用放縮法證明數(shù)列中的不等式學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1用放縮法證明用放縮法證明(zhngmng)數(shù)列中的不等數(shù)列中的不等式式第一頁，共38頁。 放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點點就太大，縮小一點點又太小”，這就讓同學(xué)們找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺得高不可攀！ 高考(o ko)命題專家說：“放縮是一種能力.” 如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在！ 其實，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，放縮法也是“有法可依”的，本節(jié)課我們一起來研究數(shù)列問題中一些常見的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭開其神秘的面紗，領(lǐng)略和感受放縮法的無限魅力！第1頁/共38頁第二頁，共38頁。放縮目標放縮目標(mbio)模型模型可

2、求和可求和(qi h)可求積可求積等差模型等差模型(mxng)等比模型等比模型錯位相減模型錯位相減模型裂項相消模型裂項相消模型第2頁/共38頁第三頁，共38頁。平方平方(pngfng)型：型：21n1(1)n n111nn1(1)n n11(2)1nnn21n211n111(2)211nnn21n244n2441n1122121nn21(21)n14 (1)n n111(2)41nnn立方立方(lfng)型：型：31n21(1)n n111(2)2 (1)(1)nnnn n第3頁/共38頁第四頁，共38頁。根式根式(gnsh)型：型：1n22 n21nn21nn 2(1)nn 2(1)nn1n

3、nab2121221nnnn；2212121nnnn指數(shù)指數(shù)(zhsh)型：型：奇偶奇偶(q u)型：型：11(1)()nabaab；1nab11(1).()nabaab平方型、平方型、立方型、立方型、根式型根式型都都可放縮為可放縮為裂項相消裂項相消模型模型指數(shù)型指數(shù)型可放縮可放縮為為等比模型等比模型奇偶型奇偶型放縮為放縮為可求積可求積第4頁/共38頁第五頁，共38頁。一一. 放縮目標放縮目標(mbio)模型模型可求和可求和2311111 ()2222nnNL求證：例例1 1231232 ()2222nnnNL求證：變變式式1 12311111 ()2 1212121nnNL求證：變變式式2

4、2231232 ()2 122232nnnnNL求證：變變式式3 31(niiak k為常數(shù)）形形（一一）如如第5頁/共38頁第六頁，共38頁。不等式左邊可用等比數(shù)列前不等式左邊可用等比數(shù)列前n項和公式項和公式(gngsh)求和求和.分析分析(fnx)左邊左邊(zu bian)11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnNL求證：例例1 1表面是證數(shù)列不等式表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是，實質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和第6頁/共38頁第七頁，共38頁。不等式左邊可用不等式左邊可用“錯位相減法錯位相減法(jinf)”求和求和.分析分析(fnx)由錯位由錯位(cu wi)相減法得相減法得

5、 222nn2231232 ()2222nnnNL求證：變變式式1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是實質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和231232222nnL第7頁/共38頁第八頁，共38頁。左邊不能直接左邊不能直接(zhji)求和，須先將其通項放縮求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？后求和，如何放縮？分析分析(fnx)2311111 ()2 1212121nnNL求證：變變式式2 2將通項放縮為等將通項放縮為等比數(shù)列比數(shù)列(dn (dn b sh li)b sh li)注意到注意到11212nn左邊左邊11(1)22112n112n 12311112222nL第8頁/共38頁第九頁，

6、共38頁。左邊左邊(zu bian)不能直接求和，須先將其通項放不能直接求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？縮后求和，如何放縮？分析分析(fnx)注意注意(zh y)到到222nn2231232 ()2 122232nnnnNL求證：變變式式3 3231232222nnL左邊22nnnnn將通項放縮為將通項放縮為 錯錯位相減位相減模型模型第9頁/共38頁第十頁，共38頁?！痉椒ā痉椒?fngf)總結(jié)總結(jié)之一】之一】第10頁/共38頁第十一頁，共38頁。201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnNL(廣東文第(3)問求證：例例2 222211112 ()23nnN

7、L求證：變變式式1 12221117(201319(3) )1()234nnNL廣東理第：問求證變變式式2 222211151()233nnNL求證：變變式式3 3第11頁/共38頁第十二頁，共38頁。左邊左邊(zu bian)可用裂項相消法求和，先求和再放可用裂項相消法求和，先求和再放縮縮.分析分析(fnx)11(1)221n12201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnNL(廣東文第(3)問求證：例例2 2表面是證數(shù)列不等式表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)，實質(zhì)(shzh)(shzh)是數(shù)是數(shù)列求和列求和111111(1)()()23352121nnL左邊1111()(

