理論力學(xué)習(xí)題(1)

1、 1.2 某船向東航行，速率為每小時(shí)15千米，在正午經(jīng)過某一燈塔，另一船以同樣速度向北航行，在下午1時(shí)30分經(jīng)過此燈塔，問在什么時(shí)候兩船的距離最近？最近的距離是多少？ 解解：以正午為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，設(shè)東向船為A，北向船為B，以燈塔為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系o-xy，如圖所示。在t時(shí)刻，兩船位置分別為： vtxA5 . 1tvyB22225 . 1ttvyxSBA05 . 15 . 122222ttttvdtds則:05 . 122tt小時(shí)75. 0t（即午后45分鐘） 將值代入表達(dá)式得： 9 .155 . 175. 075. 01522minS（千米） 答：在正午后45分鐘兩船相距最近，其最近距離為15

2、.9千米。 1.3 曲柄 ，以勻角速 繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，此曲柄借連桿AB使滑塊B沿直線ox運(yùn)動(dòng)，求連桿上C點(diǎn)的軌跡方程及速度。設(shè)。解解：如圖所示建立坐標(biāo)系oxy，C點(diǎn)的坐標(biāo)為： rOA ABOAOBaCBAC)2(sin) 1 (coscosayarx在三角形AOB中 )3(sin2sinar由（1）（2）兩式消去 得： 222)cos(rxya即： )4(cos22yarx由（2）（3）兩式消去 得： )5(sin2ry 由（4）（5）兩式消去 得： 22222)(4yaxyr上式化簡得軌道方程為： 22222222)3()(4rayxyax對（1）（2）兩式取微商得： 對（3）式取微商得： )

3、7(cos)6(sinsinayarxcos2cosar)8(cos2cosar 將（8）代入（6）（7）得： cos21cos2cossinsinryrrx2222)cos21()cos2cossinsin(rrryxv2cos)sin(cossin4cos2rC點(diǎn)的速度為 1.4 細(xì)桿OL繞O點(diǎn)以勻角速 轉(zhuǎn)動(dòng)，并推動(dòng)小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動(dòng)，如圖所示，d為一已知常數(shù)，試求小環(huán)的速度及加速度的量值。 解解：如圖建立直角坐標(biāo)系Oxy，小環(huán)在任意時(shí)刻的位矢為： yxLABCOdjijirddtgyxOCiirvddxsecddtd222式中用到： 221cossec222ddx 小環(huán)的速度的

4、量值為： ddxv22dxtgtgsecdsecddtddtdiiva2222i22222ddxx小環(huán)的加速度的量值為： 22222ddxxa 1.9 質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常數(shù)，試證明其質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常數(shù)，試證明其速度矢量速度矢量v與加速度矢量與加速度矢量a 正交。正交。證證：（已知）常數(shù)2vv vv v上式對時(shí)間取微商：上式對時(shí)間取微商：02a av v即：即：0a av v所以所以：a av v即即 與與 正交正交。va方法方法1：方法方法2：i iv vv)0(2dtdvvdtdvj jj ji ia a2 2v02j ji ia av vvv所以：所以：a av

5、v證畢證畢。 1.10 一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線 運(yùn)動(dòng)，其切向加速度的量運(yùn)動(dòng)，其切向加速度的量值為法向加速度的值為法向加速度的 倍，如此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦（倍，如此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦（ ）的一）的一端以速度端以速度 u出發(fā)，試求其達(dá)到正焦弦另一端時(shí)的速率。出發(fā)，試求其達(dá)到正焦弦另一端時(shí)的速率。解解：k2pp,2vu uypdxdytgpxy22（由由 得得）pp,2始點(diǎn)：始點(diǎn)：（ ）454100tg),2(pp終點(diǎn)：終點(diǎn)：47421tgpxy22根據(jù)題意根據(jù)題意：kaan2dtdvdsddtdsvdsdvvadtdvan22kuev故：故：所以所以：dtdkvdtdv2kdvdv202dkvdvv

