有限域上交錯矩陣方程解的計數(shù)公式及其q超幾何級數(shù)表達(dá)

1、有限域上交錯矩陣方程解的計數(shù)公式 及其 q 超幾何級數(shù)表達(dá)魏鴻增張誼賓(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系)摘要設(shè) F q 是 q 元有限域, 這里 q 是任意一個素數(shù) p 的方冪. 本文利用 F q 上奇異辛幾何給出當(dāng)A , B 分別是階 n 秩 2和階m 秩 2s 的一般交錯矩陣時, F q 上適合方程X A X = B 的秩 k 的解 X 和解 X 的個數(shù)的明顯公式, 并用 q 超幾何級數(shù)簡化表達(dá) 公式.關(guān)鍵詞交錯矩陣方程, 奇異辛空間, q 超幾何級數(shù).分類號(中圖)O 152. 3; (1991M R ) 05E 15.1 引言設(shè)A , B 分別是有限域 F q 上 n 階和m 階矩陣. 我們用 n

2、m n (A , B ; k ) 和 nm n (A , B ) 分別 表示 F q 上適合方程X A X = B(1)的秩 k 的m n 矩陣 X 和m n 矩陣 X 的個數(shù). C a r litz2 在奇特征的有限域 F q 上對A 是 階 2的非奇異、B 是階m 秩 2s 斜對稱矩陣, 給出方程 (1) 的解的計數(shù)公式 nm n (A , B ). 后來H o dge s3 仍在奇特征的 F q 上研究當(dāng)A 是階 n 秩 2、B 是階m 秩 2s 的斜對稱矩陣時的公式n - 2nm n (A , B ; k ). 由于忽略了矩陣的向量生成, 所得公式含組合數(shù)因子k - s, 導(dǎo)致矩陣的重

3、復(fù)計數(shù), 且所得公式復(fù)雜. B uck h ie ste r 5 用向量空間理論確定了特征 2 時交錯矩陣方程 本文 1995 年 8 月 30 日收到.的 nm n (A , B ; k ) , 但論證繁長、公式仍欠明顯. 由于特征 2 時斜對稱矩陣即交錯矩陣, 本 文將在任意特征的有限域上對A , B 分別是階 n 秩 2, 階m 秩 2s 交錯矩陣時, 確定 nm n (A ,B ; k ) 的明顯公式. 正是由于公式的明顯, 使其它公式能以推論形式逐一得出, 且能進(jìn)行簡化和用 q 超幾何級數(shù)表達(dá). 值得指出的是, 我們使用有限奇異辛空間的有關(guān)概念替代了改 正 H o dge s 公式時

4、的一系列推導(dǎo), 這不但直接地得到 nm n (A , B ; k ) , 而且給出有限奇異幾何的一個應(yīng)用. 本文符號多采自1 .2 符號與準(zhǔn)備設(shè) F q 是 q 元有限域, q 是任意一個素數(shù) p 的方冪. F q 上 n n 矩陣 K 稱為交錯矩陣, 如 果 K = - K 且K 的主對角線元素都是零. 假設(shè)K 是交錯矩陣, 那么對任何m n 矩陣X , X K X 仍是交錯矩陣, 因為對任何 x = (x 1 , x 2 , x n ) 恒有 x K x = 0. F q 上兩個 n n 矩陣A , B 稱為是同步的, 如果存在非奇異矩陣 T 使 T A T = B . 同步的矩陣秩相同,

5、 且由1知 F q 上 任何 n n 交錯矩陣必同步于標(biāo)準(zhǔn)形矩陣0I ()-I ()0.0 (n - 2)因此交錯矩陣的秩必為偶數(shù) 2, 這里 0 2 n. 記上述標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為 K n, , 稱為指數(shù). 特 別記非奇異交錯矩陣F q 上適合K 2=0I ().-I () 0T K n, T = K n, 的所有 n n 非奇異矩陣 T 的集形成的乘法群稱為 F q 上指數(shù) 次數(shù) n 的奇異辛群, 記為n, S P(F q ). 由1 ,2+ 2(n - 2) +|S P n, (F q ) | = qn- 2 2 i2 (qi= 1n - 2- 1) (q ii= 1令 F (n)(n ) (

6、)q 表示 F q 上 n 維行向量空間, F q 有 S PF (n )n, F q()在它上面如下定義的作用(n)q S Pn, F q F qF (n)( (x 1 , x 2 , x n ) , T ) | (x 1 , x 2 , x n ) T . ()(n)(n )q 連同S Pn, F q的作用, 稱為 F q 上一個 n 維奇異辛空間仍記為 F q . 對 F q 的一個 k 維子空間 P 來說, 如果 F q 上m n 矩陣 X 的m 個行向量是 P 的一組生成元, 那么把 X 叫做 P的一個m n 矩陣表示. 特別把子空間 P 的秩 k 的 k n 矩陣表示仍記做 P ,