8、21)(21)2 2121nnnnQ第12頁/共38頁第十三頁，共38頁。左邊不能求和左邊不能求和(qi h)，應(yīng)先將通項放縮為裂項，應(yīng)先將通項放縮為裂項相消模型后求和相消模型后求和(qi h).分析分析(fnx)11 1n 22 ()n保留保留(boli)(boli)第第一項，從第一項，從第二項開始放二項開始放縮縮111111 (1)()()2231nn L左邊21nQ22211112 ()23nnNL求證：變變式式1 11(1)n n11()12nnn當(dāng)當(dāng)n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第13頁/共38頁第十四頁，共38頁。變式變式2 2的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式1 1強

9、，要達目的強，要達目的(md)(md)，須將，須將變式變式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正，如何修正？進行修正，如何修正？分析分析(fnx)2221117(201319(3) )1()234nnNL廣東理第：問求證變變式式2 2保留保留(boli)(boli)前兩前兩項，從第三項開始項，從第三項開始放縮放縮思路一思路一211(1)nn n左邊左邊111142n 714n374()n211111111()()()223341nn L111nn(3)n 將變式將變式1 1的通項從第三項才開始放縮的通項從第三項才開始放縮. .當(dāng)當(dāng)n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第14頁/

10、共38頁第十五頁，共38頁。變式變式2 2的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式1 1強，要達目的，須將變式強，要達目的，須將變式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正進行修正(xizhng)(xizhng)，如何修正，如何修正(xizhng)(xizhng)？分析分析(fnx)2221117(201319(3) )1()234nnNL廣東理第：問求證變變式式2 2保留保留(boli)(boli)第一項，從第一項，從第二項開始第二項開始放縮放縮思路二思路二22111nn左邊左邊11111(1)221nn 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn L111()211nn(2)n

11、將通項放得比變式將通項放得比變式1 1更小一點更小一點.當(dāng)當(dāng)n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第15頁/共38頁第十六頁，共38頁。變式變式3 3的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式2 2更強，要達目的，須將變式更強，要達目的，須將變式2 2放放縮的縮的“度度”進一步修正進一步修正(xizhng)(xizhng)，如何修正，如何修正(xizhng)(xizhng)？分析分析(fnx)保留保留(boli)(boli)前兩項，從前兩項，從第三項開始第三項開始放縮放縮思路一思路一左邊左邊11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n2111111111()()(

12、)22243511nn L22211151()233nnNL求證：變變式式3 322111nn111()211nn(3)n 將變式將變式2 2思路二中通項從第三項才開始放縮思路二中通項從第三項才開始放縮.當(dāng)當(dāng)n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第16頁/共38頁第十七頁，共38頁。變式變式3 3的結(jié)論的結(jié)論(jiln)(jiln)比變式比變式2 2更強，要達目的，更強，要達目的，須將變式須將變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，如何修正？進一步修正，如何修正？分析分析(fnx)保留保留(b(bolioli)第一第一項，項，從第從第二項二項開始開始放縮放縮思路二思路二2

13、2144nn左邊左邊1112()321n 1123 253()n11111112 ()()()35572121nn L112()2121nn(2)n 將通項放得比變式將通項放得比變式2 2思路二更小一點思路二更小一點.22211151()233nnNL求證：變變式式3 32441n當(dāng)當(dāng)n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第17頁/共38頁第十八頁，共38頁。評注評注(pngzh)第18頁/共38頁第十九頁，共38頁?！痉椒ā痉椒?fngf)總結(jié)之總結(jié)之二】二】 放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的過程中，很多時候要“留一手”， 即采用“有所保留”的方法(fngf)，保留數(shù)列的第一

14、項或前兩項，從數(shù)列的第二項或第三項開始放縮，這樣才不致使結(jié)果放得過大或縮得過小.第19頁/共38頁第二十頁，共38頁。牛刀小試牛刀小試(ni do xio sh)（變式練習(xí)（變式練習(xí)1）*22211151()35(21)4nnNL求證：證明證明(zhngmng)21(21)nQ111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn L14 (1)n n(2)n 2144nn111()41nn左邊當(dāng)當(dāng)n = 1時，不等式顯然時，不等式顯然(xinrn)也成立也成立.第20頁/共38頁第二十一頁，共38頁。右邊右邊(yu (yu bian)bian)保留保留第一項第一項111

