微積分4-1 多元函數(shù)微積分

1、多元函數(shù)的根本概念二元函數(shù)的極限與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)全微分偏導(dǎo)數(shù)的計算多元函數(shù)的極值及其求法二重積分第四章 多元函數(shù)微積分1第一節(jié) 多元函數(shù)的根本概念一、空間解析幾何簡介1. 空間直角坐標系:坐標軸:坐標原點:坐標平面:卦限:八個卦限空間內(nèi)的點22. 空間兩點間的距離：平面上的兩點的距離：33. 曲面方程：（1）曲面 S上的點都滿足方程稱方程 為曲面 S 的方程例1 平面方程曲面 S方程曲面 S 稱為方程 所對應(yīng)的曲面。（2）以方程 的解 為坐標的點都在曲面 S 上xy 平面方程:z=0yz 平面方程:x=0zx 平面方程:y=04例2. 球面方程：球心 、半徑為 R 的球面方程例3. 柱面方程：5例

2、4. 旋轉(zhuǎn)拋物面方程：例5. 雙曲拋物面方程：馬鞍面6二、多元函數(shù)的根本概念1、鄰域與區(qū)域1. 鄰域:設(shè)為 xoy 面上一定點,即稱為點的鄰域.稱為點的去心鄰域.72). 區(qū)域設(shè)E是平面上一個點集,P 是平面上一點,若存在稱點P為點集E的內(nèi)點.假設(shè)點 P 的任一鄰域內(nèi)既有屬于 E 的點,也有不屬于 E 的點,稱P為E的邊界點.邊界點的全體稱為 E 的邊界.EPPE不含邊界點的區(qū)域-開區(qū)域.開區(qū)域連同它的邊界一起,稱為閉區(qū)域.8D例如,無界的開區(qū)域有界的閉區(qū)域3). 維空間：設(shè)為取定的一個自然數(shù)，稱元有序數(shù)組的全體為維空間為維空間中的一個點數(shù)稱為該點的第個坐標維空間記為:對點集E，假設(shè)存在正數(shù)K

3、,使對E中任意兩點 P、Q,都有，那么稱E為有界點集，否那么稱為無界點集。xyoxy21D一維空間:二維空間:三維空間:92、二元函數(shù)的概念引例圓柱體的體積:引例長方體的體積:設(shè)是平面上一點集, f 為對應(yīng)法那么,變量按照對應(yīng)法則 f 總有唯一確定的值 z 與之對應(yīng)，則稱是變量的二元函數(shù)記為:點集為其定義域，值域類似可定義三元、四元函數(shù)，二元及二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù)定義4.2若對內(nèi)每一點10D例求下列函數(shù)的定義域：解Dxy1(3)yxo(2)Dxy1(1)11二元函數(shù)的幾何意義：在幾何上表示一空間曲面.如,平面.上半球面.旋轉(zhuǎn)拋物面.上半錐面.曲面上點的坐標.12第二節(jié) 二元函數(shù)的極限與連

4、續(xù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)有定義,是 D 的點.若對任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)當時,恒有成立.則稱常數(shù) A 為當時的極限,記作:一、 二元函數(shù)的極限當點(x , y)趨于點(x0 , y0 )時， z=f(x , y)無限趨近于常數(shù) A 注意點(x , y)趨于點(x0 , y0 )， 是指(x , y)以任何方式趨于(x0 , y0 ) 定義4 .313例1.證明證對當時,成立.恒有成立.要使所以14例3.討論是否存在?解當點沿 x 軸趨于點O(0,0)時，不存在當點沿 y=x 趨于點O(0,0)時，例2 求極限15二、二元函數(shù)的連續(xù)若則稱函數(shù)在點處連續(xù)若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)

5、，或稱是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)若函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱點為的間斷點例如，間斷點為：16在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)具有性質(zhì)：性質(zhì)最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得最大值和最小值性質(zhì)介值定理在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)值二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)結(jié)論二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商分母不為零仍為連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)17例418第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及計算法設(shè)函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義，當固定當在處有增量時，稱為函數(shù)在點處對的偏增量.當固定而在處有增量時，稱為函數(shù)在點處對的偏增量.稱為函數(shù)在點處的全增量.在處有增量

