清華 質(zhì)點運動學

1、注意注意參照系不一定是靜止的。參照系不一定是靜止的。第一章第一章 質(zhì)點運動學質(zhì)點運動學1 1 參照系、質(zhì)點參照系、質(zhì)點一、運動、參照系：一、運動、參照系：運動是絕對的，而對運動的描述是相對的。運動是絕對的，而對運動的描述是相對的。參照系：參照系： 描述運動時選擇的一定的基準。描述運動時選擇的一定的基準。坐標系坐標系：為了定量地確定質(zhì)點在空間和時間上的位置而固為了定量地確定質(zhì)點在空間和時間上的位置而固定在參照系上一個框架。定在參照系上一個框架。在已定的參照系中存在兩類物理量：在已定的參照系中存在兩類物理量：時刻：時刻：位置：位置：時間軸上的點時間軸上的點空間軸上的點空間軸上的點狀態(tài)量狀態(tài)量時間間

2、隔：時間間隔：空間間隔：空間間隔：即時間。即時間?？臻g軸上的一段線段?？臻g軸上的一段線段。過程量過程量二、質(zhì)點：二、質(zhì)點：沒有大小和形狀，只具有全部質(zhì)量的一點沒有大小和形狀，只具有全部質(zhì)量的一點理想模型理想模型質(zhì)點不存在質(zhì)點不存在物體上各點運動狀態(tài)完全一致。物體上各點運動狀態(tài)完全一致。物體上任一點的運動可以代表所有點的運動物體上任一點的運動可以代表所有點的運動物體上各點運動狀態(tài)雖不一致，但差別不大。物體上各點運動狀態(tài)雖不一致，但差別不大。時間軸上的一段線段。時間軸上的一段線段。xyzo1 2 質(zhì)點運動的描述質(zhì)點運動的描述一、位置矢量一、位置矢量 ： r描述質(zhì)點位置的矢量，描述質(zhì)點位置的矢量，

3、簡稱簡稱“位矢位矢”。prxyz 是自參考點是自參考點O 到到 t 時刻質(zhì)點所時刻質(zhì)點所在位置在位置P 所引出的矢量。所引出的矢量。在直角坐標系有：在直角坐標系有：kzjyixr 可見：可見：位置矢量與質(zhì)點的位置一一對應。位置矢量與質(zhì)點的位置一一對應。二、運動方程：二、運動方程：ktzjtyitxtr)()()()( 運動方程矢量式運動方程矢量式ktzjtyitxtr)()()()( 運動方程矢量式：運動方程矢量式：分量式：分量式：)();();(tz zty ytxx 表示質(zhì)點運動空間位置的方程。表示質(zhì)點運動空間位置的方程。)();();(tz zty ytxx t消去消去f (x, y,

4、z)=0三、位移、路程：三、位移、路程：x y zor2 r1 r 初位置初位置A 引向引向t 時間間隔時間間隔的末位置的末位置B 的矢量。的矢量。12rrr jyyixx)()(1212 可見：位移是某一時間間隔內(nèi)位置矢量的增量?？梢姡何灰剖悄骋粫r間間隔內(nèi)位置矢量的增量。以下主要討論二維情況。以下主要討論二維情況。簡稱簡稱 “位移位移” B Ax y zor2 r1 r B A 質(zhì)點在一段時間間隔內(nèi)質(zhì)點在一段時間間隔內(nèi)走過的路徑。走過的路徑。jyyixxrrr)()(121212 大小：大?。?12212)()(yyxxr 方向：方向： 用位移與用位移與x 軸正向的夾角軸正向的夾角 表示表示

5、1212tanxxyy s 位移：位移： 矢量矢量路程：路程： 標量標量均為過程量。均為過程量。但一般情況：但一般情況：sr 位移與路徑無關。位移與路徑無關。 在相對靜止的兩坐標系中：在相對靜止的兩坐標系中：位移與坐標無關，但位置矢量與坐標有關位移與坐標無關，但位置矢量與坐標有關.12rrr 1 3 質(zhì)點運動的描述質(zhì)點運動的描述 一、速度：一、速度：A 平均速度平均速度 ：)( trr 設：設：t 時間內(nèi)的位移為時間內(nèi)的位移為r trV 系系Rtjtyitx jViVyx 大?。捍笮。悍较颍悍较颍簍rV r B 平均速率平均速率 ： tsV 一般情況：一般情況：VV 路程為路程為s 其中：其中