6、ukuvln積分積分： 1.11 質(zhì)點(diǎn)沿著半徑為質(zhì)點(diǎn)沿著半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，其加速度矢量與的圓周運(yùn)動(dòng)，其加速度矢量與速度矢量間的夾角速度矢量間的夾角 保持不變。求質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變保持不變。求質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律。已知初速度為化的規(guī)律。已知初速度為 。解：按題意畫圖，如圖所示解：按題意畫圖，如圖所示。 0vOiajnaarvadtdvactgaann2ctgrvdtdv2tvvdtrctgvdv020trctgvv011 沿切向與沿切向與 同向，同向， 與與 間夾間夾角角 ，即，即 與與 間夾角為間夾角為 ，為，為常數(shù)。則常數(shù)。則 :viaaavia 1.15 當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，

7、它的雨蓬遮著篷的垂直投當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨蓬遮著篷的垂直投影后影后2 2米的甲板，篷高米的甲板，篷高4 4米，但當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩米，但當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前部分的分界線卻在篷前3 3米，如果雨點(diǎn)的速度為米，如果雨點(diǎn)的速度為8 8米米/ /秒，求秒，求輪船的速率。輪船的速率。解解：選擇：選擇： 研究對象研究對象雨點(diǎn)雨點(diǎn) 動(dòng)系動(dòng)系輪船輪船 靜系靜系岸邊岸邊雨對地的速度（絕對速度）為雨對地的速度（絕對速度）為 smv/8雨對船的速度（相對速度）為雨對船的速度（相對速度）為船對地的速度（牽連速度）為船對地的速度（牽連速度）為方向如圖所示。方向如圖所示。由相對運(yùn)

8、動(dòng)速度公式有：由相對運(yùn)動(dòng)速度公式有： vvv v0vvABC前后234由圖形知：由圖形知： 與速度三角形相似，則與速度三角形相似，則： ABC12343220BCABvvsmvv/800v0vvvv 1.16 寬度為寬度為d 的河流，其流速與到河岸的距離成正比，在的河流，其流速與到河岸的距離成正比，在河岸處，水流速度為零，在河流中心處，其值為河岸處，水流速度為零，在河流中心處，其值為c ，一小船以，一小船以相對速度相對速度u 沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的地點(diǎn)。岸靠攏的地點(diǎn)。解解：如圖所示，取船離岸處為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，取船離

9、岸處為坐標(biāo)原點(diǎn)， 軸平行于河流方向，軸平行于河流方向， 軸和它垂直。軸和它垂直。 d2du uv0vxycvdykyvdy00220ydcvdck220cyudvutgdxdy20dxcudydyyx002船的軌跡為：船的軌跡為：)20(2dyyudcx船在對岸靠攏點(diǎn)：船在對岸靠攏點(diǎn)：dyd2)(2)(0yddcydkv)(20ydcudvudxdyucddudcxdy4)2(22dxcuddyydydxucd242)()2(222dyducdyudcyucxucducddudcducxdy2222船的軌跡為：船的軌跡為： 1.19 將質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)豎直上拋于有阻力的媒質(zhì)中，設(shè)阻力與速度平方

10、成正比，即 ，如上擲時(shí)的速度為 ，試證此質(zhì)點(diǎn)又落至投擲點(diǎn)時(shí)的速度為：證證：1）上拋，選取坐標(biāo)系，受力分析如圖所示。0v22gvmkR 202011vkvv運(yùn)動(dòng)微分方程為：22xgmkmgxm )1 (22xkgdxxdx利用初始條件：00vxx積分得：到達(dá)最高點(diǎn)：)1ln(2102022vkgkxxgxkevkxk2220222)1 (12）下落：受力分析如圖所示，運(yùn)動(dòng)微分方程為：利用初始條件：22xgmkmgxm )1 (22xkgdxxdx)1ln(2102022vkgkxx積分得：gxkvkxk2202222)1)(1ln(落至投擲點(diǎn)：10vxx1)1)(1 (20222vkxk 落至投