6、時，而在處有增量時，定義19設(shè)函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義，當固定而在處有增量時，存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù).記作:或即若極限20在點處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為:類似,函數(shù)也記作是一元函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù),是一元函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù),結(jié)論21視 y 為常量，對 x 求導(dǎo).視 x 為常量，對 y 求導(dǎo).說明對二元函數(shù)求關(guān)于某一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時,只需視其它變量為常量,求導(dǎo)即可.根據(jù)一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則,若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在,偏導(dǎo)數(shù)就是的函數(shù),稱為函數(shù)對的偏導(dǎo)(函)數(shù).記作類似定義函數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù).記作:22說明:偏導(dǎo)函數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).例如三元函數(shù)在點處關(guān)于的偏

7、導(dǎo)數(shù)為:類似,說明對多元函數(shù)求關(guān)于某一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時,只需視其它變量為常量,求導(dǎo)即可.根據(jù)一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則,23例1.求的偏導(dǎo)數(shù).解例2.求處的偏導(dǎo)數(shù).在點解24例3.求的偏導(dǎo)數(shù).解例4.求的偏導(dǎo)數(shù).解25例5.求函數(shù)在原點處的偏導(dǎo)數(shù).解二元函數(shù)在某一點處偏導(dǎo)數(shù)存在,但未必連續(xù).不存在26二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:xyzSo是一元函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù),由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在幾何上表示空間曲線在點處的切線對軸的斜率.類似,在幾何上表示空間曲線在點處的切線對軸的斜率.27二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域D 內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，稱其為函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)28 若函

8、數(shù)在區(qū)域D 內(nèi)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則在該區(qū)域內(nèi)這兩個混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.類似可定義三階、四階及更高階的偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).定理4.1 29解例1.設(shè)求它的二階偏導(dǎo)數(shù).再求30例2.驗證函數(shù)滿足方程證31證由自變量的對稱性知例3.證明函數(shù)滿足方程(拉普拉斯方程)32三、 全微分設(shè)函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義，分別給一增量函數(shù)相應(yīng)的全增量假設(shè)全增量可表示為:其中僅與有關(guān)，與無關(guān)，則稱函數(shù)在點處可微.稱為函數(shù)在點處的全微分.即記作若函數(shù)在點處可微.則必連續(xù).若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微,那么稱函數(shù)在D內(nèi)可微.注意33(必要條件)若函數(shù)在點處可微分.則該函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)必定存在

9、,且證由特別同理可證注意 若函數(shù) 在點存在處的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)在該點不一定可微.類似于一元函數(shù),記或34 (充分條件)若函數(shù)在點 的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在該點可微.且函數(shù)在點處關(guān)于 x, y 的偏微分.35假設(shè)函數(shù)在點 可微那么解例1.求函數(shù)在點 (2,1) 處當時的全微分.36例2.求下列函數(shù)的全微分:解(1).37全微分的應(yīng)用：近似計算當很小時，函數(shù)的全增量例3 課本221頁例438(1)設(shè)函數(shù)在點處 有偏導(dǎo)數(shù),在點處有偏導(dǎo)數(shù),且而函數(shù)在對應(yīng)點處可微則復(fù)合函數(shù)連鎖法那么第四節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)的計算一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么39若函數(shù)都在點 x 處可導(dǎo),函數(shù)在對應(yīng)點處可微,則復(fù)合函數(shù)在點 x 處可導(dǎo),且全導(dǎo)數(shù)推論1.40函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在點 x 的導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)推論2.以上公式都可推廣到中間變量或自變量多于兩個的情形.說明41如,注意是在中視為常量,對求偏導(dǎo),是在中視為常量,對求偏導(dǎo),特別則42例2.求解例1.求解43例3.設(shè)求解44例4.設(shè)解45例5.設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解令則46二、 隱含數(shù)的微分法1. 一個方程的情形1）.設(shè)方程 確定函數(shù),求方程兩邊對 x 求導(dǎo)，得47例1.設(shè)求及解：法1法2 兩邊關(guān)于x求導(dǎo)482）. 設(shè)方程確定二元隱函數(shù)求方程兩邊對x 求偏導(dǎo)，得方程兩邊對 y 求偏導(dǎo)，得4