF)(GRnFGFc又設(shè) 為開集，則 ，為有限個(gè)閉集的并，從而為閉集，所以 為開集。證畢。GiiniGGG,1cinicGG1 應(yīng)該注意到，任意多個(gè)開集之交未必是開集，任意多個(gè)閉集之并也未必是閉集，例如 前者為可數(shù)個(gè)開集之交，后者為可數(shù)個(gè)閉集之并。11),()1,1,)1,1(nnbanbnabanbna三Borel有限覆蓋定理 問題問題4 4：回憶數(shù)學(xué)分析中的有限覆蓋定理及回憶數(shù)學(xué)分析中的有限覆蓋定理及 其證明，該證明對(duì)其證明，該證明對(duì)R Rn n中的有界閉集中的

11、有界閉集 是否也適用？是否也適用？ 定理定理9 9（BorelBorel有限覆蓋定理）設(shè)有限覆蓋定理）設(shè)F F是有界是有界閉集，閉集， 是一簇開集，是一簇開集， F F，則一定存在則一定存在F F中有限個(gè)開集中有限個(gè)開集 ，使，使得得 F F。 證明：首先證明，一定存在證明：首先證明，一定存在 ，使得對(duì)，使得對(duì)任意任意 ， 包含在某個(gè)包含在某個(gè) 中。假若中。假若不然，不然，則對(duì)任意則對(duì)任意則對(duì)任意則對(duì)任意 ，存在，存在 ， |AGFGnGG,1iGni10Fx),(xOGnFxn使得使得 不包含任何屬于不包含任何屬于 的開集中。的開集中。從而可得從而可得F F中一串點(diǎn)列中一串點(diǎn)列 滿足滿足 （

12、任意（任意 ）。由于）。由于F F是有界集，故有收斂子列是有界集，故有收斂子列 ，設(shè)，設(shè) ，則，則因因F F閉，故閉，故 ，而由，而由 覆蓋覆蓋F F知存在某知存在某個(gè)個(gè) ，使，使 ，于是由，于是由 是開集知存是開集知存 )1,(nxOnFnxGnxOn)1,(FknxAxxknFxA00Gx0G在在 ，使，使 。注意到。注意到 因此當(dāng)因此當(dāng) 充分大時(shí)，必有充分大時(shí)，必有 。這與這與 的取法矛盾，所以一定有的取法矛盾，所以一定有 ，使，使得對(duì)任意得對(duì)任意 ， 包含在某個(gè)包含在某個(gè) 中。中。 00),(GxO0),(xxdistknk0)1(,GnxOknkknx0Fx),(xOG由由F F是有界的，可以用形如是有界的，可以用形如 的超平面將的超平面將F F分成有限多塊，使每一小塊