7、 它的 k 個行向q量是 P 的一個基. 奇異辛空間 F (n ) 的一個 k 維子空間 P 稱為 (k , s) 型的, 如果 P Kn, P 同步(n)(n)于 K k , s. 表示 F q 里(k , s) 型子空間的集為M (k , s; n , ). 令 E 是 F q 里由向量 e2+ 1 , e2+ 2 ,(n), en 生成的子空間, 那么 E K n, E = 0. F q 里一個 k 維子空間 P 稱為 (k , s, t) 型的, 如果( i) P K n, P 同步于 K k , 并且( ii) d im (P E ) = t.表示 F (n ) 里(k , s, t

8、) 型子空間的集為M (k , s, t; n , ). 由1知M (k , s; n , ) 是S(F ) 作用q下軌道M (k , s, t; n , ) 的不相交的并. 且有M (k , s, t; n , ) 非空當(dāng)且僅當(dāng)t n - 2且 2s k -t + s或m ax 0, k - - s t m in n - 2, k - 2s;M (k , s; n , ) 非空當(dāng)且僅當(dāng)P n, q(3)m ax 0, k - - s m in n - 2, k - 2s.(4)令N (k , s, t; n , ) = |M (k , s, t; n , ) | , N (k , s; n

9、, ) = |M (k , s; n , ) | , 那么由1(q2 i - 1)N (k , s, t; n , ) = q2s (+ s- k + t) + (k - t) (n - 2- t) i= + s- k + t+ 1 n - 2,(5)s k - t- 2s(q2 i - 1) (q i - 1)tqi= 1這里n nti= 1=t qi= n- t+ 1和(q i - 1) (q i - 1).i= 1m in n- 2, k - 2sN (k , s; n , ) =m ax 0, k - - sN (k , s, t; n , ) .(6)用 K (m ) 表示 F q

10、上所有m m 交錯矩陣的集, 那么 K (m ) 在GL m (F q ) 的同步作用下 被分拆成以秩 2s 為特征的軌道, 記作 K (m , s) , 這里 0 2s m . 由于 K (m , s) 含標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 K m , s , K m , s 在上述作用下的穩(wěn)定子群恰是 S Pm , s(F q ) , 所以m(q i - 1)s| K (m , s) | = |GL m (F q ) | = qs (s- 1) i= m - 2s+ 1.(7)|S Pm , s (F q ) |i= 1(q2 i - 1)3 n (K n , , K m , s; k ) 確實定我們記 F q

11、上適合形 (1) 方程X K n, X = K m , s(1)的秩 k 的m n 矩陣 X 和m n 矩陣 X 的個數(shù)分別為 n (K n , , K m , s; k ) 和 n (K n, , K m , ). 那 么對方程 (1) 來說, 當(dāng)A , B 分別是 F q 上階 n 秩 2和階m 秩 2s 的交錯矩陣時, 由同步變換, 我們總有nm n (A , B ; k ) = n (K n, , K m , s; k ) ,nm n (A , B ) = n (K n, , K m , s ).因此以下我們只需確定 n (K n, , K m , s; k ) 和 n (K n, ,

12、 K m , s ).易知 (1) 有解當(dāng)且僅當(dāng) s , 因為當(dāng) s 時, 矩陣s - s s - s n - 2I (s)000000I (s) 00000s0s0m - 2s就是 (1) 的一個解. 設(shè) s , 考慮 F q 上矩陣方程X K n, X = C ,C K (m , s).(8)我們有q引理 3. 1設(shè) s . 那么 F q 上秩 k 的m n 矩陣 X 適合方程 (8) 當(dāng)且僅當(dāng)存在奇異 辛空間 F (n ) 里一個 (k , s, t) 型子空間 P , 它以 X 為m n 矩陣表示.證明設(shè) F q 上m n 矩陣 X 適合方程 (8) , 由于秩 X = k , 必有秩

13、皆為 k 的m k 和k n 的矩陣分解X = T P.為證存在 (k , s, t) 型子空間 P , 且以上述矩陣 P 為秩 k 的 k n 矩陣表示, 先來證明條件(3)成立. 以 T 的列為前 k 列作m 階非奇異矩陣M , 那么PM0且P K n, P 0= T P = X ,M00 M = X K n, X K (m , s).因此 rank (P K n, P ) = 2s 而有 2s k. 由同步變換總可假定P K n, P = K k , s. (9)寫由(9) 推出2 n - 2P = ( P 1 P 2 ) k ,P 1 K 2P 1 = K k , s. (10)因為