11、擲點(diǎn)的速度為：202011vkvv證畢。 1.21將一質(zhì)點(diǎn)以初速 拋出， 與水平線所成之角為 ，此質(zhì)點(diǎn)所受到的空氣阻力為其速度 的倍， 為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量， 為比例常數(shù)。試求當(dāng)此質(zhì)點(diǎn)的速度與水平線所成之角又為 時(shí)所需的時(shí)間。解解：受力分析如圖所示。建立坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：0v0vmkmkxyOOg gmR Rxy0v vmgymkymxmkxm sinvycosvxt000利用初始條件：對上式積分得： gegsinkvkyecosvxtdtk001tgecosvgegsinkvkxytktk001根據(jù)題意有：ggsinkvetk02整理得：gsinkvlnkt0211所需時(shí)間為： 1.22 如

12、向互相垂直的勻強(qiáng)電磁場E、H中發(fā)射一電子，并設(shè)電子的初速度V與E及H垂直，試求電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。已知此電子所受的力為 ，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，e為電子所帶的電荷，v為任一瞬時(shí)電子運(yùn)動(dòng)的速度。解解：取電子初速V沿x軸，電場強(qiáng)度E沿y軸，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿z軸。 )(B Bv vE Ee電子受力： j ji ik kj ji ij jB Bv vE EF F)(00)(BxeeEByeBzyxeeEe設(shè)電子的質(zhì)量為m，則運(yùn)動(dòng)微分方程為： )3(0)2() 1 (zmxeBeEymyeBxm 利用初始條件： ，對（3）式積分兩次得：000zzt)4(0z利用初始條件： ，對（1）式積分得： 將（5）代入（2）式

13、得： Vxyt00)5(VymeBx)(VymeBeBeEym 整理得： )6(222meBVmeEymBey 特征方程為： meBirmBer02222（6）式齊次方程的通解為： tmeBCtmeBCysincos211（6）式非齊次方程的特解為： eBmVeBmEy22所以方程（6）的通解為： )7(sincos22121eBmVeBmEtmeBCtmeBCyyy（7）式取微商得： 利用初始條件： tmeBmeBCtmeBmeBCycossin210)(00021CBEVeBmCyyt代入（7）得： )8(cos)(2eBmVeBmEtmeBBEVeBmy將（8）代入（5）式得： )9(c

14、os)(BEtmeBBEVx利用初始條件： ，對（9）式積分得：00 xt)10(sin)(tBEtmeBBEVeBmx（4）（8）（10）為電子的運(yùn)動(dòng)方程。 1.261.26 一彈性繩上端固定，下端懸有一彈性繩上端固定，下端懸有m及及 兩質(zhì)點(diǎn)。設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)。設(shè)a為繩的固有長為繩的固有長度度, ,b為加為加 m 后的伸長，后的伸長，c為加為加 后的伸長。今將后的伸長。今將 任其脫離而下墜，試任其脫離而下墜，試證質(zhì)點(diǎn)證質(zhì)點(diǎn) m 在任一瞬時(shí)離上端在任一瞬時(shí)離上端o的距離為：的距離為：證證：研究對象為質(zhì)點(diǎn)研究對象為質(zhì)點(diǎn) ，其受力分析如圖所，其受力分析如圖所示。示。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn) 在在 處，向下為正

15、，處，向下為正，建立坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)軸 。 mmmtbgcoscbaba 1omxo1質(zhì)點(diǎn)平衡時(shí)質(zhì)點(diǎn)平衡時(shí) :mgkb bmgk 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為kxxbkmgxm 0 xmkx 其解為其解為： 000tbgsinbgAxtbgcosAtcosAx將初始條件將初始條件： 00 xcxt00cA代入得代入得： tbgcoscx故任一時(shí)刻離上端故任一時(shí)刻離上端o的距離為的距離為： tbgcoscba證畢證畢。 初始條件初始條件： 00 xcxt又解又解：選選 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)標(biāo) ，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為： 又解又解：選選 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐為

