人工智能Chapter2

1、工程矩陣論工程矩陣論Engineering Matrix Theory南京大學(xué)控制與系統(tǒng)工程系南京大學(xué)控制與系統(tǒng)工程系陳春林陳春林Tel:mail: 2014年年9月月23日日第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間(Inner Productive Space)n內(nèi)積空間內(nèi)積空間實(shí)內(nèi)積空間實(shí)內(nèi)積空間(Euclid Space)酉空間酉空間(Unitary Space)n等積變換等積變換正交變換與正交矩陣正交變換與正交矩陣(Orthogonal Matrix)旋轉(zhuǎn)變換、鏡像變換旋轉(zhuǎn)變換、鏡像變換酉變換與酉矩陣酉變換與酉矩陣(Unitary Matrix)n對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣對(duì)稱

2、變換與對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣埃爾米特矩陣埃爾米特矩陣(Hermitian Matrix)n正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣的定義正規(guī)矩陣的定義正規(guī)矩陣的正交譜分解正規(guī)矩陣的正交譜分解(Orthogonal Spectral Resolution)2.1.1 2.1.1 實(shí)內(nèi)積空間實(shí)內(nèi)積空間內(nèi)積內(nèi)積例例2.1 關(guān)于內(nèi)積關(guān)于內(nèi)積定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間即為定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間即為歐幾里得空間歐幾里得空間（Euclid Space）元素的長度元素的長度元素之間的夾角元素之間的夾角度量矩陣度量矩陣度量矩陣的性質(zhì)度量矩陣的性質(zhì)度量矩陣的性質(zhì)度量矩陣的性質(zhì)度量矩陣的性質(zhì)度量矩陣的性質(zhì)正交性正交性Th2.1Th2

3、.2一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件是它的度量一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件是它的度量矩陣為單位矩陣矩陣為單位矩陣Th2.2正交基正交基施密特（施密特（Schmidt）正交化方法：教材）正交化方法：教材P69-702.1.2 2.1.2 復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）復(fù)內(nèi)積的定義：復(fù)內(nèi)積的定義：P73定義了復(fù)內(nèi)積運(yùn)算的復(fù)線性空間為定義了復(fù)內(nèi)積運(yùn)算的復(fù)線性空間為復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）2.2.1 2.2.1 正交變換與正交矩陣正交變換與正交矩陣等積變換等積變換: 保持元素的內(nèi)積不變的線性變換保持元素的內(nèi)積不變的線性變換正交變換正交變換Th2.3 如下條件中任一條都可作為某一歐

4、式空間上的線性變?nèi)缦聴l件中任一條都可作為某一歐式空間上的線性變換為正交變換的充要條件：換為正交變換的充要條件：（1）該線性變換保持元素長度不變；）該線性變換保持元素長度不變；（2）任一標(biāo)準(zhǔn)正交基經(jīng)該線性變換后的象仍為標(biāo)準(zhǔn)正交基）任一標(biāo)準(zhǔn)正交基經(jīng)該線性變換后的象仍為標(biāo)準(zhǔn)正交基（3）該線性變換在任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣）該線性變換在任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣Q滿足滿足正交矩陣正交矩陣正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì) 如果正交矩陣的行列式等于如果正交矩陣的行列式等于1，則稱是，則稱是正常的正交陣（旋轉(zhuǎn)），否則稱為非正正常的正交陣（旋轉(zhuǎn)），否則稱為非正常正交陣（反射）。常正交陣（反射）。2階正交矩陣的幾何意義：階正交矩陣的幾何意義： 或?yàn)槔@平面原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，或?yàn)橥ㄟ^原或?yàn)槔@平面原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，或?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)一直線的反射，由它是正常或非正常點(diǎn)一直線的反射，由它是正?；蚍钦泶_定。來確定。 3階正交矩陣的幾何意義：階正交矩陣的幾何意義： 或是以一直線為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)，或或是以一直線為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)，或以一直線為軸的旋轉(zhuǎn)之后再作一個(gè)以垂以一直線為軸的旋轉(zhuǎn)之后再作一個(gè)以垂直于此直線的