14、rank P 1 k , 存在N GL k (F q ) 使N P 1 =于是P 110k - t,t2 n - 2N P =P 110P 12P 22k - t t, 其中ran k P 11 = k -t, ran k P 22 = t,(11)且推知 t n - 2. 再由 (9) (11) 知N P K n, P N =P 11 K 2P 11 000同步于 K k , s , 所以 rank (P 11 K 2P 11) = 2s 且推出 2s k - t. 因此存在 k - t 階非奇異矩陣Q使作(2- k + t) 2矩陣 Z 使Q P 11 K 2P 11Q = K k - t

15、, s.Q P 11成 2 2非奇異矩陣, 易知Z同步于Q P 11ZK 2Q P 11=Z0I (s) A 1-I (s) 0A 20A 3A 1 A 2 A 3 K 0s sk - t - 2s2- k + t0I (s)-I (s)0,0A 3A 3 K 1所以必須 rankA 3 = k - t - 2s 從而推出 k - t + s. 這樣我們推出了條件 (3) 成立即存 在(k , s, t) 型子空間. 以我們的矩陣 P 的 k 個行向量為基的子空間 P 就是一個 (k , s, t) 型子 空間, 因為 P K n, P 同步于 K m , s 且 d im (P E ) =

16、rank P 22 = t. 這個子空間 P 以 X = T Pq為m n 矩陣表示. 反之, 設(shè)存在奇異辛空間 F (n) 里(k , s, t) 型子空間 P 它以m n 矩陣X為一個矩陣表示. 由子空間型的定義及條件(3) 成立, 我們總可證明子空間 P 有如下形式2 n - 2和性質(zhì)P 11P =0P 12P 22k - t trank P 11 = k -t, ran k P 22 = t, P 11 K 2P 11= K k - t, s的 k n 矩陣表示 P. 由于它的行向量是子空間 P 的一個基, 因此存在m k 矩陣 T 使X = T P .仍以 T 為前 k 列作m 階非

17、奇異矩陣M , 便有于是X K n, X = MPX = M.0K k - t, s0 ( t)M K (m , s) ,從而秩 k 的m n 矩陣 X 適合方程 (8).定理 3. 2設(shè) s , 那么0 (m - k )km - 2sn (K n, , K m , s; k ) = qs (2- 2k + s+ 1) + k (n - 2) +2 i= m - k + 1(q i - 1)m in n - 2, k - 2srqt (2s- n+ 2- k + t) i= + s- k + t+ 1k - t- 2s(q2 i- 1)n - 2,(12)t= m ax 0, k - - s

18、(q i - 1)tqi= 1這里2s k m in n - + s, m .(13)證明對子空間 P 的一個取定的秩 k 的 k n 矩陣表示 P 來說, 秩 k 的所有不同的m k 矩陣 T 決定子空間 P 的所有不同的m n 矩陣表示 X = T P. 因此由 n (K n, , K m , s; k )的意義及引理 3. 1, 我們得到一個數(shù)量等式關(guān)系m in n- 2, k - 2sn (K n, , K m , s; k ) | K (m , s) | =N (k , s, t; n , ) n (k , m ) ,(14)t= m ax 0, k - - s也即n (K n, ,

19、 K m , ; k ) | K (m , s) | = N (k , s; n , ) n (k , m ).(15)這里 n (k , m ) 表示 F q 上秩 k 的 k m 矩陣的個數(shù):kmn (k , m ) = q2 i= m - k + 1(q i - 1).(16)把 (7)、(6)、(5) 代入 (14) , 經(jīng)運(yùn)算、整理便得 (12). 顯然 k 的取值范圍由M (k , s; n , ) 非空的 充要條件 (4) 決定, 因而得到 (13).推論 3. 3設(shè) s , 那么k m - 2sn (K 2, K m , s; k ) = qs這里(2- 2k + s+ 1)

20、+2 i= + s- k + 1(q2 i- 1).(17)k - 2s q2s k m in + s, m .推論 3. 4設(shè) 0 k m in n - , m , 那么(m )km k (n - 2) +n (K n, , 0; k ) = q2 i= m - k + 1(q i - 1)m in n- 2, k (q2 i- 1)q n - 2r- t (n- 2+ k - t) i= - k + t+ 1k - t(18)定理 3. 5設(shè) s , 那么t= m ax 0, k - i= 1(q i - 1)tqm in n- - s, m - 2sk(n- 2) +m - 2sn (K