16、坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)標(biāo) ， 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：2oxo2oxokxmgxm 00 xcbxtgxmkx 即：即：)(axkmgxm 00 xcbaxtmkagxmkx 即即： 1.29 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)自光滑圓滾線的尖端無初速的下滑，試證在任的質(zhì)點(diǎn)自光滑圓滾線的尖端無初速的下滑，試證在任何一點(diǎn)的壓力為何一點(diǎn)的壓力為 ，式中，式中 為水平線與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角，為水平線與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角，已知圓滾線方程為：已知圓滾線方程為： 證證：受力分析如圖所示，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)受力分析如圖所示，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：微分方程為：cos2mg)2cos1 ()2sin2(ayax)2

17、(cos) 1 (sin2mgNvmmgdtdvm（1）式積分）式積分：vygdyvdv00) 3()cos1 (222aggyv(4)ddscos4)()(22addyddx（3）（）（4）代入（）代入（2）得：）得：cos2cos2mgmgvmNcos2mgNP任何一點(diǎn)的壓力任何一點(diǎn)的壓力： P 方向與方向與 N 方向相反。方向相反。 1.31 假定單擺在有阻力的媒質(zhì)中振動(dòng)，并假定振動(dòng)很小，故阻力與假定單擺在有阻力的媒質(zhì)中振動(dòng)，并假定振動(dòng)很小，故阻力與 成正比，且可寫為成正比，且可寫為 ，式中，式中 m是擺錘的質(zhì)量，是擺錘的質(zhì)量，l 為擺長，為擺長，k 為比為比例系數(shù)，試證當(dāng)例系數(shù)，試證當(dāng)

18、 時(shí)，單擺的振動(dòng)周期為：時(shí)，單擺的振動(dòng)周期為： 證證：選取自然坐標(biāo)系，受力分析如圖所示，選取自然坐標(biāo)系，受力分析如圖所示，切向運(yùn)動(dòng)微分方程為：切向運(yùn)動(dòng)微分方程為：mklR2lgk2lkgl22) 1 (2sinmklmgdtdvm 很小很小lv sin方程可寫為方程可寫為：)2(02lgk 特征根為特征根為：lgkkr2當(dāng)當(dāng) 時(shí)，（時(shí)，（2）式的解為：）式的解為：lgk2)cos(2tklgAekt振動(dòng)周期為振動(dòng)周期為：lkgl222Rmgdtdvmsin即即： 1.32 光滑楔子以勻加速度光滑楔子以勻加速度a0 沿水平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為沿水平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿楔子的的質(zhì)點(diǎn)沿楔子的光滑面滑下

19、，求質(zhì)點(diǎn)的相對加速度光滑面滑下，求質(zhì)點(diǎn)的相對加速度 和質(zhì)點(diǎn)對楔子的壓力和質(zhì)點(diǎn)對楔子的壓力 P 。解解：1）a0沿沿 x正向，取楔子為參照系，建立坐正向，取楔子為參照系，建立坐標(biāo)系標(biāo)系oxy ，受力分析如圖所示。，受力分析如圖所示。a acossin0mamgamsincos0mamgNsincoscossin00mamgNpaga所以所以：壓力壓力 P 與與N 大小相等，方向相反大小相等，方向相反。2） a0 沿沿 x 負(fù)向，取楔子為參照系，建立坐負(fù)向，取楔子為參照系，建立坐標(biāo)系標(biāo)系oxy ，受力分析如圖所示。，受力分析如圖所示。sincoscossin00mamgNmamgam所以所以：si

20、ncoscossin00mamgNpaga壓力壓力P 與與N 大小相等，方向相反大小相等，方向相反。 1.33 光滑鋼絲圓圈的半徑為r，其平面為豎直的。圓圈上套一小環(huán)，其重為W，如鋼絲圈以勻加速度a 沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，求小環(huán)的相對速度vr及圈對小環(huán)的反作用力R。解解：以圓圈為參照系，建立坐標(biāo)系oxy1）a沿y軸正向，小環(huán)受力分析如圖所示。其運(yùn)動(dòng)微分方程為：)2(coscos) 1 (sinsin2mamgRrvmmamgdtdvmrrddvrvdsdvvdtdsdsdvdtdvrrrrrr上式代入（1）式后，分離變量積分： 00sin)(dagrdvvrrvvrr（3）代入（2）得：2）a沿y軸