15、1231001111231(2009200)0S L珠海二求模理第(2)的整.問例數(shù)部分3 3122nn21nn2(1)nn21nn 2(1)nn 1 2( 100 1)19 182( 101 1)18S 的整數(shù)部分是思路思路(sl(sl)為了確定為了確定S S的整數(shù)部分的整數(shù)部分(b fen)(b fen)，必須將，必須將S S的值放縮在相鄰的兩個的值放縮在相鄰的兩個整數(shù)之間整數(shù)之間. .第21頁/共38頁第二十二頁，共38頁。右邊右邊(yu (yu bian)bian)保留保留第一項第一項111123100L1111231(2009200)0S L珠海二求模理第(2)的整.問例數(shù)部分3 3

16、122nn21nn2(1)nn21nn 2(1)nn Q1 2( 100 1)19 182( 101 1)18S 的整數(shù)部分是思路思路(sl(sl)為了確定為了確定S S的整數(shù)部分的整數(shù)部分(b fen)(b fen)，必須將，必須將S S的值放縮在相鄰的值放縮在相鄰的兩個的兩個整數(shù)之間整數(shù)之間. .第22頁/共38頁第二十三頁，共38頁。分析分析(fnx)思路思路(sl)左邊(zu bian)32nn211111333n L22331(2011113()3232322193(3)22nnnNL求廣東理第：問證例例4 4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型23

17、1 ( ) 3nn123 1 ( ) 3n13n*111()323nnnnN11331213n第23頁/共38頁第二十四頁，共38頁。分析分析(fnx)左邊左邊(zu bian)32n21111(1)733n L23111117()3232323214nnNL求證：例例4 4 變變式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (2)n 保留保留(boli)(boli)第第一項，從第二項一項，從第二項開始放縮開始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項也放縮的方法將通項也放縮為為等比模型等比模型后求和？后

18、求和？ 3171141(2)4n 當(dāng)當(dāng)n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第24頁/共38頁第二十五頁，共38頁。【方法【方法(fngf)總總結(jié)之三】結(jié)之三】第25頁/共38頁第二十六頁，共38頁。(1)(2)1 22(1985)3(1)()22n nn nn nnNL全國求：例證5 5(1)(2)1 22 3(1)22n nn nn n L思路思路(sl)nT nR123nnTbbbbL123nnRccccL1( )niiaf n二形形（）如如第26頁/共38頁第二十七頁，共38頁。證明證明(zh(zhngmngmng)ng)(1)n nn (1)2nn12n1 22 3(1

19、)n nL1nkk(1)2n n11()2nkk(2)2n n評注評注(pngzh)用分析法尋找用分析法尋找(xnzho)(xnzho)證明思路顯得一氣呵證明思路顯得一氣呵成！成！第27頁/共38頁第二十八頁，共38頁?！痉椒ā痉椒?fngf)總結(jié)總結(jié)之四】之四】第28頁/共38頁第二十九頁，共38頁。二二. 放縮目標放縮目標(mbio)模型模型可求積可求積第29頁/共38頁第三十頁，共38頁。135211()24(2060922121 (2) )nnnn NL求證東理：例廣第問6 6思路思路(sl)135211246221nnn LnB1 2 3nbbbb1( )niiaf n三（形形如如）

20、第30頁/共38頁第三十一頁，共38頁。證明證明(zhngmng)(zhngmng)212nn22141nn21()21nnnN1352135721nnL左邊121n第31頁/共38頁第三十二頁，共38頁。【方法【方法(fngf)總結(jié)總結(jié)之五】之五】第32頁/共38頁第三十三頁，共38頁。牛刀小試牛刀小試(ni do xio sh)（變式練習(xí)（變式練習(xí)2）(1998全國理全國理25第第(2)問問)*3111(1 1)(1)(1)(1)31 ()4732nnnNL求證：證明證明(zhngmng)31(1)32nQ313113232nnn 333334710313114732nnnL23331132(32)(32)nnn 33113232nnn 左邊第33頁/共38頁第三十四頁，共38頁。放縮目標放縮目標(mbio)模型模型可求和可求和(qi h)可求積可求積等差模型等差模型(mxng)等比模型等比模型錯位相減模型錯位相減模型裂項相消模型裂項相消模型第34頁/共38頁第三十五頁，共38頁。又如：我們可以這樣又如：我們可以