21、 n, , K m , s ) = qs(2n- 2- s) qkk = 02 i= m - k - 2s+ 1(q i- 1)m in n- 2, k rq- t (n- 2+ k - t) i= - s- k + t+ 1k - t(q2 i- 1)n - 2.(19)t= m ax 0, k - + s證明由(13) 有(q i - 1)tqi= 1m in n - + s, m n (K n, , K m , s ) =k = 2s代入 (12) 求和, 再變換求和指標(biāo), 并整理便得.推論 3. 6設(shè) s , 那么n (K n, , K m , s; k )m in - s, m -

22、2s km - 2sn (K 2, K m , s ) = qs(2- s) = 0q 2 i= - s- k + 1(q2 i- 1).(20)k qk證明當(dāng) n = 2時, (19) 中的 k - s, 故 t = 0.推論 3. 7設(shè) s , 那么n (K 2, K 2s ) = qs(2- s) (q2 i- 1).(21)這與2的定理 1 一致.推論 3. 8(m ) )m in n- , m k k (n- 2) +i= - s+ 1m()n (K n, , 0= q= 02 i= m - k + 1q i - 1km in n- 2, k n - 2 (q2 i- 1)qr- t

23、 (n- 2+ k - t) i= - k + t+ 1k - t(22)推論 3. 9t= m ax 0, k - (q i - 1)t qi= 1m in , m kmn (K 2, 0 (m ) ) = qk = 02 i= - k + 1(q2 i - 1).(23)k q4 n (K n , , K m , s ) 的簡化與 q 超幾何級數(shù)表達(dá)2的(6. 6) 及其前的關(guān)系式有錯, 我們已在另文中證明了關(guān)系式是:mq 2 r n (K 2, 0 (m ) ) = q2(m - r) | K (m , r) |.(24)2 rm因此當(dāng) q 是奇素數(shù)方冪時, F q 上有m2 r- 1(

24、1 - qm - i )這就得到n (K 2, 0 (m ) ) = q2m -2 q- 2 r (+ 1)2 rm i= 0 .r(1 - q- 2 i )i= 1(25)定理 4. 1設(shè) q 是任意復(fù)數(shù), 那么2 r- 1m in m , k m m(1 - qm - i ) qk = 02 i= - k + 1(q2 i - 1)2m -= qkq2 q- 2 r (+ 1)2 rmi= 0,r(1 - q- 2 i )i= 1(26)這里 , m , r, k 是非負(fù)整數(shù).證明(26) 式左、右方都是 q 的分式. 當(dāng) q 是奇素數(shù)方冪時, 由推論 3. 9 及(25) 知它們 相等.

25、 奇素數(shù)方冪無窮多, 故(26) 對任何復(fù)數(shù)相等.現(xiàn)在引入 q2 超幾何級數(shù) (a 1 ) r (a s ) r rs 5 t a 1 , a s; b1 , bt; z = (bbq z ,r= 01 ) r(t ) r ( ) r這里 (a ) r = (1 - a ) (1 - a q) (1 - a q r- 1 ) , 且(a ) 0 = 1. 因此有定理 4. 2對任意復(fù)數(shù) q, 總有m in m , km m11 (m - 1) qk = 02 i= - k + 1(q2 i - 1)2m -= q2k q2 5 0 q2 m , q- 2; q+ 1 ,(27)這里“指該方括號

26、內(nèi) q 由 q- 2 代替.證明對(26) 式右方的和號局部進(jìn)行變形2r- 1(1 - qm - i )rq- 2 r (+ 1) i= 0 2rm(1 - q- 2 i )i= 1m ) (1 - qm - 2 ) (1 - qm - 2 r+ 2 ) (1 - qm - 1 ) (1 - qm - 3 ) (1 - qm - 2 r+ 1 )= q- 2 r (+ 1) (1 - qr= 0(1 - q- 2) (1 - q- 4) (1 - q- 2 r )1 1 1 1= ( (q- 2 ) + 1 ) r (1 - (q- 2 ) - 2 m ) (1 - (q- 2 ) - 2 m

27、 + r- 1 ) (1 - (q- 2 ) - 2 (m - 1) ) (1 - (q- 2 ) - 2 (m - 1) + r- 1 )r= 0- 2 - 1 m- 2 - 1 (m - 1)(1 - (q- 2) ) (1 - (q- 2 ) 2 ) (1 - (q- 2) r )= ( (q) 2 ) r ( (q ) 2) r ( (q- 2 ) + 1 ) r.r= 0( (q- 2 ) ) r這樣在任意特征的有限域 F q 上, 我們由 (26) , (27) 有mm (q i- 1)推論 4. 3n (K 2, 0 (m ) ) = q2m -2 q- r (2- r+ 1)2