21、負(fù)向，小環(huán)受力分析如圖所示。其運(yùn)動(dòng)微分方程為：) 3()cos)(cos(20220agrvvrr)4()cos2cos3)(1(200gvrgarwRr)6(coscos)5(sinsin2mamgRrvmmamgdtdvmrr)cos)(cos()(210229agrvvrr綜合以上結(jié)果： )cos)(cos(20220agrvvrr)cos2cos3)(1(200gvrgarwRr)8()cos2cos3)(1(200gvrgarwRr同理解得： ) 7 ()cos)(cos(20220agrvvrr 1.251.25 滑輪上系一不可伸長的繩，繩上懸一彈簧，彈簧另一端掛一重為W 的物體，

22、當(dāng)滑輪以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體以勻速 下降，如將滑輪突然停止，試求彈簧的最大伸長及最大張力。假定彈簧受 的作用時(shí)靜伸長量為 。解解：以彈簧原長處為彈性勢能零點(diǎn)，以彈簧平衡位置（伸長 時(shí)）為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo) ，且以 點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，如圖所示。由機(jī)械能守恒得：0v0WWxxkkvgW202020212121彈簧處于平衡位置時(shí): 代入上式并化簡得： 0kW 2202121kxvgWgvkgWvx000彈簧的最大伸長量為 gv000max且最大張力為： gvWgvWkT000000maxmax10oxoOx00v vT TW W又解又解：此過程中，只有保守力做功，機(jī)械能守恒，且初始動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為彈性勢能：

23、即：彈簧的最大伸長量為：220)(2121xkvgWgvkgWvx000gv000max且最大張力為： gvWgvWkT000000maxmax1Ox00v vT TW W 1.27 一質(zhì)點(diǎn)自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點(diǎn)自由滑下，問滑至何處，此質(zhì)點(diǎn)將離開圓柱面？假定圓柱體的半徑為r。解解：以質(zhì)點(diǎn)為研究對象，受力分析如圖所示。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)m滑至與豎直線夾角為 處離開圓柱面，此時(shí) ,則質(zhì)點(diǎn)的法線方程為： 0N) 1 (2cosmgrvm質(zhì)點(diǎn)滑動(dòng)過程中，只保守力作功，機(jī)械能守恒.)2(212cosmgrmvmgr、兩式聯(lián)立得： 321 cos 1.28 重為W 的小球不受摩擦而沿半長軸為a ，

24、半短軸為b 的橢圓弧滑下，此橢圓的短軸是豎直的，如小球自長軸的端點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，其初速為零，試求小球在到達(dá)橢圓的最低點(diǎn)時(shí)它對橢圓的壓力。解解：小球運(yùn)動(dòng)過程中，只有保守力做功，機(jī)械能守恒。) 1 (212mvmgb 小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，法向方程為：)2(2mgNvm橢圓方程：12222byax2221axabxy2/3222)1 (axaby 曲率半徑：)3()1 (202/32bayyx 將（1）（3）代入（2）得：)21 (22abmgN對橢圓的壓力：)21 (22abWNPP與N方向相反。 1.39 一質(zhì)點(diǎn)受一與距離的 3/2 次方成反比的引力作用在一直線上運(yùn)動(dòng)，試證此質(zhì)點(diǎn)自無窮遠(yuǎn)到達(dá) 時(shí)的速率和自 靜止出發(fā)到達(dá) /4 時(shí)的速率相同。證證：如圖所示，質(zhì)點(diǎn)受引力作用： , 為比例系數(shù)aaa 2/3rkrFk質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：2/322krdtrdmdrdvvdtdrdrdvdtdvdtrd222/3krdrdvmv即：102/3vadrrkmvdv質(zhì)點(diǎn)由 到 /4 ： aa2042/3vaadrrkmvdv4124amkv4114amkv21vv 證畢。 質(zhì)點(diǎn)由無窮遠(yuǎn)到 ： a1.45 如 及 為質(zhì)點(diǎn)在遠(yuǎn)日點(diǎn)及近日點(diǎn)處的速率，試證明： 證證：質(zhì)點(diǎn)在有心