6、：A 定義：定義：t 0 時，平均速度的極限，時，平均速度的極限，簡稱速度。簡稱速度。trVt lim0trdd jViVyx B 分析：分析： 速度是一矢量。速度是一矢量。大小：大?。簍rVdd 稱為稱為“速率速率”方向：方向： 是質(zhì)點是質(zhì)點t 時刻的運動方向時刻的運動方向x y zor2r1 A Br jtyitxdddd txVtx lim0txdd tyVty lim0tydd trV 二、加速度：二、加速度：平均加速度：平均加速度：tVVtVa 12大?。捍笮。簍Va 方向：方向：V （瞬時）加速度：（瞬時）加速度：tVat lim0tVdd 22ddtr 可見：可見： 加速度、速度

7、與位置矢量一樣具有瞬時性。加速度、速度與位置矢量一樣具有瞬時性。22ddtra jtyitx2222dddd jaiayx 大小大小=方向：方向： 22yxaa V t 船的運動方向為船的運動方向為 -x 方向方向例：距水面例：距水面h 的高處有一定滑輪，現(xiàn)通過此定滑輪向岸邊拉船。的高處有一定滑輪，現(xiàn)通過此定滑輪向岸邊拉船。 若繩子一端的速度若繩子一端的速度 一定。一定。求：船距離岸邊為求：船距離岸邊為 x 時，船的速度、加速度。時，船的速度、加速度。0V0Vhx解：解：XYO取圖示坐標系，取圖示坐標系，則船的位矢為：則船的位矢為：rjhixr V (1) 0dddd itxtrV(2) dd

8、dd22itxtVa 對水平方向的繩子有：對水平方向的繩子有：trVdd0 由幾何關系：由幾何關系：222hxr txxtrrdd2dd2 trxrtxdddd 0VhxXYOrV(1) 0dddd itxtrV(2) dddd22itxtVa trVdd0 )(dd0Vxrtx 022Vxhx 320222ddxVhtx 代入代入 ixVhaiVxhxV3202022 自然系：自然系：軌跡軌跡軌跡上的任一點軌跡上的任一點A 可?。嚎扇。貉剀壽E在該點切線方向的切向單位矢量沿軌跡在該點切線方向的切向單位矢量 與切向正交，且指向軌跡曲線與切向正交，且指向軌跡曲線 凹側的法向單位矢量凹側的法向單位矢

9、量nn可見：可見：A. 自然系中的方向矢量不是常量。自然系中的方向矢量不是常量。B. VV 自然系中的加速度：自然系中的加速度： anaan tVadd )(dd Vt tVVtdddd比較可得：比較可得：22ddddtrtVa A tVVtadddd anaan 切向加速度切向加速度 ： a tVadd大小：大?。簍Vadd 方向：方向： 沿所討論點的切線方向沿所討論點的切線方向 ： naVtan dd )(t )(tt )()(ttt 時時 0 t0 )(t 時時即：即： 0 tn 1且：且：軌跡軌跡 nA)(t )(tt Vtan dd n ttt limdd0nt dd ntss dd

10、dd Vts dd（速率）（速率） 1dd s其中其中 為為t 時刻該點附近曲線的曲率半徑。時刻該點附近曲線的曲率半徑。nVt ddnVVtan 2dd 大?。捍笮。?2Van 方向：方向：n沿法線指向曲線的凹側沿法線指向曲線的凹側 )(lim0ntt 時時 0t 綜上可知，在自然坐標系中有：綜上可知，在自然坐標系中有： aaan大?。捍笮。?22)dd()(tVV 方向：方向： aan tan) (,Va 按照按照an 、a 的情況可以將平面運動進行分類：的情況可以將平面運動進行分類：a =0a 0an=0an0勻速、直線勻速、直線變速、直線變速、直線勻速、曲線勻速、曲線變速、曲線變速、曲線

11、（an=k，勻速圓周）勻速圓周）（一般曲線運動）（一般曲線運動）（改變（改變 大?。┐笮。￢（改變（改變 方向）方向）V14 運動學問題分析運動學問題分析存在兩類問題：存在兩類問題：)(trr trtVVdd)( 22dddd)(trtVtaa 一、直線運動：一、直線運動：微分法：微分法：)(txx txtVVdd)( 22dddd)(txtVtaa 積分法：積分法：)(taa 初始條件初始條件 )(tVV )(txx )(xaa 變量代換變量代換tVadd txxVdddd xVVdd VVxadd )0( na二、拋體運動：二、拋體運動：特點：在不考慮空氣阻力的情況下：特點：在不考慮空氣阻

12、力的情況下：a = g 討論直角坐標系的情況：討論直角坐標系的情況：yxo0V0 以初拋位置為原點建立以初拋位置為原點建立Rt坐標系坐標系則：則：)1( jga 初始條件：初始條件：0, 000 rVVt，時時 tVVtaV0dd0)2( 0taVV trtVr00dd tttaV00d)()3( 2120tatVr 將上式投影：將上式投影： 2000021sincosgttVytVx )(trr trtVVdd)( 22dddd)(trtVtaa 2000021sincosgttVytVx yxo0V0 運動軌跡：運動軌跡：)(xfy 202200cos2tanxVgx R射程射程R ：令令