28、 rmi= m - 2 r+ 1r.(28)推論 4. 4n (K 2, 0 (m ) ) = q2m -m2 2 5 0 q- 1 m2i= 1- 1 (m - 1), q 2(q2 i - 1); q+ 1 .(29)注n (K 2, 0 (m ) ) 有三個公式, (23) , (28) 的項數(shù)分別是m in , m + 1 和 m2+ 1; (29)的非零項數(shù)是 m2+ 1. 當(dāng) m2時使用 (23) 方便; 當(dāng) m2時使用 (28) , (29) 方便.這對后面 n (K n, , K m , s ) 的公式 (31) , (33) , (34) 也是如此.引理 4. 5設(shè) s ,

29、那么有n (K n, , K m , s ) = qm(n- 2)r n (K 2, K m , s ).(30)證明設(shè) X 是適合方程的任一個m n 矩陣, 寫2 n - 2那么有X = ( X 1 X 2 ) m .K m , s = X K n, X = X 1 K 2X 1 ,它與 X 2 無關(guān). 因此 X 2 任意, 有 qm (n- 2) 個.定理 4. 6設(shè) s , 那么m in - s, m - 2s km - 2sn (K n, , K m , s ) = qm(n- 2) + s (2- s) = 0r q 2 i= - s- k + 1(q2 i- 1).(31)kqk證

30、明由引理 4. 5 及推論 3. 6.定理 4. 7設(shè) s , 那么有歸約公式(n - 2)(m - 2s) )()n (K n, , K m , s ) = qm證明由推論 3. 6 注意到r n (K 2, K 2s ) r n (K 2 (- s) , 0.32n (K 2, K m , s ) = qs(2- s) i= - s+ 1(q2 i- 1)m in - s, m - 2sk- sm - 2srk = 0根據(jù)推論 3. 7, 3. 9 及引理 4. 5 便得 (32).定理 4. 8設(shè) s , 那么有q 2 i= - s- k + 1(q2 i - 1).kqmm n- 2s

31、+ s (s- 1) -n (K n, , K m , s ) = q2 i= - s+ 1(q2 i - 1)m - 2sr q- r (2- 2s- r+ 1) i= m - 2s- 2 r+ 1r(q i - 1);(33)2 rm - 2sm m n- 2s+ s (s- 1) -(q2 i - 1)i= 1n (K n, , K m , s ) = q2 i= - s+ 1(q2 i - 1)r2 5 0 q這里“指該方括號內(nèi) q 由 q- 2 代替.- 1 (m - 2s)2- 1 (m - 2s- 1), q 2; q- s+ 1 ,(34)證明根據(jù)關(guān)系式 (32) , 用推論

32、3. 7 及推論 4. 3, 4. 4.自然, 由公式 n (K n, , K m , ) 的不同表達(dá)我們能得到一些 q 的恒等式, 限于篇幅就不再列 出. 最后, 由 n (K n, , K m , s ) 的意義我們指出有定理 4. 9設(shè)m 2, 那么K n (K 2, K m , s ) |(m , s) | = q2m(35)02sm及K n (K n, , K m , s ) |(m , s) | = qnm. (36)02sm證明讓X 跑遍 F q 上所有m 2矩陣, 易知X K 2X 跑遍所有m m 交錯矩陣. 對每個階m 秩 2s 的交錯矩陣B , X 恰出現(xiàn) nm 2(K 2

33、, B ) = n (K 2, K m , s ) 次. 依秩數(shù) 2s 的取值 分組相加便得等式 (35). 同理也得 (36) 式.(本文作者通訊地址: 石家莊河北師范大學(xué)西校數(shù)學(xué)系 郵碼 050091)參 考 文 獻(xiàn)1 W an , Z. , Geom e t ry o f C la ssica l G ro up s o ve r F in ite F ie ld s, S tuden t lit te ra tu r, L und, 1993.2 C a r litz, L. , R ep re sen ta t io n s by sk ew fo rm s in a f in it

34、e f ie ld, A rch. M a th. , 5 (1954) , 19231.3 H o dge s, J. H. , A sk ew m a t r ix equa t io n o ve r a f in ite f ie ld, A rch. M a th. , 17 (1966) , 49255.4 H o dge s, J. H. , A symm e t r ic m a t r ix equa t io n o ve r a f in ite f ie ld, M a th. N ach r. , 30 (1965) , 2212228.5 B uck h ie ste r, P. , R ank r so lu t io n s to th e m a t r i