13、 y=0 得：得：02002sin gVxRy 最大高度最大高度h ：0dd ty令令飛行時間飛行時間t ：最高點：最高點：0dd ty001sin gVt 001sin22 gVtt 三、圓周運動：三、圓周運動： 物理量：物理量：位置：位置： 弧坐標弧坐標 S=S(t)路程：路程： 弧長的變化量弧長的變化量 S線速率：線速率：tsVdd 線加速率：線加速率：tVadd 22ddts 2Van RV2 運動規(guī)律：運動規(guī)律：勻速圓周運動：勻速圓周運動：變速圓周運動：變速圓周運動：Vts RVan2 0 a2021tatVs 22 aaan R1V2V )(tP)(ttQ O Xs 物理量：物理量

14、：角位置：角位置：)(t 角位移：角位移：12 角速度：角速度：tdd 大?。捍笮。航羌铀俣龋航羌铀俣龋簍dd 大?。捍笮。簩Ρ戎本€運動對比直線運動)(txx 12xxx txVdd tVadd 其中：其中： 、 為矢量，其方向規(guī)定為：為矢量，其方向規(guī)定為： 右手四指沿運動方向彎曲時，拇指指向為右手四指沿運動方向彎曲時，拇指指向為 的方向的方向 V 加速運動；加速運動； 減速運動減速運動R1V2V )(tP)(ttQ O Xs 運動規(guī)律：運動規(guī)律：勻速圓周運動：勻速圓周運動：t 00 勻變速圓周運動：勻變速圓周運動：2021tt t 0)(20202 k RstsVdd tRdd RtVadd

15、 tRdd RRVan2 221RR R2 Ra 42 R1v2v )(tP)(ttQ O Xs 15 相對運動相對運動靜系靜系Sxoy，動系，動系S xo y XYOXYOS 系相對于系相對于S系以速度系以速度 運動運動 uu 若若S 系原點相對于系原點相對于S系原系原點的位置矢量為：點的位置矢量為：0r0rP 則空間的同一點則空間的同一點P ，在兩，在兩個坐標系中的位置矢量個坐標系中的位置矢量 、 r rr r有關系：有關系：0 rrr 記為：記為：sspspsrrr sspspsVVV sspspsaaa VVps稱為絕對速度稱為絕對速度其中：其中：VVps稱為相對速度稱為相對速度uVs

16、s稱為牽連速度稱為牽連速度uVV 則：則：uVV 特特別別指指出出討論問題一定要選取坐標系討論問題一定要選取坐標系注意矢量的書寫注意矢量的書寫tvsrd,d,d,d與與的物理含義的物理含義 tvsr ,要區(qū)分清楚要區(qū)分清楚 2002 tataV tVxtxdd00 tttata0200d)2( 623020tatax txVdd tVxdd 例例1.1.一質(zhì)點由靜止開始作直線運動，初始加速度為一質(zhì)點由靜止開始作直線運動，初始加速度為a0，以后加，以后加 速度均勻增加，每經(jīng)過速度均勻增加，每經(jīng)過秒增加秒增加a0 。 求：經(jīng)過求：經(jīng)過t 秒后質(zhì)點的速度和運動的距離。秒后質(zhì)點的速度和運動的距離。解：

17、解：據(jù)題意知，加速度和時間的關系為：據(jù)題意知，加速度和時間的關系為：taaa 00 taVdd tVtaV00ddttaatd)(000 tVadd 例例2. .一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x軸作直線運動，其位置軸作直線運動，其位置坐標與時間的關系為坐標與時間的關系為 x=10+8t-4t2 。 求：求：（1）質(zhì)點在第一秒、第二秒內(nèi)的平均速度。質(zhì)點在第一秒、第二秒內(nèi)的平均速度。 （2）質(zhì)點在質(zhì)點在 t=0、1、2 秒時的速度。秒時的速度。解：解：t時刻有：時刻有：x = 10 + 8t4t2t+t 時刻有時刻有: (x+ x) = 10 + 8(t +t )4(t+ t )2則在則在t 時間間隔內(nèi)的位移為

18、：時間間隔內(nèi)的位移為：x = 8t 8tt 4t 2txVttt ,tt 488第一秒內(nèi)的平均速度：第一秒內(nèi)的平均速度：)m/s(4)01(40881 , 0 V與與x 正向相同正向相同（2）質(zhì)點在質(zhì)點在 t=0、1、2 秒時的速度。秒時的速度。 x=10+8t-4t2txVdd t 88 m/s80 V軸軸正正向向相相同同與與 x01 V軸軸正正向向相相反反與與 x此此時時轉轉向向第二秒內(nèi)的平均速度：第二秒內(nèi)的平均速度：)m/s(4)12(41882 , 1 V與與x正向相反正向相反ttVttt 488,m/s82 V解：解：例例3 設質(zhì)點做設質(zhì)點做二維運動：二維運動： jti tr)2(2

19、2 求：求：t=0 0 秒及秒及 t=2 秒時質(zhì)點的速度，并求后者的大小和方向。秒時質(zhì)點的速度，并求后者的大小和方向。 iVt2 , 00 jiVt42 , 22 大?。捍笮。悍较颍悍较颍?26324arctan 軸軸的的夾夾角角與與為為xV2 trVdd s/m47. 442222 Vj ti22 例例4.4.一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x 軸作直線運動，其軸作直線運動，其 Vt 曲線如圖所示，如曲線如圖所示，如 t=0 時，時， 質(zhì)點位于坐標原點。質(zhì)點位于坐標原點。 求：求：t=4.5 秒時，質(zhì)點在秒時，質(zhì)點在x 軸上的位置。軸上的位置。解：解：tVxdd tVxdd用求面積的方法：用求面積的方法：m

20、2 21)21(22)15 . 2(d5 . 40 tVxV(m/s)t(s)-1 2 1 0 1 2 3 4 2.54.5例例5. 由樓窗口以水平初速度由樓窗口以水平初速度V0 射出一發(fā)子彈，取槍口為原點，沿射出一發(fā)子彈，取槍口為原點，沿 V0 為為x 軸，豎直向下為軸，豎直向下為y 軸，并取發(fā)射時軸，并取發(fā)射時t=0 . .試求：試求：(1)(1)子彈在任一時刻子彈在任一時刻t t的位置坐標及軌道方程；的位置坐標及軌道方程； (2)(2)子彈在子彈在t t時刻的速度，切向加速度和法向加速度。時刻的速度，切向加速度和法向加速度。解：解：(1)(1) tVx0221gty 20221Vgxy

21、ana gyxo oV0 0 (2)(2)子彈在子彈在t t時刻的速度，切向加速度和法向加速度。時刻的速度，切向加速度和法向加速度。gtVVVyx , 0任意時刻任意時刻t的速度：的速度：大?。捍笮。?22022tgVVVVyx 方向：方向： 01tanVgt 任意時刻任意時刻t的加速度：的加速度：22202ddtgVtgtVa 與速度同向與速度同向2220022tgVgVagan 與切向加速度垂直且與切向加速度垂直且指向軌跡凹側指向軌跡凹側ana gyxo oV0 0 例例6. . 一質(zhì)點在一質(zhì)點在oxy 平面內(nèi)作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。平面內(nèi)作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。 已知

22、已知 ax=2 ， ay=36t2。設質(zhì)點設質(zhì)點 t0 ，r0=0，V0=0 。 求：求：(1) 此質(zhì)點的運動方程；此質(zhì)點的運動方程； (2) 此質(zhì)點的軌跡方程；此質(zhì)點的軌跡方程； (3) 此質(zhì)點的切向加速度。此質(zhì)點的切向加速度。解：解： (1) dd ; ddtVatVayyxx tttaVyyd36dd2 及及jti tV3122 tVx2 312tVy ttaVxxd2dd tVyttVy020d36d tVxtVx00d2d)12;2(3tVtVyx tyVtxVyxdd ; dd ttyttxd12d ; d2d3 tytxttyttx03000d12d ; d2d423 ; tyt

23、x 所以質(zhì)點的運動方程為：所以質(zhì)點的運動方程為： 423tytxjtitr423 (2) 此質(zhì)點的軌跡方程：此質(zhì)點的軌跡方程：上式中消去上式中消去t, 得：得：y=3x2軌跡是拋物線軌跡是拋物線。(3) 此質(zhì)點的切向加速度此質(zhì)點的切向加速度tVadd 312 ; 2 tVtVyx 62221444 ttVVVyx 4262636121621444864821ddtttttttVa 例例7. 河水自西向東流動，速度為河水自西向東流動，速度為10 km/h, ,一輪船在水中航行，一輪船在水中航行， 船相對于河水的航向為北偏西船相對于河水的航向為北偏西 30o , ,航速為航速為20km/h 。此。此 時風向為正西，風速為時風向為正西，風速為10km/h 。求：求： 在船上觀察到的煙囪冒出的煙縷的飄向。（設煙離開煙囪在船上觀察到的煙囪冒出的煙縷的飄向。（設煙離開煙囪 后即獲得與風相同的速度）后即獲得與風相同